（应用数学专业论文）摄动离散矩阵方程与不确定离散系统鲁棒控制研究.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 摄动离散矩阵方程与不确定离散系统鲁棒控制研究 摘要 本文研究摄动离散矩阵l y a p u n o v 方程解的估计问题和不确定离散系统 鲁棒控制器设计问题。系统控制器的设计问题是鲁棒控制理论研究的主要问 题之一，而离散矩阵l y a p u n o v 方程解的估计在系统稳定性分析、最优控制 器和过滤器设计、瞬时性态评估中都发挥着重要的作用。本文分别研究了这 两方面的问题。具体包含以下内容： 1 研究摄动离散矩阵l y a p u n o v 方程解的估计问题。利用矩阵特征值和 矩阵迹的性质，以及引用有关的矩阵不等式，给出了摄动离散矩阵 l y a p u n o v 方程解的最大、最小特征值及其迹的一般估计结果，同时给出在 一定的不确定性假设下方程解的存在条件及其解的上下界估计，并且估计结 果由一个线性矩阵不等式( l m i ) 和两个矩阵代数r i c c a t i 方程的解确定。 结合不确定矩阵的不确定性结构假设，进一步给出在四种常用的不确定性假 设下方程解的特征估计的上下界以及矩阵代数r i c c a t i 方程的具体形式。数 值算例说明了所得结果的有效性。 2 研究摄动广义矩阵l y a p u n o v 方程( p g m l e ) 对称正定矩阵解的下 界的估计问题。根据广义矩阵l y a p u n o v 方程( g m l e ) 定义，提出了 p o m l e 概念，借助于g m l e 解的研究方法，推导出在一定的摄动结构假设 下p g m l e 的解的界，并讨论了该方程解的存在性条件。最后通过数值算例 进行了验证。 3 对不确定离散时滞系统，研究基于观测器的鲁棒控制器设计问题。 采用线性矩阵不等式( l m i ) 技术及矩阵s c h u r 补引理等，给出了相应鲁棒 控制器的设计方法。进而，通过建立和求解一个凸优化问题，提出了具有较 小反馈增益参数的基于状态观测器的鲁棒控制器设计方法。最后给出算例验 证所得结果的可行性和有效性。 4 针对线性不确定离散系统，提出了一种新的基于观测器的控制器设 计方法。首先，通过定义系统的残差给出高性能的控制器，然后利用状态观 测器获得用以补偿不确定扰动的控制输入项。 关键词离散矩阵l y a p u n o v 方程；不确定性；解的估计；状态观测器；鲁 棒控制 鉴查堡塞三查兰矍兰堡圭兰堡篁吝 s t u d yo nt h ep e r t u r b e dd i s c r e t em a t r i x e q u a t i o n s a n dt h er o b u s tc o n t r o lo f u n c e r t a i nd i s c r e t es y s t e m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ee s t i m a t i o no ft h es o l u t i o n st od i s c r e t em a t r i xl y a p u n o v e q u a t i o n sa n dt h ed e s i g no fr o b u s tc o n t r o l l e ro fu n c e r t a i nd i s c r e t e t i m es y s t e m s a l eb o t hi n v e s t i g a t e d d e s i g np r o b l e mo fr o b u s tc o n t r o l l e ri soneo ft h em a i n p r o b l e mi nr o b u s tc o n t r o lt h e o r y ，a n da p p l i c a t i o n so f t h ee s t i m a t i o n so fs o l u t i o n s t od i s c r e t e - t i m em a t r i xl y a p u n o ve q u a t i o n sc a nb ef o u n di ns t a b i l i t ya n a l y s i s ，t h e d e s i g no fo p t i m a lc o n t r o l l e r sa n df i l t e r s ，a n d t h ee s t i m a t i o no ft h et r a n s i e n t b e h a v i o r b o t ht h ep r o b l e m sm e n t i o n e da b o v ea r es t u d i e di nt h i sp a p e r t h e p r e s e n tp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： f i r s t ，t h ep r o b l e m so fc h a r a c t e r i s t i ce s t i m a t i o n f o rt h es o l u t i o nt ot h e p e r t u r b e dd i s c r e t em a t r i xl y a p u n o ve q u a t i o n sa r es t u d i e d t h ee s t i m a t i o no f t h e m i n i m u ma n dt h em a x i m u me i g e n v a l u e sa n dt r a c eo ft h es o l u t i o nt ot h e p e r t u r b e dd i s c r e t em a t r i xl y a p u n o ve q u a t i o na r eg i v e nb ya p p l y i n gt h ep r o p e r t i e s o fm a t r i xe i g e n v a l u e sa n dt r a c e su s i n gt h er e l a t e dm a t r i xi n e q u a l i t yr e s p e c t i v e l y a tt h es a m et i m e ，t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o na n dt h es u p p e ra n dl o w e rb o u n d s e s t i m a t i o no ft h es o l u t i o nt ot h ee q u a t i o nu n d e rac e r t a i nu n c e r t a i n t ya s s u m p f i o n a r ep r e s e n t e d ，a n dt h ee s t i m a t i o nr e s u l t sa r eg i v e nb yal i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a n dt w o m a t r i x a l g e b r ar i c c a t ie q u a t i o n s c o m b i n e dt ou n c e r t a i n t y a s s u m p t i o n sf o ru n c e r t a i nm a t r i c e s ，t h es u p p e ra n dl o w e rb o u n d se s t i m a t i o no f t h es o l u t i o nt ot h ee q u a t i o na n dt h ec o n c r e t ef o r mo fm a t r i xa l g e b r ar i c c a t i e q u a t i o n sa r eb o t hg i v e nf o rf o u ru n c e r t a i n t ya s s u m p t i o n s t h ev a l i d i t yo ft h e r e s u l t si si l l u s t r a t e db yn u m e r i c a le x a m p l e s s e c o n d ，t h ee s t i m a t i o no f1 0 w e rb o u n d so ft h es y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e m a t r i xs o l u t i o nf o rt h ep e r t u r b a t i o ng e n e r a l i z e dl y a p u n o vm a t r i xe q u a t i o n sa r e p r e s e n t e d t h ec o n c e p to fp e r t u r b a t i o ng e n e r a l i z e dm a t r i xl y a p u n o ve q u a t i o n i i 竺玺墨堡三奎主矍兰堡圭兰堡篁兰 ( p g m l e ) i si n t r o d u c e da c c o r d i n g t ot h ed e f i n i t i o no fg e n e r a l i z e dm a t r i x l y a p u n o ve q u a t i o n ( g m l e ) ，t h e s o l u t i o nb o u n d so fp g m l ei nac e r t a i n p e r t u r b a t i o ns t r u c t u r ea r eo b t a i n e db ym e a n so f t h ea p p r o a c hf o rg m l e ，a n dt h e e x i s t e n c ec o n d i t i o n so ft h es o l u t i o nf o rt h ee q u a t i o na r ep r e s e n t e d n u m e r i c a l e x a m p l e sp r o v et h ev a l i d i t yo f o u rp r o p o s e da p p r o a c h t h i r d t h er o b u s tc o n t r o l l e rd e s i g np r o b l e mi ss t u d i e df o rac l a s so fu n c e r t a i n d i s c r e t et i m e - d e l a ys y s t e m sb a s e do nt h es t a t eo b s e r v e r b yu s i n gl m ia n ds c h u r s u p p l e m e n tl e m m a ，t h ed e s i g nm e t h o do fr o b u s tc o n t r o l l e r s a r ed e v e l o p e d f u r t h e r m o r e ，w ep r e s e n tt h em e t h o do fc o n t r o l l e rd e s i g nw i t has m a l l e rf e e d b a c k g a i np a r a m e t e rb yb u i l d i n ga n ds o l v i n gap r o b l e mo fc o n v e xo p t i m i z a t i o n a n u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f i c i e n c yo ft h e m e t h o d f o u r t h ，an e wc o n t r o ls c h e m ef o rt h el i n e a ru n c e r t a i nd i s c r e t es y s t e mi s p r e s e n t e d f i r s tah i g hp e r f o r m a n c ec o n t r o l l e rb a s e do nt h es y s t e m sn o r m a l m o d e li s g i v e n ，t h e nb a s e do nt h es t a t eo b s e r v e r ，a n o t h e rc o n t r o li n p u t t o c o m p e n s a t et h eu n c e r t a i n t i e sa n d o rd i s t u r b a n c e si so b t a i n e d k e y w o r d s d i s c r e t em a t r i xl y a p u n o ve q u a t i o n s ；u n c e r t a i n t y ；e s t i m a t i o no ft h e s o l u t i o n s ；s t a t eo b s e r v e r ；r o b u s tc o n t r 0 1 i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文摄动离散矩阵方程与不确 定离散系统鲁棒控制研究，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读 硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注 明部分外不包含他人己发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本 人承担。 作者签名： 灵泠 日期：如7 年弓月f 7 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 摄动离散矩阵方程与不确定离散系统鲁棒控制研究系本人在哈尔滨 理工大学攻读硕士学位期间在导师指导完下成的硕士学位论文。本论文的研 究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发 表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授 权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布 论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保徊。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：馁铃 日期： 二口口_ 7 年 弓月9 日 导师躲陆辱旁胁m 7 年；月，夕日 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 课题来源及研究的目的意义 1 1 1 课题来源 本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师正在进行的国家自然科学基 金项目，主要针对在工程系统中广泛应用的离散矩阵l y a p u n o v 方程进行解 的估计，以及在实际应用中存在的不确定离散时间系统进行鲁棒控制器设 计。 1 1 2 研究的目的及意义 随着高速电子计算机的出现，对工程系统、经济系统、生物系统等的动 态描述都自然而然地由离散时间系统来实现，离散时间系统已经形成了与连 续系统相平行的理论体系。从而对连续系统中l y a p u n o v 方程的研究转向对 离散时间系统中l y a p u n o v 方程的研究。 离散矩阵l y a p u n o v 方程广泛应用于工程系统理论的各个领域，特别是 控制系统理论领域i ”。l y a p u n o v 方程在系统稳定性分析、最优控制器和过滤 器设计、瞬时性态评估中都发挥着重要的作用。此外，此类方程的解的界还 应用于解决系统稳定性分析1 2 1 1 1 11 、时滞系统控制器设计p i 、最大成本估算和 控制器设计【6 l 、数值算法的收敛性1 7 l 等中的许多控制难题。 通常情况下我们需要求解这类方程，然而当矩阵维数增大时，方程求解， 将变得相当困难：另一方面，有时可能只需要方程的近似解或精确解的估 计。为此，对这类方程解的界的估计具有重要的实用价值和理论意义。 在实际的工业控制中，一方面，各种工业生产过程、生产设备以及其它 众多的被控对象，其动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述，有时即 使能获得被控对象的精确数学模型，但由于其过于复杂，也难于对其进行有 效的性能分析和综合，因此必须进行适当的简化：另一方面，随着生产过程 中工作条件和环境的变化，控制系统中元器件的老化，使得描述被控对象的 数学模型和实际对象之间不可避免地存在一定的误差。总之，多种因素导致 系统模型中会存在一定的不确定性。同时，在实际工业控制系统中，时滞现 象大量存在，如长管道进料或皮带传输、缓慢的化学反应过程、网络控制系 统信号的传输以及复杂的在线分析仪等均会导致时滞现象。不确定性和时滞 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 性的存在，造成了系统控制无论在理论分析上还是在工程实际应用中都有特 殊的困难，并且实践证明，系统中不确定性和时滞的存在常常是系统性能变 差和系统失稳的主要原因。因此，研究含不确定性和时滞的系统具有重要意 义。另外，鲁棒控制理论中的一个重要问题就是系统的控制律综合，所谓控 制律综合是指系统在存在不确定性和外加干扰时，如何设计有效的控制律使 得闭环系统具有更强的鲁棒性。因此，以不确定离散系统的鲁棒控制器设计 为研究目标，是本课题的又一重要部分，它无论在理论研究还是在实际应用 上都有着重要意义。 1 2 国内外研究概况和发展趋势 1 2 1 离散矩阵方程解的估计发展概况 对于离散矩阵l y a p u n o v 方程的研究源于上个世纪八十年代。1 9 8 2 年t m o r i | l 利用o s t r o w s k i 不等式得出离散矩阵l y a p u n o v 方程的一个上下界。 1 9 8 5 年，tm o r i 9 1 开始了对离散矩阵l y a p u n o v 方程解的特征值的界的估 计，j g a r l o 柙”j 给出了基于l y a p u n o v 方程特征值的一系列项( 包括特征 值、特征值的部分和、特征值的部分积、迹) 的界的估计，而t ，m o r i 川则 先对矩阵( x 。1 + y ) - 1 的迹的下界进行估计，从而得出比j g a r l o 球”l 的结果更 紧凑的结果，使人们对方程的研究从对解本身界的估计转移到对其特征值及 其相关项的界的估计，之后产生了大量相关的成果 1 2 1 ”l 【1 4j 【1 ”，其中n k o m a r o 舒”】的研究方法更具有代表性，他将不等式盯。矽h 仁咧引入，并和 与特征值相关的一系列不等式结合得出相关结果，同时利用柯西不等式等数 学工具与此前的结果进行了比较，说明了其结果的有效性。1 9 9 6 年，孙翔 1 6 1 通过对不确定离散随机系统协定差的定界研究，为摄动离散矩阵 l y a p u n o v 方程在满足范数有界不确定性的情形下解的上下界的估计提供新 的思路，直至1 9 9 9 年，在王子栋【1 7 l 的研究下，这一问题得到了解决。1 9 9 9 年，m k t i p p e r “i 通过定义一个且( a ，a ) 函数，用其相关项来估计离散代数 l y a p u n o v 方程的解，从而得出解的范数的一个上界及解的迹的上界。近些 年，随着越来越多的学者对标准的l y a p u n o v 方程的解、特征值、极特征 值、特征值的部分和、特征值的部分积、迹和行列式等的估计，产生了大量 的结果1 1 9 1 1 2 0 l 【2 1j 【”i ，使得对其解的估计也越来越精确。2 0 0 0 年，李学俊【2 3 】【2 4 j 通过对一般的离散矩阵l y a p u n o v 方程解的上下界估计得出了更一般的结 哈尔滨理_ 亡大学理学硕十学位论文 果，并指出用r a y l e i g h 商的极性来研究此类问题的新方法。随后，h h c h o i 2 ”将基于线性矩阵不等式的方法引入，并结合s c h u r 引理对离散矩阵 l y a p u n o v 方程的解进行了估计。而国内学者张端金1 2 6 1 1 2 ”i i8 】贝u 基于d e l t a 算子 的描述，统一研究了连续矩阵l y a p u n o v 方程和离散矩阵l y a p u n o v 方程的定 界估计问题，给出在极限情形下的估计结果。余军扬口9 1 则得出l y a p u n o v 方 程亚纯解( 拧，1 ) 级的上界。2 0 0 3 年，c h l e e 【”i 利用s c h u r 引理，通过构造 半正定矩阵推导出矩阵的简单迭代公式，从而给出连续矩阵l y a p u n o v 方 程解的上下界。随后a m e d v e d e r l 3 ”研究了微分形式给出的l y a p u n o v 方程 的稳定性，为我们的研究提供了新的思路。2 0 0 5 年，包志华p 2 i 通过矩阵逆 公式及矩阵解极特征值满足的不等式，对离散矩阵l y a p u n o v 方程解的估计 问题进行了研究，是国内研究此类问题仅有的几位学者之一，然而只得到了 方程解的迹的一个上下界，且有较大的保守性。 从目前学术界的研究来看，对标准的离散矩阵l y a p u n o v 方程解的相关 项界的研究较多，而对带有不确定参数的离散矩阵l y a p u n o v 方程和广义矩 阵l y a p u n o v 方程的研究则少之又少，在现有文献中主要有：2 0 0 6 年6 月， d y c h e n f ”1 针对摄动参数满足范数有界不确定性情形，利用矩阵方程解的 性质，给出了摄动离散l y a p u n o v 方程解的几个上界，使对标准的离散矩阵 l y a p u n o v 方程解的研究转到对摄动离散矩阵l y a p u n o v 方程解的研究上来， 2 0 0 6 年1 2 月，陈东彦【3 邮又给出了摄动离散矩阵l y a p u n o v 方程解的下界， 且界的计算可通过确定的离散矩阵l y a p u n o v 方程解给出，避免了高阶代数 方程的求解。而本文将以摄动离散矩阵l y a p u n o v 方程和摄动广义矩阵 l y a p u n o v 方程为主要研究对象，讨论方程解的估计问题。 1 2 2 不确定离散系统鲁棒控制发展概况 随着计算机控制技术的迅速发展，从工业过程控制的实际问题出发，对 离散时间系统控制方法的研究显得尤为重要，虽然由连续系统的一些结果已 经平行地推出离散系统的相应结果p ”i i i t7 1 ，但是离散系统其自身的结构决 定了它具有一些独特的性质，这些性质不能由连续系统平行得出。 对于不确定离散时间系统，针对系统矩阵中摄动参数的不同形式，国内 外学者做了大量的工作。1 9 9 4 年，钟守铭p 8 1 针对具有时滞的不确定离散系 统，对每个子系统应用稳定化的状态反馈控制，利用特征根轨迹稳定的特性 以及g e r s h g o r i n 定理，给出了参数扰动界，获得了系统渐近稳定的充分条 件。同年，e i s u t ”i 也基于g e r s h g o r i n 定理，利用特征根轨迹稳定的特 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 性，给出了具有时滞的不确定离散系统状态反馈控制器的设计方法，并同时 给出了系统鲁棒稳定的充分条件，扩展了钟守铭p8 】的结果。2 0 0 5 年，s b s t o j a n o v i c t ”j 又基于g e r s h g o r i n 定理给出了判定离散时滞大系统稳定性充分 条件，把此方法推广到对大系统的研究中。近年来，又有一些学者基于此方 法对离散时滞系统的d 稳定性进行了研究，并给出了一些结果【4 l 】【”】【4 3 】l 。 1 9 9 5 年，e v e r r i e s t t 4 】利用不断求解带约束条件的改进型离散r i c c a t i 方 程得到不确定离散时滞系统控制器的存在性问题。此方法也适用于系统保成 本控制和h 。控制问题的研究中，1 9 9 8 年，s s o n 9 1 4 6 】也基于r i c c a t i 方程方 法给出了不确定离散时滞系统h 。稳定性的充分条件，扩展了e v e r r i e s t t 4 i 的结果。同年，俞立1 4 7 j 采用不确定系统的r i e c a t i 方程处理方法讨论了不确 定离散时间系统的保成本控制问题，将保成本控制律的设计问题转化成某个 线性时不变离散系统的状态反馈日。控制问题，从而得到所要的保成本控制 律。随后，蒋丽英1 4 1 1 针对具有有界不确定性和未知时滞的离散系统，设计 鲁棒h 。状态反馈控制器，基于代数r i c c a t i 不等式方程，给出使闭环传递 函数的。范数小于给定界y 和闭环系统渐近稳定的充分条件。但此方法在 求解r i e c a t i 方程时需要试凑一些参数和矩阵，而当参数和矩阵维数较大 时，r i c c a t i 方程很难求解。 1 9 9 9 年，h s w u 【4 9 】在给定不确定性范数界的条件下，利用解的迭代理 论并结合矩阵范数理论给出了判定不确定离散时滞系统鲁棒镇定的充分条件 和控制器的设计方法。2 0 0 1 年，邵锡军i ”) 基于特征根稳定性理论和矩阵范 数理论给出了此系统无记忆状态反馈控制器的设计方法，而且同时推导出了 判定不确定离散时滞系统闭环系统稳定的充分条件和确保离散时滞系统所有 极点均位于给定圆形区域内时系统扰动矩阵的范数界，改进了h s w u t ”l 的 结果。此方法克服了利用r i c c a t i 方程获得控制器时需求解r i c e a t i 方程的缺 点。 近几年来，对离散系统进行控制器设计时用到的主要方法是l y a p u n o v 方法。1 9 9 5 年，t l h s i e n t ”l 基于l y a p u n o v 理论，并结合改进的 r a z u m i k b i n 定理和范数理论给出了不确定离散时滞系统时滞无关的稳定性 充分条件和鲁棒控制器的设计方法，把l y a p u n o v 方法引进到对时滞不确定 离散系统的研究中。1 9 9 9 年，颜钢锋m i 针对时变不确定参数满足匹配条件 的离散时滞系统，利用l y a p u n o v 稳定性理论，提出了鲁棒稳定化控制器一 种新的设计方法，并通过求解r i e c a t i 1 i k e 不等式来获得不确定离散时滞系 统时滞相关的稳定性的充分条件。2 0 0 3 年，孙超、陈东彦l 针对非结构不 哈尔滨理1 = 大学理学硕十学位论文 确定性和强结构不确定性系统借助于系统的解，给出这类系统的鲁棒稳定 性条件，及基于极点配置方法的鲁棒控制器设计方法。同年，许立滨，陈东 彦j 利用离散l a p u n o v 函数方法，通过构造一个适当的离散l y a p u n o v 函 数，并借助于向量不等式和矩阵范数的性质，给出所讨论系统鲁棒稳定的充 分条件，且该条件是以矩阵范数的形式给出的且是时滞相关的。此方法不但 可用于系统鲁棒控制器的设计中，而且还可用于系统的保成本控制器和日。 控制器设计。2 0 0 0 年，m s m a h m o u d ”1 利用线性矩阵不等式方法对系统保 成本控制进行了研究。俞立口6 i 针对一类具有范数有界不确定性和状态滞后 的离散时间线性系统，结合一个二次型性能指标采用线性矩阵不等式方法， 提出了无记忆状态反馈保性能控制律的存在条件，并利用一个线性矩阵不等 式的解给出了保性能控制律的一个参数化表示：刘飞1 5 7 l 针对一类用矩阵凸 多面体形式表示的不确定线性离散时滞系统，提出一种通过无记忆状态反馈 实现的具有h 。干扰抑制的保成本控制，当对象存在不确定性以及外部干扰 统计特性未知时，该控制器能保证闭环系统稳定和一定的线性二次型性能指 标上界，同时具有h 。范数下的干扰抑制作用，基于l y a p u n o v 稳定性理 论，控制器设计可转化为线性矩阵不等式的可解性问题，该控制器实际是对 最优保成本上界和干扰抑制能力的一种折衷。2 0 0 3 年，许立滨”8 j 针对具有 凸多面体不确定性的离散时滞系统，研究了状态反馈鲁棒h 。控制问题，将 控制器存在的充分条件转化为线性矩阵不等式的求解问题，可采用较为有效 的闪点方法进行求解。李志虎p9 】研究了一类线性不确定离散时滞系统的h 。 鲁棒控制问题，其时变不确定项是范数有界的，但无需满足匹配条件，基于 线性矩阵不等式( l m i ) 方法，得到了可h 。鲁棒镇定的一个充分条件，通过 求解一个特定的线性矩阵不等式，即可获得日。状态反馈控制器。2 0 0 4 年， 何早红i 删研究一类结构已知，参数是时变的离散系统的鲁棒日。控制及镇 定，通过求解系统的l y a p u n o v 函数和一个泛函指标函数来获得一组线性矩 阵不等式，设计出一种线性无记忆状态观测器来满足所需要求，使系统具有 一定的鲁棒稳定性和h 。性能。2 0 0 5 年，h j t a n g f “i 通过引入二阶变换和 奇异系统变换，利用l y a p u n o v 稳定性理论和l m i 方法，给出了时滞相关的 鲁棒稳定性条件和日。控制器的设计。2 0 0 6 年，王德玉【6 2 】给出了基于线性矩 阵不等式的离散系统稳定的充分条件。l y a p u n o v 方法被证明是时滞系统分 析和综合的一种有效方法，目前，利用此方法研究不确定离散时滞系统还在 进一步发展中，立足于减少其保守性。 从现有研究成果看，所得结果中大多数考虑的控制器是状态反馈控制 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 器，在状态反馈控制器的设计中，要求系统的状态可以直接测量得到，而在 许多实际系统中，系统状态通常不能直接测量，状态反馈控制很难实现。因 此，如何只利用系统的测量输出控制所考虑的系统是一个具有重要意义的问 题，本文将给出解决此问题的方法，即基于状态反馈控制器的设计。 1 3 本文所做的工作 1 3 1 摄动矩阵方程解的估计 讨论以下两个摄动矩阵l y a p u n o v 方程解的估计问题。 ( 1 ) 摄动离散矩阵l y a p u n o v 方程 尸= ( 彳+ 削) 1p ( a + a a ) + q 其中，a ，q r 均是已知常值矩阵，且q = q 7 0 是对称正定矩阵， p r ”是矩阵变量，a a r ”是不确定矩阵，表示矩阵a 的结构摄动。又 假设鲋满足一定的不确定性结构，且矩阵a 渐近稳定。 ( 2 ) 摄动广义矩阵l y a p u n o v 方程 一 1 c o p + q ( a + a a ) 1p + 吒p ( 4 + 纠) = 一去q 1 其中，c o = 属，e l = i 1 ( 届+ i f l 2 ) ，c 2 = 寺( 届一f 岛) ，岛，届，压r ，所+ 所0 。 1 3 2 不确定离散系统的鲁棒控制器的设计 将讨论以下不确定离散时间系统的鲁棒控制器设计问题。 ( 1 ) 线性不确定离散时滞系统 f x ( | | + 1 ) = 0 + 爿h ( 七) + ( 以+ 爿d ) z ( i 一d ) + 曰材( 七) 【y ( 后) = c x ( k ) 其中，x ( k ) r ”为状态向量，“( f ) r 为输入向量，y ( f ) r 9 为测量输出 变量，a 、a d 、b r 和c 为适当维数的常数矩阵，且r a n k ( b ) = 历，d o 哈尔滨理1 = 大学理学硕士学位论文 是状态向量中的滞后常数。假定系统的不确定性满足范数有界条件。 ( 2 ) 非线性不确定离散时滞系统 f 工0 + 1 ) = 出征) + 以z ( 七一d ) + b u ( k ) + h ( k ，x ) ) i y o ) = c x ( k ) 其中，工( t ) r ”为状态向量，_ ) ，( f ) r 9 是测量输出向量，“( f ) r 为输入 向量，a 、a j 、b e r 和c 为适当维数的己知矩阵，且r a n k ( b ) = 脚，d 0 是状态向量中的滞后常数，h ：z r 4 一r ”是非线性扰动函数，满足二次限 制条件，即 h 7 ( 后，x ) h ( k ，工) c 1 2 x r h 7 i - i x ，( | | ，x ) z + x r ” 其中，h 为适当维数的常值矩阵。 ( 3 ) 不确定离散系统 x ( k + 1 ) = ( 一十爿) x ( 七) + b u ( k ) y ( k ) = c x ( k ) 其中，x ( k 1 r ”为状态向量，u ( t ) r ”为输入向量，y ( f ) r 9 为测量输出 变量，a r 、b r 和c r ”w 分别为系统状态矩阵、输入矩阵、输出 矩阵的标称值，鲋表示状态矩阵的不确定项。 哈尔滨理工大学理学硕t 学位论文 第2 章基础知识 本章主要介绍l y a p u n o v 方程理论，离散动态系统的状态空间模型、稳 定性概念和l y a p u n o v 稳定性定理。 2 1l y a p u n o v 方程理论 考虑定常离散时间系统 x ( k + 1 ) = g x ( k ) ，工( 0 ) = ， k = o ，1 ，2 ， ( 2 一1 ) 我们称g x 。= 0 的解状态x 。= 0 为其平衡状态。则对于系统( 2 1 ) 有如下的稳 定性判别定理： 定理2 1 【”1 线性定常离散系统( 2 - 1 ) 的零平衡状态t = o ) 5 渐近稳定的充 要条件是： ( 1 ) g 的全部特征值= 九( g ) i = 1 , 2 ，l 的幅值均小于1 ； ( 2 ) 对于任一给定的正定对称矩阵q ，如下的方程 g 1 p g p q( 2 - 2 ) 有惟一正定对称解阵p 。 方程( 2 2 ) 被称为离散矩阵l y a p u n o v 方程( d m l e ) 。但在实际问题中矩 阵彳往往带有一定的不确定性，从而使方程( 2 2 ) 成为摄动离散矩阵 l y a p u n o v 方程 ( 彳+ 爿) 1p ( 4 + a a ) - p = 一q( 2 - 3 ) 类似地，方程 c o p + c i a 7 p + c 2 p a = 一去q ( 2 4 ) 其中，c o = p o ，q ：丢( 届+ f 岛) ，c 2 ：昙( 屈一f 岛) 。被称为广义矩阵l y a p u n 。v 方程( g m l e ) 。 当矩阵a 带有不确定性鲋时，相应于方程( 2 4 ) 的广义矩阵l y a p u n o v 方 程 哈尔滨理1 = 大学理学硕士学位论文 c o p + q ( 4 + 一) 1p + c 2 p ( a + a a ) = 一i 1q ( 2 5 ) 其中，a j r ”表示矩阵a 的结构摄动。被称为摄动广义矩阵l y a p u n o v 方 程( p g m l e ) 。 假设方程( 2 3 ) 和( 2 5 ) 中结构摄动爿满足下列条件之一： ( 1 ) 非结构不确定性，即存在万 0 ，使得 孑( 4 ( 七) ) 艿或l i 爿( t ) 0 万，k = 0 ，1 ，2 其中，孑( 爿( 七) ) 和0 爿( 矧分别表示爿( 七) 的最大奇异值和范数。 ( 2 ) 强结构不确定性，即存在非负矩阵d ( 每个元素均为非负数) ，使 得 l 鲥( 七) l d 其中，i 鲋( 后) l 表示鲋( 七) 的模矩阵，即由削( | j ) 的元素的模组成的矩阵， 。1 表示两个矩阵对应元素之间的小于等于关系。 ( 3 ) 范数有界不确定性，即存在已知矩阵d r “，e r 和不确定性矩 阵，( t ) r ，使得 爿( 七) = d f ( k ) e 其中，f ( k ) 满足f ( 后) f ( 七) s i 或f 7 ( 女) f ( t ) 8 2 1 ，占 0 是已知常数，是 相应维数的单位矩阵。 ( 4 ) 矩阵多胞型结构不确定性，即存在已知矩阵e r ”，未知参数 c ( t ) ，使得 鲋( 七) = 窆( ) e ，三( t ) s i 或m ) h ，f = 1 ，2 ，j i t i 其中，量，i 和均是已知常数。 2 2 离散系统l y a p u n o v 稳定性理论 2 2 1 稳定性概念 我们考虑由差分方程描述的离散时间系统 x ( k + 1 ) = 厂( x ( 七) ，k ) ( 2 - 6 ) 其中，k i = h + i l i = o ，l ，2 ，； o ，z ( 七) r “，( x ( t ) ，| ) ：r ”i 寸r 一。假设 对于每个r ”及对每个初始时刻h - o ，力- n ( 2 6 ) 有唯一解x ( 七；，厅) ，且 x ( o ；x o ，= x o 。我们假设，对于所有k i ，f ( x ，七) = 工成立的充要条件是 工= 0 ，因此，方程( 2 6 ) 有唯一的平衡点x ：0 。 定义2 1 习离散时间系统( 2 6 ) 的平衡点x = 0 称为是稳定的，如果对于 任给的f o 及任何非负整数厅，g 在8 = 8 ( c ，厅) o ，使当j i x o l l 0 ( 与 和无关) 及一r ( s ) o ( 与 无关) ，使得当i i x o l i o ，存在一个占( 占) o ，使得恢i i 0 ( 与h 无关) ，使得当l i x o l i 0 ，任何f 及h r + 存在r ( 占，口) ( 与h 无关) ，使得当 i i x o l l 0 ，并对任何p 0 ，存在( ) ，使得j l x o l i 时，有 i i x k ；x o ，h ) l l - t o 成立。 以上关于稳定性的概念均是l y a p u n o v 意义下的。 2 2 2 稳定性理论 考虑非线性定常离散时间系统 x ( k + 1 ) = ，o ( 七) ) ，k = 0 ，1 ，2 ，( 2 - 7 ) 并且假设厂( o ) = 0 ，即工= 0 为其平衡状态，我们有下面定理。 定理2 2 【6 3 1 对于离散时间系统( 2 7