（应用数学专业论文）两类时滞微分系统正平衡点的稳定性与全局hopf分支.pdf

中 文 摘要 中文摘要 在动力系统中，时滞是不可避免的。在物理学，生态学，流行病学，社会经济 学等许多学科中提出了大量的具有时滞的微分方程模型理解这类模型的动力学性 质具有非常重要的意义分支理论是时滞微分系统的一个重要问题，本文研究分支 理论在时滞微分系统中的应用，主要讨论时滞微分系统的分支周期解在局部和大范 围内的存在性亦即讨论局部h o p f 分支和全局h o p f 的存在性 首先，我们介绍了时滞微分方程的发展和应用，分支及分支周期解的研究和发 展介绍了关于局部n o p f 分支和全局n , , p f 的预备定理，这些是本文的理论基础 其次，本文研究了一个二阶具时滞捕食一食饵系统，给出了该系统正平衡点的 稳定性和局部h o p f 分支，并结合一般泛函微分方程的全局h o p f 分支理论，研究 了该系统的全局h o p l 的存在性 最后，本文研究了一个三阶乳糖正负调控网络模型，讨论了系统的正平衡点的 稳定性和局部h o p f 分支，并结合一般泛函微分方程的全局n o p f 定理，给出了该 模型的全局n o p f 分支的存在性条件 关键词：时滞；稳定性；局部h o p f 分支；全局h o p f 分支；周期解 英文摘要 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h es t a b i l i t ya n dg l o b a lh o p fb i f u r c a t i o no fd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h e r ea l - ean u m b e ro fr e t a r d e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si np h y s i c s e c o l o g y e p i d e m i o l o g y , s o c i a l - e c o l o g ya n dm a n yo t h e rf i e l d s ，s ot h a ti t i si m p o r t a n tt or e a l i z et h e d y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h e s em o d e l s b i f u r c a t i o nt h e o r yi sa ni m p o r t a n tp r o b l e mi nd i f - f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hd e l a y 。 f i r s t ，t h et h e o r i e so fl o c a lb i f u r c a t i o na n dg l o b a lb i f u r c a t i o nw e r eg i v e n ，w h i c ha l e t h eb a s eo ft h i sp a p e r s e c o n d ，as e c o n do r d e rd e l a y e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw d i s c u s s e d t h ec o n d i t i o m s o ft h ee x i s t e n c eo fe q u i l i b r i aa n dl o c a lh o p fb i f u r c a t i o nw e r eg i v e n ，f u r t h e r ，w es t u d yt h e e x i s t e n c eo fg l o b a lh o p fb i f u r c a t i o n a tl a s t ，w es t u d i e dt h es t a b i l i t ya n dl o a c a lh o p fb i f u r c a t i o af o rat h r e e - o r d e rl a c o p e r o nr e g u h t o r yn e t w o r k sm o d e l c o m b i n gt h eg l o b a lh o p fb i f u r c a t i o nf o rg e n e r a lf u n c - t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fg l o b a lh o p fb i f u r c a t i o n k e y w o r d s ：d e l a y , s t a b i l i t y , l o c a lh o p f b i f u r c a t i o n ，g l o b a lh o p f b i f u r c a t i o n ，p e r i o d i c s o l u t i o n s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得岛缎耢或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名确若 签字日期： 7 年垆月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解彩缎必芬有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅n 本人授怒劳软芡芬可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名荔雹芬芝厂 导师签名 签字日期： 矿7 年伊月，p 日 工作单位：蒴柳易 通讯地址：细匆毛捌争 9 冶岖 电话：疗 7 ，；8 。7 z 邮编：? ，弘舻护口 第一章绪论 第一章绪论 本章主要介绍时滞微分系统的发展及研究，日叩，分支的研究现状 1 1 时滞微分系统的发展及应用 在自然科学、工程技术，社会科学中，许多学者提出了大量的时滞微分方程 如，航天技术、神经网络，生态系统，传染病学经济学等大量实际风题的提出， 极大地推动了时滞微分方程的研究与发展，使其成为数学分支上比较活跃的一支：。 时滞微分方程是泛函微分方程中较为简单的一类系统，其形式规范整洁，和经 典的微分方程种种性质比较接近，所以其理论体系较其它类型的泛函微分方程更为 完整 严格地说在动力系统中，时滞是不可避免的如在生态系统中。个种群量的 变化，整个系统需要经过一段时间才能显示出受到这种变化的影响一般来说，常 微分方程是时滞微分方程的一种近似描述如果略去滞量不改变系统动力系统解的 性态，这时用常微分方程描述动力系统已够精确了。可以忽略其中时滞的影响如 果忽略滞量便达不到必要的精确度，甚至导致错误的系统或者不考虑滞量就无法建 立合理的数学模型此时，需要用一系列新的概念和方法去直接研究系统解的种种 侄态滞量的大小变化又会对整个系统的性态产生一系列的变化。滞量的影响下， 解的性态如何? 这就成为一个需要讨论的问题 时滞微分方程的一个最简单著名的例子就是人口模型设n ( t ) 为t 时刻的人 1 两类时滞徽分系统正平衡点的稳定性与全局h o p ! 分支 口总数，本地区允许的置大人口数量为p 0 ，人口的增长率为r = m n ，其中m 为出 生率，n 为死亡率，它们都是时间t 的函数1 7 9 8 年，英国人m a l t h u s 建立了最 简单的人口增长模型 ，( t ) = r n ( t ) ，( 1 1 ) 从( 1 1 ) 得出了人口按几何级数增长的结论显然( 1 1 ) 存在明显的不足，因为 人口数量不会趋向无穷大1 8 3 8 年，p f v e r h u l s t 改进了( 1 1 ) 式。引进了类似与 电感器产生阻抗的生物反馈因子( 1 一等) ，得到了( 1 1 ) 的修正式 5 r ( 归州( 1 一等) ( 1 2 ) 而考虑到妊娠期及其它因素的滞后作用。e m w r i g h t 给出了比( 1 ，2 ) 更为精确的 时滞微分方程 脚) _ r 删1 一掣) ， ( 1 3 ) 一般地有 ( d = n ( t ) f ( n ( t r ) ) ，r 0 ，( 1 4 ) 其中n ( t ) 不仅依赖于t r 时的种群数量，而且由t 时刻以前的整个历史时期中的 种群数量决定由于各个历史时期的种群数量对t 时刻种群数量增长的影响不尽相 同。因而对总体的影响可以通过积分来解决，得到具分布时滞的生态方程 ( t ) ：( t ) ，+ 。( 一r ) ) p ) 如，( 1 t 5 ) j o 其中p ( u ) 是概率分布函数，也称作核核通常有两种弱核函数 p ( u ) = k e 一“ 2 第一章绪论 强核函数 且 成立 p ) = k u e 一” ”p ( 。) 出 j 0 从上面可以看出，时滞微分系统比常微分方程复杂，更能精确的描述动力系统 的状态因而研究这类系统比常微分方程更具有一般性本文研究的时滞微分系统 是f d e 中相对简单的一类系统。其中的滞量是常数 实际应用中，人们关心时滞对方程解的性态的影响，比如说- 滞量在什么范围 内，不改变解的稳定性，周期性在本文中，我们主要关心时滞对解的性态在局部和 大范围内的影响我们研究了一个生物种群模型和一个分子生物学模型在生物活 动中，时滞的影响是学者们非常关心的问胚自从文献【2 1 】发现时滞会破坏l o g i s t i c 模型正平衡点的稳定性并引起周期振荡以来，已有大量的文献研究时滞对生态模型 平衡点稳定性的影响研究结果表明，一些时滞影响平衡点的稳定性，而另外一些 则不影响目前有许多专著对时滞系统作了全面的阐述，如 1 , 3 ，6 ，7 ，8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 近 年来学者们关注时滞生态系统的周期解的存在性和稳定性【4 ，8 ，1 4 ，1 6 ，2 4 ，3 4 ，4 0 ，持 续生存性【5 ，1 5 ，4 0 】，最优控制以及分支问题f 3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 1 ，特别在种群动力学中， 有许多丰富的结果 2 , 3 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 5 3 4 ，3 6 】 3 两类时滞徽分系统正平衡点的稳定性与全局h o p 分支 1 2 分支与分支周期解的研究与发展 分支是动力系统理论中的一个重要问胚，它反映流的拓扑结构随参数的变化 而引起的质的变异，在理论和实际应用中都有较大的意义一直是学者关注的问 题，甚至可以追溯到p 叫n c o 一时代对分支的研究在早期主要集中于由常微分方程 ( o d e ) 所确定的连续动力系统的分支上特别是集中于平面上退化程度不高的 分支上，而对于时滞微分系统( 泛函微分方程f d e ) 的分支研究，开始较晚，广度和 深度不如常微分方程 与o d e 只含未知数及其导数在时刻t 当时的状态不同， f d e 的一个明显的 特点是。它不仅依赖于未知函数在时刻t 当时的状态，还依赖于未知函数在过去的 状态，甚至未来的状态这使得f d e 和o d e 的分支现象有时存在很大韵不同例 如，考虑下面简单的含有参数卢 0 的o d e 1 7 ，1 8 ，加】 ( t ) = p 一( 幻，z r ，p 。r +( 1 ，6 ) 以及有限时海r 0 的时滞微分系统 ( t ) = p z 2 “一r ) ，z r ，p 兄+ ( 1 7 ) 可以证明。对p2o ，z = 士柞是方程( 1 6 ) 的奇点。当p 0 时，奇点= 以是稳 定的z = 一面是不稳定的p = 0 时，奇点z = 0 是不稳定的 但是对于方程( 1 7 ) ，虽然对任意的弘o , x = 士面也是奇点，但是它的解在奇 点附近的拓扑结构却发生了很大的变化一个突出的差异是。当 芦：_ k ：塑芸丝，k ：o 1 2 芦2 _ k 2 _ 孬广，口2 u l z 4 第一章绪论 时，方程( 1 7 ) 存在h o p l 分支，而且奇点z = 扫当0 0 和r f d e ( l ( a ) ) 的特征根a ( a ) ，当 0 ，函数a ( a ) 冗。( 口) 昱， 当l a i 0 成立则系统( 2 1 ) 存在惟一的正平衡点 f ( ，旷) 其中 儿肋。= 竿 令z 1 = z ( t ) 一矿，y l = y ( t ) 一旷 则系统( 2 1 ) 可化为 则系统( 2 2 ) 在平衡点( 0 ，0 ) 处的一次线性近似方程为 1 2 ( 2 2 ) 婶四0 订 “ 一 k 卅 伪 + + = = 0 p 矗 必 第二幸 一类时滞捕食一食饵系统的稳定性及全局三o p 分支 其特征方程为 a 2 + k a + f 旷e 一打 ( 2 3 ) ( 2 3 ) 引理2 1 若条件( p ) 成立。方程( 2 3 ) 在r = r n 时存在一对简单的纯虚根 = 士l ，其中 p = 击( m 面菩垦两+ 加毗n = 0 , 1 , 2 - - - 蛐= ( 塑型丝等型p 证明令a = 妇 o ) ，由( 2 3 ) 式可知 一u 2 + 6 z 叫i + i c x 旷( c 0 8 t ( d i s i n r u ) = 0 分离实部虚部可以得到 所以有 因为 护= f 口y * c o s r w k u = f 旷s i n r o j u 4 + 6 2 工_ u 2 一1 2 z 旷2 = 0 铲z + 2 0 ，1 2 c 2 z ”， 0 1 3 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 0 呵 一 ， 0 一 “ 一 妇 o 水 慨 = = 五 以 ，_i_j【，_i 第二章 一类时滞捕食一食饵系统的稳定性及全局h o p f 分支 引理2 2 横截条件 ! 墨型二! j 证明：对方程( ) 两边求导- - 0 2 , 3 2 a 掣t i t + h 掣d t + l 。p e “( 一 一r 坐d t ) = 。 、， 所以一 生苎盟： ! ! 竺：! ：! ：竺 d r 2 a + k 一z r 口扩e h d a ( r ) _ 一k a o l c z y 。( t ；l d 0 一ts i nr “o ) 1 f 1 7 = r “2 1 五再面；一 = w o 1 c x * y * s i n r n w o - t - k a o 1 c x * y * 。c o s r n w o 一 d z 一r l c x 旷c o st n w o + z ( 2 u o4 - r “f o 旷s i n t n u o ) 所以；! 挚i 。，n = 去伽。口圹s i n r u o ( b x 一r n l c x 妒。c 0 8 r “) + 岫f 凹。旷c 曲r “u o ( 2 【咖+ ，l x y s i n r “u o ) 其中 a = ( k 一r ”f 口旷0 0 6 t “岫) 2 + ( + r “z ，旷s i n r ”蛳) 2 联系( 2 4 ) 有 坐堡d ! r 盟i ，。n = 五1 帅2 k 一r n 磊) + 碥( + r n k 啪) 】 = 去( 嵋一r 3 k + 础+ 妇。埘) = 去( u 3 护z 。2 + 础) 0 所以。引理2 2 得证 引理2 3 当条件( p ) 满足时，存在一实数列t n n = 0 ，1 2 使得r n + l t n ， 其中。 r n = 击c a r c c o s 蒜+ z 州，n = 。 z 两类时滞微分系统正平衡点的稳定性与全局日o 分支 则有( 1 ) 当r ( 0 ，一) 时，方程( 2 3 ) 所有的根具有负实部 ( 2 ) 当r = r o 时，方程( 2 3 ) 有一对简单的纯虚根。其余根具有严格负实部 ( 3 ) 当r r o 时，方程( 2 3 ) 至少有个根具有严格正实部 应用引理2 3 和h a l e ，z ，【4 】的第十一章定理1 1 ，得到系统( 2 1 ) 零解的稳定性与 分支定理； 定理2 1 当条件( p ) 成立。系统( 2 1 ) 有 ( 1 ) 当r = r “，n = 0 ，1 ，2 时，系统( 2 1 ) 有日。分支 ( 2 ) 当r p 时，系统( 2 1 ) 的零解渐近稳定 ( 3 ) 当r r “时，系统( 2 1 ) 的零解不稳定 1 6 第二幸一类时滞捕食食饵系统的稳定性及全局h o p f 分支 2 2 全局日叩，分支的存在性 我们知道在r = r “时，从正平衡点( 矿，旷) 处会分支出小振幅的周期解这些 周期解只是在分支值的小邻域内存在，是否在大范围内( 21 ) 的周期解存在? 亦即 全局h o p f 分支的存在性这里主要参考1 3 6 ) ，相关概念参考【3 3 ，3 5 ，3 7 ，3 9 】 首先，记系统( 2 1 ) 为 = f ( 盈，f ) ：= ( ，) r ，魂( 口) = ：0 - t - 口) c ( 【_ r ，o j ，且2 ) 系统( 2 8 ) 有平衡点 ( 2 8 ) 而：( o ，o ) 丁，而：( 。6 ，o ) t ，：( 卢，竺三塑) r 记x = c c l - ， ，o l ，丑2 ) ，= d ( z ( d f ，力x r r + ：z ( t ) 为( 3 1 ) 的p 一周期 解 ，n = 忙，f ，】- ) ：f ( j ，f ，刃= o ) 设f 0 。，r ”，篝) 是e 中通过点( ，p ，等) 的连通分支，则有定理2 1 知s z ( ，r “，等) 非空，7 n9 蛐分别由( 2 6 ) ，( 2 7 ) 定义 引理2 4 若条件( p ) 成立，则( 2 1 ) 的所有周期解有界 由 1 5 】知引理3 1 成立 引理2 5 若条件( p ) 成立，则( 2 1 ) 没有非平凡的r 一周期廨 证明若( 2 1 ) 有一周期解，则 r i 一( t ) = z ( ) 0 一妇( t ) 一钮( t ) ) ( z 9 ) i ! ，( t ) = 垮( t ) 扛( ) 一口) 有非平凡的周期解，而系统( 2 9 ) 有平衡点( 0 ，o ) ，( a 6 ，o ) 在坐标轴上，正平衡点 1 7 两类时滞徽分系统正平衡点的稳定性与全局h o p f 分支 ( 口，! 半) 在第一象限，由( 2 9 ) 解的唯性及在第一象限关于正平衡点的全局吸引 性【1 5 l 易知( 2 9 ) 没有非平凡解，故假设不成立因此引理2 5 成立 定理2 2 若条件( p ) 成立。则当n 1 时，对每个r p ，系统( 1 1 ) 至少有 n 一1 个周期解其中y n 由( 2 7 ) 定义 证明系统( 1 1 ) 在平衡点j = ( 2 1 , ；2 ) r 2 特征矩阵为， ( j r ，p ) n ) = k i d d ，( j ，f ，乒) ( e 1 旧 ，r ，c a ，= ( 1 一口+ 了1 + c i - 2 。+ ：。手) 。- 。， 由文【3 7 】中定义，当f ( z ，而，f 和( i f ，f ) ( 譬i ) 时，称( j ，f ，刃为系统( 2 8 ) 的中心 d 矗( 1 ，r ，p ) 似) = 似一口) n - t - 卢f ) = 0( 2 1 1 ) 妣( 三2 r ，p ) o ) = o + 口) n + 倒) = 0( 2 1 2 ) 方程( 2 ，1 1 ) ( 2 1 2 ) 没有纯虚根，因此系统( 2 8 ) 没有形如( 手，l p ) 0 = 1 ，2 ) 的中心 由引理2 1 的证明知 歪 o ，j 0 和光滑曲线a ( r ) = ( p 一最r “+ 6 ) + c 使对任意r ( r ”一6 r “+ 毋有n ( r ) ) = 0 ，i a ( r ) 一内i 0 于是对r 0 ，系统( 2 8 ) 除孤立中心( ，t n ，p ) ( n = 0 1 ，2 ) 外无其它中心令 q 。，酱= ( ( 叩，p ) ：0 叩 日i p 一等l 5 ) 则当 - - t t t s 占且( 叩，p ) a n 等时 ( 加，p ) ( ”了2 7 1 t ) = o 1 8 第二章 一类时滞捕食- 食饵系统的稳定性及全局h o p f 分支 的充要条件是 q ：0 ，r ：p ，p ：空 帅 由上面的讨论，文【3 7 】中的条件( a 1 ) 一( t ) 均成立进一步，若定义 矾z ，r n ，筹) ( 7 , 计( 一r “士6 , p ) ( 叶驾p ) u 0 则有横截数 7 ( ，t r “t 等) = d e g s ( h - ( z ，, r n ，等) n 等) 一d e g b ( h + ( z ，p ，等) ，n 皤) = 一1 则当( i ，f ，声) 为系统( 2 8 ) 的孤立中心时，有 7 ( i f ，劫 o ( i = 1 ，2 3 ) ，氐 o a = 1 ，2 ，3 ) ，r 0 ，0 o o = 1 ，2 ，3 ) 系统( 3 1 ) 在何处经历h o p f 分支? 解的结构如何随滞量的变化而变化? 文f 1 2 1 中没有给出结果本章我们主要考虑系统( 3 1 ) 的正平衡点的稳定性和n a p f 分支， 并在此基础上研究全局日印，分支的存在性 3 1 正平衡点的稳定性与日印，分支 引理3 , 1 系统( 3 1 ) 存在惟一的正平衡点 证明由系统( 3 1 ) 可知平衡点满足下面的方程 再糯l + a r l z = o ， 口2 z 一幻z p = 0 ， a 3 z y r 3 ：= 0 由上面方程的第二式解得z = 0 或= 舒，现将z = 0 代入方程组的第一式，显然 p ，= 没有正实数解，故z = 0 舍去将，= 鼍代入方程组的第三式可得z = 鲁署， 第三章一类乳糖正负调控网络模型的全局h o p f 分支 再代入组的第一式可得 高- t - 蔷笔c l z = 堑q 2 a 3 ( 3 。) 七 h ( 薏p + 7 r 一7 由于方程( 3 2 ) 的左端是z 的递减函数，且趋于0 ，右端是z 的增函数，因此( 3 2 ) 存在惟一的解：= 矿所以系统( 3 1 ) 存在惟一的正平衡点 从引理3 1 可以看出，系统( 3i ) 的参数不改变系统( 3 1 ) 正平衡点的个数因 此系统( 3 1 ) 不可能产生稳定性开关现象 系统 设( r ，矿，) 是( 3 1 ) 的惟一平衡点，则得到( 3 1 ) 在( 矿，旷，) 处的一次近似 塞= 一r l z + a y ( t r ) 一b z ( t f ) ， 窑= 一6 2 r y ， ( 3 3 ) 害= a 3 y * z a 3 。y r a y 其中 a = 丛氆错赫错劳f 咝 b = 销善蜷辫 方程( 3 2 ) 的特征方程是 ( a + b z ) ( 协+ r 1 ) 协+ i - 3 ) + b a a y e 一1 7 ) = 0 ( 3 4 ) 对于特征方程( 3 4 ) 有 = 一k 矿 曼铲成立，则方程( 3 5 ) 没有纯虚根 ( 皿) i 3 o ) 代入( 2 3 ) 可得 + ( r l 4 喇- r 3 + 警 r w - - i 妞r 炉。 整理可得 平方相加得 挈( ：0 8 7 o j = u 2 t l r 3 ， ( r l + r 3 ) 叫= 星甓纽s i n ( 3 6 ) u 4 + ( 砖+ 嵋) + 砰嵋一( 口口2 d 3 幻) 2 = 0 ( 3 7 ) 因为r + 嵋 0 故当r l r 3 旦垆时，方程( 3 7 ) 没有正实根，从而( 3 5 ) 没 有纯虚根而当r l r 3 0 酊 证明对( 3 5 ) 两边对f 进行求导 所以 下2 a d a ( 7 ) + ( r t + r 3 ) 掣+ 警e 咖一r 掣) _ o = 面再可；鬲a ，b ) 如a 2 】a c 3 ；芒雨：i 石 2 3 两类时滞微分系统正平衡点的稳定性与全局h c r p f 分支 因此 ! 笋，。“ 其中 所以 = 占i 压石干i 百；哥c 品b a 3 ，a 。业+ t i 而五再可= ；：可丽百 = n i 再i 千再了磊i ；孑鬲= = 互鬲；i 五百i i 而b 。爿a 2 。a 2 3 d 3 ) i + 【2 圯。k f 。+ 。2 r 1 + 巧) 5 l n - r 。p = 击b a 2 a 3 w o i ( m 一n m 皇6 2 ( 7 i + r s ) c 岫r “一2 b 2 w os i n w o r n t n b a 2 a 3 n = 2 6 2 w oc o s “o t ”+ k i + 3s i n w o t n 。 d ：舻+ n 2 1 i 譬盟，；，一= 击日n 2 a 3 w o n = 由口口2 口3 u 0 2 b 2 岫c 啪r “+ 6 2 ( r 1 + r s ) s i n u o r “ = 古b 幻。3 u o ( 2 6 2 “，o 竺i ；暑乎堕+ b ( r 1 + r 3 ) 蔓唔：；：磐) = 击啦( 2 b 蛳( 胡一r l r 3 ) b 2 + 磋( r l + r 3 ) 2 “向) = d 1 w 0 2 碹( 2 磊一r l r 3 + ( r l + r 3 ) 2 ) = d 1 w 0 2 吃删0 2 + r + 嵋+ r l r 3 ) 0 所以横截条件成立 引理3 4 【1 甜设f ( a ，r ) = a 2 + 8 a 舶a e 打+ c + d c 一打，其中d ，b ，c ，d ，r r ，r 0 ， 当t 变化时。，( ，r ) 在平面上零点之和发生变化当且仅当所有零根穿过虚轴时 引理3 5 ( 1 ) 当条件( 研) 成立时，对所有的r 0 ，方程( 3 5 ) 的所有根具 有严格的负实部， ( 2 ) 当条件( 现) 成立时，有 2 4 第三章 一类乳糖正负调控网络模型的全局h o p f 分支 ( o ) 当r 1 0 ，r 0 1 时，方程( 3 5 ) 的所有根具有严格的负实部 ( b ) 当f = r o ，方程( 3 5 ) 除简单纯虚根士峋t 外其它根皆具严格负实部 ( c ) 当r 一”，r ”1 ) 时，方程( 3 5 ) 有2 ( n + 1 ) 个具严格正实都的根 证明当r = 0 时，方程( 3 5 ) 为 a 2 + ( 7 l + r a ) a + ，1 r 3 + b 1 a 2 一a 3 = 0 ( 3 1 0 ) 叫 当r 1 + r 3 0 ，n r 3 + 星 0 时，( 3 1 0 ) 只有两个负实根或两个具负实部的复根。 由引理3 1 3 3 知，随着时滞的增加，特指根仅从负半平面穿越虚轴到正平面，又 由于当t = 0 时，系统( 3 2 ) 是渐近稳定的，所以引理2 4 成立 根据h a l e ，d 2 2 】第十一章定理1 1 ，把引理2 4 应用到系统( 3 2 ) ，得到( 3 2 ) 的零解 稳定性与分支定理 定理3 1 ( 1 ) 当条件风满足对所有的r 0 ，系统( 3 2 ) 的零解渐近稳定 ( 2 ) 当条件丑2 满足时，有 ( a ) 当r o ，r o 】时系统( 3 2 ) 的零解渐近稳定 ( 当r r o 系统( 3 2 ) 的零解是不稳定的，且( 3 5 ) 总有一根a = a + 印 使得a 0 ( c ) 系统( 3 2 ) 在r = r “= 0 1 ，2 ) 时有n o p l 分支 两类时滞微分系统正平衡点的稳定性与全局h o p f 分支 3 2 全局i - i o v f 分支的存在性 将系统( 3 1 ) 记作 ，= f ( ， r ) ( 3 1 1 ) 其中f = ( z ，弘z ) 7 ，f d e ) = f ( t + 口) c ( 【_ f ，o 】，r 3 ) 系统( 3 1 1 ) 有平衡点( o ，口，o ) 和 ( 矿旷，z ) 其中1 + o 口= 0 记 x = c ( 【- r ，o 】，r 3 ) = 甜( ( ，( t ) ，r ，p ) xx 凡矿：f ( t ) 是系统( 3 1 1 ) 的p 一周期解 = ，( f ，芦) ：f ( ，f ，乒) = o 设f ( 广，r “，等) 是中过点旷，p ，等) 的连通分支由定理3 1 知e c p ，r n ，寒) 非 空，其中，p 分别由( 3 ，8 ) ，( 3 9 ) 定义 引理3 6 当r = o 时，系统( 3 1 ) 的惟一正平衡点( 矿，旷，) 是全局渐近 稳定的 证明当r = 0 时，系统( 3 1 ) 变成下面的系统 害= 丽1 4 a l l 2 ：s c 币t 鲁= o , 2 x k 印 害= d 3 叫一r 3 z 由( 3 1 1 ) 的第二式可得，当e 一+ 时， u 一极限集位于平面”= 嚣上特别的 ( 3 1 1 ) 显然有v ( ) 一鼍所以系统( 3 1 1 ) 的所有 当= 嚣时，系统( 3 1 1 ) 转化为 卜尚为- n 叠- f 巩 ( 3 1 2 ) i 害= 蛩。一r 3 z 垒g o ，z ) 鬟+ 五o g ：一( r l + r 3 ) o 一 瓦十瓦2 一l 7 1 十7 3 j 第三幸 一类乳糖正负调控网络模型的全局h o p f 分支 则由d u l a c e 定理可得系统( 3 1 2 ) 不存在周期解故系统( 3 1 ) 的惟一正平衡点就是 系统( 3 1 ) 的全局吸引子又由于系统( 3 1 1 ) 的惟一正平衡点是渐近稳定的，所以 这惟一的正平衡点( 矿，旷z ) 是全局渐近稳定的 。 由引理3 6 可以得到如下引理 引理3 7 系统( 3 1 ) 没有非平凡的r 一周期解 定理3 8 如果条件 c 凰，崭端需 成立，其中 一) - 嵩褊一垆而蔷 则系统( 3 1 ) 的惟一正平衡点是全局渐近稳定的 证明首先考虑下面的系统 卜褊一郴， 暇 【害= 警z 一啊 显然系统( 3 1 3 )