（运筹学与控制论专业论文）半线性板方程的一类能控性问题.pdf

摘要 本文是对于半线性板方程的一类能控性问题的研究，半线性板方程是有深刻物理背 景的系统，长期以来受到许多数学家及物理学家的关注在这方面已取得了一些结果， 其中包括这类系统的适定性结果及一些零散的能控性结果作者是在前人的基础之上， 研究了一类能控性问题，并取得了一些结果 全文大体分三章： 第一章我们大体介绍了本文用到的结果及这类系统边界控制问韪的相关已知结果， 另外我们还介绍了我们在后面证明中用到的一个关键的定理 第二章讨论了半线性板方程单变量边界精确能控性问题首先我们把方程转化为抽 象方程，并在抽象系统的框架下，结合【1 1 中定理，把原系统的能控性问题转化为其线性 化系统的对偶系统的一个能观性问题得到了我们想要的结果 第三章讨论了半线性板方程n e u m a n n 边界精确能控性结果大体方法类似于第一章 的处理手法，但这一问题讨论的难度及讨论的必要性显然要比第一个问题大的多因为 这一边界条件显然来的更自然一些 关键词t 半线性板方程，精确零能控性，n e u m a n n 边界问题，单变量控制问题 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rak i n do fc o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e m sa b o u ts e m i l i n e a rp l a t ee q u a - t i o n ，w h i c hh a sp r o f o u n d l yp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dh a sb e e np a i dm u c ha t t e n t i o nb ym a n y m a t h e m a t i c i a n sa n dp h y s i c a ls c i e n t i s t sf o ral o n gt i m e t h e r eh a v eb e e ns o m er e s u l t si nt h e s e a r c hf i e l di n c l u d i n gp r o p e r t i e sa n ds o m ec o n t r o l l a b i l i t ya b o u tt h i ss y s t e m b a s e do nt h e s e r e s u l t sw es t u d yak i n do fc o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e m sa n do b t a i ns o m es a t i s f y i n gr e s u l t s t h ep a p e r i sc o m p o s e do ft h ef o l l o w i n gt h r e es e c t i o n s i ns e c t i o nl _ w eg e n e r a l l yi n t r o d u c et h ek n o w nc o r r e l a t i v er e s u l t sa b o u tt h ep r o b l e m so f b o u n d a r yc o n t r o u a b i l i t y a n dw e r e f e rt ot h ek e yt h e o r e mw eu s ei nm y p a p e r i ns e c t i o n2 ，w ea n a l y z ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e ma b o u ts e m i l i n e a rp l a t ee q u a t i o nw i t h o n e - v a r i a b l eb o u n d a r y a tf i r s t lw et r a n s f o r mt h ee q a t i o n si n t ot h ea b s t r a c te q u a t i o n ，u n d e rt h e f r a m e w o r ko fa b s t r a c te q u a t i o n s ，c o m b i n i n gt h et h e o r e m si n 1 1 w ec o n v e r tt h ec o n t r o l l a b i l i t y p r o b l e m s i no r i g i n a ls y s t e m f i n a l l yu s i n gt h em e t h o di n 【8 1 ，w es t u d yo b s e r v a b i l i t yp r o b l e m sa n d o b t a l nt h ed e s i r e dr e s u l t s i ns e c t i o n3 ，w ea n a l y z et h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e ma b o u ts e m i l i n e a rp l a t ee q u a t i o n w i t hn e u m a n n - b o u n d a r y t h em a r t i n g a l ei ss i m i l a rw i t ho n eu s e di ns e c t i o n2 o b v i o u s l yc o m p a r e dw i t ht h ef i r s tp r o b l e m t h ed i f f i c u l t yi sm u c h l a r g e r ，a n di ti sp r e t t yn e c e s s a r yb e c a u s et h i s b o u n d a r yc o n d i t i o ni sm o r es p o n t a n e o u s k e y w o r d s ：s e m i l i n e a r p l a t ee q u t i o n ，e x a c tz e r 0 - c o t r o l l a b i l i t y ，n e u m a n n - b o u n d a r yp r o b l e m ，o n e - v a r i a b l ep r o b l e m i i 独创性声明 本人声明；所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表的研究成果， 也不包含他人为获得东北师范大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 签名： ! 垫犟 f1 日期 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留、 向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的 全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复印手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：电话 通讯地址：邮编 指导教师签名：址 日期：壁点。：1 0 第一章引言 在这一部分里我们主要介绍以前有的结果及在我们以后讨论中用的一个主要定理 我们这里讨论的系统是e u l e r - b e r n o u l i 方程( 又叫板方程) 关于e u l e r b e r n o u l i 方程有 很多物理学家和数学家专门讨论过在桥梁建设及板振动方面有着广泛的应用针对半 线性板方程进行了加一个控制变量时及当边界条件是n e u m a m n 边界条件时的两类控制问 题的研究我们运用的主要是 1 】1 中抽象系统的结果以及张旭老师博士毕业论文中的能观 性估计的处理手法 下面咱们就来介绍对于这一问题的一些控制结果 第一部分：相关边界控制结果 首先对e u l e r - b e r n o u l i 系统： f 切t + a 2 w = 0 ，于q i 协( o ，。) = u 9 0 ， 于q w d o ，$ ) = w 1 ， 于q( 1 1 1 ) i = g l ，于【o ，t j a q l 貉= 9 2 ， 于【0 ，卅a n 在文献 2 1 】3 中，l i o n s 给出了当控制9 1 三0 ，9 2 l 2 ( ) 其中e = 0 ，卅a q ，时间t t o ( 某 一充分大的时刻) 时，在三2 ) x 日一2 ( q ) 上的精确能控性结果其后在 2 2 中k o m o r n i k 对蜀做了一些信计，给出了t o 的一个估计其后在【4 j 中，i l a s i e c k a 和r i y i g g i a n i 又 给出了上述系统的下述结果： 令x 三h 一1 ( q ) v ，其中vi ( ，日3 ( q ) if i r = 嚣l r = o ) 也可以写作x = 口 ) ， d ( ) 】其中a s ；2 ，d ( a ) = 日4 ( q ) n 冠；( n ) 而范数定义为恻j 口( a ) = i | 且。圳l ：( n ) ，【口( 4 ) j = i i a x l l l 2 m ) 定理1 1 1 假设区域n 满足几何光学条件，即3 z o 舻使得一z o ) ”c 0 于r 当 t t o ( 可给出一个估计) 时，有v 叫o ， l ) x ，存在一个边界控制g l 工2 ( o ，t ；工2 ( r 、) ) ，9 2 i 0 使得系统( 1 1 1 ) 相应的解满足”z ) = w t ( t ，z ) i 0 定理1 1 2 在上面几何光学条件满足的情况下，当t t o 时，有v w o ，w 1 ) y = 础( n ) h 一1 ( n ) e 口( a j ) 【d ( 4 ；) ，3 9 l 础( o ，t ；l 2 ( r ) ) ，9 2e 0 使得( 1 1 1 ) 相应的解满 足w ( t , x ) = w ( t ，z ) 0 ( 利用插值空间理论还可以得到定理1 1 1 、定理ll ，2 之间的一 个能控性结果) 1 定理1 1 3 在没有上述几何光学条件的情况下，v t 0 ，给定任意一对初值 w o ，”。) x 总存在一对边界控制9 1 l 2 ( o ，t ；工2 ( r ) ) ，9 2 工2 ( o ，t ；h 一1 ( r ) ) 使得系统( 1 1 1 ) 相应的 解满足叫亿。) = 埘( t ，$ ) 三0 事实上，关于上述控制问题还有一些其它结果 对于系统： f “+ 2 u = 0 ，于q l ( o ，o ) = w 0 ，于q w e ( o ，z ) = 1 0 1 ，于q( 1 1 2 ) lt j = 9 1 ，于【0 ，t 】a n i = 9 2 ，于【0 ，列a n 有下面的控制结果： 令v 三 h - 3 ( n ) | h i t = h r = o ) ，a h = 2 h ，d ( a ) = h l 2 ( q ) i 2 h 二2 ( n ) ，h i t = h l r = o ) ，d ( a i ) = y 其它分数次幂的空间在 1 7 】中有介绍 定理1 1 4 没有几何光学条件的情况下。v t 0 给定任何一对初值( w o ， 1 ) 【d ) 】【d ( a ) = 日一1 ( q ) xv 存在一对边界控制g l l 2 ( e ) ，9 2 【h 1 ( o ，t ；l 2 ( r ) ) 】使 得系统( 1 1 2 ) 相应的解满足 ( t ，z ) = w t ( t ，。) ；0 定理1 1 5 没有几何光学条件的情况下，v t 0 ，给定任何一对初值 蛳，u 1 ) d ( a ) p ( a ) 】= 础( q ) - 一1 ( q ) ，存在一对边界控制9 1 【础( o ，t ；l 2 ( r ) ) ，9 2 l 2 ( e ) 使得系统( 1 1 2 ) 相应的解满足”$ ) = ”z ( t ，z ) 三0 ( 我们还可以根据插值空间理论来 导出其它一些空间的能控性) 定理1 1 6任意给定t 0 ，给定任何一对 u o ，w 1 ) ( 日2 ( n ) n 础( n ) 】l 2 ( q ) ，存 在一对边界控制9 lio ，9 2 日 ( 0 ，t ；l 2 ( r ) ) ，使得相应于系统( 1 1 2 ) 的解满足( ? ，= 删( t ，茹) = 0 对于半线性系统有下面的结果t 首先，对于 i “+ 2 w = ，( ) ，于q lt ，( o ，z ) = 钟o ，于n u ( o ，z ) = 1 ， 子q( 1 1 3 ) i = u l ， 于【o ，卅a n i a w = “2 ，于( 0 ，明xa q 其中f ( t ) ：r - _ r 满足下面条件：，7 绝对连续并且i ，( r ) i + l ，( r ) i c ，有下面的结 果； 定理1 1 7 令v t o ，d i m f 2 3 给定任何一对初值 o ，1 ) ( 日2 ( q ) n 硪( n ) ) x 铲( n ) ，存在一对边界控制t 1 日m ( m 可以为任意整数) u 2 月r l ( o ，el 2 ( r ) ) 使得系统 2 ( 1 1 3 ) 相应的解满足( t ，。) - 姚。) ；o ，( 这一结果参考【1 】) 对于n e u m a r m 边界情形，即对于系统： fy t t + a 2 y + p g 十f ( v ) = 0 ，于q l ( o ，。) = y o ， 于n y d 0 ，z ) = y l ，于q( 1 1 ，4 ) l y = 0 ，于e ；【0 ，列x 勰 【鲁= 母x 。，于i o , t 】o q 其中是控制，e o 是满足几何光学条件的那部分边界在 1 9 中w e i j i ul i u 给出了下面 结果： 假设( h ) ：，( ) 宁 ) 且，( 0 ) = o ，假设存在常数 o 和p l 使得l ，b ) ls m 川9 ，y 咒其中当1 ns4 时，l p 0 和q ( ) l o 。( 0 ) ，则存在一个常数c o 0 使得 e ( t ) e ( s ) e c o ( ”，v t ，s f 0 ，t 】， 其中r = i q l l a ( q ) ，昱( t ) = l “，) 睦：( n ) + ( t ，) l b ( 且t 2 ) ) f ( n ) 而g c ( o ，t ；l 2 ( q ) ) n g l ( o ，t ； d ( 4 1 2 ) 】( q ) ) 为方程( 2 4 1 ) 的弱解 证明：我们采用通常的方法( 取特殊的检验函数，用带e 的c a u c h y 不等式，s o b o l e v 嵌入定理等等) 取检验函数为y 在q 上分部积分得； f a 2 y a - 2 y t 如= 警_ 2 佃一卜矧啊- 2 妇 由于叭i r = 0 所以上式为 一fa u ( v 一2 玑) v d r + f a y a 一1 y t d x = ，雾一1 y t d f 一一f ( v y ) ( v 一1 y t ) d x 。“ ：f 一，f ( 审一l 轨) ：赢+ 觑 2 一，ff ( 审1 轨) 。”刃+ n f y y t 觑 s e n fy t t a - 2 y t d x = i ( 剐矿b “冷 出三! f 瑟瑟淼n 篮1 泌：尝竺 = 一r 一1 材“( v 一2 玑) 一p d r + f 一1 可“一1 玑d 茁 而且( t ) = 北z ) 蚺n f a - 1 y t ( t ，z ) 1 2 d z , 掣= 2 妒t d x + n f a - t y a - 1 蛳8 。) 辛里秘= 2 f q ( t ，z ) y a 一2 y t d xs g ( r ) f y a 2 y t d ：z 茎( r ) 卫_ j 毛一五( r ) e ( ) 辛曼爱生曼o ( r ) e ( t ) = 争e ( t ) e ( s ) e c ( t ，) = e ( s ) e 。( ，n 引理2 4 5 设t o ，0 5 l s o o ，0 5 1 8 0 s ； 凰 0 “o ，s ，z ) ：= y ( z ，z ) d z ，v ( t ，s ，z ) 百，( 2 4 6 ) 其中( ) 为方程( 2 4 1 ) 的弱解则u ( ) 满足： 卜地s + 如= 批，咖如，邺尬，于拿( 2 4 ，) 即u ( ) 满足( 2 4 3 ) 更进一步我们作下面的变换，令： 叫：= 一 “+ i u s + ，( 2 4 8 ) 由( 2 4 6 ) “bio ，v ( t ，s ，) 国因此，我们得到： i w t 一。叫s4 - a w = i ( - i u u + i u 。e4 - a u t ) 一i ( 一i u n + f b 5 4 - t 正j ) 4 - ( 一i a u 4 - i a u s 4 - 2 “) = t 怯4 - 钍8 5 4 - 2 u ( 2 4 9 ) 三y 一沁咖如 州屯季霎 江a 舶， ( b ) 记号： f 靠：= 吾一“t ，：= 吾+ “t ， 仉：= ( 巩，) ( 孔，) q ， 【鼠：= ( 死，) ( 孔，) r o ， 其中k = 0 ，1 ，2 ，r 0 由( 2 4 1 ) 给出，0 印( e l 2 ；将在后面给出进一步我们取 f 妒= ；【i z 一。0 1 2 8 ( t 一吾) 2 一a ( s 一吾) 2 ， ：= a 妒( t ，s ，。) ，( 2 4 ，1 1 ) 1 0 = e l ( t , s , z ) ， 2 ；0 由前面给t t l ，a 为参数( n n 我们适当取) 。且 a = 票 ( 2 t 耻) ( 2 4 5 ) ( 2 4 1 1 ) ( 2 4 1 2 ) 号妒( o ，s ，。) = 妒( t ，s ，z ) ；( r 一! ) = 一鬈 0 使得 妒( t ，8 ，$ ) 一r o ，v ( t ，5 ，z ) ( ( o ，孔) u ( ，t ) ) q 1 5 孔= 吾一l 墨= 吾+ q t 使得t 充分靠近0 或充分靠近t 由( 2 4 1 3 ) 这件事情成立 类似地， p 0 ，s ，。) 0 进一步，任意取定2 ( e l ，) 最后对任意r m ，t 0 和r ( 叫，) 记国( 丁，r ) ： ( r ，f ) ( f ，f ) q ( c ) 现在我们用引理2 ，4 2 ，将引理2 4 2 中的( 2 4 2 ) 式在西( 一t i ) 上积分，其中 庐= o ，妒= ( 一n ) a ，e = l ，r 、0 分别由( 2 4 1 1 ) 给出，w 由( 2 4 8 ) 给出由分部积 分法，注意在雪上成立着v w = v 券和r e w i 。= 0 ，i m w 。= 0 利用( 2 ，2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 及岛 的定义 下面我们分项处理：对于第一项2 0 2 l i w 一i w ，+ a w l 2 我们不动 1 1 ：= 2 ，p 2j 一i 。+ 2 d x d t d s 屯；，萨 4 似+ 墨幻) 莓z l 一2 i 妒+ e t z l ；f 2 一4 - e i z ) 2 一妒2 一妒2 十2 庐z l j j + f “十 0 ( t ，r + 】 j r j& ， ， f s s 】l t j f 2 d x d t d s = ，0 2 【2 ( ( ；一他) a + 扎 ) 2 。- z o l 2 一( ( 一n ) a + n a ) 2 一( ；一n