（计算数学专业论文）解非线性方程组高阶迭代算法的收敛性分析.pdf

中文摘要 求解b a n a c h 空间中非线性方程 f ( x 1 = o 算法问题，一直是数值工作者所研究的问题。迭代法是求解非线性方程的个重要算 法。现在，迭代法的研究日益成为解决各种非线性问题的核心，迭代法优劣的选择直 接影响到各种非线性问题的结果的良好，所以迭代法的研究有着十分重要的科学价值 和实际意义。 在众多迭代法中有经典的二阶收敛的n e w t o n 迭代，三阶收敛的c h e b 3 ，s h e v 迭 代、h a n e y 迭代、超h a n e y 迭代及其变形等。本文主要对一族免二阶导数计值迭代方法 的收敛性及其在k a n t o r o v i c h 条件下的收敛性进行了分析，全文共分五章。 第一章，我们主要对几种迭代方法的收敛性进行了讨论。总结了各种迭代法和它 们的收敛条件及证明各种迭代法收敛的技巧。 第二章，用优序列方法研究了变形c h e b y s h e v 迭代在 r 一条件下的收敛性。同时， 我们证明了此迭代法不但可以避免二阶导数计值而且具有三阶收敛的性质。最后通过 积分方程实例比较了它：f n n e w t o n 法，导数超前计值的变形n e w t o n 法，避免导数求逆 的变形n e w t o n 法的每步误差。 第三章，从带一个参数的三阶迭代族出发，构造了一族免二阶导数计值带两个参 数的迭代族，用其去逼近b a n a c h 空间中非线性算子方程的解。通过运用递归技巧， 给出了这族迭代法三阶收敛的收敛理论。 第四章，我们通过运用新的递归关系的技巧，讨论了在与n e w t o n 法收敛相同 的l i p s c h i t z 条件下，上述迭代族的收敛性，并给出了非线性方程解的存在惟一性的定 理。 第五章，数值例子。 a b s t r a c t t h ea l g o r i t h mp r o b l e mo fs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o ni nb a n a c hs p a c e f ( z ) = 0 h a sb e e ns t u d i e db ym a n yn u m e r i c a ls c i e n t i s t s o n eo ft h em a i na l g o r i t h m si si t e r a t i v e m e t h o d s on o w ，t h er e s e a r c ho fi t e r a t i v em e t h o d sb e c o m et h eh a r d c o r eo ff i n d i n gs o l u t i o nt oa l lk i n d so fn o n l i n e a rp r o b l e m s w h e t h e rt h en o n l i n e a rp r o b l e m sw i l lb es o l v e d w e l lo rn o ti sd i r e c t l ya f f e c t e db yt h ec h o i c eo fi t e r a t i v em e t h o d s s oi ti sv e r yi m p o r t a n t a n dm e a n i n g f u lt od ot h er e s e a r c ho fi t e r a t i v em e t h o d s t h e r ea r et h ew e l l - k n o w ns e c o n d - o r d e rn e w t o n si t e r a t i o n ，t h i r d o r d e rh a h e y si t e r - a t i o n ，c h e b y s h e v si t e r a t i o n ，s u p e r h a l l e y si t e r a t i o na n dt h e i rd e f o r m a t i o n s ，a n ds o o n t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i tm a i n l ym a k e sa na n a l y s i so nt h ec o n v e r g e n c e o faf a m i l yo fi t e r a t i o n sw i t hc u b i co r d e rw h i c hc a na v o i dt h ec o m p u t a t i o no ft h es e c o n d f r e c h e t d e r i v a t i v eu n d e rk a n t o r o v _ i c hc o n d i t i o n s i nc h a p t e r1 ，w es u m m a r i z es e v e r a li t e r a t i v em e t h o d sa n dt h e i rc o n v e r g e n c ec o n d i t i o n a tt h es a m et i m e ，w ea l s op r e s e n tt h et e c h n i q u e si np r o v i n gt h ei t e r a t i v em e t h o d 8 c o n v e r g e n c et h e o r e m i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo fd e f o r m e dc h e b y s h e vm e t h o du n d e r - y c o n d i t i o nb ym e a n so ft h em a j o r a n tm e t h o d m o r e o v e r ，w ef i n dt h i sm e t h o dn o to n l yc a n a v o i dt h ec o m p u t a t i o no ft h es e c o n df r e c h e t d e r i v a t i v eb u ta l s oh a st h ec o n v e r g e n c eo f c u b i co r d e r i nc h a p t e r3 , w ed e r i v et h es e c o n d - o r d e r d e r i v a t n e - f r e ei t e r a t i o n sw i t ht w op a r a m - e t e r sf r o mt h et h i r d o r d e ri t e r a t i o n sw i t ho u ep a r a m e t e rt oa p p r o x i m a t et h er o o t so f n o n d i f f e r e n t i a b l ee q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e w ea l s op r o v i d e dae x i s t e n c e u n i q u e n e s s t h e o r e mb yu s i n gan e ws y s t e mo fr e c u r r e n c er e l a t i o n s i nc h a p t e r4 、f o rt h ef a m i l yo fi t e r a t i o n sw h i c hm e n t i o ni nt h ec h a p e r3 ，w eg i v ea r e s u l to nt h ee x i s t e n c eo fau n i q u es o l u t i o nf o rt h en m f l i n e a re q u a t i o nb yu s i n gat e c h n i q u e b a s e do nan e ws y s t e mo fr e c u r r e n c er e l a t i o n su n d e rt h es t m n el i p s c h i t zc o n d i t i o na sf o r n e w t o n sm e t h o d i nc h a p t e r5 ，w eg i v et w on u m e r i c a lc a s e s 致谢 本文是在我的导师韩丹夫教授的悉心指导下完成的。导师的辛勤指 导和谆谆教诲使我顺利完成学业并在学习上不断取得进步。导师严谨治 学的学风，精益求精的精神和言传身教的作风将使我终身受益。在此， 我向韩老师表示衷心的感谢! 在两年半的求学过程中也得到了王兴华教授、吴庆标副教授、程晓 良教授、朱建新教授、黄正达教授对我的关心和指导，在此向各位先生 致以诚挚的谢意! 同时也深深的感谢曾经关心、支持和帮助我的同学和朋友们，他们 的关心、支持和帮助使我的学习生活愉快、丰富，并促成本文的顺利完 成。 最后，我还要感谢我的父母在这两年半来在生活和学习上给予我 的关心和支持! 第一章综述 设x ，y 同为实或复的b a n a c h 空间，f ：d x y 为非线性算子，求解非线性方程 f ( x ) = 0 ( 1 1 ) 算法问题，已经引起人们的广泛的重视、早在七十年代以前，在理论上和数值解法上 都对它做了大量研究，在o r 七e 9 8 和r h e i l l b o l d t 的书【4 6 与文献 4 7 j 中，已做了较系统介 绍但是，由于非线性方程组求解问题无论在理论上或者解法上都不如线性方程组成熟 和有效对非线性方程组解的存在性及寻找有效的数值方法均存在很多问题，需要进 一步研究与解决因此，很多数值工作者，都从自己的需要或兴趣出发，对它做了不同 角度的研究 在求解非线性方程f ( x ) = o 的问题时，迭代法 茁n 十l = g ( 茁。，p ) ，n = o ，1 ，2 ， ( z 。为向量，g 为非线性算予，p 为参数) 是最重要的最便利的方法歪0 目前为止，几种 有代表性的迭代法有：经典的二阶收敛的n e w t o n 型迭代；实用的1 + 以阶收敛的导 数超前计值的变形的n e w t o n 迭代和导数滞后计值的变形的n e w t o n 迭代；三阶收敛 的h a l l e y 迭代、c h e b y s h e v 迭代、s u p e r h a l l e y ( 也p q n e w t o n 已1 ) j i l 速) 迭代及其变形；四 阶收敛的j a r r a t t 型迭代等等方程( 11 ) 的解的唯一性和各种迭代法的实现性、收敛性、 收敛速度和误差估计是研究方程( 1 1 ) 和各种迭代法的主要内容 n e w t o n 迭代法 o n + 1 = 茁n f 7 ( 。) f ( x 。) ，礼= 0 ，i 一直是求方程( 1 1 ) 最重要的迭代方法三阶迭代法- - h a l l e y 迭代、c h e b y s h e v 迭代、s u p e r h a l l e y 迭代及其变形和四阶j a r r a t t 型迭代及其变形也是比较常用的迭代法它们可以概 括成以下的形式 y 。= 。一f 7 ( 。) 一1 f ( o 。) ， 2 7 n + 1 = 。一妒( s 。) f ，( z 。) 一f ( x 。) ，( 1 2 ) r 1 s 。= f 7 ( z 。) 一1 f ”( z 。+ 口( 可。一。) + a t ( y n 一。) ) d t f 7 ( z 。) 一1 f ( 。) ，0 0 ，1 】，a 0 ，1 】 ( 1 ) 当妒( s 。) = 1 时，( 1 2 ) 式为著名的n e w t o n 迭代法( 1 ，【2 ，f 3 ) ， 4 】) 1 ( 2 ) 当妒( s 。) = l + 去s 。【1 一a s 。r 1 ，n 0 ，1 时， ( a ) s 。= f 7 ( z 。) 一1 f ”( z 。) f ( 。) 一1 f ( ；) ( 1 2 ) 式变为族具有三阶收敛的迭代法( f 5 ， 6 ) 【7 ) ，这族迭代法包括c h e b y s h e v ( a = 0 ) 迭 代法，h a l i e y ( a = l 2 ) 迭代法，s u p e r h a l l e y ( a = 1 ) 迭代法等迭代方法 r 1 ( b ) s 。= f 7 ( z 。) 一1 f ”( 。+ a t ( f 。一x n ) ) d t f 7 ( z 。) 一1 r ( x 。) 1 j0 = f 7 ( z 。) 一1 f f ( 。) 一f 7 ( 。+ a ( 弘；一。) ) 】，a ( 0 ，1 是对( a ) 中迭代法的修正，在这族迭代法中避免了求二阶f r e c h e t 导数，但同时 又保持三阶收敛的速度( 【8 】，( 9 】) 1 ( 3 ) 当l p ( s 。) = 1 + 去s 。【1 8 n 】一1 时， 广1 ( a ) s 。= f 7 ( z 。) 1 f ”( z 。+ 2 3 t ( y 。一x n ) ) d t f ( z 。) 一1 f ( z 。) = 3 2 f 7 ( z 。) 一1 f 7 ( 。) 一f ( z 。+ 2 3 ( v 一x n ) ) 为具有四阶收敛的j a r r a t t 型迭代方法( 1 0 ， 1 1 “1 2 ) ( b ) s 。= f ( z 。) 一1 f ”( z 。+ 1 3 ( y , 。一z 。) ) f ( 。) 一1 f ( 茁。) 也是具有四阶收敛的迭代方法 除了以上提到的各种迭代法外，还有实用的具有1 + 、，j 阶收敛导数超前计值的变形 的n e w o n 迭代法( f 1 3 ， 1 4 】) l = 。一f ( 竖) 一1 f ( 。) ， 。+ 。= z 。+ ，一f 7 ( 半) 一t f ( x n + 1 ) 及 z 。十l = z 。f ( 厶) 一1 f ( z 。) ， 厶+ ，：厶一；f ，( 厶) 一，f ( z 。+ 。) 2 此外还有减少导数计值次数的变形的n e w t o n 迭代法( 1 5 】) x n 十1 = 茹。一f ( z m 七) 一1 f ( x 。) ，扎= m k ，m k + 1 ，m k + m 一1 ，k n 和避免导数求逆的变形的n e w t o n j 基代法( p s i ) z 。+ l = 卫。一a 。f ( x 。) a 。+ 1 = 2 a 。一a 。f 7 ( 茁。+ 1 ) a 。，v n n 等等以上讨论的非线性算子f 是可导算子，若f 是不可导算予，以上迭代方法便不能使 用一种解决方案便是把f 分成两个算子之和，可导部分记为日，不可导但l i p s c h i t z 连续 部分记为g 由此求解非线性方程f ( 茹) = o 变为求解方程日( z ) + g ( z ) = o 那么n e w t o n 迭 代法 z 。+ 1 = 。一f ( z 。) 一1 f ( 。) ，n = 0 ，1 ， 变为 2 ；n + l = z 。一日7 ( 。) 一1 ( h ( x 。) + g 。) ) ，n = 0 ，1 ，2 ，一 对于后者文献【1 6 和【17 都进行了讨论，并建立了收敛理论 自从1 8 2 9 年c a u c h y 研究解方程式的n e w t o n 法起，它的收敛性研究可谓目名繁多，成果 累累，几乎成为了计算数学的研究中心b a n a c h 空间n e w t o n 迭代法的著名收敛性结 果应归功于k a n t o r o v i c h ，他给出的收敛条件为 ( 1 ) 假定f 是b a n a c h 空间x 的一个非空凸集n 到同型空间y 的f r d c h e t 可微算子 ( 2 ) 对于点。o q ，假设f ( 蛳) - 1 存在，且i | f 7 ( ) f ( x o ) i | sn ( 3 ) l i f 7 ( z o ) 一1 ( f 7 ( z ) 一f ( g ) ) | i b | | z 一9 j | ，z ，y n ( 5 ) 一b ( x o , r ) c f 2 舯r ：竿 3 随后，人们主要针对上述条件3 ，给出了不少修正条件，来减弱k a n t o r o v i c h 条件，当 然相应的条件4 ，5 也会相应变化r o k n e ( 【3 4 ) 就定义导数f 7 ( z ) 满足( k ，p ) 一h 引d e r 连续条 件 f i f ( z o ) 一1 ( f 7 ( z ) 一f ( y ) ) l 耳i f z 一f f ，z ，y n ，p ( 0 ，1 来代替3 中的“p s c h i t z 连续条件，而a p p e l ( 1 8 ) 用个给定的实函数刨( 忪一州) 来代 替3 中不等式的右边后来h u a n g ( 1 9 ) 为了弥牢 k a n t o r v o i c h 条件不能判断在解某个方程 时从某个指定点出发的n e w t o n 迭代序列是否收敛，引进了如下的条件 j f 7 ( 。o ) 一1 f ”( z o ) i is ，y ， l i f 协o ) _ 1 ( p ( z ) 一p ( ) ) g l x g u t i e r r e z ( 3 5 ) 将此条件改进为 l | f 7 ( 。o ) 一1 f ”( z o ) | | s1 ， i i f 7 ( 。o ) 一1 ( f ” ) 一f ”( z o ) ) i i l z x 0 ，z q 此外j a r g y r o s 在文献( 2 0 ， 2 1 ) 中提出t t n n n 个收敛条件 ( 1 )( a ) | | f 7 ( z o ) 一1 f ( 。o ) j j 叩； ( b ) j i f 7 ( 加) - 1 f ( ( 。o ) i i 茎o q ，i = 2 ，m ，m 2 ； ( c ) i i f 7 ( z o ) 一1 【f ( m ( 。) 一f ( m 0 0 ) 川“m 十l z x 0 m v z n ； ( d ) p ( s ) = 斋南8 m + 1 十鲁s ”h + 署s 2 一s + q 0 ，m 2 ，3 茎ism + 1 ，s ( 2 )( a ) 0 o ； ( c ) j i f 7 ( z o ) 一1 i f ”( z ) 一f ”( z o ) 川d l l x x o | i ，v 。q i ( d ) 2 k a 曼l ，其中后= m a x c ，b + 2 a d ， 或满足，( t ) = t 3 2 d t 2 一( 2 d 一6 2 ) t + 2 d ( 6 + 。d ) 的两个正根1 ，k 2 ) b 加+ 2 6 d 垦 【l ，2 】，勇口么七c ，k 【b ，b + 2 a d 4 上面的条件一方面因固定了一点减弱了假设条件；但是另一方面又因用到二阶导数及 高阶导数而使假设条件受到更大的限制但g u t i e r r e z ( 【2 2 ) 打消了后一方面的顾虑，他 提出了如下的条件 得到n e w t o n 法收敛性和方程( 1 1 ) 的解唯一性w a n g ( 【3 ) 提出了更一般的解唯一的 条件 f i f 7x o ) 。1 f ( x ) 一i i i l ( u ) d u ，比b ( x o ，r ) j 0 和n e w t o n 法收敛的条件 ，p ( 面- ) i j f ( 2 0 ) _ 1 ( f 7 ( z ) 一f ( ) ) i js l ( u ) d u ， v z b ( x o ，r ) ，v y b ( x ，r 一户( z ) ) 这里p ( z ) = 忙一x o l l ，p ( y ) = p ( x ) + l l y z i i r ，l 为正的单调非减的可积函数 对于其它迭代法收敛条件的研究，不像研究n e w t o n 迭代法那样多它们大都是 d q n e w t o n 迭代法收敛条件来推广的三阶收敛的迭代法收敛条件一般为 ( 1 )( a ) 对于点z o n ，假设f 7 ( z o ) 4 存在； ( b ) i f 7 ( z o ) 一1 ( f “( z ) 一f ”( g ) ) l i k i i x v i i ，z ，y n ，k o ； ( c ) i i f ( ) _ 1 r ( x o ) l i a ，l i f 协o ) 。f ”( x o ) l l b ； ( d ) 三次多项式 p ( ) = k t 3 + 互b 2 一t + 口 有一个负根和两个正根，k 0 ；有两个正根，= 0 或满足 ( 2 )( a ) 对于点茁o n ，假设f 7 ( 茁o ) 一1 存在； ( b ) i i f ”0 ) | 1sm ，l i f ”扛) 一f ”( ) | | 曼n i i x y l l ，v x ，q ； ( c ) f i f 7 ( 蜘) 一1 i f 茎卢，l i f 7 ( z o ) 一1 f ( z o ) i fs 卵； 5 ( d ) ( m 2 + 丽2 n ) 5 ，。h = 砌互1 不同的迭代法对2 中的( d ) 有不同的形式，上面为h a l l e y 迭代的收敛条件 或满足 ( 3 )( a ) 对于点x o n ，假设f ( 知) _ 1 存在； ( b ) i f 协o ) _ 1 f ( x o ) l l q ，| | f 协o ) 。f ”x o ) i l 2 - ； ( c ) f i f 7 ( z o ) 一1 f ”( 。) ! i 茎 1 , y t 2 抖西 南肚n ，i x - - x 0 忪( ，一拱 当口= 町，y 3 2 以时，函数有两个正根 证明迭代法的收敛性一个很小错的技巧是优函数技术这是k a n t o r o v i c h 为丁证 明b a n a c h 空间内的n e w t o n 迭代法的收敛性而提出来的随后它被推广到证明其它迭代 法的收敛性k a n t o r o v i c h 最初用的优函数为二次多项式 p 1 ( t ) ：；6 2 t + r 后来也有人用它证明三次收敛的迭代法的收敛性( 2 3 ) ，但是与三次多项式相比它就显 得不足了在证明二阶和三阶收敛的迭代法的收敛性时，三次多项式是比较常用的优函 数( 2 4 m 2 5 ， 2 6 ) m 。) = 等t 3 + ；t 2 一t + 卵 在证明h s l d e r 条件下的迭代法的收敛性时，优函数变为实函数证明具有1 + p 阶收敛 时，用的优函数的形式为( 【27 ) 仇( t ) = 而b p 一抖” 证明具有2 + p 阶收敛时，优函数的形式为( 2 8 ) m 。) = 瓦高t 2 + 9 + ：t 2 一t + 即 有理多项式也是证明各种迭代法收敛性的一种比较好的优函数，它的形式为 础) = ”一t + 禹 它是由s m a l e 提出w a n g & h a n 完全改进，而后被应用证明各种迭代法在s m a l e 点 估计判据下的收敛性( 2 8 】， 2 9 t ，f 3 0 】) 另一种证明迭代序列收敛的技巧是递归法对 此g u t i d r r e z 和h e r n d n d e z 等人对h a l l e y 迭代，c h e b y s h e v 迭代，s u p e r h a l l e y 迭代，j a r r a t t 型 迭代的收敛性进行了一系列工作( 3 1 ，【32 ， 3 3 ) 在早期的文章中用到的是四个实序 列，现在减少到两个实序列，递归关系在不断的简化 7 第二章1 一条件下变形c h e b y s h e v ：迭代方法的收敛性及其 应用 2 1 引言 令f 是b a n a c h 空间x 的非线性算子如果f 在x 的某个领域内是f r e c h e t 可导，对于 解方程 f ( x ) = 0( 2 1 1 ) 问题已有许多种方法，其中著名为n e w t o n 迭代法，c h e b y s h e v 迭代法等c h e b y s h e v 迭代法 的形式如下： z 。+ l = z 。一口+ 去l f ( 。) f ( z 。) 一1 f ( x 。) ，( 2 1 2 ) 其中，l f ( x 。) = f 7 ( z 。) _ 1 f ”( z 。) f 7 ( z 。) _ 1 f ( 4 ；) c h e b y s h e v 迭代法收敛阶是3 阶，但它要求f ( x ) 的- - 阶导数在具体应用中计算代价 相当大因此一些数值工作者对c h e b y s h e v 迭代法做了变形 i = z 。一f 协。) 一f ( x 。) 坼( ) = f 协。) 。【f ( 也) 一f 协。) 】 ( 2 1 3 ) ix n + 1 = 一只p ( 。，鲰) ( 一x 。) 文献吲介绍了上述迭代法在s m a l e 点估计理论下的收敛性分析按数值泛函文献的通常 理解这是强条件的假设和文献 2 9 相比，参照文献 5 本文提出了上述迭代在，y 一条件下 的收敛性，这样在实际工程计算中，对非线性算子f 的要求更加宽泛 2 2 优函数 令p 0 ，1 0 = 纠+ 禹吲叭1 一砺1 ) 二】1 ( 2 2 1 ) 8 记a = p 仉则当。3 2 以时h 有两个正实根， 斗塑竽 且满足p _ - 5s l _ - 5 ( 1 + 去) 卢生字s 2 刍 定义1 h 女n ( 2 2 1 ) 定义x 0 d ，若f 7 ( 粕) - 1 存在且 l i f 7 ( 。o ) 一1 f ( z o ) i is 卢 i i f ( 。o ) _ 1 f ”( x o ) l i 2 7 r e ( z 。) 一1 f ”( 。) ) l i 西= 岛妇di i z z 。f l ( 1 一壳) ； 则称f ( z ) 满足7 一条件， 为f ( z ) 的优函数， 引理2 1 若忪一| | ( 1 一击) ；则有 1 ) ：f 7 ( z o ) 一1 f ”( z ) 0 ”( 1 l x 一。0 1 1 ) 2 ) ：f ( z ) _ 1 存在，且有 f ( z ) - 1 f ( x o ) l l 研圭丽 证明： | i ，( ) 。1 f ”( 。) f i f i f ( z o ) 一1 f ”( x o ) l l + 詹fr e 7 ( z o ) 一1 f ”( z o + s ( x x o ) l l ( r x x o l l d 8 曼2 7 + 赔耗“( s l l x x o l l ) l l x x o l l d s = ”( o ) + ”( 1 l x z o l l ) 一危”( o ) = h i i ( 忙一z oj | ) 由泰勒公式知： f ( z o ) 一1 f ( = ，十f 7 ( z o ) 一1 f ”( z o ) ( z z o ) + 片f ( z o ) 一1 f ”7 ( 。o + s ( x z o ) ) ( 1 一s ) ( z x 0 1 2 出 则有 l i f ( z o ) 。f 7 ( 。) 一s l i i f 7 ( z o ) 一1 f ”( x o ) l 川z x o lj + s o i | 尸( 。o ) 一1 f x o + s ( x z o ) l l ( 1 一s ) d s ( 1 l x z 0 1 1 ) 2 詹a ”7 ( s l l x x o l l ) ( 1 l x x o l l ) 2 ( 1 一s ) d s + ”( o ) j | z x o l l ( | j 。一z o l l ) 一( o ) = h ( 1 l x x o l l l + 1 o ( m ) = 志 o ， 9 7 ( m ) 坠型生业血书1 精2 堕尘型业型 o ，即v ( m ) 在【o ，t 1 上单调上升 又u ( r 1 ) = v ( r 1 ) = r 1 ，u ( m 。) = u 。，y ( m 。) = m 卅1 ，马( 仇。) = 凰( m 。，u 。) 用数学归纳法可以证明m 。单调上升趋于r 1 ，且对所有的札0 ，有 m n 茎u n m n + tsr l 由m 。与t 。的关系可知，引理2 1 成立 2 4 主要收敛定理 定理设( 铂，f ) 3 2 v 压，, j j p , z o 出发的迭代方法( 2 ) 有意义，极限l i m 。= 矿存在并且f ( z 4 ) = o ，并有j l 一z 。i | 曼矿一k ，其中扩是的较小正根， t 。) 是迭代公 式( 2 1 3 ) 作用到 ( t ) 上得到的序列 证明记： i ) ：0 。女x o l l t k t o i i ) ：l l y k z | i s k 一扎 i i i ) ：l i o k x o l i s k t o i v ) ：l l z 矗0 k ，挑) | l 茎一h h ( “，钆) v ) ： z + i 一9 l lst + l 一8 k 显然当k = 0 时成立，若i v 对k = n 成立，则 i 。+ 1 ：| i z 。+ i z o l i l z 。+ 1 一。i f + l 封h x o i | t 。+ 1 一s 。+ s 。一t o = t 。+ 1 一t o i i n + l ：因为 ，1 f ( z n + l = f ( g n ) + f 7 ( 坼；) ( z 。十1 一仇。) + f ”( + t ( x 。+ l 一蚺。) ) ( 1 一t ) d t ( x 。十l 一9 。) 2 鲰) ) ( 1 一t ) d t ( x 。+ l y 。) 2 + f ”( + ( 骱一茁。) ) 出( 一茁。) ( z 。十1 一鲰) j o + f ( ) + 一( z 。) ( + 1 一) ， f ( 蚺。) + f 7 ( z 。) ( 。+ 1 一y 。) = 片 f ”( 塾孝垃+ ( 鲰一z 。) ) 一f ”( 亚吉地) ( 1 一t ) d t ( 烛2 、j 2 + 露 f ”( ! e 吉赴) 一f ”( 。+ ；( 饥。一茁。) ) t d ( 2 t i 坠) 2 = 詹j ? f ”( 塾軎垃十警( 一z 。) ) d s t ( 1 一t ) 出( 啦亏塾) 3 + 詹詹f i l l ( x 。+ ( 一z 。) + 坐产( 一茁。) ) d s ( 1 一t ) t 出( 照产) 3 1 2 由引理2 1 和1 一条件可知： | f ( 笛o ) 一1 f ( z n + - jl i 曼i r lh ”( s 。+ t ( k 十。一5 。) ) ( 1 一t ) d t ( t 。+ l s 。) 2 j 0 1 + ( t 。十t ( s 。一。) ) d t ( s 。一k ) ( t n + 1 s n ) + f o i f 0 1h ( 9 半咱| + 舢嗝岫t ( 1 一删学8 3 + f o i ，f 。o ih 删射i ( 一h 洲+ 掣圳冲”删学酽 “l 茎th ”( 靠+ t ( s 。一k ) ) d t ( s n k ) ( n 十l s n ) ，u + h ，( s 。+ ( t ，计1 一s 。1 1 ( 1 t ) d t ( t 。十1 8 。) 2 j 0 + f 0 1p ( 半+ 警( s n - - t n ) ) d s 婀叫出( 学) 3 + “吣n + _ t 吨) 十掣刮d s ( 卜t ) t d t ( 学) 3 所以 1 l g 。+ 。一。“8 ：il f ( z 。- + 1 ，) f ( z 。“) i i 曼l l f 7 ( z 。+ - ) 一1 f 7 ( 茁。) l i l l e ( $ 。) 一1 f ( z ”+ ) i | i i i n + l 曼一 7 ( t 。+ 1 ) 一1 h ( t 。+ 1 ) = s 。+ l t n 十1 i i 玑计1 一石o | | | 玑件l 一。n 十1 l | + | l z n 十1 一x o 8 n “一t n + 1 + t n 十1 一t o = s n + l t 0 1 3 i v 1 ： 肛b ( z 卅1 ，+ 。) l l | f 7 ( z 嚣。) f ( ) 1 1 厂l i e 7 ( z o ) 一1 f ( z 。+ l 十芒( + 。一茁n + 。) ) l l 出i | 丛生二；兰盟 j 0 4 茎砒州厂，。oh ( t n q - 1 + ；c 8 n + 1 - - t n + 1 ) ) 出学 = 一f h ( ”l ，s n + 1 ) v n + 1 l l z 。+ 2 一聃件1 1 l = i l h f ( x 。+ 1 ，玑件1 ) ( 聃汁1 一x n + i ) 1 i 曼一凰( t 。+ l ，s 。+ 1 ) ( s 。+ l t n + 1 ) 兰 t n + 2 一占n + 1 所以，对任意礼o 有 l l 。+ l z 。| | 茎t 。+ 1 一如， | | 弘计1 一。i j 茎8 n + 1 一s 。， 则对任意兰o ，i i z 。+ p z 。| | 兰k + p t 。，| | 掣。+ p 一玑川s 。+ p s 。 由引理2 可知 。 ， ) 均为c a u c h y 列且z 。，蜘收敛与同一极限，设为z + ，由迭代可 知f ( z + ) = 0 ，当p 一+ 有忙一。| | st + 一t 。由定理和引理2 2 知，变形c h e b y s h e v j 医 代法为三阶的 2 5 数值例子 解g o n d r o s e o r 积分方程 郎) = 1 + 掣z 1 雨8 比) 出 则有 刖= 盟4j ，0 1 鬲8 删t 一( s ) + 1 当初始值z 。= 1 ，容易验证方程满足定理的条件。 1 4 表( 一) 是通过用g a u s s l e g e n d r e 公式近似积分方程f ( s ) ，然后用m a t l a b 编程得 到的各种迭代法产生序列的每步误差 i 变形的c h e b y s h e v 迭代； i = 。一f 协。) f ( x 。) h f ( z ，蜘) = f 协。) 。1 【f ( 半) 一f x 。) lx n - b l = * 。一h f ( x 。，饥。) ( 。一z 。) i in ，e w t o n j 蚍 一一怒 i i i 导数超前计值的变形n e w t o n 迭代； i 茁州= 。一f 7 ( ! a 笋) 。f ( z 。) ， iy 。+ 1 2 。十1 一f ( ! n 毒挫) 一1 f ( 卫。+ 1 ) ，n = 0 ，1 i v 避免导数求逆的变形n e w t o n 迭代 ， l 。+ l = z 。a 。f ( z 。) ， ia 。+ 1 = 2 a 。一a 。f 7 ( 。n + 1 ) a 。，礼= 0 ，1 ，一 通过表( 一) 数据比较发现，尽管变形的c h e b y s h e v ：迭代要求一阶导数的逆，但其求 得解的速度要比其他三种迭代快，而且收敛阶是三阶的，因此此迭代在实际的工 程计算中具有某种程度的借鉴价值。 1 5 n1234567 i0 0 1 4 50 0 0 2 339 1 8 6 e - 47 1 0 6 7 e - 51 - 3 2 0 5 e - 52 4 9 6 5 e - 64 7 5 0 4 e - 7 i i0 0 1 8 90 0 0 2 74 6 7 8 3 e 一48 4 3 9 9 争51 5 6 3 8 争52 9 4 5 2 e - 65 6 0 8 6 e - 7 i i i0 0 1 8 90 0 0 2 74 6 4 6 6 e _ 48 3 8 6 4 e 一51 5 5 4 2 e 一52 9 2 7 4 e 一64 5 7 5 0 e - 7 i v0 0 9 4 50 0 3 2 00 0 0 5 78 3 5 7 6 e 41 4 2 9 6 e 一42 5 8 2 9 e 一54 8 1 2 2 e _ 6 n891 01 11 21 31 4 i9 1 2 6 0 e 一81 7 6 3 3 e _ 83 4 2 2 1 e - 96 6 6 5 4 e 1 0l 3 0 2 0 e _ 1 02 5 4 9 6 e 一1 15 0 0 2 7 e - 1 2 i i10 7 6 5 e 一72 0 7 8 6 e - 8 4 0 3 2 1 e 97 8 5 0 2 e 1 01 5 3 3 0 e 一1 03 0 0 0 9 e _ 1 15 8 8 6 9 e _ 1 2 i i i 1 0 7 0 1 e 一82 0 6 6 3 e 一84 0 0 8 3 e 一97 8 0 4 0 e 一1 01 5 2 4 0 e _ 1 0 2 9 8 3 4 e - 1 15 8 5 2 3 e _ 1 2 i v9 0 8 4 4 e _ 71 7 3 3 0 e _ 7 3 3 3 1 l e - 86 4 3 9 2 e _ 91 2 5 0 2 e 一92 4 3 5 9 e 一1 04 7 5 9 9 争1 l n1 51 61 71 81 92 0 i9 8 3 2 7 e - 1 31 9 3 6 8 e _ 1 33 0 8 1 9 2 e - 1 47 4 9 4 0 e - 1 51 4 9 9 8 e _ 1 52 7 7 5 6 e _ 1 6 i i1 1 5 6 9 e _ 1 222 7 7 6 e 一1 34 4 8 5 5 争1 48 ，9 3 7 3 e 1 51 6 6 5 5 e _ 1 53 6 0 8 2 e 一1 6 i i i1 1 5 0 1 e 一1 22 2 6 4 9 e - 1 34 4 6 8 6 e - 1 48 9 3 7 3 争1 51 6 6 5 3 e _ 1 53 6 0 8 2 e 1 6 i v93 2 3 2 e _ 1 2t 8 2 9 9 e 一1 23 5 9 6 0 e - 1 37 0 8 3 2 e - 1 41 3 9 8 9 e 一1 42 7 2 1 3 e - 1 5 表( 一) ：由各乖隧代法产生的序列 ( s o 1 6 s 等。) t ) 的每步误差麟 f ( s 妒) 第三章一族免二阶导数计值收敛迭代方法的收敛性 3 1 引言 令f 是b a n a c h 空间y 的非线性算子如果f 在x 的某个领域内是f r e c h e t 可 导，对于解方程 j 忸) = 0( 3 1 1 ) 的问题已有许多种方法，除了著名的n e w t o n 迭代法外，还有3 种三阶迭代法， 如h a l l e y 迭代，c h e b y s h e v 迭代和超h a l l e y 迭代也是常用的迭代方法。而带一个参数 的三阶迭代族 1 。，。+ l = z 。一 j + 言l f ( z 。) ( ，一o f l f ( x 。，。) ) 1 i f 7 扛。，。) 一1 f ( z 。，。) ，o o ，1 ，( 3 1 2 ) 其中，l f ( z 。) = f 7 ( z 。) _ 1 ( z 。) ( z 。) 。f ( 。) 则把上述3 种迭代作为它的特例。但迭 代( 2 1 2 ) 中对导数的计算常带来不便，为此，一些数值工作者用一阶导数来近似二