（计算数学专业论文）高阶hermite插值与无限区间上gauss求积公式的收敛性.pdf

y 66 3 5 5 8 旦塑墓! 塑堕垣整盎堂亟迨窒 i o 1中文摘要 1 8 7 8 年c h h e r m r e 在其文章【1 2 中介绍了h e r m i t e 插值，其后出现了 许多研究该课题的文章，但仅有少部分文章研究高阶h e r m i t e 插值最近 十年得到了许多关于高阶h e r m i t e 插值的重要文献和成果研究h e r m i t e 插值有两条路线：特殊节点组和一般节点组 本文主要研究基于无限区间上的任意结点系的高阶h e r m i t e 插值， 给出了基本多项式的界的估计的更强的结果，即文中的基本定理应 用这个结果，我们讨论了关于r i e m a n n - s t i e l t j e s 可积函数，( z ) 基于无限 区间上的任意节点系的g a u s s 求积公式的收敛性 第一章介绍高阶h e r m i t e 插值和g a u s s 求积公式的收敛性的已有结果， 引入记号和定义 第二章研究了无限区间上高阶h e r m i t e 插值基本多项式的界的估计的基 本定理 第三章第一节主要给出了应用基本定理得到的几个引理和另一个重要 的引理第二节主要讨论了r i e m a m a - s t i e l t j e s 可积函数，( z ) 在任意节点 系上的g a u s s 求积公式的收敛性 第四章简要列出一些有待解决的问题 关键词：基本多项式，g a u s s 求积公式，收敛性 i i 童险型型! 三里堑熊皇垂噬匿间占盟! 至受壅塑垒蒌鲍蝗箜丝 o 2 a b s t r a c t i n1 8 7 8i nh i sf u n d a m e n t a lw o r k 【1 2 1c h h e r m i t ei n t r o d u c e dt h es oc a l l e d h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n al o to fp a p e r sd e a lw i t ht h i st o p i c ；b u to n l yf e wo f t h e m i n v e s t i g a t eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o n o f h i g h e ro r d e r m o s to f t h e s ep a p e r sa p p e a r e d i nt h el a s tt e ny e a r sa n dm a n yi m p o r t a n td e v e l o p m e n t sw e r eo b t a i n e d t h e r ea r e t w ol i n e so fs t u d yf o rt h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ：t h es p e c i a ls y s t e m o fn o d e sa n d a na r b i t r a r ys y s t e mo fn o d e s i nt h i sp a p e r ，m o r es t r o n g e re s t i m a t i o n so fb o u n d sf o rt h ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n so fh e r m i t e i n t e r p o l a t i o no fh i g h e ro r d e ro i la na r b i t r a r ys y s t e m o fn o d e so n i n f i n i t ei n t e r v a l sa r eg i v e n b a s e do nt h i sr e s u l t ，c o n v e r g e n c eo fg a u s s i a nq u a d r a - t u r ef o r m u l a sf o rr i e m a n n s t i e l t j e si n t e g r a b l ef u n c t i o n so na x la r b i t r a r ys y s t e m o fn o d e so ni n f i n i t ei n t e r v a l si sd i s c u s s e d i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w el i s ts o m ek n o w nr e s u l t so fh e r m i t ei n t e r p o l a t i o no f h i g h e ro r d e ra n dg a u s m a nq u a d r a t u r ef o r m u l a sa si t ss i m p l es u r v e ya n d i n t r o d u c t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yab a s i ct h e o r e mo fe s t i m a t i o n sf o rt h ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n so fh e r m i t ei n t e r p o l a t i o no fh i g h e ro r d e ro ni n f i n i t ei n t e r v a l s i nt h et h i r dc h a p t e r ，f i r s tw es t a t es o m eu s e f u ll e m m a s ，t h e nw es t u d yt h e c o n v e r g e n c eo fg a u s s i a nq u a d r a t u r ef o r m u l a s i nt h el a s tc h a p t e rw el i s ts o m eo p e np r o b l e m s k e y w o r d ：f u n d a m e n t a l p o l y n o m i a l s ， g a u s s i a nq u a d r a t u r e f o r m u l a s ， c o n v e r g e n c e - 第一章引言与简介 令a ( 茹) 为定义在( 一0 0 ，+ 。) 上的非减函数，它有无穷多个递增点， 且如( 。) 的矩为有限的，我们将其称为测度p n ( d 口，z ) 表示关于测度如 的标准正交n 次多项式如果a ( 。) 为绝对连续，d a = 芦( z ) 出，称其为 权若p ( 。) = u ( a ，p ( ) ：= ( 1 一g ) n ( 1 十$ ) 口，n ，p 一1 ，记作p j ，称其为j a c o b i 权 假设 2 ，m k 。1 ，k = 1 ，2 ，n ，m 。扎。，m o 。0 ，全为正整数，任 意三角组x ：= 协。，0 s 冬n + 1 ) ，满足 a = x n + l ，n z n n z n 一1 ，n x n - 2 一 - z 2 n g l n 2 1 ， if 卫n 一2 一z n i ，m n l = 1 ， d ”1 m k a x n d k ，n = 1 ，2 ， i f f 产观胪饥，a - l 1 1 ， l i 磁。i i = s u p 1 i 磁。( 删i ， l l 州m 。一a l i i 皿t m l | = s u p1 1 日t 。( ，) i l ， l f l l a = 加圳，撕) 一o p o 。， d 。口2 l k ( i l ，l 】) ( z ) = s 9 n 一。k ) “， 女n = ，南 ( z ) 。h ( 茹) d d 扛) ，j = 0 ，1 ，m 女一1 ，k = 0 ，l ，n + 1 ，( 1 8 ) j o o q n ( 缸；，) = a o k ( 如) ，( 。( 如) ) ，n = 2 ，3 ，s ( 如) ( 1 9 ) 茎二主i ! 主量塑坌 3 此处s ( 妇) 表示冗上所有r i e m a n n s t i e l t j e s 可积函数的集合在本文的讨 论中c 表示正常数，除特殊说明外与变量无关 自从h e r m i t e 于1 8 7 8 年在其文章 1 2 1 中提出一般情形的h e r m i t e 插 值之后，由于其导数在不同节点可取不同阶数，一百多年来取得了很 多进展，但大部分文章还是仅限于讨论l a g r a n g e 插值= 1 ) 和经典 h e r m i t e - f e j e r 插值( m = 2 ) ，例如参考文献p e r d s s 4 - 7 ，g g r i i n w a l df 1 0 ，1 1 1 ， 1 t b s a x e n a 2 0 ，2 1 ，史应光【2 2 ，2 4 直到最近十多年来，高阶h e r m l t e 插值 ( m 3 ) 的研究才取得了很大进展研究h e n n i t e 插值有两条路线：特殊 节点组，例如j a c o b i 多项式的零点，和一般节点组 在特殊节点组的讨论中一般假设m 兰m ，k = 1 ，2 ，n ，m 。：s ， m l = t ，且满足( 1 1 ) 中a = 一1 ，b = 1 ( 但定理a 3 除外) 的情形r s a k a i 和p v r t e s i 分别于1 9 8 9 年在文章【1 7 】和【3 8 中考察了高阶h e r m i t e - f e j e r 插值的一致收敛性并在后继文章 1 8 ，1 9 ，3 7 ，3 9 ，4 0 1 中改进了所得结果 令a m = 一1 1 一鬲2 ，b m = 一 + 鬲1 ，( 1 m = 一 一鬲1 ，下：= m a x a ，卢) ，7 ：= m i n a ，口) ，妒( 。) = ( 1 一z 2 ，1 。， “搿( 茁) = p o ，卢( 嚣) l p ( 丑) 】詈u ( ) ( 茹) ，“h 。( 茹) ： u n ，芦( 茹) i p ( z ) r ， 以及 磊( ，) = 量癣l i f p i i 定理a 1 1 9 令s = t = 0 ，u j m 2 ， ( n ) 若一1 a 1 ，则 ，里1 1 日n m ( u ，) 一，l i 恤，1 1 20 ，v ，g 一1 ，1 1 成立，当且仅当 o 【a m ，b m l ，p a m ，a p s2 m ( 6 ) 关系式 i = 孥1 1 日二m ( u ，) 一1 1 = 0 ，v ，g f 一1 ，1 成立，当且仅当 o t ，芦【a m ，b m ) ，1 0 一卢is2 m ( c ) 若【n ，6 】c ( 一1 ，1 ) ，贝 ，3 粤坠1 1 日j m ( u ，) 一，l l 【 b l = 0 ，v ，g 一1 ，1 】 4 直险望鎏坚婴亟鱼量垂隍匡匦土堂! 至受垄塑坌达丝堕篁壁 成立，当且仅当 a ，卢2 a m 定理a 1 表明对每一个m m 作为特殊j a c o b i 节点组的c h e b y s h e v 节点 组可以使得( 1 1 0 ) 成立 1 9 7 3 年h e s s e x 和k s c h e r e x 在文章【8 】中讨论了基于c h e b y s h e v 节点 组的h e r m i t e 插值的收敛速度，1 9 9 4 年b d e l l av e c c h i a ，g m a s t r o i a n n i 和p v d r t e s i 在文章【3 】3 中改进了此类结果 定理a 2 【3 ，定理2 1 ，定理2 2 ；4 3 ，定理3 6 ( o ) 令s ，t m ，0 s j 墨m l ，j ，如果 j ；j + m ( 吐+ ) 蔓3 b + m ( a + ；) + 1 ， l j + 竹l ( p + ) t ；j + m t ! ，+ ) + 1 ， 则 i l ( h ；m ( u ，) ) j ) ，o ) l l c n j + 1 - m e n + 1 一m ( ，n 一1 ) ) i n n ，v ，g m 一1 ( 6 ) 令0 p 一1 的零点的h e r m i t e - f e j e x 插值关于l a g u e x r e 权 吣，= 戮 在区间【o ，+ o 。) 上的收敛性和基于h e r m i t e 多项式风( z ) 的零点的h e x m i t e - f e j “插值关于h e r m i t e 权u ( 。) = e 一在( 一o o ，+ 。) 上的收敛睦在1 9 9 4 年， 他们在文章 1 4 】中又考察了在关于f r e u d 权u ( 。) ：e 一毕，q 胍，的正交 多项式的零点上的h e r m i t e - f e j e r 插值的收敛性 第一章引言与简介 定理a 3 1 3 ，推论；1 4 ，推论l ，推论2 1 ( a ) 若u 是l a g u e r r e 权且，在【0 + 0 0 ) 上一致连续，则对任意a 和b 且0 b 有 0 骢1 1 日，一，) 一州= 0 - ( 1 1 1 ) ( 6 ) 若是h e r m i t e 权且，在( 一o 。，+ o 。) 上一致连续，则对任意a 和b 且a b 有( 1 1 1 ) 成立 ( c ) 设u 是q 必的f r e u d 权若m 鹏且，在( - 0 0 ，+ o 。) 上一致连 续，则对任意。和b 且o b 有( 1 - 1 1 ) 成立若m l ，则存在，( 一o 。，+ o o ) 使得( l 1 1 ) 不成立 一般节点组的情形较难也较实用，但在此方面仅有较少的文章讨 论过1 9 9 3 年j s z a b a d o s 于文章【3 6 1 中所得的对m 为奇数时的f a b e r 型定理为插值算子的范数估计奠定了基础，高阶h e r m i t e 和h e r m i t e - f e j e r 插值由此而取得了很大的突破，其应用也很快地发展起来了 定理a 1 4 【3 6 ，定理1 1 对于区间在 - 1 ，1 1 上的任意节点组x 都有 字当州m - j 为为奇数偶数，, 此处j = 0 ，1 ，2 ，m 一1 ，厶批伍) = i | 琵l i a j 并且c h e b y s h e v 节点组可以 达到最佳阶数 史应光在【3 2 】中应用j s z a b a d o s 【3 6 】提出的思想得到了如下重要的 基本定理为叙述此结果，现假设册o ；m 。+ 。兰0 且 1 = z n + l s 写n z n 一1 茁n 一2 写2 茹l 1 = o o ， 瓦= m a x 1 z 七一。七一l l ，1 正k z 七十1 t ，k = 1 ，2 ，n ， f 冗， z = ( 一o 。，1 ) ， l ( - 1 ，+ ) 2 s 女n 一1 k = 1 奄= n 定理a 5 3 2 ，定理2 1 】如果n 是一个固定的自然数，m t ，是奇 数，并且有j s i s m t 一1 ，则 b 如( 。) 希一汪一“i b 诜扛) ， 霉z ，l 冬礼， l 眷霹一i a i k ( 露x e2 ：, l k 如 6 妾堕望翌! 堡望堑堡量垂陧匿间点g 墨! 坚受鲞塑垒塞塑蝗篁丝 此处碚1 为最佳阶，而c = 1 为最佳常数 定理a 5 将有可能使许多l a g r a n g e 插值与经典h e r m i t e - f e j e r 插值的 结果推广到高阶h e r m i t e 插值基于这个基本定理，史应光在文章【3 2 中得到了许多非常有用的结果，这里仅举出h e r m i t e 插值和h e r m i t e - f e j e r 插值收敛性的一些结果 定理a 6 【3 2 ，定理3 2 ，定理3 3 】令m 女。；m 4 都为偶数，若 i i h m o = 0 “i a 。t i i i h i z = 。( 1 ) ， (114)k=l m 0 = li a o k = o ( 1 ) ，( 1 则 0 骢i | 丑蒜( ，) 一i i i = 0 ( 1 1 5 ) 对，c ”一1 【- 1 ，1 】都成立； 设m k 。i 2 ，对于，g 2 卜1 ，1 1 ，则 s u p1 1 丑：2 ( f ) l l c 3 1 1 丑j 2 1 1 m 1 5 l ，i i f 1 1 1 ，i i ，怄l 若 i = 幢i i a o k k = 1 o ( 1 ) i l 凰2 i i = l | = d ( 1 ) ， 则 ，舰0 霹2 ( ，) 一1 1 1 = 0 对，c 2 【_ 1 ，1 都成立 定理a 7 3 2 ，定理4 1 令m e 。；m 都是偶数则对于任意多项式 p r 。一1 有 心。( p ，。) 兰c | | p i i 。一 r 。扛) + 业! 竺且坚1 1 ；? _ = 蝴) 而且若 撬l l 风m ( ，) 一州= 0 ( 1 1 6 ) 对，= ，江1 ，2 成立，则( 1 1 6 ) 对任意多项式，都成立 定理a 8 【3 2 ，定理4 2 ，定理4 3 】令r r t k 。；m 都是偶数，则( 1 1 6 ) 对任 意，g 【一1 ，1 】成立，当且仅当( 1 _ 1 4 ) 成立且( 1 1 6 ) 对，= ，江1 ，2 成立； 若( 1 1 4 ) 成立且l i m n o 。| 1 毡li a l t i i i = 0 ，则( 1 1 6 ) 对所有，g 【一1 ，1 】成立 第一章引言与简介 7 定理a 5 的结果是重要的，但它只在有限区间上成立基于这个 方面的考虑，本文主要将基本定理a 5 推广到无限区间上的任意节点 系，并应用这个结果，讨论了r i e m a n n - s t i e l t j e s 可积函数，( z ) 在任意节点 系上的g 蛐s 求积公式的收敛性史应光在文章【3 1 中对区间 1 ，1 上的 连续函数的g a u s s 求积公式的收敛性作了讨论，有兴趣的读者请参照文 章【3 1 本文的讨论都建立在无限区间上的任意节点系上，即在( 1f ) 中令 a = 一0 0 ，b = + 。的情况： 一o 。 3 ：n n n 一1 ，n x n 一2 ，n 正2 n x l n + o 。 在结束本章之前，我们给出以下几个定义 定义1 1 【9 ，p 6 2 令凼为测度，如果另一个测度邪满足 r q - o o，+ o o 。“印( z ) = 扩如( z ) 4 一e 野j 一 且 卢( s ) 一卢( 一。) = a ( 。) 一n ( 一o o ) 在除了可数的许多个不连续点外都成立，则称如 定义1 2 9 ，p 6 9 】若在实轴上的函数，满足： 1 f s ( d “) ， 2 存在三个正数s ，a ，口，使得i ，( z ) isa + 引。h 冗， 则称，岛( 出) 定义1 3 9 ，p s s 令一o o 石n n 茁。一1 ，n 茁l n 譬 帅_ 1 2 ，1 m l l 因为z z l d l ，由此得 b 2 p + 1 1 ( z 一茁1 ) + 5 2 虬1 b 2 p + 1 ，1 d 1 + b 2 v ，1 墨0 ( 2 5 ) 在( 1 6 ) 令k = 1 可得 m 1 一t l 2 b i l ( z ) = 6 。1 0 一z 1 ) ”= 【6 2 ，+ l ，1 扛一z 1 ) + b 2 1 扛一z 1 ) ” ( 2 6 ) 把( 2 5 ) 代入( 2 6 ) 易得不等式( 2 3 ) 9 高阶h e r m i t e 插值与无限区间上g a u s s 求积公式的收敛性 定理之证明若2 曼s n l ，由定理a 5 可知，( 2 1 ) 显然成立若 k = 1 ，我们分以下两种情况来讨论： 第一种情况：。茎z l + d 1 令n = z 。一d n ，b = 。1 + d 。，通过线性变换 。，：圭。一型 ( 2 7 ) 。2 再i 。一萨五 ， 把区间【a ，b 变换到区间 1 ，1 】上，且有 扣击矿拦，t _ o ，z ，n + 此处z o = 。l + d l ，。+ l = z 。一如于是得到 一1 = ：茹：+ 1 $ 乞 。0 1 - 1 , 砟= 8 ，2 七s n 一1 l t 扛) = 卉f 。一宁。；一半1 岫 卫l 蔫精j = ( 熹m 一拦) i l t 。) 。1 竺。= ( 熹) ”陋( 。) 。1 竺”= 。 ，彻一， 、 堕善 ， 。怫 箜三主 叁查窒垄一 1 1 在( 1 5 ) 中令k = 1 ，再应用上式，我们得到 b 。= 刍p 。( 矿1 丝。= ( 而2 ) ”吒乩1 ，m - 乩 ( 2 s ) 由( 1 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 得到 b j k ( z ) = 乳r = “喜1 ( 击) ”吒0 一字小字) ” = “喜1 砖t 【( 熹。一拦) 一硝” = - ( 熹z 一拦) 协9 ， 若。茎6 ，则击m 一戎s1 ，此时对于( 2 9 ) 的右边，它满足定理a - 5 中k = 1 的情形于是有 由于 因此有 ，2o + b 、 殇- l 而”而 州l ( 击z 一拦) 叫r m 击_ b - - - 2 + 6 - - ：、l ：( 丁b - a - 叫5 ) - 、卜i x - - x 1 叫鼠- ( 熹z 一拦) | 江埘 t b - - a - “5 - f 。= - 6 - 一y - 一腻一圳硝一。m = m a x 【研一。2 l ，l 1 一工o i = m a x i z l 一$ 2 f ，d d = d l 岛。( 吉。一拦) d i i - 卜列州i b i l ( 熹s 一拦) l 由( 2 9 ) ，( 2 i o ) 以及( 2 1 1 ) 易得 马。( 。) d i 一i 。一。i t 。l 聩t ( 训= f 兰斧j ”f 霸- ( 蚓，z s b 即 剐啦i 寻n 剐圳，。细+ d 1 - ( 2 茁 n b 一脚 m 1 2 直险望鲨! 堡堕煎焦皇歪眍匡间土旦垒! 垡翌垄塑坌萎盟堕篁壁 第二种情况： 1 + d 1 在这种情况下，我们又分三种情况讨论 情形一： - j + 1 在【3 2 中已经得到，如果m 。一j 一1 为偶数，则岛+ 1 ，- ( z ) 有唯一的一 个根，我们假设这个根为，并且有f ( 轧+ o o ) 与此同时，在【3 2 】中也 得到了以下三个不等式： b j ( 。) 一篡马+ l 1 ( z ) ，。冗， b j ( 。) 羞( z ) ，z f ， b j + 1 ，1 ( 茁) x l + d l ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 情形二：江j + 2 在( 1 6 ) 中令k = 1 ，并应用( 2 4 ) 可得 ， 1 2 1 - j 一2 骘+ 1 ，l ( $ ) =6 ：1 扛一$ 1 ) ” v = 0 = b j + i , 1 ( z ) + 蓑b j + 2 , 1 ( z ) ( 2 _ 1 7 ) 由于m - 一j 一1 为偶数，根据引理2 1 知 则由1 21 7 ) 和( 2 1 9 ) 有 b j + 1 ，l ( x ) 茁l + d 1 ( 。) $ 1 + d t ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) o 臻u ( z ) = b j 州卅羞马训。) ，z z l + d 1 ( 2 2 0 ) 又因m 1 一j 一2 为奇数，则由【3 2 ，( 2 2 4 ) 知 由( 2 1 8 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 得 b j 十2 ，1 ( 茁) 0 ， 嚣冗 跏“水一羞b j “北o ，g 卅d 1 ( 2 2 1 ) 第二章 基本定理1 3 于是 i 岛扎，( 刮 i 暑三薏f 岛捣t ( 刮i 生手】i 易托，( 刮， ) x l - - d 1 ( 2 2 2 ) 把( 2 2 2 ) 代入( 2 1 6 ) 得 剐啦l 兰斧1 2 i “刮，x x l + d 1 ( 2 。3 ) 情形三：从以上的归纳，当。 。l + d 。时， 剐啦i 寻旧+ 3 1 ( 圳， 剐啦l 寻1 4 i b j “删， 我们容易得到 剐啦i 旦斧r i b 1 ( 刮( 2 2 4 ) 根据( 2 1 2 ) 和( 2 2 4 ) ，当k = 1 时，( 2 1 ) 显然成立用类似证明：1 时的 方法，可以证明k = n 时( 2 1 ) 也成立用【3 2 】中同样的方法可证( 2 ，2 ) 第三章g a u s s 求积公式的收敛性 3 1几个引理 类似于【3 1 ，引理2 和 3 1 推论1 】的证明，我们首先得到以下两个 引理 引理3 1 如果m 一j 是偶数，并且o j 0 ，我们考虑函数伉( 。) = g ( z ) + e x n n + 1 设蟛。( z ) 是g 。( z ) 的次数至多为次的高阶h e r m i t e 插值多项式根据【9 ，引理1 3 ，p 1 5 联。( z ) 由条件 日：。a ( 茁k ) = g 9 ( k ) ，j = o ，1 ，m 一1 ，= l ，2 ，n ( 3 5 ) 唯一确定以下我们来证明 e f 玉。( z ) 茎g e ( z ) ，z 冗( 3 6 ) 事实上，假设( 3 6 ) 不是对每个z 都成立，比方说，存在一点y 使蟛。( f ) 瓯( ) 成立由于 因为多项式蛾。的次数至多为，那么g 。( 。) 域。( z ) 对于足够大的z 成立，因此( 茹) 一峨。0 ) 至少有一个奇重零点，于是包括前面( 3 5 ) 中的 1 5 冗 亿 蚝 z ， 扎 q 似 g 是于 1 6 壹堕塑鎏! 墨婴煎堕量垂腿垦间上g 皇婴曼壅塑垒蒌塑塑篁堡一 零点，g 。一丑至少有帆+ 2 个零点( 重根按重数计算) 对g e ( z ) 一蟛m ( z ) 重复利用k o l e 定理( 心+ 1 ) 次，我们可以找到一个z o 使得 g 吵+ 1 ( z o ) 一哦。+ 1 ( 知) = 0 ， ( 3 - 7 ) 然而 日：m ( n + 1 ( 。o ) = 0 ，g l m - + 1 ( 卫o ) = g ( 。+ 1 0 0 ) + ( 矗+ 1 ) ! e 0 ， ( 3 8 ) 故由( 3 7 ) 与( 3 8 ) 矛盾推出( 3 6 ) 成立在( 3 5 ) 与 3 5 ，定理2 1 】的基础上， 我们得到 nm k 一2 枷( g 妒1 ( z ( 如) ) k = lj = o ：壹w l k - - 2 址( d a ) 丑。1 ( z 【d 0 。)= 址( d a ) 丑o ( z 【d 0 。) k = lj = o = o _ n ( z ) 舌r 二。( 茁) d o ( 口) = 7 日( $ ) 如( g ) sfg 。( 。) 如( 。) = 厶g ( 州咄) + 厶e x n - + 1 蚰( 办 ( 3 9 ) 在上式的左右两边令e _ 0 ，即可得到引理的结论 3 2收敛性定理 在1 9 7 1 年，g f r e u d 在【9 】中得到了以下两个重要的定理 定理b i 【9 ，定理1 1 ，p s 9 假设d a ，s ( d o ) ，则对属于测度d a 的正的求积序列馏。 ，有 一l i m 。q n ( ，) = 厶，( 。) 妇( n 定理b 2 【9 定理1 6 ，p 9 3 假设d 8 ，s ( 如) ，g ( 茁) 是定义在亿 上的非负函数，且在冗上的所有导数都存在如果有 g ( 2 ”) ( 茁) 0 ，冗， = 1 ，2 ， 。骧粥= 。器- 0 且k g ( z ) 如( z ) 存在； 如果。女= 孤( 如) ( = l ，2 ，n ) 是正交多项式 r ( d d ；，) 的零点；则有 船百n ( 缸；，) 2 厶，( z ) 凼( 。) ， 第三章g a u s s 求积公式的收敛性 此处 玩；，) = - k n 陋iz ) ，( 如) ) k = l a ( d a m ) = 厶以州吣) 现假设x k i d a ) 为极值问题 厶重i z 一蚓“a 。( z ) = 蛇r a i n 狐厶鱼1 z 一蚓”如( 。) 1 7 的解 以下是本文的一个重要结果，它是基本定理的应用，并且推广了 定理b 2 定理3 2 令d a ，s ( 如) ，m k ( 1sk 茎n ) 为偶数假设g 的所有导数都在冗上存在，并且满足 g ( 2 3 3 ( z ) 0 ，z 冗，j = 0 ，1 ，( 3 1 0 ) l g ( j ) ( z ) i c g ( $ ) ，$ 冗，j = 1 ，2 ，m 一2 ，( 3 1 1 ) i 器器一o ( 3 1 2 ) 如果如g ( x ) d a ( x ) 存在且 ，溉d n 2 0 ，( 3 - 1 3 ) 则有 。1 + i r a 。址( ，( 如) ) = 0 ，j 1 ， ( 3 - 1 4 ) 。h m 。骗i d a ；f ) 。厶m ) d a ( 。) ( 3 1 5 ) 证明设1 = 1 ，3 ，5 ，m k 一3 ) ，2 = 2 ，4 ，6 ，m k 一2 ) 由引理3 2 和 ( 3 1 1 ) 得 i k 壹= l ，善。刈螂岷c 酬i l 机( 缸) g ( z k ( 出) ) i l j e 胪1 l s c ( d 口) g ( z 女( 出) ) k = l j e a r , i n s c 碟( 如) g ( 钆( d n ) ) k = l ，0 1 n = c o k ( 如) g ( 。( 缸) ) d ： 1 8 一 煎堕望堡! ! 堡望煎笪皇丞塑星间土堡叁! ! 望窭塑垒塞鲍蝗箜丝 c 年斧薹( 螂( 啪” ：妻a 。k ( 如) g ( 。( 如) ) ， 其中= c 1 d 育- d m - i 于是有 k ( d a ) g o ( 。 ( 如) ) 一 o ( 如) g ( z 女( 如) ) ( 3 1 6 ) k = l j e m ik = l 应用引理3 1 和( 3 1 0 1 有 n ( 如) g o ( $ 女( 妇) ) 0 ， ( 3 1 7 ) k = l j 2 o k ( d a ) g ( x k ( d a ) ) 0 ( 3 1 8 ) k = l 由( 3 1 6 ) ( 3 1 8 ) 和引理3 3 得 霄g ( z ) 妇( 。) a k ( d a ) g o ) i x t ( 如) ) = 1 ；u = 址( 出) g ( 。k ( 如) ) + k o k ( d a ) g ( x 女( 出) ) 2 机) g 7 ( z ) ) + a 批( d a ) g c j ) ( $ k ( 如) ) k = i j e a r xk = l j e m , 2 + a n o ( 如) g ( 。k ( 如) ) + ( 1 一) a o k ( 出) g ( $ 女( 出) ) ( 1 一q n ) o k ( d c d g ( x ) ) f 3 1 9 ) 根据( 3 1 3 ) 和( 3 1 9 ) 得 l i ms 。u p 心( 出) g ( 茹k ( 出) ) 厶g o ) 如( 。) -( 3 2 0 ) 对任塞e ? ，尊们选择一个t o ，使得当i x l t 时，i f ( 。) is 。g ( 。) 且 a ( z ) 在士r 点处连续于是对任意j l ，s ( d a ) ，根据引理3 2 可知 l ；机( 如) ，( 。 ( 妇) ) i s a o 女( 如) 。 ) ) l i - “f ，i f ( 讯( ( 妇) ) f 如( 。) 第三章g 垒! ! 堕垒塑尘查塑坚篁：堡 1 9 s d i l ，( k ( d n ) ) i ( z k 一1 ) 一a ( 蚪1 ) ) l o b i 曼t r = 珥l i f ( x k ( d a ) ) l ( a ( x k 一1 ) 一o ( z k ) ) l i z k i _ t 1 + l ，( $ 【d a ) ) l ( a ( 七) 一n ( z k + 1 ) ) 1 ( 3 2 1 ) 因为，s ( 出) ，根据【1 5 第三章，定理2 1 】，则有i ，i s ( d a ) 因此 r n l - + i r a o 。l l 囊t 扩扛“删陋 卜叫钆 1 + i ，( z k ( d a ) ) i ( a ( z k ) 一o ( 。k + 1 ) ) i i z k l _ tj = 2 i 。i _ t i i ( 。) 1 8 。( 。) - t 时i f c x ) lse g ( $ ) ，由引理3 2 和( 3 2 0 ) 有 l l i m s u pl i 亲t 圳如) “ l 墨峰警1 菇t 籼“妇沁 辄q 0 。 曼e 1 i m s u p ：l d i a 。 ( 8 a ) g ( $ k ( 4 a ) ) 2 e d 胡l i m s u p 。，a o k ( d a ) g ( ( 如) ) 5 。l 。i m 。珥厶g ( 。) 8 。( 。) 于是得到 撬b ，t a j l c ( d 0 1 ) f ( x k ( 酬卜 又由于 i n llil 1 ( d a ) ，( z k ( 缸) ) i l 机( 如) ，( 瓢( 妇) ) | + l ) u k ( d a ) f ( x k ( d a ) ) i k = 1 i l i x k l _ tl忙 b t 所以 。1 + i m 。1 2 ( d n ) ，忙( d 口) ) = 0 ，j 1 ，s ( d o ) k = l 由( 3 2 3 ) 和定义1 2 ，有 n 。l i m 。枷( 出) ，( z 女( 如) ) = 0 ，j 1 ，岛( 如) 根据定义1 2 ，如果，是一个多项式，我们容易证明 ，o ) 岛( 如) ，j = 0 ，1 ，2 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 在 3 s ，定理2 1 】中已经得到如下结果：广义g a 璐s 求积公式 厶，( 。) ( ) 如( z ) 2 荟善( 如) ，( z ( 如) ) ( 3 2 6 ) 对任意多项式，砜都成立由( 3 2 4 和( 3 2 5 ) 易得 0 骢址( 出) ，o ( 。k ( 出) ) = 0 应用( 1 9 ) ，( 3 2 6 ) 与上式得出：关系式 。l ，i r a 。q n ( 如；，) 2 厶，( $ ) ( z ) 如( 。) 2 厶，( z ) 如( 。) 对任意多项式成立根据引理3 1 ，有 o k ( d a ) 0 - ( 3 2 7 ) 由毒墨增以及上面两个式子，可知正的求积序列 ( d a ；，) ) 属于测度 d a 根据定理b 1 对d a ，我们有 。1 + i r a 。q n ( 如；，) 2 厶，( 。) 如( 。) ，s b ( 如) 应用上式于函数 酢，= 筘 我们得到 热1。女(如)，(z(如)2tz ，( $ ) 如( z ) ( 3 - 2 8 ) i l t 。一 箜三主g a u s s 求积公式的收敛性2 1 利用( 3 2 7 ) ，( 3 2 0 ) 和i ，( 圳e g ( 。) 得 i l l i r a s u p l i 蒹t 知“妇汀扛“如 f 纠i m s u p 蒹t ) | m “) f 血1 慨9 吾k o k ( 郴( 州如) ) 6 g ( 。) 如( 。)( 3 2 9 ) pj l 和 1 f ，( z ) 如( z ) + e ，( z ) 如( z ) i 茎e 厶g ( z ) d a ( 础 ( 3 _ 3 0 ) 综合( 3 2 8 ) 一( 3 3 0 ) 以及( 1 9 ) ，当。- 0 时我们证得 。n ，m 。q n ( d a i ，) = 厶，( z ) 如( 巩，s ( 如) 第四章若干注记 多项式插值是一个非常古老而且浩瀚的课题，其理论和方法是数 值分析和数值逼近的重要基础二十世纪兴起的b i r k h o f f 插值为此类插 值的最一般形式g g l o r e n t z ，k j e t t e r ，与s d r i e m e n s c h n e i d e r 的著作 【1 6 1 是第一部关于此类插值的专著它应用联合与插值矩阵的主要技巧 及中值定理的思想研究b i r k h o f f 插值的存在性和唯一性，也即研究了插 值矩阵的正则性问题有兴趣的读者请参见 1 6 插值的一个重要应用 是数值积分公式g a u s s 求积公式是其中的一种) ，空间曲面，曲线拟合 而这些课题又与正交多项式有密切的关系 h e r m i t e 插值矩阵为b i r k h o f f 插值矩阵的特殊情形，该矩阵满足正则 性条件至今仍在讨论的主要问题有： 1 能否证明或推翻以下结论：如果m 女一j 是奇数，且j i s m k 一1 ，则 马 ( z ) c l 最k ( ) i ，z 冗， = 1 ，2 ，。， 1 2 ，n = l ，2 ， 2 。能否给出类似定理a 3 ( a ) 的结果：对，g ( 一。，+ o 。) 相对于某个权函 数在