（计算数学专业论文）时间分数阶偏微分方程的解及其应用.pdf

中文摘要 中文摘要 分数阶微积分是专门研究任意阶积分和微分的数学性质及其应用的领域，是传统的 整数阶微积分的推广，分数阶微分方程是含有非整数阶导数的方程。近几十年里，研究 者们发现分数阶微分方程非常适合用来描述现实生活中具有记忆和遗传特性的问题， 如：分形和多孔介质中的弥散，电容理论，电解化学，半导体物理、湍流、凝聚态物理， 粘弹性系统，生物数学及统计力学等等，因此研究这类方程的性质和数值解法有现实的 理论和应用意义。 本文主要讨论一类时间分数阶空间二阶偏微分方程，讨论其解析解，数值解。 第一章，给出本论文的研究背景和意义，总结了前人所做的工作，并叙述分数阶微 积分的概念和分数阶微积分一些基本定义和性质，详列本论文的研究内容和结构。 第二章，从随机游走和一种随机过程的稳定分布推导出第三章所讨论的反常次扩散 方程和第四章所讨论的时间分数阶扩散方程。 第三章，讨论非齐次时间分数阶反常次扩散方程的解析解，利用分离变量方法 和l a p l a c e 变换分别导出在d i r i c h l e t ，n e u m a n n 和f 沁b i n 三种边界条件下的非齐次反常次 扩散方程的解析解，这些解析解以m i t t 盼l e m e r 函数的形式给出。本章最后说明这个技 巧可以推广到其它类型的反常次扩散方程中。 第四章，考虑时间分数阶扩散方程的数值解。利用关于时间的有限差分格式及空间 的l e g e n d r e 谱方法构造了一种高阶稳定格式，并给出了此方法的稳定性与收敛性分析， 证明了该全离散格式是无条件稳定的，其收敛阶为d ( 户- n + 一m ) ，这里t ，和仇 分别为时间步长，多项式阶数和精确解的正则度。这是目前已知的最好估计。最后的数 值实验结果说明了理论分析的正确性。 在第五章，我们将第四章中数值求解时间分数阶扩散方程的方法推广到生物细胞学 中研究离子运动的时间分数阶c a b l e 方程，同样利用关于时间的有限差分格式及空间的 v i i 中文摘要 谱方法构造一种高阶格式，利用测试的数值例子说明了我们方法的可行性。并用具体例 子说明其应用。 第六章，讨论有限区间上具有初边值条件的非线性时间分数阶f o k k e r - p l a b c k 方程， 利用隐式差分方法构造离散格式，并用能量方法证明了所提出的差分格式的收敛性和稳 定性。最后给出数值例子。 关键词：分数阶微积分：c a p u t o 导数：m e m a n n - l i o u v i l l e 导数；扩散方程；积分变换；谱 方法，差分法。 i i a b s l r a c l f r a c t i o n a lc a k u l u si sab r a i l c ho fs t u d 妒n gt h ep r o p e r t yo fa n yo r d e ri n t e g r a lo r d e r i v a t i v e f a c t i o n a lo r d e rd i 妊e r e n t i a le q u a t i o ni st h ee q u a 土i o nc o n t a i n i n gt h en o i 卜 i n t e g e ro r d e rd e r i v a t i v e ，r a i s i n gf r o mt h es t a n d a r dd i 髓r e n t i a le q u a t i o n sb yr e p l a c i n gt h e i n t e g e r - o r d e rd e r i v a t i v e sw i t hf r a c t i o n a l _ o r d e rd e r i v a t i v 铭 i t sa p p l i c a t i o ni sv e 盯b r o a d ， m a n yr e s e a r c h e r sf i n dt h a tt h ef r a c t i o n a ld i 珏i e r e n t i a le q u a t i o 璐m o r ep r e c i s e l yd e s c r i b e t h ep r o p e r c yo fs o m em a t e r i a l sw i t hm e i n o 巧a i l dh e r e d i t y n a c t i o n a lo r d e rd i 髓r e n t i a l e q u a t i o n sa r ep l a y i n ga ni n c r e a l s i n g l yi m p o r t a n tr o l ei ne n 舀n e e r i n g ，p h y s i c sa n do t h e r f i e l d s ，s u c h 嬲t h ef a c t a lt h e o 盯a n dt h ed i 缸i o ni np o r o l l sm e d i a ，f a c t i o n 越c a p a c i t a n c e t h e o r y e l e c t m l y s i sc h e m i c a l ，厅a c t i o n a lb i o l o 舀c a ln e u r o n s ，c o n d e 璐a t ep h y s i c s ，、，i b r a t i o n c o n t r o l0 fv i s c o e l a s t i c8 y s t e m ，s t a t i s t i c a lm e c h a n i c 8 锄ds 0o n i nt h i sp a p e r ，w 它m a i n l yc 0 璐i d e rt h et i m 伽矗a u c t i o n a la n o m a l o u sd i m 峪i o ne q u a t i o n ， d i s c u 鹃i t sa i l a l y t i cs o l u t i o n ，n u m e r i c a ls o l u t i o na n di t sa p p l i c a t i o n i nc h a p t e r1 ，t h ed e v e l o p m e n t a lh i s t o 盯0 ff r a c t i o n a l lc a k u l u sa n dt h ee 嫡s t i n gw - 0 r k a b o u t 在a c t i o n a lc a l c i l l 砸a r er e v i e w e d w b 砒s 0r e c d us o m ed e 血i t i o 璐a i l dp r o p e r t i 鹄o f t h ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e su s e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，t w ot i i n e _ f a c t i o n a la n o m a l o u s 出鼬i o ne q u a t i o 璐a r ed e d u c e df 的m t h er a n d o mw a l l 【a n das t a b l el a w t h e s et w oe q u a t i o n sw mb ei l w 箦t i g a t e dn u m e r i c a l l y i nt h en e 】c tt w oc h a p t e r s i nc h a p t e r3 ，t h es o l u t i o no ft i n l e 在a c t i o n a la n o m 山l l sd i f f h 8 i o ne q u a t i o ni sd 珏 c u s s e d u s i n gs e p 缸a t i o no fv a r i a b l em e t h o d sa n dl a p l a c et r a 璐f o r m ，t h ea n a 虮i c a ls o l u - t i o 璐o fan o n h o m o g e n e o u sa n o m a l o u ss u b d i 觚i o ne q u a t i o nw i t hd i r i c h l e t ，n e u m a n n a n d 王砧b i nb o u n d 觚yc o n d i t i o n sa r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l y t h es o l u t i o ni se x p r e s s e di n t e m so ft h em i t t 盼l e m e rf u n c t i o n t h e s et e c h n i q u e sc a nb ea p p l i e dt os o l v eo t h e rk i n d s o fa n o m a l o u sd i f f u s i o np r o b l e i i ：噶 i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rat i m ef r a c t i o n a l 觚o m a l o u sd i m l s i o ne q u a t i o no na 丘一 n i t ed o m a i n w bp r o p o s ea ne m c i e n tf i n i t ed i n i e r e n c e s p e c t r a lm e t h o dt os o l v et h et i m e f r a c t i o n a ld i 肋s i o ne q u a t i o n s t a b i l i t ya n dc o i l v e r g e n c eo ft h em e t h o da r er i g o u r o u s l y e s t a b l i s h e d w ep r a v et h a tt h ef u l ld i s c r e t i z a t i o ni su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e ，趾dt h en u _ m e r i c a ls o l u t i o nc o n v e r g e st ot h ee x a c to n ew i t ho r d e rd ( 2 一口+ 一m ) ，w h e r e t ， a n dma r et h et i m es t e ps i z e ，p o l y n o m i a ld e 留e e ，a n dr e g u l a r i t yo ft h ee x a c t8 0 l u t i o n r e s p e c t i v e l y n u m e r i c 址e x p e r i m e n t sa r ec a r r i e do u tt os u p p o r tt h et h e o r e t i c a lc l a i m s i nc h a p t e r5 ，忙g e n e r 出i z et h em e t h o dt h a tw eh a v ep r o p o s e di nt h ec h a p t e r4t o t h et i m ef r a c t i o n a lc a b l ee q u a t i o nf o rm o d e l i n gn e u r o n a ld y n a m i c 8 n u m e r i c a lr e s u l t s a r ep r e s e n t e dt os h o wt h ea p p l i c l b i l i t yo ft h em e t h o d i nc h a p t e r6 ，w ed i s c l l s so n ec l a s so fn o n h n e a r 乞i m e 矗a c t i o n a l lf o k k e r - p l 锄c k e q u a t i o nw i t hi n i t i a l b o u n d a 叮v a l u eo naf i n i t ed o m a i n t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e o faf i l l i t ed i f f e r e n c em e t h o da r ed 谄c u s s e db ye n e r g ym e t h o d s an u m e r i c me x 锄p l ei s p r e s e n t e dt oc o m p a r e 丽t ht h ee x a u c t 趾a 虮i c a ls o l u t i o n k e yw o r d s ：n a c t i o n a lc a l c u l u s ，c a p u t od e r i v a t i v e ，r i e m a i i n l i o u v i l l ed e r i v a t i v e ，d i m 卜 8 i o ne q u a t i o n ；i i l t e g r a lt r 舭蝎f o r m ，s p e c t r a lm e t h o d s ，丘i l i t ed i 舵r e n c em e t h - o d s x 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人 在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标 明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：希尹参、l ，词 w 扩年占月7 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有 权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密 ( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 作者签名：孝轨tf 目 日期：溯占年占月7 日 导脚：么弘哕：纠譬6 月7 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 分数阶微积分理论是数学分析的一个分支，是专门研究任意阶积分和微分的数学性 质及其应用的领域，是传统的整数阶微积分的推广。分数阶微积分的概念有很长的历 史，最早提出这一思想的是数学家l e i b n i z ( 1 6 9 5 年) ，他提出了1 2 阶导数，在他之后， e u l e r ( 1 7 3 0 年) 观察到铲的非整数p 阶导数学是有意义的，l a p l a c e ( 1 8 1 2 年) 提出了对 可用积分厂丁( ) q 班表示的函数进行非整数阶微分的思想。f 0 u r i e r ( 1 8 2 2 年) 建议用公 式 掣= 去凇巾胁叫+ 础) 出 来定义非整数阶导数，a b e l ( 1 8 2 3 1 8 2 6 年) 、l i o u v n l e ( 1 8 3 2 1 8 7 3 年) 、瞰e m a n n ( 1 8 4 7 年) 等先后也在该领域做出了杰出的贡献。在近几十年里，研究者们发现，分数阶微积 分算子与整数阶微积分算子不同，具有非局部性，从而非常适合用来描述现实生活中 具有记忆和遗传特性的材料，如：分形和多孔介质中的弥散，电容理论，电解化学，半 导体物理，湍流，凝聚态物理，粘弹性系统，生物数学及统计力学等等。n u t t i n g 【1 】( 1 9 2 1 年) 、g e m a n t l 2 】f 3 】( 1 9 3 6 年，1 9 3 8 年) 、s c o t t b l a i r 【4 】( 1 9 4 9 年) 将分数微积分理论引入 粘弹性材料的本构关系；前苏联著名科学家r a b o t n o v l 5 ，6 l ( 1 9 4 8 年，1 9 8 0 年) 在介绍具 有弱奇核遗传效应固体力学时也暗示了需要分数微积分理论；另外，c a p u t o m ( 1 9 6 6 年) 、m a i n a r d i 【8 】f 9 】( 1 9 7 1 年) 等发现分数微积分理论在有关地震、冶金等方面也有很 好的应用。m a n d e l b r o t f l o l 提出分形学说，将瞰e m a n n - l i o u v m e 分数阶微积分用以分析 和研究分形媒介中的布朗运动，s c h u n l e r 等【1 l j 在研究多孔介质中溶液传输e u l e r i a n 估计 时，用分数阶f i c k 定律代替传统的f i c k 定律得到的分数阶对流扩散方程，l u 等【1 2 】将 第一章绪论 三维的分数阶对流扩散方程应用到多孔介质中传输问题，同年e l i 【1 3 】在讨论时间连续 的随机游走路径时，提出了分数阶扩散方程，并且展示了分数阶的扩散方程能够很 好地描述随机游走粒子的运动轨迹。w 妇g 等【1 4 1 ( 2 0 0 5 年) 在讨论悬移颗粒运动轨迹 时，运用随机分形动力学方法，导出了悬移颗粒运动特征值的理论分布，其中一种分 布的动力学基础就是分数阶方程。同年蝎i l y 等在文献【1 5 l 中为了描述分形介质，对分 形上的积分采用分数阶积分进行近似，于是从分形介质中的变形e u l e r - l a g r a n g e 方程 推导出分数阶的广义g i n z b u r 哥l a n d a u 方程以及非线性的分数阶s c h r i j d i n g e r 方程。随后 在n a n c i s c o 等1 1 6 】( 2 0 0 6 年) 在研究无序多孔介质中的反应扩散问题时，采用平均体积法 以及进行必要的简化后，得到了描述有效物质浓度动力学的流量守恒方程一一分数阶 的c a t t a n e o 定律方程。 随着分数阶微分方程涉及到的应用学科越来越多，分数阶微分方程的研究引起了人 们广泛的关注，逐渐成为一个新的活跃的研究领域，分数阶微积分在许多学科的现代工 程计算中得到了广泛关注和应用，从而如何求解分数阶微分方程就成为一个紧迫和重要 的研究课题。1 9 8 6 年【1 7 】讨论了时间分数阶扩散方程，给出了含有e d x 函数形式的解 析解，s c h n e i d e r 和w y s s 【1 8 j 在1 9 8 9 年将这一结果推广到时间分数阶扩散波动方程，同样 利用f 0 x 函数得到相应的g r e e n 函数，1 9 9 5 年白俄罗斯的l u c h k 0 和加拿大的s r i v a s t a v a l l 9 】 借助于分数阶m e m a j l n l i o u v i n e 算子的关系和性质给出了一类含m e m 觚n - l i o u v i u e 分 数阶导数的常微分方程边值问题的解，随后l u c h k o 和德国的g o r e n f l o 在1 9 9 9 年m 】还类 似地求解了一类含c a p u t o 分数阶导数的常微分方程初值问题。2 0 0 0 年g o r e n i l o 【2 l 】讨 论了时间分数阶扩散波动方程，利用l a p l a c e 变换得到了含有e d x 函数的变尺度解。 在2 0 0 1 年m a i n a r d i 等矧讨论了含有空间r 启i s z f i e u e r 分数阶导数、时间c a p u t o 分数阶导 数的时间空间分数阶对流一扩散方程，通过m e u i n 变换，根据复平面上的m e u i n b a m e s 积 分形式得到了方程的g r e e n 函数的一般表达式。2 0 0 3 年l i u 等【2 3 】讨论了时间分数阶对 流扩散方程的复数解。在2 0 0 5 年h u a n g 和l i u 【2 4 2 5 】把时间空间分数阶扩散方程推广到时 间一空间分数阶对流弥散方程，利用积分变换得到方程的基本解，a g r a w a l 【2 6 】利用分离 2 第一章绪论 变量方法导出了具有c 印u t o 导数的齐次时间分数阶扩散方程的齐次d i r i c h l e t 边界条件 下的分析解。c h e n 【2 7 】等也利用分离变量方法导出了具有c a p u t o 导数的时间分数阶电报 方程的分析解。 由上面的文献可以看到，分数阶微分方程的解析解大多含有特殊函数，要计算这 些特殊函数是相当困难的，于是越来越多的研究者转而讨论分数阶微分方程的数值 解。1 9 9 9 年p o d l u b r y 在关于分数阶微积分的专著c 2 8 j 中提到一些分数阶常微分方程的数 值解法，可是全书在数值解法方面没有给予证明。目前关于数值解研究方面，首先开始 于分数阶常微分方程的数值近似。奥地利的l u b i c h 教授在1 9 8 6 年提出了用分数阶的线性 多步法解分数阶常微分方程例。德国的d i e t h e l m 教授等提出了用外推法跚l 、预估校正 法【3 1 1 、2 0 0 4 年沈和刘在文献【3 2 l 中对分数阶b a g l e y t o r v i k 方程提出一种计算有效的数值 方法，同年d i e t h e l m 在文献例中提出解分数阶常微分方程的a d a i n s 方法，2 0 0 6 年杨和刘 在文献酬中对分数阶r e l a x a t i o n - o s c i l l a t i o n 方程提出了分数阶预估一校正方法，给出了 误差估计，2 0 0 7 年l i n 和l i u 在文献1 3 5 】中对非线性常微分方程提出高阶方法，并给出了该 数值方法的稳定性和收敛性证明，这是分数阶常微分方程数值解法方面的一个开创性工 作，t a m l a n g l a n d s 冈等人通过简化分数阶n e r n s t p l a n k 方程推导出分数阶c a b l e 方 程研究神经元中不同离子次扩散运动，并讨论了其在不同边界条件下的的解析解。 分数阶偏微分方程数值近似的研究起步相对晚一些，理论分析方面目前还比较有 限，从2 0 世纪末开始g o r e n a o 【3 m 1 】等陆续考虑了时间导数为整数阶或c a p u t o 分数阶，空 间导数为r i e s z - f e l l e r 位势算子的时间、空间、时间空间分数阶扩散方程，借助于一定 条件下m e m a n n - l i o u v m e 分数阶导数与g r u n w a l d l e t n i k o v 分数阶导数的等价性，用移 位的g r u n 硼1 d - l e t n i k o v 技巧逼近硒e m a n n l i o u v i u e 分数阶导数( 即用移位的g r u n w a l d - l e t i l i k o v 分数阶导数级数表达式中有限项级数和来近似硒e m a l l m l i o u 砌e 分数阶导数) ， 得到方程的有限差分离散近似格式，进而把相应的离散格式解释成时间、空间、时间一空 间上的离散随机游走模型。此外，在文献【如】中，作者还进一步证明了离散格式在分布 意义上的收敛性。2 0 0 2 年刘发旺教授等在海水浸入地下水层的研究项目中发现，具有 3 第一章绪论 长尾运动的地下水传送过程与分数阶导数的性态非常相似【4 2 】，首次提出了一种计算 有效的分数阶行方法，它的主要思想是采用自动变阶( 1 5 阶) 变步长的向后差分公式， 成功地描述了示踪剂在地下水层的运动，证实了分数阶偏微分方程能更精确地模拟 具有长尾性态的溶质运动过程f 2 3 ，4 2 刮。2 0 0 3 年美国的l y n c h 等】利用了两种方法：三 点和四点差商对输送方程中的左侧r - l 分数阶导数进行数值积分，得到输送方程的显 式和半隐式近似离散格式。但并没有给出这两种格式的收敛性和稳定性分析。2 0 0 4 年 新西兰的m e e r s c h a u e r t 和叫i e r a n m 考虑了空间分数阶对流一弥散方程，利用f 0 u r i e r 变换 法对移位g r u n w a l d - l e t n i k o v 算子近似& e m a n n _ l i o u v i l l e 导数的误差做了估计，得到一 阶收敛的结论，并指出若用标准的g r u n w a l d l e t n i k o v 算子对瞰e m a i l n l i o u “u e 导数进 行数值逼近所得的数值离散格式无论是显式还是隐式格式都是不稳定的，而用移位 的g r u n w a l d - l e t n i k o v 算子进行逼近时显式是条件稳定，隐式则是无条件稳定的，且 收敛阶为一阶。随后在2 0 0 6 年他们【4 7 】用同样的方法考虑了双侧空间分数阶扩散方程 的显式离散和数值分析，同时还讨论了二维变系数分数阶弥散方程的有限差分逼 近【删，提出了一种计算有效的算法( 交替方向法) ，给出了详细的稳定性和收敛性分 析。t e 和a c e d o t 【4 9 1 对反常次扩散问题提出一种显式有限差分方法和一种新的v o n n e u m 锄类型的稳定性分析，但是他们没有给出收敛性分析，并且指出若利用隐式有限 差分方法，将是很困难的任务。l a i l g l a n d s 和h e n 可删也考虑解反常次扩散问题，他提出 一种隐式近似格式( l 1 近似) ，并讨论了精度和稳定性。但是这个隐式近似格式的整体精 度没有导出，对所有的7 ( o ，y 1 ) 的无条件稳定性没有建立。l i u 和l i u 【5 1 】把文献中 考虑的分数阶扩散方程推广到分数阶对流一扩散方程，用移位g r u 矾柚d l e t n i k o v 技巧逼 近l 6 v y f e l l e r 算子，得到的离散格式可用于模拟随机游走现象，进一步还讨论了方程在 有限区间上的数值解。z h u a i l g 和l i u 等【5 2 】提出一种隐式方法和分析技巧求解时间分数阶 反常扩散方程，利用能量方法给出了稳定性和收敛性的详细证明。c h e n 和l i u 等瞰l 利用 新的f 0 u r i e r 方法，也讨论这个问题。 上述这些文献都仅限于有限差分离散( 包括数值积分和移位g n m w a l d l e t n i k o v 技 4 第一章绪论 巧) ，凡是涉及到r _ l 分数阶算子的数值近似格式的收敛阶都不超过1 阶，目前为止其它 的数值方法在分数阶领域里应用得较少。2 0 0 4 年美国的f i ) ( 和r d o p 酬采用最小二乘有 限元法对两点边值问题进行数值近似，随后r d o p 在其博士论文【5 5 】里考虑了空间分数阶 对流弥散方程的有限元逼近，当问题的解满足一定的正则性时可使离散格式的收敛阶 达到高阶( 2 阶以上) 。b a u e u m e r 等1 5 吲考虑了刻划物种增长和弥散的非线性反应扩散方 程的数值解，利用算子分裂技巧给出了该方程初值问题的数值解，并对数值解的性质作 了讨论，但没有给出数值离散格式的稳定性和收敛性分析。 近年来，分数阶偏微分方程( f p d e ) 在数学模型中的应用越来越多普遍，分数阶偏 方程大致地可分为三大类：空间分数阶偏微分方程，时间分数阶偏微分方程和时间空 间分数阶偏微分方程。时间分数阶偏微分方程最简单的是时间分数阶扩散方程，它是 关于标准扩散方程的推广，是反常扩散方程。在标准扩散方程中，对时间的一阶导数 用0 到1 之间的分数阶导数代替，空间仍为二阶导数，称之为时间分数阶反常( 次) 扩 散方程。如果用1 到2 之间的分数阶导数代替对时间的一阶导数，称之为时间分数阶扩 散一波动方程。本文，我们考虑时间分数阶反常扩散方程( t f d e ) ，它们是由连续随机游 走问题推导而来，是非m a r l c 晰锄的。从物理意义上讲，分数阶导数表示扩散物质具 有长时间记忆，它是一种表征非局部的整体算子，是一种超长意义下的极限。本文我 们首先利用分离变量法及l a p l a c e 变换求解出分数阶反常扩散方程在三种不同边界下 的解析解，并说明此方法可推广到其他类型的分数阶反常扩散方程。接着我们结合 有效的差分l e g e n d r e 谱方法求解有限区域上具有初边值问题的时间分数阶扩散方程， 并证明此方法在时间上有( 2 一a ) 阶精度，空间上具有谱精度。基于时间向后差分和 空间c o u o c a t i o n 方法，我们得到了时间( 2 一口) 阶收敛，空间指数阶收敛，并证明对于 q 【o ，1 1 ，关于时间步长是无条件稳定。后面给出的一些数值结果与精确解相比较也证 一 实我们的理论推导的正确性。我们注意到由于“整体独立一问题，时间分数阶微分方程 数值解的计算目前只限于较简单的情形( 如低空间维数或较小时间积分) ，根据分数阶 导数的定义，“时刻的解与前面t 0 ，定义 ( z 硼( z ) 乩劣( z ) = 志( f 叫p 1 玳) 鹰 为q 阶的右侧m e m a n n l i o u v i u e 分数阶积分。 7 第一章绪论 定义1 4 ：( 左侧m e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数) 设，( z ) 是定义在( 口，6 ) ( 口，6 有限或o o ) 上的可积函数，q 0 ，设n 是比q 大的最小整数一1 a 0 ，设n 是比q 大的最小整数( n 一1 q 一l 。 幂函数护的a 阶c a p u t o 分数阶导数为： 5 霹矿= 揣一。m q m 1 3 2 分数阶算子的复合运算 分数阶算子在一定条件下可以进行复合运算 引理1 1 ：对于q ，p o ，假设当z n 时，( z ) 连续，则 d e ( a 霹， ) ) = 口霹( 口霹， ) ) = a 譬+ 卢，( z ) ，z 口 ( 1 3 ) ( 1 5 ) 引理1 2 ：设m 一1 n 仇，n 一1 p n ( m ，n n ) ，且已给的算子有意义，则有 捌肋) _ 口妒他) - 喜防训一总高， a 磋( 口霹，( 圳= 口霹郇，( z ) 一喜【口磁础m ) k b 踹 引理1 3 ：设z 8 时，( z ) 连续，且当q p o 时，导数口苫一卢，( z ) 存在，则有 口p ；g 覃，( z ) ) = 口p 呈一卢，( z ) 9 ( 1 6 ) ( 1 - 7 ) ( 1 8 ) 第一章绪论 引理1 4 ：若m 一1 口 a ， 训护篆产) ( 口+ ) 砉口 = 弛) 一产( 口+ ) 吾，z 口 七= 0 ( 1 - 1 2 ) ( 1 1 3 ) 1 3 3 分数阶导数的积分变换 下面介绍分数阶导数的积分变换。通常积分变换是可以用来解析求解整数阶微分 方程，对于分数阶导数来说，各种积分变换也是解析求解分数阶微分方程的重要手段之 首先，函数，( t ) 的l a p l a c e 变换定义为 f ( s ) = 工 ，0 ) ；s ) = e 一时，( ) d 亡 ， - ，口 函数，( t ) 的m e m a n n - l i o u v i u e 分数阶导数的l a p l a c e 变换满足关系式 n 一1 l n d ，( t ) ；s = 矿f ( s ) 一l 研一j - 1 ，( ) 。：口， j = 0 1 0 第一章绪论 其中n l q n 。 函数，( ) 的c a p u t o 分数阶导数的l 印l a u c e 变换满足关系式 r n 一1 三 ：四邢) ；s ) = ，m ) 一s o 一1 叫，u ( 口+ ) ( 1 1 4 ) j = 0 还有一个常见的积分变换，就是f o u r i e r 变换。函数9 ( ) 的f 0 u r i e r 变换定义为 g ( u ) = ， 9 ( t ) ；u ) = e 幻0 ( ) 出 ， ，一 可以看到，对一个函数夕( t ) 进行f o u r i e r 变换，要求9 ( ) 在整个实轴上有定义，所以采用无 穷区间上的分数阶导数定义是合理的。因此分数阶导数定义是 划颓归南箸等， 其中n 一1 1 ( 1 - 1 6 ) 、 上一工u ， 【岛( z ) = 1 ， 三1 ( z ) = z ， n 三二+ 1 ( z ) = ( 2 凡+ 1 ) z 以( z ) 一( n + 1 ) 三n + l ( z ) l ：l l ( z ) ( 1 1 7 ) i l ；( z ) = o ，三i ( z ) = 1 几个不等式 几个关系式 l l n ( z ) i l ， 础圳掣， l o ( z ) + l 1 ( z ) + + 三n ( z ) 0 黝出= 南( 删) ， ：( l ：l ( z ) ) 2 ( 1 一妒) d z = 塑蓦兰亭产 o ) ， ( l ：l ( z ) ) 2 ( 1 一) d z = 竺掣( n o ) ， ，一l ，t l 礼l n ( z ) = z l ：( z ) 一l ：i l ( z ) ， l ：( z ) = z 三：l l ( z ) + 佗l n l ( z ) ， l ：l + l ( z ) 一l ：i 一1 ( z ) = ( 2 死+ 1 ) l n ( z ) ， ( 1 一z 2 ) l ：( z ) = n ( l n 一1 ( z ) 一z l n ( z ) ) ， ( 1 一z 2 ) e ( ) = ( 孔+ 1 ) ( 。厶( z ) 一l n + 。( z ) ) ， ( 1 彳) 础加料( k 。( 矿( 硼 1 2 第一章绪论 1 4 2 二次型数值积分 g a u s s 型 ，1 上。m 皿2 善“纠m 小如肛h 这里g 为l b ) 的零点，6 岛 白；权系数风由下式给定： g a l l s s l o b a t t o 型 店。 2 ( 1 一尝) ( l 么( 幺) ) 2 i = 1 ，2 ， ，- l 上。巾肛善胎一w 卯：肛t ， 点& 是( 1 一z 2 ) ) 的零点，一1 = 岛 1 和一l 妇= l ；权系数蛾满足 蛾2 2 ( + 1 ) ( 已) 2 特别地，蛐= = 万南 1 3 l = 0 ，l ，2 ， 第二章时间分数阶扩散方程和分数阶反常次扩散方程 第二章时间分数阶扩散方程和分数阶反常次扩散方程 历史上，扩散方程是从两个不同的角度建立和发展起来的，一种是从f i c k 第一、第 二定律建立通量与流的本构关系来研究扩散方程的，另一种是从随机游走的观点来研究 的。在建立了分数阶本构关系和分数阶随机游走的广义概念之后，从这两方向又给出分 数阶反常扩散方程的一致形式脚，6 1 】，用来模拟反常扩散过程。整数阶扩散方程的解是一 个g a u s s i a n 分布函数，与此类似的是，时间分数阶扩散方程的解也是一个稳定分布函数， 是一个具有平均等待时间为无穷大的独立同分布的随机变量序列的极限分布函数。本章 我们从随机游走和一种稳定分布过程推导后面所讨论的时间分数阶反常扩散方程 2 1 随机游走模型 本节参考r 0 0 p 【5 5 】推导含有时间分数阶扩散方程，从随机游走模型的概念出发，然 后推导出一维扩散过程的主方程。在各种不同条件下，随机游走模型可以推导出不同形 式的扩散方程。 通常扩散过程被认为是时间、空间随机游走的结果，考虑一个随机游走过程，游 走粒子在随机时刻以随机步长跳跃。假设游走粒子的跳跃时刻为独立同分布的随机变 量正、乃，以及在时刻正粒子跳跃的步长也是独立同分布的随机变量x 1 、恐。假 设游走粒子在初始时刻的位置为凰，由此在时刻，粒子经过若干次的随机跳跃后所在 的位置是： n 其中批= m 口z 佗l 正) 。 s ( ) = 弱+ 五， 1 5 第二章时间分数阶扩散方程和分数阶反常次扩散方程 定义函数砂( z ，) 为( x ，正) 的联合概率密度，因此在两次跳跃之间，跳跃步长和时间 的边际密度函数可以表示为： ， a ) = 矽( z ，z ) d z ，叫( ) = 1 ；c ，( z ，t ) d z ，( 2 1 ) ，0，一 a ( z ) 是描述每个跳跃步长五的密度函数，