（计算数学专业论文）用投影maor迭代算法求解几类变分不等式问题.pdf

用投影m a o r 迭代算法求解几类变分不等式问题 摘要 互补问题和双边障碍问题是两类基本的变分不等式问题广泛应用于物理学、 最优控制理论、工程技术、交通配流和经济平衡模型等领域因此，研究其快速数 值解法是很有意义的近几十年来，人们提出了许多有效的算法，在本文中，我们讨 论和研究了关于隐互补问题，隐双边障碍问题以及带非线性源项的隐双边障碍问 题的投影修正加速超松弛迭代( 即m a o r ) 算法 m a o r 迭代算法最早用于求解线性方程组，这种迭代算法包含了几类经典的 松弛迭代m a o r 迭代算法的优越性在于它有多个松弛因子，我们可通过适当选取 这些松弛因子使其收敛速度加快本文将m a o r 迭代算法推广用于求解一类l 一 矩阵的隐互补问题，即建立解隐互补问题的投影m a o r 迭代算法我们证明了由 投影m a o r 迭代算法产生的迭代序列的聚点是隐互补问题的解并且，当隐互补 问题中的系数矩阵是m 一矩阵时，算法产生的迭代序列单调收敛到隐互补问题的 解我们还讨论了用投影m a o r 迭代算法求解隐双边障碍问题，与解隐互补问题 类似，从问题的上、下解集出发我们得到了算法的单调收敛性此外，我们还研究 了求解带非线性源项的隐双边障碍问题的投影m a o r 迭代算法，在算法的构造以 及收敛性定理的建立方面都有与求解隐双边障碍问题相平行的结果文章最后一 部分的数值实验验证了我们收敛性理论的正确性和算法的有效性 关键词：投影m a o r 算法；隐互补问题；隐双边障碍问题；非线性源项 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t c o n l p l e n l i e l l t a r i t yp r o b l e n l sa n dt w d s i d e do b s t a u c l ep r o b l e m s 盯et w ob a s i cc l a s s e so f v a r i a t i o n a l i n e q l l a l i t i e 8 ，b r o a d l ya p p l i e dt op h y s i c s ，o p t i m a lc o n t r o lt h e o 吼e n g i n e e r i n g t e c h n i q l l e ，t r a m ca s s i g l l 玎1 e n ta n de c o n o m i ce q l l i l i b r i am o d e i i n g ，e t c s oi ti ss i g l l i 6 c a n t t oe s t a b l i s hr 印i dn u m e r i c a lm e t h o d st os o l v et h e f ；ep r o b l e m s o v e rt h ep a s td e c a u d e s ， l o t so fe 伍c i e n ta l g o r i t h m sh a l v eb e e nd e v e l o p e d i nt h i sp a p e r ，w r ed i s c u s sa n da n a l y z e p r o j e c t i v em o d i f i e da c c e l e r a t e do v e r r e l a x a t i o n ( m a o r ) a l g o r i t h mf o rs o l v i n gi m p l i c i t c o m p l e n l e n t 甜j t yp r o b j 锄1 s ，j m p l j c i tt w o s i d e do b s t a c i ep r o b k m sa n di mp l i c i tt 矾协s i d e d o b s t a u c l ep r o b l e m sw i t hn o n l i n e a u rs o u r c et e r m s m a o ra l g o r i t h mw a sf i r s t l yd e v e l o p e dt o ；o l v el i n e a rs y s t e m s ，a n di ti n c l l l d e sm a n y c l a s s i ci t e r a t i v e 脚e t h o d s m a o ra l g o r i t h mm a yb eb e t t e rt h a no t h e ri t e r a t e s ，f o ri t h a sm o r er e i a x a t i o nf a c t o r s ，w h i c hc a nb ec b o s e np r 叩e r l yt o 犹c e l e r a t et h ei t e r a t i o n p r o c e s s i nt h i sp a p e r ，w ee x t e n dm a o ra l g o r i t h mt os o l v ei n l p l i c i tc o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m sw i t b 厶一m a t r i x w 舀e f ；t a b l i s hap m j e c t i v em a o ra l g o r i t h m 粕ds h o wt h a ta n y a u c c l l m l 】l a t i o np o i n to ft h ei t e r a t i o ng e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h ms o l v e st h ei n l p l i c i tc o m p l e m e n t a u r i t yp r o b l e m m o r e o v e r ，w h e nt h ec o e 币c i e n tm a t r i xai n v o l v e di nt h ep r o b l 伽i s 锄 m m a t r i x ，t h es e q l l e n c em o n o t o n i c a l i yc o n v e r g e f ；t ot h es o l u t i o n w 毫a l s ou 舱p r o j e c t i v e m a o ra l g o r i t h mt os o l v ei m p l i c i tt 、) l r 伊s i d e do b s t a c l ep r o b l e m s t h e a l g o r i t h m sb a s e do n t h es e to fl o w e rs o l u t i o n sa n du p p e rs o l u t i o n sr e s p e c t i v e l ya 1 8 0p o s s e s st h em o n o t o n ec o n v e r g e n c e m o r e o v e r ，w ed i s c l 】s sp r o j e c t i v em a o ra l g o r i t h mt os o l v ei m p l i c i tt w o - s i d e d p r o b l e m sw i t hn o n l i n e a rs o l l r c et e 瑚s ，a n ds i m i l a rt h e o r e t i c a ir e s u l t s 扑eo b t a i n e d i n t h el a s ts e c t i o no ft h i sp 印e r ，m l m e r i c “e x p e r i m e n tt e f ；t sa u r ep r e s e n t e d ，w h i c hv e r i f yt h e r e s l 】l t sw eo b t a i n e d k e y 厂o r d s ：p r o j e c t i v em a o ra l l g o r i t h m ；i m p l i c i tc o m p i e m e n t a u r i t yp r o b i e m s ；i m p i i c i t t 、7 l r 0 - s i d e do b s t a u c l ep r o b l e m 8 ；n o n l i n e a u rs 0 1 1 r c et e n m s i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律后果由本人承担。 作者签名：位江钉 日期：姗年绎月占日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签 导师签 日期：d 印g 年 日期0 矿1 7 分年 牛月易日 甲月6 日 硕士学位论文 1 1概述 第1 章绪论 在实际应用中，由工程技术、最优控制理论、经济与交通运输等领域产生的 问题往往是大型稀疏问题直接法在解决问题的过程中一般不能保持原问题的稀 疏性，而迭代法不仅能保持原问题的稀疏性，节省计算机的储存量和运算量，并且 迭代法具有循环的计算公式，编程简单，因此更适应于求解大型稀疏问题熟知的 迭代法有雅可比( j a 0 0 b i ) 迭代、高斯塞德尔( g a u 瓣s e i d e l ) 迭代、逐次超松驰 ( s o r ) 迭代【1 ”3 j 1 9 7 1 年y 0 u n g 【4 】在他的著作中提出了修正超松驰( m s o r ) 迭代， 随后m a n i n 8 等人对m s o r 迭代算法的收敛性质进行了深入的研究【5 “8 j 1 9 7 8 年 h 喇i d i m o s 【9 l 提出了加速超松弛( a o r ) 迭代，m a r t i 璐与胁衄等人分析研究了其 收敛性厨1 0 “圳1 9 9 2 年h a d j i d i m 、p s i m 帅i 和y e y i 【1 5 】对a o r 迭代进行了修 正，形成了修正加速超松驰( m a o r ) 迭代下面给出求解线性方程组的m a o r 迭 代算法具体的迭代格式 考虑线性方程组 血= 6 ，a 俨肌 ( 1 1 ) 首先将系数矩阵a 进行分解a = d l u ，其中d 为非奇异对角阵，l 为严 格下三角阵，u 为严格上三角阵则解线性方程组( 1 1 ) 的m a o r 迭代算法如下定 义： 。 f 矿+ 1 = e n t r z 七+ 妒n ，r ， 七= o ，1 ， e n ，r = ( d r l ) 一1 【( ，一q ) d + ( q r ) l + q u 】， ( 1 2 ) 【如，r 声= ( d r l ) 一1 q 6 其中q = d i a g ( u l ，忱厶) ，u l ，叻0 ，r = d i a g ( 彳 ，一y 厶) ， 俨- 期- 几种常见的古典迭代算法都是m a o r 迭代算法的特例例如，当彳= ，y = 0 ， u l = 忱= 1 时为j a c o b i 迭代，其迭代矩阵为b = d 一1 ( l + u ) ；当彳= ，y = 1 ，u l = 忱= 1 时为g a u s s - s e i d e l 迭代，其迭代矩阵为g = ( d l ) 一1 u ；当彳= ，y = t i ，l = 忱= u ， 并且u o 时为s o r 迭代，迭代矩阵为乩= ( d u 三) _ 1 【( 1 一u ) d + u 卅 当系数矩阵以为二阶循环矩阵时，特别地，设矩阵a 具有以下形式： a = ( 二龄 3 7 用投影m a o r 迭代算法求解几类变分不等式问题 其中d l ，d 2 是非奇异对角方阵，对矩阵a 作分解a = d 一三一u ，这里 。= ( 言三) ，l = ( 三：) ，u = ( ：苫) c 1 4 ， 容易看出，当矩阵a 具有( 1 3 ) 这种形式时，m a o r 迭代算法与彳无关，因此迭 代矩阵可写成 e u ，2 。1 = ( d 一，y l ) 一1 【( ，一q ) d + ( 叻一，y ) 己+ u l 硼 = 葛凄引1 刊屯! ：豢吲珂) ( 1 5 ) 此时，如果，y = 忱，则m a o r 迭代算法退化为m s o r 迭代算法，相应的迭代矩阵为 e u 。地= ( d 一忱l ) 一1 【( ，一q ) d + u l u 】 = 薯凄。舢刊如：差埘日) n 回 并且，如果，y o ，不难验证这时m a o r 迭代算法是一种外推的m s o r ( e m s o r ) 算 法，外推参数是忱7 ，松弛因子是u 1 7 忱与1 ，即其迭代矩阵为 瓯。，2 ，了= ( 1 一等) ，+ 等e p 。彩峨) ，7 ( 1 。7 ) ， 自h 删i d i m o s 等人在1 9 9 2 年提出m a o r 迭代算法并从其迭代矩阵的特征值 与j a u c o b i 迭代矩阵的特征值之间的关系出发分析了m a o r 迭代算法的收敛域，其 后也有一些学者对m a o r 迭代算法用于求解线性方程组的收敛性质进行了研究， 并且一般都假定系数矩阵月为二阶循环矩阵下面我们给出m a o r 迭代算法用于 求解线性方程组( 1 1 ) 的一些理论成果，参见文献【1 5 一l7 】 定理1 1 1 设a 为正定矩阵，当 0 u l 忱，y 2 ，屹 2 ， 或者 o 忱u l 2 ，峨s7 竺塑 甜l 时，m a o r 迭代算法用于求解线性方程组( 1 1 ) 收敛 p ( a ) 表示矩阵a 的谱半径定义r i ( a ) = 马d l ，t = l ，n ) 记 = 1 罢妒 n ( d - 1 l ) ) ，缸2 嘤努( n ( d - 1 u ) ) 一2 一 ( 1 8 ) 硕士学位论文 定理 1 1 2 设a 为严格对角占优矩阵，当 o 小击，o 忱 南， 一掣掣 7 虮 掣掣， 层( 1 + t ) 叫、 z ( 1 + t ) 或者 o 小击，南5 屹 志， 一掣掣 w t 爿群 时，m a o r 迭代算法用于求解线性方程组( 1 1 ) 收敛 定理1 1 3 设a 为l 一矩阵；则当o u l 1 ，0 叻l ，o ，y 眈时，下面 结论成立： ( 1 ) o p ( b ) 1 当且仅当 j d ( e 叭魄订) ( 2 ) p ( 曰) 1 当且仅当 并且 罂镑 l 一咄+ 咄p ( b ) ) 1 p ( e 。触，1 ) 1 ， p ( e u 。加，1 ) 型弓( 1 一咄+ 咄p ( b ) ) 1 定理1 1 4 设a 为l 一矩阵，则下列结论等价： ( 1 ) a 为m 一矩阵 ( 2 ) j d ( b ) i ( 3 ) 当o u l 2 【l + p ( b ) 】，o 叻 2 【1 + p ( b ) 】，o ，y 忱时，m a o r 迭代算法 用于求解线性方程组( 1 1 ) 收敛 记j a c o b i 迭代矩阵b 的特征值为 胁，i = 1 ，n ) ，设 芦2 燃，丝2 燃， t | ，21 + 了五希) 2 t u 2 6 2 1 + 了石器) 2 ， 、1 一p 2 一 1 一- 2 口= 土；：三：一 、1 一矿+ 、1 一_ 2 3 一 k 、l ， 一 心虮 e 从 丝o ，则= ，( 叻。，) = ( u 1 6 ，呦) 或者( u l 。，) = ( 忱6 ，u 1 6 ) 2 0 0 3 年y u 龃d 与s o n gy 【1 8 】将m a o r 迭代算法推广用于求解线性互补问题 l c p ( a ，6 ) ：求z 舻，使得 i a z + 6 o ， z o ， ( 1 9 ) 【( a z + 6 ) t 2 = o 分解矩阵a = d + l + u ，其中d 为非奇异对角阵，厶u 分别为严格的下三角 阵和上三角阵构造的算法迭代格式为： z 七+ 1 = ( z 七一d 一1 h l z 七+ 1 + ( q a 一一y l ) z 七十q 6 】) + ， 七= o ，1 ，2 ， ( 1 1 0 ) 并且，y u a nd 与s o n gy 在文【1 8 】中给出了当线性互补问题的系数矩阵a 为 日一、l 一、m 一矩阵以及严格或不可约对角占优矩阵时m a o r 迭代算法收敛的充 分或者必要条件文【1 9 】主要研究了当矩阵a 为日一矩阵以及严格对角占优矩阵 时m a o r 迭代算法收敛的充分或者必要条件下面我们给出一些相应的理论成果 记q = ，一，y d 一1 厶兄= ，一d - 1 ( q a 一7 l ) 记( a ) 为矩阵a 的比较矩阵，即当 七= 歹时，( ) = i n 触i ，当七j 时，如幻) = 一i n 幻l ，七，j f = 1 ，2 ，n 定理1 1 6 设a 为对角元为正的日一矩阵，则对任意的初始点一形，由迭 代格式( 1 1 0 ) 产生的迭代序列 。七) 收敛于线性互补问题( 1 9 ) 的解并且当 。 u - 再蒜，。 忱 再蒜，。7 峨 时，有 p ( ( q 1 ) 1 月f ) 型翌fj 1 一峨i + 岫户( i b ) ) 1 定理1 1 7 设月为对角元为正的严格对角占优矩阵，t 如式( 1 8 ) 式定义，则 当 o u - 熹，o 屹 南， 一4 一 硕士学位论文 一! 二! ! = 丝! 二咝 1 ! 二! ! 二型丝 粤( 1 + i l u l i u l 乱) 、( 1 + 1 1 + u 1 i + u l t 正) 时，m a o r 迭代算法求解线性互补问题( 1 9 ) 收敛 定理1 1 8 设a 为l 一矩阵，并且0 t ， 研( q ) 撇 指标集 指标集 指标集 n xn 复矩阵集合 n 维欧式空间 n n 实矩阵集合 表示俨中的n 维向量u 向量札的第t 个分量 分量为鲍“，) 的子向量 元素为啦f 的几阶矩阵 矩阵a 的子矩阵，其元素为0 ，歹，) 矩阵a 的谱半径 非奇异方阵a 的逆 向量秒从舻到僻= 伽舻i z o ) 的正交投影 向量! ，从舻到冠+ = 伽舻i z q ) 的正交投影 向量3 从印到蝣一= 扣舻j z 钟的正交投影 对所有的f 有t i i 0 ( 0 ) “一u 0 区域q 上的边界为0 且一阶可微的h i i b e r t 空间 区域q 的边界 设z ，y 彤，协分别是z ，秒的第歹个分量，令 m 缸 z ，箩) = ( m 觚 z 1 ，饥) ，删啦 ，貅) ) r ， m i n z ，掣) = ( i n i n z l ，可1 ) ，面n ，) ) t 定义1 3 1 设a 舻黼，如果 n “ 0 ， i o ， 茁互i ，歹， 则称a 为l 一矩阵又若a 可逆且a 一1 0 ，则称a 为m 一矩阵 一6 一 硕士学位论文 定义1 3 2 设m 为舻_ 舻的映射，如果对任意的z ，y 俨，由z 秒可推 出仇( z ) 仇( 耖) 成立，则称映射m 为保序映射 定义1 3 3 隐互补问题：求z 酽，使得 i 触+ 6 o ， z ，7 l ( z ) ， ( 1 1 1 ) 【( a z + 6 ) t ( z m ( z ) ) = o ， 其中a 形期，6 舻，m 为俨_ r r i 的映射 定义1 3 4 隐双边障碍问题：求t b ) + 陋，6 】，使得： ( a 譬，t ，一牡) ( 厂 t ，一缸) ， j e i ( 缸) + 【n ，6 】 ( 1 1 2 ) 其中a 彤x n ，b 为舻_ 舻的映射，正口，6 冗，并且n o ，令 t ( z ) = 仇( z ) + p k 一仇( z ) 一p ( a z + 6 ) 】， ( 2 3 ) 则z 是问题( 2 1 ) 的解当且仅当z 是t ( z ) 的不动点 为求解问题( 2 1 ) ，p a n gjp 在文【3 2 】定义了一个映射f ，构造迭代序列 z 七+ 1 = f ( 矿) 先对矩阵以做分解a = b c ，那么对于任一向量t i 彤，f ( t ) 是下 面线性互补问题的解： ib z + ( 6 一c 札) o ， z m ( t 1 ) ， ( 2 4 ) i ( b z + 6 一c t ) t ( z 一仇( t ) ) = o ， 这样每一步迭代都需要求解一个线性互补问题同样的，文【3 3 ，3 4 】在用迭代法求解 拟互补问题时，每迭代一步都需要求解一个方程组本章讨论用投影m a o r 迭代 算法求解隐互补问题( 2 1 ) ，我们在每迭代一步后直接做投影得到下一迭代点，而 不需要求解子问题 2 2投影m a o r 算法及其收敛性分析 定义2 2 1 问题( 2 1 ) 的上解集定义为： s b = z 酽im i n a z + 6 ，z m ( z ) ) o ) ( 2 5 ) 一8 一 硕士学位论文 对矩阵a 作分解a = d + 厶+ ，其中d 为非奇异对角阵，厶u 分别为严格下 三角阵和上三角阵可构造如下算法 算法2 2 1 ( 投影m a o r 算法) ( 1 ) 选取z o 岛； ( 2 ) 对七= o ，1 ，2 ， z 七+ 1 = ( 金1 ) ( m ( 一) ) + ， 即矿+ 1 是金七+ 1 从舻到如下空间的投影： 这里 尺n m ( z - ) ) + = ( z 舻iz m ( z 七) o ) ， ( 2 6 ) ( 2 7 ) 岔七+ 1 = z 七一d 一1 【r l 矿+ 1 + ( q a r l ) z 七+ q 6 】，( 2 8 ) 其中q = d i a g ( u l j r l ，忱厶) ，u 1 ，忱0 ，r = d i a g ，y 厶) ，0 彳，一y 1 ，0 0 ，并且a 一1 ( t o e 一6 ) 一九o 于是有珈= 一4 1 6 + 如a 一1 e 岛，即上解集岛非空 定理2 2 3 设引理2 2 1 的条件成立，并且m 为舻_ 肝的连续保序映射，则 由算法2 2 1 产生的迭代序列 一) 单调收敛到问题( 2 1 ) 的解 证明由定理2 2 1 知迭代序列仁七) c 岛单调递减，而上解集岛非空有下界， 则序列f 矿) 必存在极限，再由定理2 2 2 知此极限为问题( 2 1 ) 的解 一1 2 硕士学位论文 第3 章求解一类隐双边障碍问题的投影 m a o r 算法 一 3 1引言 本章讨论用投影m a o r 迭代算法求解如下隐双边障碍问题：求u b ( 牡) + 【n ，6 】， 使得 ( 胤，t ，一仳) ( ， 一乱) ，t ，b ) + 【q ，6 】( 3 1 ) 其中a 俨炳，b 为彤_ 舻的映射， n ，6 冠并且o 6 ，陋，6 】= t ，舻l 口 t ，吣如果口= ( o ，o ) t ，6 = ( + ，+ ) t ，则( 3 1 ) 退化为隐互补问题如果 b ( z ) = o ，比舻，则问题( 3 1 ) 为通常的双边障碍问题隐双边障碍问题是一类基 本的隐变分不等式问题，广泛用于科技、经济、工程与经济模型问题 本章中用投影m a o r 迭代算法求解一类l 一矩阵的隐双边障碍问题先给出 问题( 3 1 ) 的等价形式，然后从问题的上、下解集出发，构造相应的投影方法当矩 阵a 是m 一矩阵时，上解集与下解集是有下界或者有上界的，于是算法产生的迭 代序列单调收敛到问题( 3 1 ) 的解 3 2问题的等价形式 设p 为从舻一陋，6 】的投影，即 p ( z ) = a r gm i n 0 z t ，0lt ，【口，6 】) 熟知，投影p ( z ) 具有以下性质： ( p ) 一z ， 一p ) ) o ，v o 【n ，6 】 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 定义映射f ：形_ 舻： f ( t 正) = b ( t | ) + p 阻一d ( 胤一，) 一b ( u ) 】，( 3 4 ) 这里d 为对角元为正的对角阵我们有如下定理 定理3 2 1 【3 7 l 设是问题( 3 1 ) 的解当且仅当t l 是f 的一个不动点 证明设牡是f 的一个不动点，即札= f ( 牡) ，则由( 3 4 ) 式有 t i 日( 仳) = p 阻一d ( a 札一，) 一日( t | ) 】( 3 5 ) 一1 3 用投影m a o r 迭代算法求解几类变分不等式问题 再由投影f 的性质知( 3 5 ) 式等价于 ( d ( a t 一”，t ，一( 札一b ( t ) ) ) o ，【d ，6 j 显然上式等价于( 3 1 ) 式，得证 问题( 3 1 ) 具有如下等价形式【3 7 l ：求u 舻，使得 ， la + b ) 乱6 + b ( t ) ， i ( 月t 一，) = o ， 当( 口+ b ( t ) ) 蚴( 6 + b ( 钍) ) 时， i ( a t 一，) i o ， 当缸i = ( n + b ( t 1 ) ) i 时， l ( a t 一，) o ， 当让i = ( 6 + j e 7 ( “) ) i 时 、 定理3 2 2 问题( 3 1 ) 等价于如下问题求札舻，使得 m a x f 让一( 6 + b ( 让) ) ，m i n f a 牡一 缸一( 8 + b ( 让) ) = o ， m i n t l 一( 口+ b ( 札) ) ，m a x ( a t i 一 t 一( 6 + 日) ) ) ) = o ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 3 3投影m a o r 算法 我们先给出问题的( 3 1 ) 的上解集毋以及下解集岛刚： 研= ( a 钍七一，k ) ，( 3 1 2 ) 计算下一迭代点 i ( 6 + b ( 矿) ) i ， 当 ，七时， t ；+ 1 2 ( ( 也七+ - ) ( d + b ( u 。) ) + k ， 当t ，七时 ( 3 1 3 ) ( 3 ) 七= 七+ 1 ，转步2 这里( 砬七+ 1 ) ( n + 口( 。- ) ) + 表示砬七+ 1 从舻到如下空间的投影： 碌+ b ( 小) ) + = f z 俨iz 口+ b ( t 七) ) ( 3 1 4 ) 一1 4 硕士学位论文 算法3 3 2 ( 基于下解集岛的投影m a o r 算法) ( 1 ) 选取u o ，令七= o ， ( 2 ) 定义指标集： ，七= i l 七一( n + b ( t l 七) ) ) o ，因此( a 矿一，) t o 如果 ，则由( 3 1 9 ) 式 有 缸：= ( 口+ j e 7 ( u ) ) ；+ ( 缸：一去【r 眈+ ( q a 一矿一q 门t 一( q + 耶) ) 山， 即 。嵋= ( 。+ 脚t + ( 矿一言m ( 舭一删t 一( 口+ 跏) ) 沮， ( 3 2 4 ) 因此，如果u ：= ( n + 口( t ) ) i ，则( a t + 一，) i o ；如果t l ： ( n + b ( t + ) ) i ，则( a 矿一，) = o 并且此时有心一( 6 + b ( 钍+ ) ) ) i o ，即t ：( 6 + b ( 矿) ) ) i 因此矿是问题( 3 7 ) 的解， 即为问题( 3 1 ) 的解 定理3 4 4 设a 形舰为l 一矩阵，b 为彤一胪的连续保序映射，则由算 法3 3 2 产生的迭代序列 矿) 的聚点矿是问题( 3 1 ) 的解 一1 7 用投影m a o r 迭代算法求解几类变分不等式问题 引理3 4 1 设a 舻n 为m 一矩阵，jc ，如果对任意口，似俨有 一( a xs0 ，( a 儿q 当l j 时， 挑仇，当i ，时， 则有凹s 饮 引理3 4 2 设a 舻n 为m 一矩阵，且存在常向量夕舻使得 b ( t ，) 9 ，、向j 妒， ( 3 2 5 ) 则问题( 3 1 ) 的上解集岛有下界 证明因a 是m 一矩阵，则存在唯一的加使得 m a x t l j 一6 9 ，m i n a 叫一，t i j n 一夕) ) = o 记五= t i 扣一6 一b ) ) t o ) ，瓦= i i 讹= ( o + 夕) t ) ，则 妣地，当t 蜀u 正时， ( a 叫) i ( a t ，) i ，当i ( 五u 死) 时， 则由引理3 4 1 有叫 引理3 4 3 设a 酽肌为m 一矩阵，且存在常向量九舻使得 b ) j l ，v u 兄n ，( 3 2 6 ) 则问题( 3 1 ) 的下解集岛有上界 定理3 4 5 设a 舻黼为m 一矩阵，曰为形_ 彤的连续保序映射，引理 3 4 2 的条件成立，由算法3 3 1 产生的迭代序列“七) 收敛到问题( 3 1 ) 的解 证明由定理3 4 1 知迭代序列( t 七，c 岛单调递减，而上解集毋非空有下界， 则序列 铲) 必存在极限，再由定理3 4 3 知此极限为问题( 3 1 ) 的解 定理3 4 6 设a 舻x n 为m 一矩阵，b 为彤_ 俨的连续保序映射，引理 3 4 3 的条件成立，由算法3 3 2 产生的迭代序列如七) 收敛到问题( 3 1 ) 的解 证明由定理3 4 2 知迭代序列 矿) c 岛单滑上升，而下解集岛非空有上界， 则序列( 矿) 必存在极限，再由定理3 4 4 知此极限为问题( 3 1 ) 的解 一1 8 硕士学位论文 第4 章求解一类带非线性源项的隐双边障碍 问题的投影m a o r 算法 4 1引言 本章将投影m a o r 迭代算法进一步推广求解下面带非线性源项的隐双边障 碍问题：求乱b ( t i ) + 【n ，6 】，使得 ( a u g ，t ，一仳) + ( f ( 让) ，t ，一让) o ，召( 缸) + 【d ，6 】， ( 4 1 ) 其中a 舻加，g ，口，6 r ，eb 为舻_ 舻的映射，并且粥( z ，t ) 饥o 问题( 4 1 ) 的等价形式，求u 舻，使得 f 口+ 且 ) s 札6 + b ( t i ) ， ， i ( a 仳一g + f ( t ) ) i = o ，当( o + b ( 让) ) i t i ( 6 + b m ) ) i 时， ( a u g + 聊挑 0 当地：( 口+ 即m 时， 2 【( a 缸一g + f ) ) i o 当u = ( 6 + b ( t | ) ) i 时 4 2投影m a o r 算法 定义问题( 4 1 ) 的上解集& ： 岛= t ，彤im a x (