（计算数学专业论文）基于迭代函数系统的分形变形方法研究.pdf

墒要 本文研究基于迭代函数系统( i f s ) 的分形变形的方法。通常，变形定义为从 某一原始形状到目标形状的光滑、连续、自然变换过程，分为特征对应和插值路 径两方面的予问题：其涵盖的图形、图像以及分形变形是计算机图形学中活跃而 重要的研究领域之 。随着图形学和硬件技术的迅速发展，变形技术除了其理论 研究兴趣之外，已经广泛应用于计算机z 力厕、虚拟现实和 ：业造型设计中。 分形变形是指刈具有分彤特征的图形图像进行变形，本文主要研究的是基于 迭代函数系统的二维和三维分形吸引子的变形方法。 首先简要介绍了已有的分形变形方法，进一步指出研究分形变形的必要性。 然后在二维迭代函数系统的分形变形方面，本文首先定义了基于原始概率向 量的 f s p 规范形式，通过奇异值分解提取i f s 内在动力系统参数，并结合仿射 变换作用效果总结了带参量的i f s 变化规律。鉴于前人变形方法中的人工特征对 应，本文着重研究了二维i f s 的自适应对应变形方法，先构造合理的1 f s 仿射变 换相似函数，然后在i f s 模糊相似图中利用带约束条件的最佳路径算法最大化 i f s 模糊集隶属函数，从而建立了两个1 f s 的特征埘应关系，该方法完全由计算 机完成全部的分形变形过程，不需要人工直接参与。考虑剑自然彩色分形应用的 现实性和广泛性，本文还建立了二维真彩i f s 模型，通过仿射变换的列应、规范 化、匹配及极值分解插值，并加入颜色分量r g b 和原始概率向量的插值过渡， 实现了较为自然的具自真实感的真彩i f s 分形变形过程。 最后推广到三维空间中的迭代函数系统的分形变形，本文首先提出了丽种人 ： 特征对应方法，即仿射变换作用单位正方体和宜接作用三维分形吸引子，建立 合适的仿射变换对应关系，接着重点讨论了三维空间中的i f s p 规范形式，并利 用极值分解变换线性部分矩阵实现了分形吸引子变形，其中运用四元数插值代替 了复杂的三维旋转变换和不动点插值，有效地缩短了变形时间，进一步加强了变 形理论基础。 关键词：分形变形，迭代函数系统( 1 f s ) ，规范变换，自适应对应，模糊函数， 真彩i f s ，极直分解，阴元数插值 a b s t r a c t t h i st h e s i ss t u d i e st h ea p p r o a c ho t 、t h ef r a c t a l s m o r p h i n gb a s e do nt h ei t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e m s ( i f s ) i ng e n e r a l m o r p h i n gc a nb ed e f i n e da sag r a d u a l ，s m o o t ha n d n a t u r a lt r a n s f o r m a t i o nf r o mo n ek e ys h a p ei n t oa n o t h e ra n da l s oc a l lb es p l i ti n t ot w o m o r eo rl e s sd i s t i n c ts u bp r o b l e m s ，n a m e l y f e a t u r ec o r r e s p o n d e n c ea n di n t e r p o l a t i o n t r a j e c t o r ym o r p h i n gw h i c hi s i n c l u d e dg r a p h i c s ，i m a g ea n df r a c t a l sm e t a m o r p h o s i s c o n s t i t u t e saw i d ea n di m p o r t a n ta r e ao fc o m p u f e rg r a p h i c sa c t i v i t y , w i t ht h er a p i d d e v e l o p m e n to fc o m p u t e rg r a p t i c s a n dt h et e c h n o l o g yo fh a r d w a r e ，a p a r tf r o mi t s t h e o r e t i c a li n t e r e s t ，m o r p h i n gh a st h ep r a c t i c a lu s er a n g i n gf r o mc o m p u t e ra n i m a t i o n ， t h r o u g hv i r t u a lr e a l i t y ，t ot h ei n d u s t r i a ld e s i g na n de n t e r t a i n m e n t t h em e t h o d so ft h ef r a c t a l sm o r p h i n gh a v eb e e no f f e r e df o rg r a p h i c sa n di m a g e s w i t ht h ef e a t u r e so ft h ef r a c t a l s t h em a i nc o n t e n to ft h i st h e s i si st ob ed i s c u s s e dt h e a p p r o a c h e so fm o r p h i n gt h et w o - - d i m e n s i o n a la n dt h r e e - - d i m e n s i o n a lf r a c t a l sa t t r a c t o r s b a s e do nt h ei t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s f i r s to fa l l ，w ei n t r o d u c et h et r a d i t i o n a lm e t h o d so fm o r p h i n gf r a c t a l s f u r t h e r m o r e ， w ep o i n to u tt h en e c e s s i t yo fs t u d y i n gt h ef r a c t a l sm o r p h i n g t h e ni nt h ea s p e c to ft h et w o d i m e n s i o n a lf r a c t a l s m o r p h i n gb a s e do nt h ei t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e m s ，a tf i r s tt h ei f s pc a n o n i c a lf o r mw i t ho r i g i n a lp r o b a b i l i t yv e c t o ri s d e f i n e d t h e nw ep i c k u p t h e p a r a n l e t e r sc o r r e s p o n d i n g ，t od y n a m i c so ft h e t r a n s f o r m a t i o n sw i t ht h es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n a n da tl a s tw es u m m a r i z et h e v a r i e t yr u l eo ft h ei f s s w i t hp a r a m e t e r sc o m b i n i n gw i t ht h ea c t i o n so ft h ea f f i n e t r a n s f o r m a t i o n s w h e r e a sf e a t u r ec o r r e s p o n d e n c eh a sb e e ne s t a b l i s h e da r t i f i c i a l l yi n t r a d i t i o n a lm e t h o d s ，w ep r e s e n tan e wm e t h o dt or e a l i z et h ef e a t u r ec o r r e s p o n d e n c eo f t h et w o d i m e n s i o n a li f sf u l l ya u t o m a t i c a l l y f i r s t l yt h es i m i l a rf u n c t i o no ft h ei f s a f f i n et r a n s f o r m a t i o n si sc o n s t r u c t e d ，a n dt h e nt h eo p t i m u mp a t hw i t hr e s t r i c t e d c o n d i t i o ni nt h ei f sf u z z ys i m i l a rg r a p hi ss e a r c h e d u s i n gt h ep a t ht h a tm a x i m i z e d t h em e m b e r s h i pf u n c t i o ni nt h ei f sf u z z ys e t ，w ec a n e s t a b l i s ht h ef e a t u r e c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt w oi t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s c o n s i d e r i n gt h er e a l i t ya n d u n i v e r s a l i t yo ft h ea p p l i c a t i o n so nt h en a t u r a lc o l o rf r a c t a l s ，w es t i l lc o n s t r u c tam o d e l o ft h et w o - d i m e n s i o n a lt r u e - c o l o ri f sf r a c t a l sa n dr e a l i z et h em o r p h i n gp r o c e s sb yt h e a f f i n et r a n s f o r m a t i o n s c o r r e s p o n d i n g ，c a n o n i z i n g ，m a t c h i n ga n di n t e r p o l a t i o nw i t h t h ep o l a rd e c o m p o s i t i o n f i n a l l yw e ：g e n e r a l i z et h em o r p h i n gm e t h o dt ot h et h r e e - d i m e n s i o n a ls p a c e f i r s t l y w t 2p r e s e n tt w ow a y st oe s t a b l i s ht h ef e a t u r ec o r r e s p o n d e n c ea r t i f i c i a l l y , n a m e l y , t h e a f f i n et r a n s f o r m a t i o n sa c to nu n i tc u b o i d sa n dd i r e c t l ya c to nt h ea t t r a c t o r s t h e nw e d i s c u s st h ei f s pc a n o n i c a lf o r mi nt h et h r e e - d i m e n s i o n a ls p a c ea n dl a s t l ya c h i e v et h e f r a c t a l s a t t r a c t o r s m o r p h i n gu s i n gt h ep o l a rd e c o m p o s i t i o n ，w es u b s t i t u t e t h e q u a t e m i o n si n t e r p o l a t i o nf o rt h ei n t e r p o l a t i o no ft h er o t a t i o nt r a n s f o r m a t i o n sa n dt h e f i x - p o i n t si nt h et h r e e - d i m e n s i o n a ls p a c ea n di tw i l ls h o r t e nt h et i m eo f t h em o r p h i n g e f f e c t i v e l ya n dd e e p e nt h et h e o r yf o u n d a t i o no f t h em o r p t f i n gu l t e r i o r l y k e y w o r d s ：f r a c t a l sm o r p h i n g ，i t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e m s ( i f s ) ，c a n o n i c a lf o r m ， a d a p t i v ec o r r e s p o n d e n c e ，s i m i l a r f u n c t i o n ，t r u e c o l o ri f s ，p o l a r d e c o m p o s i t i o n ，q u a t e m i o ni n t e r p o l a t i o n i i 两1 e 卜l kk 学硕十论文 第一章绪论 随着计算机科学技术的迅速发展，变形成为了计算机图形学中活跃而重要的 研究领域之一，吸引了众多专家与学者的青睐。近年来，二维和三维变形搜术除 了其理论研究兴趣之外，已经“泛流行应用于计算机动画、虚拟现实、工业设计 及娱乐商业中。本章首先概括介绍了已有的图形图像变形技术，然后结合分形学 的发展着重阐述了分形变形方法的发展过程，最后介绍了本文的主要研究工作。 1 1 图形图像变形概述 变j f 4 ( m o r p h i n g 或m e t a m o r p h o s i s ) 又常称为形状融合( s h a p eb l e n d i n g ) 或形状 插值( s h a p ei n t e r p o l a t i o n ) ，在众多学科领域中都有着十分广泛的应用，如计算机 图形学、工业造型设计、虚拟现实、科学计算可视化、电影特技制作等等。 般来说，变形是指从某一原始彤状到只标彤状的光滑、连续、自然的变换 过程( 这里的形状可以是多边形、多面体、数字图像、分形图形图像等) 。由于 这两者形状可能具有不同的拓扑结构，所以变形的连续性是相对于某一几何度量 而言的；它可能不仅仅是度量两点间，甚至是两个集合间的距离，如h a u s d o r f f 度量。 变形通常包含两个独立的子问题：是原始形状与目标形状的特征对应关系 的确定( c o r r e s p o n d e n c ep r o b l e m ) ；二是从原始形状到目标形状按特征轨道路径的 f a i n 状插值( i n t e r p o l a t i o n p r o b l e m ) ，其中特征与轨道路径是依赖于形状表示的， 也就是与它们的几何与拓扑性质有关。 变形大体分为三类：图形变形、图像变形以及分形变形，目莳国内乡卜已有许 多有关的研究成果，给出了一些解决变形问题比较有效的算法。但遗憾的是，变 形只是一种视觉效果，与人的审美标准密切相关，主观因素很大，故对于变形的 两个子问题什么是成功的解决方案，还没有正式明确的定义。尽管如此，对观察 者来说，变形的中间序列还是应该看起来比较“自然”的。 1 1 1 图形变形 图形变形分别是针对二维及三维形状表示的。已有的二维形状表示变形方法 大多是基于多边形表示【1 3 j ，但t g 有关于自由型曲线的 4 】；而深入到三维背景 研宄当中【5 1 ，其方法又可分为壤于边界表示( 主要是多边形网洛【6 7 】) 干f l 基丁 体元表示【8 1 1 。 1 1 2 图像变形 图像变形是制作电影及电视视就效果强而有力的工具，变形技术涉及到特征 表示、w a r p7 卜成方法和变换控制等方面。1 9 9 2 年，b e i e r 和n e e l y 提出了基于特 征的图像变嘲1 2 l ，1 9 9 4 年a r a d 等人利用径向函数技术实现了变形 1 3 ，还有能 量最小化方法 1 4 1 及多层次自由型变形方法【1 5 】等等。 1 2 分形变形 分形变形是随着分形学的发展而兴起的一种新变形方法，是指对具有分形特 征的图形图像进行变形。众所周知，分彤是描述不规则几何形态的有力工具，它 将自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度之下傈持某种 相似的属性，可以通过变换与迭代的方法柬显示生成，其中最典型的代表是l 系统和迭代函数系统：其变形的特点在于圈形的分形特性，特征对应并不是通常 的点或边而是形式语青参数或变换参数，插值也是对形式语- k 、或变换参数进行。 1 9 8 4 年s m i t h 利用l 系统并结合粒子系统与形式语言模拟了植物形态生长【1 6 】 ( 如图1 1 ) ，其后p m s i n k i e w i c z 等人又通过参数l 系统和龟行几何插值l 系统 模拟了植物生长的动画 1 7 - 1 9 】( 如图l - 2 ) 。 筒】1l 系统植扬斗二& 鲻1 - 2 锸值l 系统植裼生氏动画 而x c t - 由迭代函数系统( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s ，简记为i f s 、产生的分形 变形也发鼹迅速，众所周知，迭代函数系统是最常用的描述分形肜状的捉示方法。 早f l ：1 9 8 5 年，b a m s | e y 和d e m k o 就提出了利用迭代函数系统摸秘构造分7 l ；f ! o ， 相北i 业八，硕t j 论文 后又逐渐发展完善起来，提出厂带概率的迭代函数系统( i f s p ) 、迭代模糊集系统 ( i f z s ) 、灰度映射迭代函数系统( i f s m ) 等等 2 1 2 3 1 。通常考虑的是包含仿射变换 的迭代函数系统( a r l e n ei f s ) ，它产生的吸引子称为线性分形。 基于迭代函数系统的变形方法是分形变形的重要组成部分，其实它就是对两 i f s 唯一对应的吸引子进行变形。变形的一般方法是对应i f s 仿射变换后( 因为 仿射变换是i f s 吸引子的主要特征) 再插值变换得到新的i f s ，通过算法显示生 成昀吸引子就是分彤变形的中间过程( 如图1 3 ) ，f ；1 人做了一系列的工作： 圈t - 3 基t - i f s 的分形变形过程 作为基于迭代函数系统的分形变形方法的创始人，可以认为是成功应用于任 何紧予集的h u t c h i n s o n 算予的迭代 2 4 ，它将任紧子集变换到i f s 吸引子，这 也可以看作是i f s 的几何直观解释( 例如图1 - 4 ，s i e r p i f i s k i 垫片的生成) 。显然 由于这一变换过程是离散的，从严格意义上来说它并不能称为是变形。 第一个分形变形是由b a r n s l e y 和他的合作者在一名为云学的短时动画中 所制作的【2 l ，2 5 】。然而，变形是对于i f s 的不变测度( 通过插值i f s 的概率向量) ， 可并不是对于i f s 所支持的吸引子的几何性质。事实上，整个变形过程中i f s 吸 引子“云的形状始终没有改变，这是因为吸引子是独立于其概率向量的。尽管 原始而有趣，但这一方法是非常有限的。 l 心心氐 氐，&氐&陋，匿吣吣 k k k 陶1 - 4s i e r p i f l s k i 垫片的生成( i f s 的儿俐直观解释) 然后在9 0 年代仞，变形i f s 分形出现在由h a r t 等人制作的三幅精荚动画中， 它们分别在1 9 9 0 1 9 9 2 年的s i g g r a p hv i d e or e v i e w 中展出。第一幅动向是h a r t 和d a s 通过对i f s 仿射变换的线性部分矩阵元索逐个线性插值，实现了s i e r p i f l s k i 萨四面体到三维龙的变形 2 6 7 ；第二幅是由h a r t 等人通过线性插值变换内在动力 系统的参数( 如旋转角度、尺度及平移大小) 实现了i f si 吸引子树到分形体 的变形【2 7 】，这是因为i f s 司以看作是基本变换如旋转、尺度、平移变换的复合 模型【2 8 】。最后一幅动画是h a r t 控制调整i f s 变换中的尺度参数，模拟了分形渐 弱消失与再现的效果 2 9 。 1 9 9 5 年，b o w m a n 通过逐个调整i f s 变换的尺度参数及旋转系数，实现了一 系列代表性的分形图形变形过程 3 0 l 。他将i f s 变换中的平移向量用其不动点表 示，即 ； = 卵。 ( i + ( 1 一即。一。a f y 矿f u ( r ) j ，其中l f y 可o ( o ) 1 是变换的 不动点。先改变s c 的大小，获得了分形变形；再调整变换不动点的位霄，实现 了从i f 方形刘s i e r p i f l s k i 挚片的变形：最后还考虑了变换： ( ； ；s c ( c 。o i n s 。( t t h h ；- 。s i 。n 。( t t h h ，) 八( ，x p p + ( ，一s c ( ：o 。s 。( t t h h ，) 一c s o n s ( t t h h ) ) ) 1 f l 可v f q ( i ) 1 ) ， 通过改变角度t h ，并结合尺度s c ，实现了更多丰富的分形图形变形。事实上， 这些分形变形过程可以看作是线性插值变换内在动力系统参数的特殊情况。 同年，d a v i d 等人利用进化理论( e v o l u t i o n a r yp r o g r a m m i n g ) 试图解决i f s 的 反问题，给出了一些分形变形图例，但是其变形效果不佳【3 1 。 2 0 0 1 年，m a n y n 提出了种新的i 扫仿射i f s 描述的分形光线追踪绘制方法， 并通过细心选择i f s 仿射变换的矩阵元素的线性插值，获得了三维蕨叶在不同生 长时期的动态模拟 3 2 j ( 如图1 5 ) 。 图1 - 5j 维麟叶生长动态模拟 上述的变形方法分为两种：对i f s 仿射变换矩阵元素的逐个线性捕值和对其 内在动力系统参数的线性插值。对于前种方法，当它应用于任一关键帧分形变 形时，经常产生意想不到的结果。下面给出一个例子加以比较：对于两幅蕨叶图 形，其中一幅只是相对另一幅作了顺时针；z 的旋转变换，先作最自然的变换对 o 应，然后利用第种方法变形，如下图l + 6 ： 巍避r ， 飞馈嚆崦 瓢啄掩崦 蹦】6 逐个元素线性插值圈1 7 内在动力系统参数线性插值 可以看到：中间形状的大小在发生变化，并且与目标形状也不具有仿射相似 性，这并不是期望的结果。好的形状变形应该是随着直觉自然而然地变化，对于 这两幅蕨叶的变形应该是由第一幅蕨叶逐步变换角度到另一幅蕨叶，并保持大小 不变，如图1 7 就是后一种方法产生的变形结果。 但不幸的是，i f s 仿射变换的基本变换并不易获得，有的只是i f s 码的仿射 变换线性部分键阵蓐平移向量，因此，要获得好的i f s 分形变形效果，首先必须 解决矩阵分解朗眦题，再束实现变形。 1 9 9 7 年，b u r c h 和h a r t 提出了利用极分解方法分解i f s 仿射变换的线性部 分矩阵 3 3 1 ，从而实现了二维i f s 线性分形变f f 3 4 。首先假定矩阵具有正的行 列式( 即分解矩阵中下禽有反射并且是可逆的) ，那每一矩阵可以分解为一旋转 耻阵和对称f 定矩阵。提取矩阵分量后，插值两i f s 仿射变换归结为插值其矩 阵分量：旋转矩阵基丁二相应角度的线。r 二插值 3 5 j ，对称矩阵基于各元秦的逐个线 性插值，最后位穆变化是基于平移向量的线性插值。这一方法取得了良好的分肜 变形效果，但因苴接对对称矩阵和甲移向量采取逐个元素插值，中i 刈变形形状的 人小发生了变化，还有待进一步改进1 2 0 0 4 年，m a r t y n 提出了干中新的二维仿射i f s 分形变形方法 3 6 】，茜先他 给出了进行正确分形变形的准则： ( 1 ) 、分形变形产牛的中问形? 状的拓扑性不能随着目标形状的仿射变形而改变， 即保持仿射不变性； ( 2 ) 、中问形状不能比嗣标形状的相似程度更少，一种特殊的情况是：若目标形 状之问是仿射相似的，则中间形状电应该与目标形状相似。 文中通过对i f s 定义燃范形式并扩展升维到变形空 日j ，经过匹配及统一旋转 后，再对空间中i f s 仿射变换矩阵进行奇异值分解后插值变形，同时考虑平移向 量的不动点莰不，最后正交投影到二维平面上，实现了满足上述准则的变形效果。 该文最独特的思想在于利用i f s 不变测度的一阶、二阶矩矩阵定义二二维i f s 的规 范形式，从而将i f s 化分为一蟪等价类再进行变形，取得了较好的变形效果。 2 0 0 4 年底，w i j k 提出了一种基于图像的i f s 绘制方法 3 7 1 ，介绍了动力i f s ， 引入时间参数作为动力仿射变换，实现了1 f s 的实时动画( 如图l 。8 ) 。但这只是 一项新的尝试，还有许多方面问题可以深入! 幽l - g 动力i f s 动画 1 3 本文的主要研究工作 分形变形的理论应用研究已经取得了一些成果，但是上述基于i f s 的分形变 形方法都是假定已知变形中的仿射变换对应关系对简单灰度分形图形的变形，而 且控制变形过程及推广到三维的变形理论还比较少。为了更进一步深化分形变形 理论，扩展其应用范围，基于前人的工作和兴趣，本文的主要研究j 。作如下： l 、带参量的迭代函数系统研究 提出了带参量婀i f s 研究方法，考虑原始概率向量定义i f s p 规范形式，利 用奇异篮分解提取内在动力系统参数，结合仿射变换作用效果总结参量i f s 变化 规律，最后由用户交互调整参数，生成满足需要的分形吸引子：多个实例表明该 方法能较好地分析带参量的i f s 变化，为i f s 分形变形提供坚实的理论基础。 2 、二维i f s 分形吸引子自适应对应的变形 提出t n 用模糊技术的自适应二维i f s 分形吸引子对应的变形算法，首先构 造i f s 仿射变换的相似函数，然后在所建立的i f s 模糊相似图中搜索带约束条件 的最佳路径最大化i f s 模糊集隶属函数，从而确定两个i f s 特征对应关系。运用 前人插值算法实现i f s 分形吸引子变形的结果表明：自适应对应变形算法简单有 效，能在i f s 模糊相似图中根据优化路径算法自动确定特征对应关系，为分形变 形技术提供了种新的灵活处理方式。 3 、基于i f s 的二维真彩分形变形 首次提出了一种新的基于i f s 的二维真彩分形变形方法，首先建立二维真彩 i f s 分形模型，然后通过仿射变换的对应、规范化、匹配及矩阵插值，并加入颜 色分量r g b 和原始概率向量的插值过渡，实现了较为自然的真彩i f s 分形变形 过程，为分形变形的生成与动画提供了新的具有现实真实感效果的有效途径。 4 、三维迭代函数系统分形变形 将二维i f s 分形变形推广到三维情形，先建立合适的人工特征对应关系，然 后进行三维空间中的舰范变换，最后利用极值分解方法对i f s 仿射变换线性部分 矩阵分解后插值实现吸引子变形，效果更为自然：其中运用四元数插值代替复杂 的三维空白j 旋转矩阼和不动点插值，有效地降低了计算量，并获得了很好的变形 结果。这一方法的提出进一步充实了变形理论，为其今后的多维领域推广及应用 打下了一定的基石i i ；。 第二章带参量的迭代函数系统研究 本章第一节介绍了迭代函数系统( f s l 的基本理论，首先给出i f s 的定义，然 后讨论其吸引了的生成方法，其中包含了确定吸引予有界区域算法的分析。第二 节提出_ r 带参量的i f s 研究方法，先定义i f s p 规范形式，然后分析各个仿射变 换作用效果，由变换线性部分矩阵分解提取i f s 内在动力系统参数，得到参量i f s 变化规律，最后用户空瓦凋整参数，生成满足需求的分形j 吸引子；多个实例表明 该方法能较好地归纳带参量的i f s 变化；为分形变形打f 坚实的基础。 2 1 迭代函数系统( i f s ) 基本理论 2 1 1 定义 1 9 8 5 年，b a m s l e y 和d e m k o 提出了利用迭代函数系统模型o f s ) ，构造具有 分形特征的儿何形状 2 0 ，后来又逐渐发展完善起来，形成了现在成熟的迭代函 数系统基本理论 2 1 2 3 】。 令a f f ( r ”) 表示h 维实数空州r ”上的所有仿射变换集合，即若厂a f f ( r ”) ， 则有f ：r ”一r “，厂( 工) = l x + t ，其中l 是仿射变换厂的月月线性部分矩阵， t r ”是平移向量。因计算机图形学的需要，a f f ( r ”) 中的仿射变换通常表示为 c 川州川，的齐次矩阵形式瞄 ：定义变换复各运算。棚，c 够c r 飞。， 构成了一非交换的半群。 考虑其子群( r i g 1 ( r ”) ，。) ，其巾变换是压缩的，即若厂x f f “( r “) ，则在 ( r ”，d ) 完备度量空间中，3 常数0 s l ，使d ( 厂( x ) ，( j ，) ) s d ( x ，j ，) ，v x ，y r ” 现在定义r ”上的仿射i f s 空间：i f s ( r ”) # u fr ”；丌钐“”( r ”) 7 ，那给定 m e h i = l i f s r ； e ，1 i f s ( r ”) ，则相应的h u f c h i h 5 。盯算子定义为： w ( b ) ：= u ：1 ( b ) b c r ” 划+ rr ”中非空紧子集集合构成的完备度量空问( y f ( r 0 ，a ) ，其中 表示 h a u s d o r f f 度量，h u t c h i n s o n 算子w 在其卜是压缩的，那么山b a n a e h 不动点定理， 存在唯一的非空紧子集a 在算子w 作用下不变，即a = w ( a ) = 0 ( a ) ，集合a r = l 称为与h u t c h i n s o n 算子对应的i f s 吸引子，大多数情况卜 它表示分形。 g 抒i f s r ”； e f s ( r ”) ，经常考虑的是作用在紧子集k ( r ”) 上的 仿射变换，即w ：k 斗k ，i = 1 ，2 ，n ，给定一列概率分量n ( o 只 0 ，否则 t = 1 ，这样的i f s p r 2 ； r 。w ，。r 一。 ：， 只e 是i f s p r 2 ；【w ，e ， 只 ：， 的规范形 式；f 称为给定i f s p 的规范变换。 证明类似于 36 】中定理4 的证明。 利用i f s p 不变测度性质，并考虑其原始概率向量变化的影响定义规范形式， 将i f s 空i n 戈l j 分成一些等价类，使得相似的i f s 能统一仿射变换，保持仿射不变 性。然而，尽管一般规范变换能够保持i f s 相对某一范数的压缩性( 通常采用欧 氏范数) ，但还是会有特殊情形。因此1 f s p 转化为规范形式后，还必颂加以判断， 作r e c u n e n tr e p l a c i n , g 懒j 2 1 3 6 1 ，在下节中将会进步说明。图2 - 1 给出了，j l 个i f s p 分形图形的规范形式效果对比 削2 - i - 1 蕨丌|幽2 i - 2 s i e r p i f l s k i 垫片 幽2 - 1 - 3 d r a g o n 曲线 幽2 一)i f s 分形幽形规范形式效累对比 2 2 ，2i f s 仿射变换作用效果 i f s 由若干个仿射变换组成，各个变换作用吸引子的效果是不同的。在显示 i f s 吸引子的同时，加入颜色，使得仿射变换与颜色建立一对应关系，舰定： 仿射变换l 红，2 h 绿，3 停蓝，4 h 黑，5 h 土黄，6 紫，7 付深绿。在这 罩仅考虑七种颜色，如果有需要，还可自行增加。 上宵对i f s p 进行了规范变换，由fr e c u r r e n tr e p l a c i n g 处理的缘故，i f s 变换数日可能增加了，所以需要对比太见范变换前后的 f s 吸日【子，确定各个仿射 变换作用吸引子的效果。下图2 2 显示了上面几幅i f s 分形图形的仿射变换作用 敏果，( a ) 图均是原始i f s 吸引子，( b ) 图是规范变换还原后的i f s 吸引子： 幽2 - 2 1 威叶 斟2 - 2 2s i e r p i f l s k i 垫片幽2 - 2 - 3 d r a g o n 曲线 圈2 - 2i f s 分形图形仿射变换作心效果剥比 上图清楚地展现了各个 f s 分形图形仿射变换的作用效果，蕨叶和s i e r p i h s k i 垫 片规范变换前后的仿射变换数目没有改变，但是d r a g o n 曲线增加了两个仿射变 换( 图2 2 3 ( b ) 黑色和土黄色表示的部分吸引子) ，其实这只是变换复合的结果。 由变换作用效果，适当改变变换内存动力系统参数，就能生成需耍的i f s 吸引子。 2 2 3 带参量的i f s 变化规律 二维i f s 仿射变换的六个参数盯，b ，c ，d e 厂难以完全刻画变换的几何性质， 无法得到带参量的i f s 变化规律，因为变换几何性质丰要体现在基本变换如旋转 变换、尺度变换、平移变换等的复合。基本变换与各自相关参数一一对应：旋转 变换与旋转角度o 尺度变换与尺度系数，如，平移变换与平移分量t ，。等。 考虑i f s p 规范形式的仿射变换线性部分矩阵，进行适当处理后奇异值分解， 得到旋转变换和尺度变换的复合，寻找各自变换矩阵对应的参数，作为i f s 内在 动力系统参数，归纳获得参量i f s 变化觇律。 1 、奇异值分解 设i f s 仿射变换线性部分矩阵三：1 “? l ，判断d e t ( ) 的符号后进行奇异值 fa 分解得：l = u s v f ，其中u ，v s o ( 2 ) 是一交矩阵，且i u l = l r 1 ，它们都表示 了一个旋转变换；对角矩阵s = d i a g ( s ，s ：) 表示了一个尺度变换：并且若 d e t ( l ) 0 ，驰0 f = d i a g ( i ，1 ) ，否贝0f = d a g ( 一i ，1 ) ， 2 、内在动力系统参数提取 i f s 仿射变麟陡部分矩阵分隔正交矩嘲矿的形式是慝；：荔j ， 提取相应旋转角度分别为0 1 岛，一万b ，岛兰疗；尺度矩阵s 的尺度系数为s is ：， 根据矩阵上行列式的符号，增加参数s i g n ，若例o ，s i g n = 0 ，否则s g n = 1 t 表 明变换是否存在反射；同时，提取变换平移向量r ，t ，：这样对于i f s 第i 个仿射 变换有内在动力系统参数组：p a r a m e t e r ( i ) = ( 只，岛s 1 s 3 ，s i g n ，t 。，t ， ，i = 1 ，2 ， 3 、内在动力系统参数重构仿射变换 适当改变内在动力系统参数要得到新的i f s 吸日i 子，还必须重构新的仿射变 换，其实这只是提取参数的逆过程。 山参数组：p a r a m e t e r ( i ) = 岛，b ，s l ，s 2s g n ，0 t ，】i = l ，2 ，n ，按下衙方法逐 一重构n 个i f s 仿射变换w ： 钾= 嘲篇h 且如篇鬻 ，渤乩则 两北。业学硕p 论文 ，= ， ，当s 忉= 。时，f = 1 ，1 ，得到三= u s v f ；再加上平移向量 f = 。 7 ，重构仿射变换w 对应的齐次矩阵为： 矿l；i 调整内在动力系统参数，重构得新的个仿射变换，产7 新的i f s ，也就能 生成新的需要的分形吸引子。 4 、带参量的 f s 变化舰律 i f s 仿射变换内在动力系统参数完全刻画了其变换的几何性质，对于第i 个 仿射变换来说：p a r a m e t e r ( i ) = 岛0 2 ，j f ，5 2 ，s i g n ，】，i = 】，2 ，n ，其中岛，岛描绘 了该变换的旋转角度，当一万鼠，睦0 时，变换作用顺时针旋转i o l l ，怛，而当 0 q ，岛石时，变换作用逆时针旋转岛，岛；尺度系数，屯分别表示z ，y 方向的 尺度变化，如果0 s 1s ：兰1 ，图形将会缩小s i , 屯倍，而当s 1 , 是1 时，图形则会 放大_ ，s ：倍，但由于考虑的是i f s 压缩仿射变换，所以，s 2 都应该小于1 ；参数 s i g n 表示变换是否存在反射，若s i g n = 1 ，则存在，反之s i g n = 0 ，则不存在反射； 平移向量，t y 则表示变换作用x ，y 方向上的位移变化。 i f s 各个仿射变换的综合作用结果产生了美丽逼真的分形吸引子，根据部分 吸引子颜色的不同得到仿射变换作用效果的不同，适当改变相应规范形式仿射变 换的内在动力系统参数，重构得新的仿射变换，就可以实现原i f s 吸引子更加有 意义的变化。 2 2 4 带参量i f s 吸引子的生成 由带参量的i f s 变化规律，即颜色与变换的一一对应及变换参数的几何特 性，用户根据需要交互调整i f s 规范形式仿射变换内在动力系统参数，生成新的 i f s 吸引子。可以调整一个或多个参数，但是在调整过程中必须注意： ( 1 ) 、一般不改变仿射变换参数s i g n 的值，因为反射变换不易控制： f 2 ) 、平移向量参数可以改变，但要注意吸引子的有界区域范围 ( 弧改变参数时要保持i f s 仿射变换的压缩性和非奇异性。 图2 - 2 中i f s 分形剧的仿射变换内在动力系统参数组如下表 我2 一li f s 仿射变换内在动力系统参数 内庄动力系统 序号 岛 酿 s i5 2j 喀h t t v 参数p a r a m e w r - 1】0 1 9 516 7 4 1 0 f 7 7 5n 0 0 0 0104 7 0 620 3 4 7 蕨1 1 2一o 7 5 2 00 8 1 8 80 ，8 9 2 4o8 4o 0 0 3 2 40 2 5 5 2 3 2 8 7 8 61 8 2 7 7 06 9 6 30 1 4 9 l o1 3 5 9 91 3 5 8 4 40 6 0 8 71 2 3 4 40 5 3 7 202 0 2 5 1- 1 6 8 5 61 4 5 们 loo0 5 0 0 005 0 0 00- 1 0 6 0 70 6 1 2 4 s i e r p i f i s k i 垫片 2 o o0 5 0 0 00 5 0 0 0o1 0 6 0 70 6 1 2 4 3 0 o0 5 0 0 0 05 0 0 0 o0i 2 2 4 7 l 0 0 0 0 0 15 7 0 8 0 8 4 5 602 9 5 6o- 0 5 7 7 21 0 4 3 3 20 0 0 0 03 1 4 1 60 ，5 0 0 0 05 0 0 0 o0 8 2 2 5。0 0 6 6 7 d r a g o n 曲线 3 2 7 8 l8 12 1 1 005 1 6 80 2 4 1 90 - 0 8 3 9 01 8 0 2 4 40 3 5 9 8】2j 1 005 1 6 802 4 1 900 7 1 3 0 0 9 0 0 2 50 0 0 0 0- 1 5 7 0 80 ，8 4 5 60 2 9 5 6oo 8 i 6 00 6 2 7 6 适当调整上表中的i f s 仿射变换内在动力系统参数值，生成了丰富多彩的分 形吸引子( 如图2 3 ) ： 幽2 - 3 带参量的f f s 吸引子 还司结合带参量的i f s 变化规律，另外对仿射变换设嚣参数，生成更加变化 多扦的i f s 吸r j | 子( 如图2 4 ) ，其q l ( a ) n 展现了单参量的i f s 分形变形过程，在 ( b 1