理论力学简明教程（第二版）课后答案陈世民

第零章教学准备

一泰勒展开式

1二项式的展开

f(x)=(l+x『=l+mx+皿蛇皿西Y+…

2一般函数的展开

f(x)=f(Xo)+^^(x-Xo)+^^(X-Xo)2+^^(X-Xo)3+…

特别：X°=O时，f(x)=f(o)+*x+粤/+粤/+…

3二元函数的展开(x=y=O处)

f(x,y)=f(O)+图唱[+《侏卜+2叙xy+部小...

评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线

性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到

三阶以内。

二帝微台方程

1一阶非齐次常微分方程：

y+%y=Q(x)

通解:y=”Rc+jQ(x)eW"旬

注：±[P(x)dx,jQ(xp*%x积分时不带任意常数，Q⑶可为

常数。

2一个特殊二阶微分方程

y^-A2y+B

通解：y=Kcos(Ax+4)+捺

注：K,4为由初始条件决定的常量

3二阶非齐次常微分方程

y+^y+by=f(x)

通解：y=y+y*;y为对应齐次方程的特解，为非齐次方程的

一个特解。

非齐次方程的一个特解

(1)对应齐次方程

了+〃夕+by=0

设y=e，"得特征方程/l2+a/l+b=0。解出特解为4，4。

/ix

*若4力4eR贝Uy〕=e5,y2=；y=c,e'

2|X,,,x

*若4=4eR则y1=e*,y2=xe；y=e(c1+xc2)

ax

*若九=a±£i则Yi=ycos/3x,y2=esin/?x；

ax

y=e(c1cos/7x+c2sin/?x)

(2)若%=a()x2+b()x+Co为二次多项式

*bW0时，可设y*=Ax?+Bx+C

*bwO时，可设y*=Ax'+Bx2+Cx+D

注：以上q,C2，A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。

三次量

1矢量的标积

A•B=B•A=|A||B|cos^=AXBX+AyBy+AzBz

注：常用于一矢量在一方向上的投影

2矢量的矢积

AxB=-(BxA)=|A||B|sindln=AxAvAz

MB，Bj

=(AxBy-A2By)i+(AZBX-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k

此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形O

allxI+a12x2+aI3x3=0

,a21Xl+a22X2+a23X3=0

a31xl+a32x2+a33x3=O

aila!2a13

令》=a21a22a23

\a3la32a337

*D=0时，方程组有非零解

*D*0时，方程只有零解

第一章牛顿力学的基本定律

方丈布接M地勤。整个力学大屋的地基将病此破

三节羊的人类素密科学葡慧君晶将飘来他的若扑

S幽看。此时关量言语将尽显英雄本色，微积今更是

凤宪占尽。

【要直今折与总修】

1质点运动的描述

（1）直线坐标系

亍=xi+yj+zk

C=f=xi+yj+zk

a==r=xi+yj+zk

(2)平面极坐标系

f=rer

£5=rer+r纭

云=(f—r加唐+(而+2泊)却

(3)自然坐标系

ij=uel

-_

a=L>etH---en

P

(4)柱坐标系

9

一•一v~_

a=L>et+—en

P

v-pep+pfft0+zez

〈析)上述矢量顺序分别为：；,©，跄，氤；露金©•

d爸•.

力限xia

矢量微分：号=况kX品=-宠

dW-

-^=^exe=0

dtkk

(其它各矢量微分与此方法相同)

微分时一定要注意矢量顺序

2牛顿定律

惯性定律的矢量表述

ma_=m-^矛-y亍=云F

(1)直角坐标系中

F;=mx

<g=my

月=mZ

(2)极挫标系中

2

Fr=m(r-r^)

■.=m(前+2浮)

Fk=O

(3)自然坐标系中

Fr=m。

2

代=m­

P

R=0

3质点运动的基本定理

几个量的定义：

动量P=mO

角动量L=fxmt>=rxP

冲量

I=p2-p.

力矩M=fxF

冲量矩a=工一1=’回出

动能T=—1nw2

2

(1)动量定理

dt

一方向上动量守恒:—e,=Fe=0

dtf

(2)动量矩定理M=—

dt

(3)动能定理屋=01亚0=虫

dtdt

4机戒能守恒定理

T+V=E

〈析〉势函数V：dV=—dx+—dy+—dz=-Fdr

6xdydz

SVTav-ev「、

FE=-(Z——1+——+——k)

dxdydz

dVdV2

稳定平衡下的势函数：3=0；…>0

dxdx

x=x

ox=x0

此时势能处极小处％

'VM<E<0质点再平衡点附近振动

且能量满足<0<E质点逃逸-8

Vm<E质点逃逸+oo

【解敢演示】

1细杆0L绕固定点0以匀角速率。转动，并推动小环C在固定的

钢丝AB上滑动，。点与钢丝间的垂直距离为d,如图所示。求

小环的速度。和加速度五。

解：依儿何关系知：x=dtan6

_.Td(vrd2+x2T

又因为:L>=xi=——--i=-----<yi

cos-，d

2椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线0x与Oy滑动，

已知B端以匀速c运动，如图所示。求椭圆规尺上M点的轨道

方程、速度及加速度的大小u与a。

解：依题知：yB=(b+d)cos6>

且：3B=-C=-(b+d)©sin6

c

得：0=

(b+d)sin。

又因M点位置：xM=bsin6,yM=dcos^

故有：uM=xMi+lyMj=b(9cos6>i-d(9sin6>j

becot3-deT

代入(*)式得:b+d，-b+dJ

即：u-c.7b2cot2(9+d2

b+d

_,be©rbe2

aM=%=_z।,2/)1=i

(Ub+d)sin0(b+d)2sin2^

3一半径为r的圆盘以匀角速率。沿一直线滚动，如图所示。求

圆盘边上任意一点M的速度。和加速度9(以0、M点的连线与

铅直线间的夹角。表示)；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径

指向圆心。

解：设0点坐标为(<yRt+x0,R)。则M点坐标为

(ct)Rl+x()+RsinR+Rcos0)

l

故：=xMi+yMj=(tyR+R<ycos6)i-R

222

aM=uM=-R(ysinOi-R(ycos0\=-R6y(sin0\+cos9j)

4一半径为r的圆盘以匀角深度3在一半经为R的固定圆形槽内作

无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点的深度u和加速度a(用

参量。,中表示)。

解：依题知：0=—五=一旦

R-rR-r

且0点处:ek=cos(/9-(p)er-sin(<9-碎e

贝I」：

&=Go+GM

=(R-r)eR+rer

=[(R-r)cos(8一夕)+r]er-(R-r)sin(6-0)。

0=不

=&(0_@)sin(8-^)er+[(R-r)cos(g—(p)+门况°一(R—r)(0-0)cos(6-0)&+(R—r)Jsin(g-0后

=一rosin/—(p)er+rco[l-cos(6一夕)]却

a=t5

=ny(0-0)cos(6-(p)er-vcoOsin(6-(p)ke-xa>{(p-0)sin(6--TCDO\\-cos(6-^)]er

=ny0cos(。一夕)6-r690sin(。一°)&一

.2

=~~|[(r-R)-rcos(6-夕)]er+rsin(6-(p)e0}

5已知某质点的运动规律为：y=bt,6=at,a和b都是非零常数。

(1)写处质点轨道的极坐标方程；(2)用极坐标表示出质点

的速度。和加速度云。

W：(l)y=rsin^=bt=—

得：r=—^csc^e

ar

小一二basin。一a6cose_b夕一

(2u=r=--------------；---------e+---------ae〃

asin_0rasin。

=焉［(1一"3夕尼+维］

6已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是入r和口0,

这里U和人是常数。求出质点的加速度矢量限

解:由题知：u=2rer+〃绚

且：r三Arj。=

故：a=d=Arer+Ar0eo+/LL01O-jL/00er

二(&一〃加用+(疝+〃)庆〃

=（22r-巴匕R+即入+幺）却

rr

7质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与

加速度矢量正交。

证明：设速度为0=电。

mil_di?_v~_

贝1J：a=—e+—e=­e

出r。n。n

由于。与短为正交矢量。即得证。

8一质点沿心脏线「=E1+3。）以恒定速率v运动，求出质点的速

度。和加速度限

解：设D=i€r+r况@=乐"（一sin。后+乐（1+cos。）吃

且有：[^/c(-sin^)]2+[^/c(l+cos(9)r]2-u2

解得：0=一^-

2cos-K

2

得：i=dK(-sine)=-Dsing,rd="cos9

则：u-t?(-sin-^erH-cos^e0)

.i.o.oi.e.e

a-v=——8ocos—6r-dosin—金——6vsin—e„-6vcos—e

222222r

3吟-,。-、

—(-er-tan-e,)

9已知质点按r=ea',，=/t运动，分别求出质点加速度矢量的切向

和法向分量，经向分量和横向分量。

解：（1）极坐标系下：

由「=6H，="得：t=常用=§

且设：i?=rer+

则：v-Ji?+/町er=fer+r&e

22a,

=(a-r^)eer+2a^e%

则：径向与横向的分量分别为(。2-力2)*，2aBec0

10质点以恒定速率C沿一旋轮线运动，旋轮线方程为

x=R((9+sinO'),y=-R(l+cos0)。证明质点在y方向做等加速运动。

解：依题意：C2=x2+y2=R2(l+cos^)26>2+R2^2sin2^

得：©=—

2Rcos—

2

则：ay=y=R(&2cosO+dsin。)

2

「2—sinsin—

£4n2____2

4R<2。、0)

cos—cos—

22

C2

-4R

11一质点沿着抛物线y2=2px运动，如图所示，其切向加速度的量

值是法向加速度值的-2k倍。若此质点从正焦弦的一端点(%,p)

以速率u出发，求质点到达正焦弦的另一端点(%，-p)时的速率

VO

解：建立自然坐标系有："真+3

FlduciL>2ciodsciudscide

Fl：——=-2k—=-2k---=-2k-----=-2k。——

dtp夕dtds出dt

而

—=-2kd^

V

积分得：o=ue-2k。(代入%=u)

又因为：y2=2px在(%',p)点处斜率：

12竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落

返回至原地点的时间短0

解：设空气阻力为f,且小球初速为“，质量为没，则有:

上升时间：

g+

上升高度：h

2(g+

下落时间：t2

用

即得证。

13质量为m的质点自离地面h高度处下落。若空气阻力与质点速度

的平方成正比，比例常数为C,试讨论此质点下落过程中的运动状况。

解：设加速度为a,速率为0,则：ma=mg-Ct/=mt）

得：泼厂dt积分并代入.。时…有:

s/m

a=8ge方原Jg%（l+e"夙尸（1原）<0

知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。

14将一质量为m的质点以初速度?与水平线成a角抛出，此质点受

到的空气阻力是其速度的mk倍，这里k是常数。试求当质点的速度与

水平线之间的夹角又为a角度时所需时间。

解：依牛顿第二运动定律有：mvx=-mkux,mvy=-mg-mkuy

积分并代入初始条件：f=0时：%=%sin0,L>Ov=v0cos6

解得：u=ucos0e~kl,u-(usin0+—)e~k,--

x0vokk

当再次夹角为a时：—=-tana

可解出：y4n（l+弛姐堂）

k8

15一质量为m的质点用一长度为/的不可伸长的轻绳悬挂于一小环

上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为3%。开始时，小环静

止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝的水平方向给质点以大小为

历的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是。时，小环在钢丝

上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是几，此时绳中的张

力为3=3mgcos0o

解：依gm4=；〃?为2-mg/(l-cos6)

得：=2〃2gcos0

则:FT=mu%+mgcos0=3mgcos0

3mgeos8singsin202tan6

//=F-T------=-------------=--------=------

,32n.3cos22^+23+tan20

茸r上+万加g3mgeosO+-mg

又因为：如=2(3+tan2e2tan26)=0

dtanO(3+tan2O'y

得：tan0-43

故：tan6=G

即得证。

16滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一个端点联结，弹簧的另一端

挂一质量为m的质点，如图所示。当滑轮以匀角速率转动时;质点以

匀速率/下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中

的最大张力。已知弹簧作用力为W时的静止伸长友。

解：(注：此题中W=mg)设最大伸长为4,有：女=巡=上

4)4)

依能量守恒：=［呻)2+Mg(4”-4)

解得：4”=4)+%历

则：小=心=却+"。西)

17两个相同的轻质弹簧，劲度系数为的自然长度是/。，在它们中

间竖直地串接一质量为m的质点。弹簧的另外两端点分别固定于A点

和B点，如图所示，A、B间的高度差是3%。设开始时质点静止于

AB的中点，求质点的运动规律。

17解：质点运动时势能

V=-mgx+gk(x-\)+gk(-"x)=-mgx+kx2+^-

在平衡时：—=-mg+2kx=0

dx

得：x°=邂

2k

且运动时受力满足：F=-—=mg-2kx=mx

dx

代入初始条件：t=0,x=0,A=Xo

18两个质量都是m的质点A和质点B用一自然长度为/。的轻质弹簧

相连，置于一光滑水平桌面上，如图所示。弹簧的劲度系数为3两

质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点B沿AB方向受到

一大小为《的恒力作用。分别求处质点A和质点B的运动规律。

F

18解：依受力分析知IA-^A=1<(XB-XA-10)..•…•

FB=mxB=k(210+xA-xB)……*

*1+*2得：X+X=-1

ABm0

2

积分得：XA+xB=-^-t+10

代入*1得：x=—(―t2-2X)

Am2mA

积分得：XA=，(当"+cosot-l)

同理：＜B="(4^2+310-2XB)

m2m

积分得：xB=12-(---cos0t+5)

42

另解：先将AB及弹簧看成一系统，其质心做一受恒力kl的作用，再

将A与B理解成绕质心做周期性振动，可得A的运动规律为质心运动

与A振动的合运动，B亦然。计算亦很简单！

19一质点从一光滑圆柱表面最高处，自静止下滑，如图所示。问质

点滑至何处将脱离圆柱表面？

解：将脱离时滑过相应角度为此时满足：严gr(,cos6)=3mr设

mgr©2=mgrcos。

2

可解得：0-arccos—

3

20一钢丝弯成尖端朝上的摆线：x=a(0-sine),z=a(l+cos°),上面穿

有一质量为m的小环。今若小环在钢丝的最低处获得大小为/的初速

度，开始沿摆线滑动。求出当小环的速度与水平线成a角度时，小环

的速率。。已知小环与钢丝的摩擦系数为〃。

解：小环运动时一，依受力分析知:其

对钢丝的正压力为N=mgcosdf+mt^/

sin69(p

又因为:-------=-cot—

1-cos(p2

得：(p=2a+7i

dl=dVx2+z2=2asind^9=4acosada

彳弋入：(p=2a+7c、p==4asin"=4acosa

da2

得：N=mgcosa+nw/ac°sa

则损失能量：dQ=〃Ndl=〃(mgcosa+%。〃)4acosada

/NdCObCZ

再依能量守恒：dlT+Q+V%^。

得：T+2〃T+2mga(〃cos2a+sin2。+〃)=0

T=-mt>2=[C-2mgaj(〃cos2a+sin2a+....*

2

(其111V=mgz=mga(l+coscp))

现进行积分：e-2m=e%a

1

2pa

jcos2aeda=ucos2。+2jsin2cre2//ttd^z)

1

kin2ae2"*da=sin2a+2jcos2ae2^ada)

2Z/

fcos2ae"°da=(——rcos2^e2//a

J2(4+i)

解出:

代入*1得：

2a2/ja2

T=-mu=e-^{C-e[//sinla+(//一l)cos2a+(/?+1)]}.......*2

2/T+l

2

代入t=0,a=0,T()=Lmq2得：C=—mp0+

22LI~+1

再将C代入*2得：

—mt>2=din%2+2"乎1〃―把-2"a_m^-asin2o?+(/z2-l)cos2a+(//2+1)]

224+1//'+1

故：。={((V+l^L)e-2〃a一_[〃sin2a+(储_1)cos2a+("+1)]作

〃一+1〃一+]

21如图所示，用细线将一质量为m，的圆环悬挂起来，环上套有两个

质量都是m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。若两小环同时

从大环顶部由静止向两边滑动，证明如果m〉3n%,大环将升起；此

时角6是多少？

解：小环因重力对m，的压力N=mgcos。。而小环运动所需向心力必由

m，对m的弹力F与重力提供，满足：N+F=Q(法向)

r

又依能量守恒知：gmt?=mg(l-cos6)

且依两环的对称性知，大环受合力向上，且大小为：

2

F合=2(巴幺-N)cos0=2[2mg(l-cos0)-mgcos0]cos0

当大环升起须满足：%>m，g

故得方程：2mg(2-3cos。)cos。>m，g

<-3cos20+2cos0=-3(cos--)2+-<-

2m333

故：m>3叱

当满足m>3叱时，升起时角度满足3cos2。-2cos6+畀<0

解出：如卜^)3<如卜黑)

则刚升起时：0=arccosfj(1+^1-^-)]

第三章非惯性参考系

系拥庐山真面目，兄狼身在此山中。地球的，度

多彩，宇宙的繁杀，也许在送里可山略见一鹤。春先

无限，帝君且数千里目，别忘了去量语言在此将人致

盘彩。

【要点今新马总修】

1相对运动

k=7+产

_drdr#drdrf_

dtdtdtdtdt

=D+0'+5x产

^_dv_dvd(7+3x〃)

a——t।

dtdtdt

,/

^^-4-+^-^+—xf+^x—+(wx(v+6)xr)

2

dt力2dtdt

=a,+a'+^xr'+3x(^xr,)+2axv'

=可+1+4

〈析〉仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。

(1)平动非惯性系(而=0)

a=a'+atEP:ma'=F+(~mat)

(2)旋转非惯性系(i=0)

万二万'+3x产+3x(3x/)+2由xO'

2地球自转的效应(以地心为参考点)

mf=F-mg-1m(bxr

写成分量形式为:

mx=Fx+2mcoysin2

<my=Fy-2mco(xsin4+之cosA)

mi=F_-mg+2ma)ycosZ

〈析〉坐标系选取物质在地面上一定点0为坐标原点，X轴指向南方,

Y轴指向东方，铅直方向为Z轴方向。m?=F-mg-2ma)xir为旋

转非惯性系齐一=〃斤+〃?切x尸+加<5x(万x尸)+2〃汤x不在d)co,rR

条件下忽略"点x7与用后x®x了)所得。正因如此，地球上的物体运动

均受着地球自转而带来的科氏力-2加灰尸的作用，也正是它导致了

气旋，反气旋，热带风暴，信风，河岸右侧冲刷严重，自由落体，傅

科摆等多姿多彩的自然现象。

〈注〉自由落体偏东的推导时，取F=0,且须应用级数展开，对小

量。作近似

12

cos2a>t«1——(2(y/)­,sinIcot«2cot

2

【解敢演示】

1一船蓬高4米，在雨中航行时，它的雨篷遮着蓬的垂直投影后2m

的甲板;但当停航时.，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m处,

如果雨点的速率是8米每秒，求船航行时的速率？

解：取湖面为惯性坐标系，如右图所示建立坐标系

依几何关系，设雨点相对湖面速度为0,=,]+§：(%)

船相对雨点的速度为3，7+£:(%)

则：船相对湖面的航行速度U=D,+D'=ST(%)

则：u=8%

2.河的宽度为d,水的流速与离开河岩的距离成正比。岩边水的

流速为0,河中心处水的流速为c。河中一小船内的人，以相对

于水流恒定的速率”，垂直于水流向岸边划去。求小船的舫行

轨道和抵达对岩的地点。

解：如右图所示，建立xoy惯性系，且依题意可知人的位置(x,y)

满足:

••f..................*

y=y=u3

由*3得：y=ut分别代入I，*2并联立

c2/d、

XR一(y^-)

a.=ud2

到达对岸时j=d，代入得：x=9

2u

3.一圆盘以匀角速度融绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质

点M沿圆盘上的弦，以恒定的相对速度U运动，如图所示。已

知该弦离盘心的距离为b,求在以地面为参考系时，质点M的

速度和加速度(表示成质点M离弦中点的距离x的函数).

解:设M的速度，加速度分别为0和a，依题意知：

0=o'+Rxp+a

=ui+0kx(xi+bj)+O

=(u-b6y)i+/xi

W=£+We+吼

=0+0+0+疝x[疝x(xi+bj)]+269kxui

=-co2xi一#bj+2^uj

=-4y2xi-6y2b+(26yu-692b)j

4一飞机在赤道上空以速率1000k%水平飞行。考虑到地球的自转

效应，分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系(不随地

球转动的坐标系)的速率：(1)向北飞行；(2)向西飞行；(3)

向东飞行。已知地球半径为6370km.

解:以飞机为坐标原点，以向东为x方向,向南为y方向，竖直向上为z

方向，相对于地心(设为惯性系)的速度为：

q=WRT=7.295x1Of*6.4x1啖j=466.7%T

则:三种情况相对于地心的速度分别为：

(1)瓦=a+"'=466.7^i—1000k%j贝lj：g=Jg2+q，2=543%

(2)02=g+02'=466.7^i—lOOOk%；=i89%贝lj：4=189%

(3)03=2+。；=466.7啖；+10001<%；=744%则：q=744%

5—楔子，顶角为a,以匀加速度云。沿水平方向加速度运动。质量

为m的质点沿楔子的光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于

楔子的加速度牙及质点对楔子的压力认

解:依9=薪+才得：

x,

a=a-a0=gsinai+ancos<zj-(a0cosoj+a0sinai)=(gsina-a0cosa)i

z

又因为在平动非惯性中:=户-mW,.得:巨=m(a0+a)-mg

F=m(gsinai+a0cosaj)-m(-gcosaj+gsinai)=m(gcos(z+a0sina)j

f

则楔子对斜面的压力F=-F=-m(gcosa+a0sina)j

6一缆车，以大小为a。，与地平线成a角的匀加速度上升。缆车中

一物体自离缆车地板高度h处自由下落。求此物体落至地板处

的位置。

解:以缆车为坐标原点建立坐标系，如右图则，物体满足：

a,=aQ=-a0sinaj+a0cosai,a=gj

贝U：a'=a-at=(g+a0sina)j-a0cosai

知：a'--aQcosa,a-=g+a0sina

又因为：t=但

则：s,=^r=^h=-ha°cosa

'2'a：(g+a()sma)

即:向后方偏离恤3a

(g+/sina)

7一单摆摆长为/,悬挂点。，在水平线上作简谐振动：x=asin/»。

这里x是悬挂点离开水平线上的固定点0的距离，如图所示。

开始时摆锤沿铅直下垂，相对于。，的速度为零。证明单摆此后

的微小振动规律为

2

。=-右(sin式中心=%

解似摆锤为原点建立坐标系“今,如右图，则：C相对于。点运动状

况：

2

=Xter-ger=apsinptcos电-gsin0eT=IOeT(利用:a=a+at)

再利用微振动cos。Lsin。夕，并令公=&有:

可角星得：8=Asin(h+*o)+:P——sinpt

//Jp2)

并代入初始条件f=0,。=&=0

2

积分并代入，得：0=(sinpt-y-sinkt)

l\K-p2)k

8一竖直放置的钢丝圆圈，半径为「，其上套有一质量为机的光滑

小环。今若钢丝圈以匀加速度5竖直向上运动，求小环相对于

钢丝圈的速率〃和钢丝圈对小环的作用力大小外。已知初始时

刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角°=%，小环的

相对速率〃=与.

解:设与沿直线向方向的夹角为°。如右图所示，以小环质心为参考

原点建立坐标系e,,%.,则在工方向上：aT-arl+aT.

即-gsin(p=asin(p+aT.

/日/、.du.duadu

,-(g+a)sin^=a，=—=(p—=——

ratd(prda(p

积分得：〃=+2r(g+a)(cos0-cos%)

在蓝方向保持力平衡，则支持力

F=------+m(ge-ae)

rnn

=〃?["+2(g+a)(cos/-cos夕())]+〃?(g+a)cos夕

r

=〃z[(g+a)(3cos夕-2cos0o)+%-]

r

9一平放于光滑水平桌面上的圆盘，以恒定角速度方绕固定的圆盘

中心转动。有一质量为机的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相

对速率“向圆盘的边缘走动。试分别利用(1)地面惯性系；(2)

圆盘非惯性系，讨论圆盘对人的作用力

解：(1)以地面惯性参考系讨论，设人走的半径为应，切向为酊则

有：

F-mgk+marr^-elt)-mgk-mco'uten

(2)以圆盘非惯性讨论：&=E=

m

2

则：F=mg-medx((j)xr)+0=mg-ma)uten

10一半径为「竖直放置的光滑圆环，绕通过其圆心的铅直轴以恒

定的角速度了转动。在此圆环上套有一质量为〃，的小环，自

。=%处相对于圆环无初带地沿环下滑。问小环的位置。为何值

时，它的滑动将开始反向？这是。是圆环的圆心与小环的连线

跟转轴之间的夹角。

解:同(8)题：2=4+济在母方向上有:

gsin。=-corcos。sin8+Q'

4Bduudu1d2u.c、.八

倚：a=——=--=----=一（8+mcos，）sin，

dtrd（p2d（p

积分并代入0=工,，，=0得：

4

12/c兀、①r,2c1、

-H'=^(cos0--)+—(cos-0--)

2222

当开始反向时词=0,代入上式解得:

6=arccos（一等一名）

11一内壁光滑的管子，在水平面内绕通过其端点。的铅直轴，以

恒定的角速度了转动。管内有一质量为加的质点，用一自然长

度为/，劲度系数为k的弹簧和管子的端点0相连，设初始时质

点到0的距离为1=/且;i=0。求质点在管中的运动方程及它对

管壁的压力及。

解：以O为原点，如右图建立直角坐标系，则有：

ci=ac+ae+a'=xi+cokx(a)kxxi)+2a)kxxi

得:a=(x-co2x)i+2co^*,

又因为：上上二幽_幺曰；……*2

mm

故：在X方向有：元=—(Q2-02)x+Q2/(其中：Q2=K)

m

解方程并代入f=0,1=/,土=0得：

2

lorZQ

x2（2-cos

=7Q^2---a-r-ar

再由*i,*2式得：-2mcox-2mlsinVo2-a)~t

y

鼠=mg

2

故:Fv=2ml,sinvH-co~tj+mgk

12质量为机的小环，套在半径为厂的光滑圆圈上，若圆圈在水平面

内以匀角速度/绕其圆周上的一点转动。试分别写出小环沿圆

圈切线方向和法线方向的运动微分方程(以小环相对于圆圈绕

圆心转过的角度。为参量写出)，设圆圈对小环的作用力大小以

外表示，并可略去小环重力。

解：如右图所不建立坐标系，则：产=r(l+cos0)1+rsin<9j

ur=-rsin007+rcosOOj

a=-r(cos00~+sin33)i+r(cos60-sinOO1)j

r2

ae=4+xrxxr)=0+0-+cos0)i-corsin0j

,

ac=2a)xD=-2cor0sin0j-2cor0cosOi

则:1=4+4+济

=[-r(cos002+sin00)-co2r(l+cos0)-2cor0cos0]i

+[r(cos00-sin002)-eo2rsm0-2cor0sin0]J

=arer+anen

又因为：a=--e+0母,i=-sin^e+cos。/，j=cos0e4-sin0e

mnrTn

在己方向投影：氏=而+o，sin。=0

得切线方向：初+疗sin。=0

在方向投影：4=-r02-co2r(\+cos0)-IcorO=-

m

12

得在法线方向：mrO-FN-mcor(l-]-cos0)-2mrco0

13一质量为机的质点，位于光滑的水平平台上，此平台以匀角速

度5绕通过平台上一定点0的铅直轴转动。若质点受到0点的

吸引力户=-机修不作用，这里不是质点相对于0点的径矢。试证

明：质点在任何起始条件下，将绕。点以角速度力作圆周轨道

运动。

证明：(注：此题与12题过程与条件基本相同)

如右图建立坐标系：

r'-rcos0i+rsin9j

u'=r'=-rsinOOi+而cos0j

a-r--r(cos06~+sin00)T+r(cos00-sin602)j

,2

de=a,+®xr+<vx(®xr)=0+0-®r(l+cos-疗rsin0j

ac=2MXL)'--2cor0sin(9J-IcorOcos6i

1

贝J:a=ac+ae+a

-[-r(cos002+sin03)-<®2r(l+cos0)-2a)rdcos0]i

+[r(cos00-sin002)-a>2rsin0-IcorOsin0]j

=*+a,总

因为：i=-sin0eT+cos0en,j=cos0er+sin0en

且：％=0，。“=-02r

得：ar——r0=0,=0

an--r0'-arr-2a)r0--arr,0--Ico

即：将绕以角速度2O作圆周轨道运动。

14一抛物线形金属丝竖直放置，顶点向下，以匀角速率。绕竖直

轴转动。一质量为机的光滑小环套在金属丝上。写出小环在金

属丝上滑动时的运动微分方程。已知金属丝构成的抛物线方程

为f=4ay,这里a为常数。

解：如右图建立直解坐标系，则:

TT,-：；I

r=xi+yj=xi+—j

4a

一,J.rxx二

v=r=xi-\---/

2a

...2

一,j.XXX.-r

Cl=U=XI-\r(---1---)1

2ala

贝I」：4+4=4+切x产+/jx(&/x/)+2coxk=arer+anen+abeb

其中：i=-sin^e+cos^e,J=cos0e+sin0e，k=etan—

rnrnb2a

.2

贝II：a=-(x-orx)cos0-(—x+—)sin=gsin0

r2a2a

代入tan^=—

2a

得：(1+£)尤=一三一超+疗x

4a24a22a

15在北纬4处，一质点以初速率/竖直上抛，到达高度为〃时又落

回地面。考虑地球的自转效应，不计空气的阻力，求质点落地

位置与上抛点之间的距离；是偏东还是偏西？为什么？

x-2a)ysinA*〕

解：依地球上质点运动方程：<歹=-2<y(Wsin/l+之cos4)....*2

z--g+2ft;ycos2....*3

初始条件为f=0,x=y=z=0,9=%

对**2式进行第一次积分f=2"S?"

z=-gt+2coycos4+%

2

代入*2得：y--4a)y-2eo(u()-gt)cos2

积分得：y=Acos2cot+Bsin2cot+———cos2

2a)

gtcosAucosAucosAcos2a)t

代入初始条件得:-----(-)------------0-------1----------------------

2co2a)2a)

一①t%ocos%；/cos2

落地时：f=2=j2/?g,代入上式得:

(y<0)

故偏西。

16