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上海交通大学博士学位论文 解析转移矩阵方法在量子力学 及左手材料中的应用 摘要 利用势场分割的解析转移矩阵方法由于考虑了散射子波的位相 文献，不仅能给出一维系统精确的能量本征值方程，而且指出了转折 点处的相移是万，而不是w k b 认为的x 2 。在此基础上能得到精确的 量子化条件，除此之外，利用矩阵方程可方便地得到本征函数。 自从薛定谔方程七十多年前问世，人们已经提出并发展了多种不 同的方法来推导精确的本征值和本征函数。许多物理问题的解决需要 求解薛定谔方程。人们已广泛研究了大量的势阱，其中，m o r s e 势， 调节c o u l o m b 势是两个重要的例子。本文对这两种势进行了研究，求 碍了精确的能量本征值和本征函数，发现解析转移矩阵量子化条件是 精确而普遍适用的。 解析转移矩阵方法具有巨大的潜力，可以应用于不同的领域。本 文探讨解析转移矩阵方法在量子力学、左手材料中的应用，不仅对方 法的本身进行扩展，并且对所得结果展开讨论。 超对称量子力学被广泛的运用于束缚态问题。过去的十五年间， 超对称的观点使其他物理分支产生了新的方法，例如原子物理，分子 物理，核物理，统计物理，凝聚态物理以及非相对论量子力学。本文 上海交通大学博士学位论文 把解析转移矩阵方法与超对称量子力学方法结合运用到量子力学问 题，避免- ys w k b 、b s w k b 秘变分方法等些i 莲缎方法的缺陷。本文详 细分析了三种重要酌量子力学系统，有超对称不破皱的非彤状不变 势，不可解的超对称不皴缺的多壤式势，越对称破缺酶球对称越势。 由解析转移矩阵量子化条件得到的哈密顿量鼠的束缚态能谱遵循超 对称燮子力学的瓣蒯。 量子力学预富的电予和其他微观粒子隧道贯穿( 简称隧穿) 势垒 的现象是粒子波动性最弓l 入注目的表瑗之一。经过? 好多年辩电子隧 穿势垒的广泛研究，人们对电子隧穿的认识和威用已经逐步深入。因 为高速装澄的发震，在爨子阱，超晶格络梅中躺隧穿葶f 起了入稻很大 的兴趣。为了理解这些舞质结浸麓的物理性矮，我们必须褥到不同系 统豹隧穿牲震。最i 廷，邋过单舞黢结，蹶垒缕构和多垒系统的共振隧 穿被广泛调奄。了解电子穿过势垒的隧穿系数非常熏要，它可以用来 决定这些装置酶寇流奄篷特征。本文提浅了一种可行的方法来精确计 算电子隧穷变质量系统的镊意势垒的透射且察。我蜘采用转移矩簿方 法，绘感了描述隧穿性壤蚋解毒斤公式，瘊蓬变仡赢接毽含进解析公式。 任意包含连续变化的势和有效质量的势垒，都可以用解析转移矩阵方 法分析。解析转移矩阵方法可以把透射几率的共振峰的能量位置和势 阱的束缚态的分立能级联系起来。目前的技巧可以推广用于分析与设 计共振隧穿装置和其他的量子尺寸效应装置。 近年来，随着人工负折射率材料在射频波段的实现，负折射率介 质( 即左手材料) 引起了人们很大兴趣。本文调查由左手材料作为导 珏 上海交逶大学耩士举重芏论文 波层的不对称结构的左手波姆的导模和能流情况。在讨论左手波导中 的导模性质时，一些处理对称结构的图解方法对于不对称结构怒不适 阕静，我们提潞一种不阊的鬻解方法来决定不对称结构的左手波导的 光导模，而且同时讨论了导模的髓流分布。我们着力于探索到更多左 手波导中导模的新奇的性质。根据不同组成的物理参量，我们对表面 导模的解驹存在情况和憔质进行了详细的讨论，发现波导结构的不对 称投显著影响解豹形式。本文同时讨论了色散目题，即固定光频下佟 播常数随平板厚度的变化。我们同时对包含左手材料的多层平板结构 中的光子隧道效应展开了讨论，发现左手材料的损耗极大程度地抑制 隧道效应。 关键词：解析转移矩阵方法，能量本征值，本征函数，束缚态能谱， 超对称量子力学，隧穿系数，左手波导光导模，光子隧道 效应 i n 羔海交遴太攀博士学位论_ 交 譬珏嚣a p p 瓢差c a 零薹o no 器零珏嚣a 冀a 0 y 零l c a 乳 t r a n s f e rm a t r i xm e t h o dt oq u a n t u m m e c h a n i c sa n dl e f t - h a n d e d 剐睑t e l u a l s a 鹜s 薯r a c 譬 e x a c te i g e n v a l u ee q u a t i o ni no n e d i m e n s i o n a ls y s t e mc a nb e o b t a i n e db yt h ea n a l y t i c a lt r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ( a t m m ) t h r o u g h d i v i d i n gt h ep o t e n t i a lp r o f i l ei n t om a n ys e g m e n t s p h a s ec o n t r i b u t i o nb y t h es c a t t e r e ds u b w a v e si se x p r e s s e de x p l i c i t l yi nt h ea t m m b a s e do nt h e a t m m ，t h ep h a s el o s sa tt h et u r n i n gp o i n ti s 丌i n s t e a do ft h e u s u a l c h o i c en 2 b yw k b e x a c tq u a n t i z a t i o nc o n d i t i o nc a l la l s ob eo b t a i n e d b yt h ea t m m f u r t h e r m o r et h ee i g e n f u n c t i o nc a nb eo b t a i n e db yt h e m a t r i xe q u a t i o n s i n c et h eb i r t ho ft h er e n o w n e ds c h r 6 d i n g e re q u a t i o nm o r et h a n s e v c y n t yy e a r sa g o ，v a r i o u sa p p r o a c h e sh a v eb e e nd e v e l o p e dt os o l v et h e p r o b l e m a m o n gt h el a r g ec l a s so fp o t e n t i a l sw h i c hh a v eb e e nw i d e l y s t u d i e d ，t h em o r s ep o t e n t i a la n dt h er e g u l a t e dc o u l o m bp o t e n t i a la r et w o i m p o r t a n te x a m p l e s i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea t m mi se x t e n d e dt o c a l c u l a t eb o t ht h ee n e r g ye i g e n v a l u e sa n dw a v ef u n c t i o n sf o rt h et w o ，是塑塞鎏壅望蓬主鬟燕建壅 e x a m p l e s 。d e r i v a t i o n so f t h ee x a c te i g e n e n e r g i e sa n de i g e n f u n c t i o n sa r e p r e s e n t e di nd e t a i lb yt h ea t m m w ec o m p a r e 0 1 1 1 r e s u l t sw i t ht h a tb y r e l a x a t i o n a la p p r o a c ha n dt h ee i g e n v a l u em o m e n tm e t h o d , a n di t i s s h o w nt h a tt h ea t m mc a r lp r o d u c ea c c u r a t ee i g e n v a l u e s + t h e e i g e n f u n c t i o n sb y t h ea t m ma r ea l s op r o v e dt ob ec o r r e c ta n d m e a n i n g f u l 。 d u et ot h em e r i t so ft h ea t m m ，w ea p p l yi tt oq u a n t u mm e c h a n i c s a n dl e f t - h a n d e dm a t e r i a l s ，w en o to n l ye x t e n dt h em e t h o di t s e l f , b u ta l s o i n v e s t i g a t et h ei m p o r t a n tp h y s i c sp r o b l e m si n v o l v e di nt h et w o f i e l d s 。 w es t u d yt h eb o u n ds t a t es p e c t r af o rt h r e ei m p o r t a n tp r o b l e m s 灏浚 u n b r o k e no rb r o k e ns u p e r s y n u n e t r yb yt h eq u a n f i z a t i o ne o n d i t i o nf r o m k f m m 。c o m p a r i s o no ft h ee n e r g ye i g e n v a l u e sf r o ma t m m w i t ht h o s e f r o ms w k bo rb s w k j 3r e v e a l sb e t t e ra c c u r a c yo fa t m m 。f u r t h e r m o r e t h ea t m mc o n d i t i o np r e s e r v e st h es u p e r s y m m e t r i ce n e r g yd e g e n e r a c y t h ea t m mi sa p p l i e dt ot h ee v a l u a t i o no ft h ea m n e l i n gi n t h e s e m i c o n d u c t o rh e t e r o s t r u c t u r e s a n a l y t i c a lf o r m u l ao ft h et r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e sa c r o s sa r b i t r a r ys h a p e dp o t e n t i a lb a r r i e r sw h i c hi n c l u d e st h e v a r i a t i o n so ft h ee f f e c t i v em a s s e sh a sb e e nd e v e l o p e di nt h i sd i s s e r t a t i o n v a r i o u sp o t e n t i a lb a r r i e rs t r u c t u r e sa r ea n a l y z e da n dt h er e s u l t sa r eo f h i g hp r e c i s i o n t u n n e l i n gr e s o n a n c ei s o b t a i n e df o rt h ed o u b l e - b a r r i e r s t r u c t u r e w ec a nc o r r e l a t et h ee n e r g yl o c a t i o no ft h ep e a k so ft h e t r a n s m i s s i o np r o b a b i l i t yw i t ht h eb o u n ds t a t ee n e r g i e so ft h ei n c l u d e d v 上海交通大学博士学位论文 p o t e n t i a lw e l l st h r o u g h o u ra n a l y t i c a lt r a n s f e rm a t r i xm e t h o d w es t u d yt h e g u i d e do p t i c a l m o d e si nt h e a s y m m e t r i cs l a b w a v e g u i d es t r u c t u r e sw i t hac o r eo ft h el e f t - h a n d e dm a t e r i a ls u r r o u n d e d b yt w on o r m a ld i e l e c t r i c s ag r a p h i c a lm e t h o di sp r o p o s e dt od e t e r m i n e t h et r a n s v e r s ew a v en u m b e r sf o rt h eg u i d e do p t i c a lm o d e s t h ee x i s t e n c e a n dt h et y p eo ft h es o l u t i o n st ot h es u r f a c eg u i d e dm o d e sw i t hr e s p e c tt o d i f f e r e n tp h y s i c a lp a r a m e t e r sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l ，w h i c ha r ed i f f e r e n t f r o mt h a ti ns y m m e t r i cl e f t - h a n d e dw a v e g u i d e s t h et o t a le n e r g yf l u xf o r t h eo s c i l l a t i n gg u i d e dm o d e si sn e g a t i v e i tc a nb ep o s i t i v eo rn e g a t i v ef o r d i f f e r e n ts u r f a c eg u i d e dm o d e s f o rh i g h e r - o r d e rg u i d e do p t i c a lm o d e s t h ep r o p a g a t i o nc o n s t a n tf o rt m - p o l a r i z e do n e si sg r e a t e rt h a nt h a tf o r t h et e p o l a r i z e do n e sf o raf i x e dw i d t ho ft h el e f t - h a n d e dm a t e r i a ls l a b m o d ed e g e n e r a c ya p p e a r sf o rt h ef i r s t - o r d e rt e - p o l a r i z e dg u i d e dm o d e s i nt h ea s y m m e t r i cl e f t h a n d e dw a v e g u i d e b o t h t e - p o l a r i z e d a n d t m p o l a r i z e ds u r f a c eg u i d e dm o d e sc a nb es u s t a i n e di nal e f t - h a n d e d w a v e g u i d e u n u s u a lp h o t o nt u n n e l i n gi nt h em u l f i l a y e rs t r u c t u r ew i t ha l o s s yl e f t - h a n d e dm a t e r i a l i ss t u d i e d t h el o s s e si nt h e l e f t h a n d e d m a t e r i a ls u p p r e s st h et u n n e l i n gi nt h em u l f i l a y e rs t r u c t u r e k e y w o r d s ：a t m m ，e n e r g ye i g e n v a l u e s ，e i g e n f u n c t i o n s ，b o u n d s t a t es p e c t r a ，s u p e r s y m m e t r y , t r a n s m i s s i o np r o b a b i l i t i e s ， g u i d e do p t i c a lm o d e s ，p h o t o nt u n n e l i n g 上海交通大学学位论文答辩决议书 耳i 谱者旷何英i l 所在学科( 专业) 0 光 夏葱司0 鞲丽转移矩阵方法在量子力学 答辩同期0 2 0 0 5 0 8 3 0 i i 答辩地点 工海爻通大学徐汇校区物理 办公室 答辩委员会馥员 担任职务殛名1 _ 职称8 所在工作单位 8 备注 签名 主席群薄璜 研察晁3 轰餮院上海光学精密机械研 委员 钱射加复旦大学 尉a n 1 i e j i a 委员李春芳教授 上海大学 l 1 c h u n l a n g 委员澎乾骏| i 教授 上海交通大学 p a n g q i a n j u n 委员| i 陈险峰l 教授 上海交通大学 c h e n x ia n f e n g 委员i l 蕾庄琪0 教授8 上海交通大学 c a o z h u a n g q i 上海交通大学物理系博士研究生何英所完成的题为“解析转移矩阵方法壬臼 子力学_ ；及左手材料，中的应用”的学位论文，选题新颖，具有重要的理论意义稠密 用价值。作者系统地归纳和评述了大量的有关文献，缀掌握了浚领越旦盟瞳 研究状况和发展方向。论文傣撮熊柝转移矩阵豹甄瑷，、，剃穗蔚场分毒挺立了饪蔫 形状势阱的薛定谔方程的量子化条件，精确钎算7 r s e 势藕调节c o u l a m b 势拘能 量本征值和本征函数，并结合超对称量子力学，分析 势的能谱，验证了超对称量子力学的伴随谱的特征。 任意形状势垒的透射系数，给出了 意形状半导体异质结的隧穿特性提 为导波层时不对称结构光波导的导 了一些精确可解势和不可解 论文还讨论了变质量情况下 精确的解析透射系数公式，为探索电子通过任 供了理论基础。论文避一步分析了左手材料作 波模式和能流，给出了左手波导的一些新奇性 质。论文结构合瑷，叙述清楚，理论分析严谨，数据可靠，结论f 确+ 疆p 表明作者具有颦实宽广的基础理论和系统深入的专门知识，已具备 翁南强警 独立从事 科研工作的能力。答辩中能诈确回答问题，经答辩委员会投票一致通过何英同 的博士学位论文答辩，建议授予何英理学媾士学位。 表决结果： 学 答辩委员会主席翻薄啦釉 亿伽f 年8 月；o 同 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： i 可骧 日期： 沙口s 年尸月2 ，； 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密阢 ( 清在以l 方框内打“”) 学位论文作者签名：i 可霉 日期：沙5 年尸月2 - 3 日 指导教师签名：瞎芯终 日期：硝年7 月哆日 上海变遵大学博士学挝论文 繁一耄绪论 + 藻建谔穷糕的发愁邋壤嗣求瓣蠢法 著名酌薛定谬方程予七十多年藏阿凝，宦瓣述徽耀粒子黝遂动，攥示了爨予 落赛中物疆遴动酌熬零翘镣，程璇菇鳃髓冬孛，腰子缎搀秘燕子求警上瓣携袋结 构戳及什么东西决定物质的物理化学性威这贱古老赠基零的婀题个接令遮 速褥至8 解决，勃毽耧蕊穗攀张鳓键学嚣始紧寮联系起来。 游定谔方程在爨予力学中肖举怒轻羹骢遮俊，浓鳃蓦定浮方程蓬楚爨子力 学审袋旗拳鹃闯越。7 0 多筝过去了，薅逡谔方稷仍然富纛强大黼擞谂力，葚楚 在各个秘髓领蠛褥麴濒入波艨，因戴探索求麓黪蹙谗方程瓣糖薅、篱震、露效的 方法至今仍跫入钓感兴建懿麟巍深熬。毽怒哭舂洚数不多翡势髓瓣残静簿定谔方 糕耐获褥严格解，鄹便是穗一维揍提下瞧怒这撵。毽魏鑫麸薛定谔方稷涎奎强聚， 它始终跫科学界广泛关注的课题之一，人嚣j 敦力予扩震它鹣疲耀鞭躐，域赣发旋 受多露效袋勰薛定谔方程的穷法。 随着现代计算机技术日新月异的发展，薛定谔方程总是能数值求解达到一定 的精确度，但是非常精确地数值求解一些薛定谔方程仍然是不可能的，尤其是大 于一个自由度的情况下。即使在最简单的一维量子系统中，要成功应用直接的数 值积分方法，也得依赖于最初设定的边界条件和能量本征值是否合适。这就激发 人们去发展更加复杂的积分方法，例如：嵌入式指数拟合r u n g e k u t t a 方法 1 ， 损耗n u m e r o v 型方法 2 ，另外有一些有趣的技巧，例如基于h e n y e y 运算法则的 弛豫方法 3 。m s e l g 提出一种数值补充的解析方法求解与时间无关的一维薛 定谔方程，先构建一个精确可解的参考势，由几个平滑连接的m o r s e 型分量构成， 对需要求解的势进行很好的近似，再把参考势的哈密顿量的精确解与非微扰方法 结合起来，这样可以精确求解最初的势的能量本征值问题 4 。 除了上述方法，另外些不同的方法被提出来数值求解薛定谔方程，其中有 h i l l 行列式方法 5 ，位相损失方法，本征值矩方法，以及变分计算法 6 - 7 。 量子化学中人们用稳定性方法来求解能级 8 。许多处理此类问题的技巧实施起 上海变通大学博士学位论定 来菲常寐溪，铡翔蒙特卡箩方法 9 】和商鞭元方法( f e m ) c 1 0 i l 。 大爨重要酌秘瑷闷怒需簧求解球辩称势静簿定谔方程，球对称势怒三缏的， 但即使研究的问题楚兰维的，却在维空间中处理起来比较有优势，所以可选 用1 n 作为微拣展开参数。这秘迁移1 n 鼹歼方法提供耱确浆方法求螟薛定谔 方稷，能给出球对称势的极好的能爨本征值和本征的数的解析近似液达，但是收 敛较漫。这瓣按巧莺先在磅究乎方臻熟势对褥戮发展，屡寒接广媛予一般憝球对 称势，可以求解任意量子数蹿敬f 的态【1 2 。 藿名熬玻尔一索束嚣量子玩条棒邀怒求解辞定译方程豹行之有效酌方法， -1 碡p 西f = ( 撑+ 习矗，鼯= o , 1 ，2 ， ( i 1 ) 其中d 指对周期运动积分一个周期，用这个爨子化条件可以求褥攫势暌中运旗 静粒子的能级瓯。另外，爱因新邀的平行速度韵组成规刚( e i n s t e i n s c o m p o s i t i o n1 勰) ，可愚采诗纂任意形状靛爨予势鞠波憋数魏黥缀；耄缀法 ( p o l e sm e t h o d ) 最邋被用予多量子阱势。 量子隧穷乓量子爱越是攫予力学审憝经龚褥髦，对这个 蠢熬煞额究霪要考虑 薅定谔方程的墩艇。维反谐掇子秘双辫势靛磷究耪鬓子力学一样吉老，精礁计 算邋秘种势辨豹能级仍然是其裔魏战褴莳确趣。反谐振予振荡可以应用于量子场 理谂，分子物壤，潮悉和统计物理 1 3 - 1 6 。入们做了大量的工作采讨论这两种 势的特征 1 7 1 9 。其中大多数技巧照对与时间无关的酶定谔方程进行j 簸似求解， 而a m l a nk r o y 等入数值求辫与辩闯相关魏黪定谔方程，讨论了反谐振予振荡 和双阱姆的基态和前三个激发态的能量和几率密度 2 0 】。 双阱势的量子隧道效应是量子力学中的著名问题，人们着重讨论其简并能级 的分裂。人们已提出许多方法来解决此问题，包括瞬子方法( i n s t a n t o nm e t h o d ) 2 卜2 2 ， w k b 近似 2 3 2 4 。在瞬子方法里，用虚的时间路径积分来得到经典 运动，称为e u c l i d e a n 运动。这种方法对于定性地理解量子隧道效应是有用的， 但是定量的计算双阱势中的能级分裂时，不能得到精确的结果，因为e u c l i d e a n 传播子只能在两个势的最小值无限分离的极限下才能得到，这时隧穿几率为0 ， 因而瞬子方法适用于两个势的最小值互相远离的情况，但是当最小值互相靠近时 瞬子方法的精确性降低。w k b 方法里，人们采用半经典近似，假设德布罗意波长 上海交通大学博士学位论文 五( x ) = 正而万j i i 两非常短，而且变化非常慢。这种近似主要的缺陷在于要 合理处理经典转折点处旯( 石) 的收敛问题非常困难。位相损失方法也被用于双阱 势。用来解决这种困难，它把反谐振子效应插入w k b 公式，给出了更现实的模型， 由于考虑了双阱势的反谐振子效应，所以位相损失方法大大提高了通常的w k b 近 似的精确性 2 5 - 2 7 。 1 2 处理一维量子力学系统的半经典方法 温采( w e n t z e l ) ，克拉玛( k r a m e r s ) 和布里渊( b r i l l o u i n ) 在量子力学 中建立了半经典近似w k b 方法来求解一维薛定谔方程 2 8 。w k b 方法的近似公式 简单明了，它不仅被用于量子力学，也被广泛用于许多物理其他领域。w k b 近似 很大程度的等效于波动光学中早些时候j e f f r e y s 给出的近似公式，此公式在波 长与被调查的物理系统中典型波长相比较短的时候适用。 自从量子力学成立以来，经典力学和量子力学的关系成为物理的中心议题。 w k b 方法表明经典力学和量子力学的对应关系，为薛定谔方程的解提供有用的信 息。w k b 方法发展的同期，其他一些半经典方法也被相继提出。量子力学半经典 近似是许多物理和化学领域不可缺少的工具，可以说明许多量子现象，包括势和 量子隧穿，它的另一个大的优势在于它能使我们直观的理解潜在的物理本质，这 是用数值方法直接求解薛定谔方程做不到的。 1 9 5 3 年，s c m i l l e r 提出一种新的近似，称为w k b 型的近似，它类似于 通常的w k b 近似。在通常的w k b 近似中，用指数函数作为近似的基础，而w k b 型 的近似选择任意薛定谔方程的解作为近似的基础 2 9 。 半经典量子化条件的充分的推导由k e l l e r 完成，他插入了量子数的相移和 爱因斯坦积分法则，发现 q pt d q = 2 z h ( n + p ，4 ) ，( 1 2 ) i 我们现在称之为e i n s t e i n b r i l l o u i n k e l l e r ( e b k ) 量子化条件。 几乎在w k b 近似用来求解薛定谔方程的同时，v a nv l e c k 推导了量子传播函 数的半经典公式，这是一个在经典动力学里非常有用的量。从数学上说，这个传 上海交暹大学髂士学像论支 播函数惩线徽变换的影响函数核r ( q ，西f ) 。如果我们知道了在茸于闷0 时的波函 数g z ( q ；，我们就可以通过以下关系得蓟时间 时刻的波涵数 y 茸；o = i d q k ( q ，q ；f ) 矿( 军；。) 。 v a nv l e c k 撩导了短波长避戗 瓦( n q ；o = ( 2 ，r i h ) 叫2 t 2 ( 1 。3 ) e x p i s ，( 以q ；t ) h i v l z 2 ， ( 1 4 ) 其中肇( 矿，q 表示f 时亥沿黄第，个连接张扩的经典轨道的运动， s j ( q ”，q 5 ；f ) = f d tl q j o ) ，4 a t ) ；t ， l ，5 ) 其中三摄拉格朗日瀚数* 位相印r ，2 不是v a nv l e c k 的最初的推导，它是蜃寒由 g u t z w i l l e r 加上去的。 w k b 近似公式对一个自由度的守恒系统是直接可用的，当系统是可积分的， 有意义的，并且多维经典动力可以分解成相应数目的守恒一维系统的动力的情况 下，w k b 近似公式可以很容易推广到多个自由度的系统。对于不可积分的系统， w k b 近似公式不能直接推广到多个自由度的系统。半经典理论在薛定谔方程的 - - - 0 的半经典极限下非常适用，但是，物理上有趣的情形不一定满足半经典极 限，而且，即使满足半经典极限条件的情况下，半经典近似也不能计算得到所有 精确的量子态。例如在一个可积分的系统里，一个自由粒子被限定在圆周上的两 维空间中运动，束缚态可以由两个好量子数标注，一个是圆周中心点周围的角动 量，另外一个描述径向运动。这种情形下，半经典极限是高能极限，在高能情况 下，有许多量子态的两种量子数都很大，但是总是有一些态，其中一个量子数是 小的。这就需要对传统的半经典近似进行改进 3 0 - 3 1 。 从w k b 方法一诞生起，它的精确性问题随之而来。在量子数较大的情形下， w k b 方法能给出比较精确的结果。当复杂的经典动力导致指数项系数不能收敛时， 半经典的方法实施起来有困难。半经典近似和量子理论一样古老，但是因为有这 些缺陷，这个领域至今仍然在发展。 一般地，w k b 方法只能用于估算高激发态( 即大量子数) 能量，但在一定条 件下经适当修正，w k b 方法可用于束缚态能量的近似计算。氢原子能级公式 上海交邋太学博士学位论文 e = 一豢籍 矿( 曲，对于分段常数势，可得正弦振荡的波函数解，在e y ( j ) 的区 域，可得指数增长和指数衰减的解。 本节用解析转移矩阵方法求解一维任意势阱中粒子的能量本征值方程。 上海交通大学博士学位论文 2 3 1 1 一维方势阱 与时间无关的薛定谔方程为 一芸警圳咖= 印，( 2 2 1 ) 其中y ( 曲表示势能，m 是有效质量，自= 2 万，h 是普朗克( p l a n c k ) 常数，e 和l ；c ，分别代表约束态的能量本征值和本征函数。与平板波导波动方程( 2 1 ) 比较 可见，势场分布v ( x ) 类似于折射率分布n ( x ) ，而能量本征值e 对应波导的传播 常数卢，只要把高折射率区域看成势阱，两把低折射率区域看成势垒，则薛定谔 方程( 2 2 1 ) 与平板波导的波动方程( 2 1 ) 是致的，因此解析转移矩阵方法可 用于势场中粒子能量本征值的求解。 考虑图2 2 所示宽度为d 的一维方势阱 i o 0 ) v ( x ) = k ( o x d ) 约束态的波函数可写为 l4e x p ( p o x ) o ) ( x ) = 4e x p ( i k l x ) + b i e x p ( 一啦z ) ( o z d ) 其中 岛= 压而西了 p o = 、压而，a p 2 = 压而两i ， 。 波函数( 工) 及其一阶导数y ( 曲应满足矩阵方程 捌= 睫：，一妻i 筹1 蹰。 f 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 上海交通大学博士学位论文 vx 哆 - 。 v 。一 0 d x 图2 2 一维方势阱 f i g 2 2o n e - d i m e n s i o n a lr e c t a n g u l a rp o t e n t i a lw c l i 于是，容易得到一维方势阱的能量本征值方程 t 拈缸1 印1 ( 参( 删1 ，2 ) ( 2 2 6 ) 其中行为量子数。 再来考虑图2 3 所示的双层方势阱 y ( 曲= 虼o o ) 巧( 0 x 吐) k ( 吐 吒的波函数为 式中 ( 力= ( 2 2 7 ) 4 c x p ( p o x )o o ) 乏e 州x p ( i 啦k , 鬻：# 嚣。吐笔d l 赫 亿z s ， 4 曲+ 岛e x “一如工)( 吐 工 吐+ 也) 上海交通大学博士学位论文 l = 扫研自，( ，= l ，2 ) p = 2 , f i 丽v j - e ) h ，( j = o ，3 ) 边界条件满足的色散方程为 勰卜幔 凇剖。 v ， - 。 v 0i i 广一v 2 v 1 i； 0 d 1 d 1 + d 2 图2 3 双层方势阱 f i g 2 3t h es t e p p e dp o t e n t i a lw e l l x 鸩：f c o s ( 鹕) - 扣i 泸1 2 ) 。 l k ，s i n ( k j d j )c o s ( k i d ，) j ( 1 q d , + 也吐) 枷( s ) = 胍+ t a n 弋争+ 蚀。( 詈) ，。1 0 1 ，2 ，) f 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) f 2 3 2 ) 上海交通大学博士学位论文 如：一t a n - l ( 鲁t 纽蚴，( 2 3 3 ) 而 畛饼1 ( 争 p 2 = 屯t 锄【协“囟一k 2 d 2 氘 方程( 2 。3 2 ) 左边第一项是在经典允带半个振荡周期中粒子经历的位相，而 第二项是在边界面( j = 吐) 上散射子波的位相贡献。方程右边第二和第三两项 是粒子在势垒圪和k 处反射时的相位损失。 2 3 1 2 一维任意势阱 考虑图2 4 所示的一维任意势阱。设能级为e ，和气为转折点。已知在 允带内，波函数是振荡形式，而在允带外，波函数是衰减形式。为利用转移矩阵 理论，假设在z 区域，波函数已衰减到足够小，势场的变化不再影响 到预先设定的计算精度，则可在x = o 和x = t 两点截断，使y ( x ) = 圪o t ) 。根据薛定谔方程，可得 肿 4 三黧：毋 僻。s ， 式中 q o = 2 脚( 一e ) h 旷南 q 3 6 上海交通大学博士学位论文 o 、 x c x 图2 4 一维任意势阱 f i g 2 4a l la r b i t r a r yp o t e n t i a lw e l lf u n c t i o nr ( j ) 把( o ，x t i ) ，( ，气) 和( 吒，x o ) 三个区域分别分为，聊和玎个相等宽度d ，且具 有确定势能的小区域。按照转移矩阵理论可得 黜 _ 冉m 噍呜 嚣。帆 斑汁 s ， 式中 m ：c o 瓤州) 一言s i 龇印k l ，2 ，f ) ， k - a , s i n h ( o t ；d ) c o s h ( a , d ) j 坼：卜叩) _ 古洲呐i 泸 f + 2 ，+ 咖 l k js i n ( k ；a )c o s ( k i d ) j m ：卜眦叫) 一去s i 眦叫) k + 1 ，+ 2 ， f 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ，f + m + n ) 。 ( 2 4 0 ) 上海交通大学博士学位论文 掰= f f 2 m v ( x , ) - e i h k j = x 2 m n - v ( x ) ih 。 = 4 2 m v ( x k ) - e l h 为建亚量子化条件，并得到更清楚的物理意义，定义等效波函数 z ( z ) = y o ) 妒( 砷， 则( 2 3 7 ) 式转化为 心，f h li = 7 1m 璩j - l + l 鸠臆l k = 7 + m + 1 k ， = o ， 【一z ( o ) 1 】im 1 i 兀鸠0a i l ，i 、l = o ， j llj l 厶l 工c j i 同样可得能量本征值方程 6 - 8 ， e | ( x ) 由+ 中( s ) = ( n + 1 ) 万，( n = o ，1 2 其中散射予波的位相贡献为 蚺篙 t a n - l ( 争一t a n 弋和 中( s ) = 。( 一。( 善勺】o ，_ ，+ l 几fk ；t 上式显然可写成微分形式，即有 m m 一。掣 币一乙屿 吣) 2 j f f i + l 舯，2j = + l 手i 等。 厶卞 - 利用( 2 4 2 ) 式和薛定谔方程，可得 如譬一譬叫z z 埘) 。 v沙。 则当d 寸0 时，( 2 4 6 ) 式转化为 m ( j ) 一、za 舰k 出。 代入方程( 2 4 4 ) ，可得能量本征方程 e ( 1 一；丢) 触= 。+ 驴，q = 0 ，1 2 - ) 为说明方程( 2 4 9 ) 的精确度，我们计算了幂函数势 矿( x ) = ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 陀4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) r 2 5 0 ) | 尸 r ， r 一 0 + z x ，一2 ，一2 ，j、【 上海交通大学博士学位论文 的能量本征值，并与精确的数值计算( e x a c t ) ，非整数马斯洛夫指数( n m i ) 方 法 9 ，以及w k b 近似结果进行了比较，计算结果如表2 1 所示。 ne x a c ta t m mn m iw k b oo 0 2 9 2 4 3 40 0 2 9 2 4 3 40 0 3 0 0 1 3 3o 0 1 0 8 3 4 9 1o 1 1 6 7 8 5 9o 1 1 6 7 8 5 9o 1 1 9 7 3 0 20 0 8 9 5 1 8 0 2o 2 6 2 0 6 4 3o 2 6 2 0 6 4 30 2 6 7 7 4 8 90 2 3 5 3 4 2 0 30 4 6 4 1 4 0 50 4 6 4 1 4 0 50 4 7 1 3 9 0 30 4 4 19 8 5 5 4 0 7 2 17 0 7 80 7 2 1 7 0 7 80 7 2 8 6 5 9 50 7 0 5 0 8 9 3 51 0 3 3 1 1 l o1 0 3 3 1 1 l o1 0 3 6 9 1 6 31 0 2 1 3 1 3 7 61 3 9 6 3 9 1 01 3 9 6 3 9 1 01 3 9 4 3 7 0 41 3 8 7 9 5 5 9 71 8 0 9 3 6 4 71 8 0 9 3 6 4 71 7 9 9 2 1 7 41 8 0 2 7 5 1 8 表2 1 对应式( 2 5 0 ) 所示势阱中( 口= 4 ，r = 5 ) 最低8 个本征态的能量本征值 e ( = m = 1 ) t a b l e2 1e i g e n v a l u e se ( a = m = 1 ) o f t h el o w e s te i g h tb o u n ds t a t e si nt h ep o t e n t i a l ( 2 5 0 ) f o r 口= 4 r = 5 由上表可见，用解析转移矩阵方法( a t 姗) 导出的能量本征方程( 2 4 9 ) 与精确 的数值计算得到的结果完全一致，而n m i 方法和w k b 近似得到的结果却有相当大 的偏差，尤其对低阶本征态，w k b 近似的结果几乎是不能接受的。 另外，众所周知，对一维谐振子，利用w k b 近似竟然可以得到精确的结果， 其中原因无法解释。这也是薰子力学发展史上一个著名的偶然事件。实际上，对 一维线性谐振子势 1 y ( 功= 1 m c 0 2 x 2 ， ( 2 5 1 ) 二 为简单计，取自然单位，m = = 怠= l ，则厅阶本征态的波函数为 一1 z 妒。o ) = 4 l p2 只， ) ( 2 5 2 ) 其中巩( 工) 是厄密多项式，4 是归一化常数，容易得到n 阶本征态的等效波函数 为 上海交通大学博士学位论文 驯= 器一 ( 2 5 3 ) 2 3 2 一维系统中精确的量子化条件 1 9 2 6 年，温采( w e n t z e l ) ，克拉末( k r a