（计算数学专业论文）关于若干迭代算法的收敛性分析.pdf

关于若干迭代算法的收敛性分析 中文摘要中又捅要 求解b a n a c h 空间中非线性方程 f ( x 1 = 0 算法问题，一直是数值工作者所研究的问题迭代法是求解非线性方程的一 个重要算法现在，迭代法的研究日益成为解决各种非线性问题的核心，迭 代法优劣的选择直接影响到各种非线性问题的结果的良好，所以迭代法的研 究有着十分重要的科学价值和实际意义 全文共有五部分，主要对几种迭代法的收敛性进行了讨论在第一章 中，我们总结了各种迭代法和它们的收敛条件及证明各种迭代法收敛性的 技巧 第二章，提出了一族具有三阶收敛迭代法，这族迭代法避免了求f ( x ) 的二阶导数我们用优序列的技巧给出了这族迭代法收敛理论 第三章，通过对s u p e r - h a l l e y 迭代法的修正，把原来的有三阶收敛提高 到四阶在这一章中，我们是用递归法给出了迭代法的收敛理论 第四章，我们给出了拟n e w t o n 迭代法在新条件下收敛性 第五章，我们对第二章和第三章中的迭代法的动力行为进行了分析 在文章的最后，我们给出了两个数值例子 关于若干迭代算法的收敛性分析 a b s t r a c t t h e a l g o r i t h mp r o b l e mo fs o l v i n gn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n y ( x 1 = 0 i nb a n a c hs p a c eh a sb e e ns t u d i e d e db 5 m a n yn u m e r i c a ls c i e n t i s t s t h ei t e r a t i v em e t h o d i sam a i na l g o r i t h mf o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n n o w ，t h er e s e a r c ho fi t e r a t i v em e t h o d s b e c o m e st h eh a r d c o r eo ft h es o l u t i o nt oa l lk i n d so fn o n l i n e a rp r o b l e m s w h e t h e rt i l e n o n l i n e a rp r o b l e m sw i l lb es o l v e dw e l lo rn o ti sd i r e c t l ya f f e c t e db yt h ec h o i c eo fi t e r a t i v e m e t h o d s 8 0i ti sv e r yi m p o r t a n ta n d m e a n i n g f u lt od ot h er e s e a r c ho fi t e r a t i v em e t h o d s t h i sp a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s ，w h i c hd i s c u s sm a i n l ya b o u tt h ec o n v e r g e n c e o fs e v e r a li t e r a t i v em e t h o d s i nc h a p t e r1 ，、r es u m m a r i z es e v e r a li t e r a t i v em e t h o d sa n d t h e i rc o n v e r g e n c ec o n d i t i o n ，t h et e c h n i q u e si np r o v i n gt h ei t e r a t i v em e t h o d s sc o n v e r g e n c e t h e o r e m i nc h a p t e r2 ，w ep r e s e n ta f a m i l y o fi t e r a t i v em e t h o dw i t ht h ec o n v e r g e n c eo fo r d e r t h r e e t h ef a m i l yo fi t e r a t i v em e t h o d sa v o i de v a l u a t i n gt h es e c o n df r e c h e td e r i v a t i _ 、+ e i n t h i sc h a p t e r ，w ee s t a b l i s hc o n v e r g e n c et h e o r e mb y u s i n gt h em a j o r i z i n gm e t h o d i nc h a p t e r3 t h ec o r r e c t i o no fs u p e r h a l l e yi t e r a t i v em e t h o di sp r e s e n t e d t h e s u p e r h a l l e yi t e r a t i v en m t h o d h a st h et h r e e o r d e rc o n v e r g e n c e ，b u tt h ec o r r e c t i o nh a st h e f o u r o r d e r i nt h i sc h a p t e r ，w ee s t a b l i s hc o n v e r g e n c et h e o r e mb yu s i n gt h er e c u r r e n c e r e l a t i o n s i nc h a p t e r4 ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h en e w t o n l i k ei t e r a t i v em e t h o di sg i v e nu n d e r t h en e wc o n d i t i o n i nc h a p t e r 5 ，t h ed y n a m i c sf o rt h ei t e r a t i v em e t h o d s i nc h a p t e r s2a n d4i sa n a l 3 z e d f i n a l l y ，w eg i v et w on u m e r i c a le x a m p l e s i i 净饵2 2 “ 致谢 衷心感谢我的导师韩丹夫教授在这两年多来给予我悉心的指 导! 导师的辛勤指导和谆谆教诲使我j 顷利完成学业并在学习上不断 取得进步韩老师严谨治学的学风，精益求精的精神和言传身教的 作风使我终身收益在两年半的求学过程中也得到了王兴华教授、 郑士明教授、江金生教授、程晓良教授、黄正达副教授、吴庆标副 教授对我的关心和指导，在此向各位老师致以诚挚的谢意! 衷心感谢我的同学们和他们的讨论和交流，使我受益匪浅 一起生活的欢乐时光，令我终生难忘 尽 衷心感谢我的家人多年来的体谅和默默支持更让我感激不 关于若干迭代算法的收敛性分析 第一章综述 设x ，y 同为实或复的b a n a c h 空间，f ：d x _ 】，为非线性算子，求解 非线性方程 f ( x ) = 0 ( 1 1 ) 算法问题，不论从理论上还是从实际上考虑都是相当重要的数学内容有很 多数值工作者，都曾从自己的需要或兴趣出发，对它做了不同角度的研究 有两个实事为数值工作者致力于求解非线性方程的有效算法提供了充足的理 由，其一：理论上高于4 次的方程不存在由方程系数确定的根的解析表示； 其二：大多数与方程根有关的近似值并不要求得到方程的真实解，而满足于 获得根的近似值，当然，这个近似解与真实解之间的误差应当被控制在具体 的问题所能容忍的范围内 在求解非线性方程f ( z ) = 0 的问题时，迭代法 x n + l = v ( x n ，p ) ，n = 0 ，1 ，2 ( x 。为向量，g 为非线性算子，“为参数) 是最重要的最便利的方法到目 前为止，几种有代表性的迭代法有；经典的二阶收敛的n e w t o n 型迭代；实用 的1 + v 厄阶收敛的导数超前计值的变形的n e w t o n 迭代和导数滞后计值的变形 的n e w t o n 迭代；三阶收敛的h a l l e y 迭代、c h e b ，s h e v 迭代、s u p e r h a l l e y ( 也叫 n e w t o n 凸加速) 迭代及其变形；四阶收敛的j a r r a t t 型迭代等等方程( 1 1 ) 的 解的唯一性和各种迭代法的实现性、收敛性、收敛速度和误差估计是研究方 程( 1 1 ) 和各种迭代法的主要内容 n e w t o n 迭代法 x 。+ 1 = a 。一f ( z 。) 一1 f ( z 。) ，凡= 0 ，1 一直是求方程( 1 1 ) 最重要的迭代方法三阶迭代法- - h a l l e y 迭代、c h e b y s h e v 迭代、s u p e r - h a l l e y 迭代及其变形和四阶j a r r a t t 型迭代及其变形也是比较常用 的迭代法它们可以概括成以下的形式 关于若干迭代算法的收敛性分析 z 。十l = 。一妒( s 。) f ( z 。) 一1 f ( , r n ) ，( 1 2 ) s n = f 7 ( 。”) 一1 上f ”( z n + 臼( 一z n ) + ( 一z 。) ) d t f 7 ( “) 一f ( z 。) ，口 o ，1 】，a o ，1 】 1 当妒( s 。) = 1 时，( 12 ) 式为著名的n e w t o n 迭代法( 7 5 9 8 2 】) 2 当妒( s 。) = 1 + ；s 。 1 一a 3 。 一1 ，n o ，1 时， ( a ) a 8 。= f 协。) 。f j ，( 。) f 协。) f ( x 。) ( 1 2 ) 式变为一族具有三阶收敛的迭代法( ( 2 9 m 6 m o ) ，这族迭代法包 括c h e b y s h e v ( a = 0 ) 迭代法，h a l l e y ( a = l 2 ) 迭代法，s u p e r - h a l l e y ( a = 1 ) 迭代法等迭代方法 ( b ) = f 7 ( 。n ) 一1 上f ”( 茁n + a t ( 如一x ) ) d t f ( z n ) 一f ( 。n ) = f 7 ( z n ) 1 f 7 ( 。) 一f ( z 。+ a ( 一x n ) ) 】，a ( 0 ，1 是对( a ) 中迭代法的修正，在这族迭代法中避免了求二阶f r e c h e t 导 数，但m b , - i - 2 保持三阶收敛的速度( i 4 9 1 ， 4 2 1 ) 3 当妒( s 。) = 1 + ；s 。 1 s n 一1 时， ，1 ( 8 ) s n = f ( z n ) 一1 上f ”( z n + 2 3 t ( y n z n ) ) d t f ( t n ) 一1 f ( z n ) = 3 2 f 7 ( z 。) 一1 f ( 。) 一f ( z 。- 4 - 2 3 ( ! k z 。) ) 为具有四阶收敛的j a r r a t t 型迭代方法( 【1 9 】 1 3 m 3 j ) ( b ) 8 。= f ( 茁。) 一1 f ”( z 。+ 1 3 ( y 。一x n ) ) f ( z 。) 一1 f ( z 。) 也是具有四阶收敛的迭代方法在本文第三章将给与证明 除了以上提到的各种迭代法外，还有实用的具有1 + v 侄阶收敛导数超前 计值的变形的n e w o n 迭代法( s o l ， 3 1 】) z 州= z 。一，( 半) 一t f ( x n ) ， + 。= z 州1 一f ( 半) 一1 f 扛。+ 1 ) ， 及 z 。+ 1 = z 。一f 7 ( ( i ) 一1 f ( x 。) 1 o ) 0 ，m 2 ，3s is m + 1 ：s 目 2 ( a ) 0 o ； ( c ) 5 i f ( 。o ) 一1 f ”( z ) f ”( 。oj d l l * 一x o i | ，v 。f l ； ( d ) 2 k as1 ，其中k = t n a z c ，b + 2 a d ， 或满足f ( t ) = t a _ 2 d t 2 一( 2 d b 2 ) t + 2 d ( b + a d ) 的两个正根k 1 ，2 ， b ，b + 2 b d 啤1 ，k 2 ，那么c ：【b ，b + 2 nd 上面的条件一方面因固定了一点减弱了假设条件；但是另一方面又因用到二 阶导数及高阶导数而使假设条件受到更大的限制但g u t i e r r e z 2 7 ) 打消了后一 方面的顾虑，他提出了如下的条件 1 1 f 7 ( 。o ) 一1 ( f ( 。) 一f ( z o ) ) | | b i i 。一x 0 l | ，z q 4 关于若干迭代算法的收敛性分析 得到n e w t o n 法收敛性和方程( 1 1 ) 的解唯一性最近，w a z g ( 1 6 s ) 提出了更一 般的解唯一的条件 l i f ( z 。) 一1 f 7 ( z ) i z 雕l ( “) d “，v x6 葛丽 和n e w t o n 法收敛的条件 i i f ( 。) 一1 ( f ( z ) 一f ( 9 ) ) jjs z ：”l ( u ) d “， v x b ( x o ，r ) ，v b ( x ，r p ( 茁) ) 这里p ( z ) = 忪一z o ，p ( 可) = p ( z ) + 一x l l r ) l 为正的单调非减的可积函数 对于其它迭代法收敛条件的研究，不像研究n e w t o n 迭代法那样多。它们 大都是由n e w t o n 迭代法收敛条件来推广的三阶收敛的迭代法收敛条件一般 为 1 ( a ) 对于点x 0 q ，假设f 7x 。) 一，存在； ( b ) f f f ( 。o ) 一1 ( f ”( z ) f “( 可) ) 矗f f z 一可f i ，。，y q ， k2 0 ； ( c ) 1 1 f ( 。o ) 一1 f ( 如) | l 。，1 1 f ( 知) 一1 f ”x o ) | | 6 ； ( d ) 三次多项式 则= 百k 。：3 + 互b t 2 一f + 。 有一个负根和两个正根，k 0 ；有两个正根，：0 或满足 2 ( a ) 对于点x 0 q ，假设f ( 跏) 一存在； ( b ) i f f ”( 。) l fsm ， l f ”x ) f ”( | ) f f z 一mv x ，可g t ； ( c ) i i f 7 ( z o ) 一1 i l 卢，l i f 7x o ) 一1 f ( x o ) l j 叩； ( d ) ( m 2 + 舛h = 鳓1 不同的迭代法对2 中的( d ) 有不同的形式，上面为h a l l e y 迭代的收敛条 件 或满足 3 ( a ) 对于点q ，假设f ( 黝) ，存在； 关于若干迭代算法的收敛性分析 ( b ) | | f ( 。o ) 一1 f ( z o ) 1 1 q ，i i f ( 。o ) 一1 f “( 茁。) | | s2 ，y ； ( c ) i i f ( f ，( 圳isf 蒜， 忪一0 外一击) ( d ) h ( t ) = 7 7 t + f ，当q = q 7 3 2 以时，函数有两个正根 证明迭代法的收敛性一个很不错的技巧是优函数技术，这是k a n t o r o v l c h 为了证明b a n a c h 空间内的n e w t o n 迭代法的收敛性而提出来的随后它被推广 到证明其它迭代法的收敛性 k a n t o r o v i c h 最初用的优函数为二次多项式 p l ( t ) 2 妄b t 2 一t + 叩 后来也有人用它证明三次收敛的迭代法的收敛性( 1 7 】) ，但是与三次多项式相 比它就显得不足了在证明二阶和三阶收敛的迭代法的收敛性时，三次多项 式是比较常用的优函数( ( 2 6 ，( 明， 2 4 1 ) p 2 ( t ) = 箬t 3 + ；艮t 竹 在证明h s l d e r 条件下的迭代法的收敛性时，优函数变为实函数证明具有1 + p 阶收敛时，用的优函数的形式为( 7 j ) p 3 ( t ) 2 卉一k t 竹 证明具有2 + p 阶收敛时，优函数的形式为( f 4 1 1 ) p 4 ( 归而焉丽t 2 + p + j b 妒叫竹 有理多项式也是证明各种迭代法收敛性的一种比较好的优函数，它的形式为 础) = - 一t + 禹 它是由s m a l e 提出由w a n g & h a n 完全改进，而后被应用证明各种迭代法在s m a l e 点估计判据下的收敛性( 【7 4 ，【7 5 ，【7 6 ) 在本文的第二章是用有理多项式来证明 迭代序列收敛的另一种证明迭代序列收敛的技巧是递归法对此g u t i d r r e z 和h e r n d n d e z 等人对h a l l e y 迭代，c h e b y s h e v 迭代，s u p e r - h a l l e y 迭代，j a r r a t t 型迭代的收敛性进行了一系列工作( 【1 4 ，【1 5 m 5 ) 在早期的文章中，用到的是 四个实序列，现在减少到两个实序列，递归关系在不断的简化在本文的第 三章中是用递归法来证明迭代序列收敛的 关于若干迭代算法的收敛性分析 第二章一族具有三阶收敛的迭代法 2 1 引言 在求解b a n a c h 空间中的非线性方程f ( x ) = 0 的问题，已有了各种各样的 求解方法其中最著名的有n e w t o n 迭代方法、h a l l e y 迭代方法、c h e b y s h e 、- 迭 代方法等n e w t o n 迭代方法应用的最广泛原因是它只要计算f ，( z ) 的逆就 可以了，但是n e w t o n 迭代法只有二阶收敛虽然h a l l e y 迭代法、c h e b y s h e x r 迭 代法具有三阶收敛，但它们需要计算f ( x ) 的二阶导数，它的计算代价是相当 大的在本章中提出了一族具有三阶收敛的迭代方法，但是这族迭代方法不 用计算y ( x ) 的二阶导数 设f 是实的或复的b a n a c h 空间x 的某个凸子集d 到同型空间e 的非线 性算子考虑求 1 口) = 0( 21 ) 的零点问题对于勋d ，定义迭代序列 y 。= z 。一f ( z 。) 一1 f ( 。) ， 嘶= 。一呋f b 。+ ：( 一z 。) ) + ( 1 一；) 一( z 。) 唧( m ( o ，1 - ( 2 2 ) 如果f ( z ) 的二阶导数存在，则 ；f 7 ( z 。+ ；( 可。z 。) ) + ( 1 一；) f 7 ( z 。) = 趴叫+ 互1 上1 职甜警( 驴珀) 出( y n - - x n ) ( 2 3 ) 从( 2 3 ) 式中可以看出，当a _ 0 时，迭代序列 z 。) 等价于用h a l l e y 迭代法得 到的迭代序列 。：) ，鲁，= z 。一【f ( ) + 互1 f 7 ( 茁。) ( y n - - x n ) 一1 f ( z 。) ；当a = 1 时， 则$ 卅。= 。一f 7 ( 苎兰丝) 一1 f ( ) 在( 2 】 1 6 】【5 2 ) 中可见这种迭代方法 2 2 优函数和优序列 令声，7 。， ：n ( 1 一了i z ) 7 1 - - - - + r 是实函数，定义如下 坤) = 届一t + 篙 7 关于若干迭代算法的收敛性分析 记o l = 卢+ 7 ，当o l 3 2 、，臣时，h 有两个实正根 它们满足 ”! 竺二迎4 7 竺二墼 仡：1 + a + 、( 石1 + a 一) 2 _ 8 a 卢如 ( 1 + ( 1 - 击) “瓦1 对黝d ，假设f ( 。) 一1 存在，我们有 定义2 1 ：h ( t ) 由上面定义，我们说 关于f 在满足下条件，如果 l i f ( z o ) 一1 f ( z o ) f f 声， f f ( 。o ) 一1 f ”( 茹o ) s2 - , ， j l f ( z 。) 一1 f 扣) 1 1 可_ = 南，v z 。，1 1 - x o l l ( 1 - 了1 z ) 了1 引理2 1 ：假设h 关于f 在x 0 满足7 一条件，如果忪一x o l l ( 1 一蕊1j i l ，那么 ( a ) | 1 f ( z o ) - 1 f ”x ) | | ”( 忙一z o | | ) ； ( b ) f 协) - 1 存在且 i i f ( z - 1 f , ( 圳1 一硼亡丽 证明：由定义2 1 我们可以得到 i l f ( z o ) 一1 f ”( z ) 1 ls1 1 f ( z o ) 一1 f ”扛o ) | 1 + l i f ( 印) 一1 f ”( + t 0 一x o ) ) | i l i x x oq l d t s ”( o ) + 上叭忪一印t l f l l z z 。i i , l t = ”( 忪一铷i i ) ( a ) 式成立。 由泰勒展开可得 f ( z o ) 一1 f ( z ) = i + f ( z o ) 一1 f ”( z o ) ( 茁一。o ) + f f ( z 。) 一1 f ”( z o + t ( z 一。o ) ) ( 1 一t ) ( z x o ) 2 d t 由上面的假设，我们可得，当l l x - x o l l ( 1 一壶) 时，h 7 ( 1 l x - x o l l ) o ，因此 ff f 7 ( 。o ) - 1 f ( 岱) 一圳 s 、 曼z = ， j i f ( z o ) 1 f ”( t o + t ( x x o ) ) 1 1 0 一f ) ij 。一。o l l 2 出+ j i f ( z o ) 一1 f ”( z o ) | i lj z 一。o h t t ! ( i l z x o l l ) ( 1 t ) l l x x o i l 2 出+ ”( o ) i i z x o | | 1 z 一* o i l ) h ( o ) = 1 + 7 ( 1 l x x o i i ) 1 关于若干迭代算法的收敛性分析 由b a n a c h 的引理，我们可得到( b ) 引理2 2 ：把迭代公式( 2 2 ) 作用在 ( t ) 上得到 = t 。一h ( t n ) h ( t 。) ， 。+ t = t 。一 ； ( t 。+ ；( s 。一。) ) + ( 1 ；) ( 。) - 1 h ( t 。) ，a ( o ，1 则当n 茎3 2 以时，由t o = o 出发的迭代序列) 单调上升并收敛于 ( t ) 的 较小的正根且有下面的估计式 c 3 “ ”k ( 2 - r 1 ) 南 一1 6 + ( 3 + 7 n + 3 、t = 1 聂f 干i 了) a 一。( 1 + + 、t 二1 五i 干i ) a 21 1 n 栌i f 商i i 习i 面i 方i i 衍i i 不i 厅萄可1 二丽 = v 历r _ 1 证明：序列 t 。) 的单调性和收敛性由下列事实 f ：十l ：= f 。一危( t 。) 一1 h ( t 。) st 。+ l 茎t ：+ i ：= 如一 ( ) + 。1 _ h ”( 如) ( s 。一。) 】一1 h ( t 。) 及 7 4 ， 2 9 相应结果可得下面给出 t n ) 的误差估计 令r = ，g ( r ) = 仲( ；) ：c t - - t + r t 写2 ，则g ( r ) 的两个根为 。1 + o 一“万i i i 玎 7 2 1 一 把迭代公式( 2 2 ) 作用到9 ( 丁) 上得到 r ”：坐型芦匝 n = t n 9 1 【厂1 9 【h ) ， r + ，= 一 ；9 ( 矗+ ；( 吐。一矗) ) + ( 1 一；) 9 7 ( ) 一1 9 ( ) 其中，丁0 = o 易得到= 7 t 。，u 。= p 。，且r 。- t n = ；( r + 一h ) 记n = r + 一r ，6 = r ”一r ，c = i - - t , p = ；i f 二a 函b c ， 关于若干迭代算法的收敛性分析 l ：n 。( b - c ) 一n 6 c ( 1 一；) ，m = b 2 ( 。一c ) 一n 6 c ( 1 一；) ，n = a b c ( 1 + ；) 一c 2 ( n + 6 ) 则 卅) = 止咎= 警， 扒r ) = 生业兰h 等等生尘型刿 ， a g ( t ) 、 9 ( 互丽 设 由计算可得 a b a c b c = ：一 c ( a + p ) ( b + p ) 一( b + p ) ( c + p ) 一( a + p ) ( c + p ) ( c + p ) 2 “r + 【抓一；黔) ”一拟叫 = n + 扒一；揣) + ( 1 一拟r ) - l g 拈篆攀豢篙斋蓦等斋勰“一l m m 一l + ( a 一1 ) ( 0 6 一n c b c ) o b ( 1 + ；) 一c ( + 6 ) 1 2 同理，设6 玎l r + 如一；揣) ”一却r ) l - g ，则有 y ：篆燕、z 熹3 ) 2 骞斋等等等勰”一l 彳一m 一l + ( a 一1 ) ( n 6 一n c 一6 c ) 【口b ( 1 + ；) 一c ( n + b ) 】2 因此，当q 3 2 以时， 。，凸。( 6 _ c ) ( 等+ 警) nn 孑二坠! 坐! 二趋! 。【- 丽甭甭而1 ) 。n c 2 一融 p(r)=i(4；-)2：+=_j3；芋j)ja：bi2：+=_：a；c-2二-_i(ja蕊+1)abc+bc。2一-；3aa。b2。c：，r【0，r+】 下证当丁【o ，r + 】时，p ( r ) 单调下降由计算可得 p 卜万嚣等篇掣与 关于若干迭代算法的收敛性分析 其中 p l ( f ) = 4 b 2 c 2 ( 2 a 一3 ) ，p 2 ( t ) = 一2 a b c ( 一44 - 3 a ) ( 一3 c + 6 ( 3 + a ) ) p 3 ( t )4 c 2 ( 一3 + 2 a ) 一2 b c ( 一1 24 - 5 a + 3 a 2 ) + b 2 ( 一1 2 + 2 a + 5 a 2 + a 3 ) c z 4 ( 一3 + 2 a ) 一2 1 ( 一1 2 + 5 a + 3 a 2 ) + ( ! ) 2 ( 一1 2 + 2 a + 5 a 2 + a 3 ) 三c 2 q ( ! ) q ( t )= 4 ( 一3 + 2 a ) 一s t ( 一1 2 + 5 a + 3 a 2 ) + t 2 ( 一1 2 + 2 x + 5 a 2 + a 3 ) 当0 1 ( i i ) g 分别关于三个变量z ，y ，z 是递增的，其中x ( 0 ，1 2 ) ，y 0 ，z 0 ( i i i ) f ( t x ) ，( 。) ，g ( t x ，y 2 y ，7 2 + p z ) 0 引理3 2 ：让p 0 ，1 固定，令，和g 是分别由上面定义的两个实函数，当 n 。( 0 ，i 1 ) 时，如果下面不等式成立 盟卜 剖| 至南丽 一 “m去一 曙禹卜蒜 关于若干迭代算法的收敛性分析 那么 ( i ) f ( a o ) 2 9 ( a o ，b o ，c o ) 1 ( i i ) a 。) ， b 。) ， c 。) 是递减序列 ( i i i ) 嘶+ i 高) o 证明：1 ) 由引理条件，结论( i ) 显然成立 2 ) 从结论( i ) 和引理3 1 ，可知不等式0 a l o o ，0 b 1 b o ，0 c l c o 成立 现在我们假设当j = 1 ，2 n 时，不等式a j a j “如 吗一，和勺 勺一，成立，那 么由，递增，g 分别关于z ，y ，z 都递增，我们得到 a n + 1 = a n f ( a 。) 2 9 ( a 。，b 。，c n ) a n f ( a o ) 2 9 ( a o ，b o ，c o ) a 。 b n + l = 6 。f ( a 。) 3 9 ( a 。，b 。，c n ) 2 6 。f ( a 。) 4 9 ( a 。，b 。，c 。) 2 k ，( o ) 4 夕( ，b o ，c o ) 2 k c 州= c 。f ( a 。) 3 + v g ( a n ，k ，c n ) 2 + p c n ( f ( a 。) 2 9