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加权广义逆及约束矩阵方程的理论和计算 加权广义逆及约束矩阵方程的理论和计算 中文摘要 矩阵广义逆理论有着十分广泛的应用领域和研究背景.它在数值线性代 数、数值分析、最优化、控制论、数理统计、微分和积分方程等领域都有重要的 应用.在研究最小二乘问题、长方及病态线性问题和马尔可夫链等统计问题中， 广义逆都是不可缺少的重要工具目 前，广义逆的理论和计算仍然是国际上非常 活跃的研究领域之一 本文主要研究了广义逆领域中的下述只类问题: 1 .加权d r a z i n 逆的表示、计算和扰动理论 d r a z i n 逆是最基本和最常见的矩阵广义逆之一，所以加权d r a z i n 逆也自 然成了 研究的热点.本文第二章中，我们首先利用矩阵的满秩分解给出了加权d r a z i n 逆 的一种新的表达形式a d .n =b ( c wa wb ) - c .其次，根据加权d r a z i n 逆的表 达式 a d ,w一g ( g wa 6 y g ) t g以及新的 表达式 a d ,w一b ( c wa wb ) 一 c ， 给出 了 在m a t l a b 环境下直接计算a d ,i 、 的算法.最后，给出了加权d r a z i n 逆的 p c r 算 法( p a r a l l e l c r a m e r s r u l e a lg o r i t h m ) .第只章中，我们利用矩阵的秩方法给 出了矩阵乘积的加权d r a z i n 逆的反序律成立的一个充分必要条件，推广了关 于d r a z i n 逆的相应结果第四章中，我们讨论了加权d r a z i n 逆的扰动问题，给出 了 加 权 d r a z in 逆 的 b a n a c h 一 型 扰 动 定 理， 在一 定 的 条 件下 给出了 i b d ,w ii 和 ii b d ,n . - a d ,w 盯人.、 的上界和下界估 计，推 广了 群逆和d r a z i n 逆的相关结论. 我们还讨 论了 p q ( 2 ) 范 数下加权d r a z i n 逆的条 件 数和一 类线性方程组加权d r a z in 逆解的 条 件 数以及这些条件数的敏感性问题，得到了较好的结果. 2 . 斜 投 影 算 子 a 从r 。 一和a 裕 二 a 的 扰 动 第五章 中，利用广 义奇异值 分解 方法 ，研 究 了与a 的加权m o o r e - p e n r o s e 逆 a 升 n 相关 的 一 对 斜 投影 算 子 a a ; , 、 和 a m n a的 扰动问 题. 当 e是 a 的 扰 动 矩 阵 并 且 b 二 a + e 时 ， 给出 了 a a 久 r v 和 b b m n 的 标 准 形 定 理 ， 并 在 此 基 础 上 给出 了 有 关 斜 投 影 算子 a a ta a ,t r s 和 b b 孟 ， 。 扰 动的 一 些 结 果. 我 们 还引 入了 加 权 锐角扰动的概念，并且给出了a与b互成加权锐角扰动的一个等价刻划这部分 内容推广了有关正交投影算子a a - 和b b r 的一些相关结论和锐角扰动的相关结 论. 3 .一类约束矩阵方程解的c r a me r 法则 第四章中，讨论了约束矩阵方程a x = d , ( r ( x ) 9 r ( a ) ) , x b = 上海师范大 学理学博士学 位论文 d , ( n ( x ) ? n ( b k a ) ) 和a x b=d , ( r ( x ) c r ( a k ) , n ( x ) 2 n ( b k 2 ) ) 的 解，利用矩阵方程系数矩阵的d r a z i n 逆的性质，我们用两种不同的方法分别给出 了这类矩阵方程解的加边型c r a m e r 法则和紧凑型c r a m e r 法则，推广了有关约束矩 阵方程组的相关结论. 关键 词 :mo o r e - p e n r o s e 逆 ，加权mo o r e - p e n r o s e 逆 ，群 逆 ，d r a z i n 逆 ，加 权d r a z i n 逆，矩阵的指标，核秩，p c r 算法，反序律，扰动。条件数，正交 投影算子。斜投影算子，满秩分解，广义奇异值分解，加权正交向量，加权范 数， p q ( 2 ) 范数，加权锐角扰动， 约束矩阵方程，c r a m e r 法则 加权广义逆及约束矩阵方程的理论和计算 t h e t h e o r y a n d t h e c o mp u t a t i o n s f o r s o me we i g h t e d ge n e r a l i z e d i n v e r s e s o f ma t r i x a n d s o me r e s t r i c t e d ma t r i x e q u a t i o n s ab s t r a c t t h e g e n e r a l iz e d i n v e r s e s o f m a t r i x h a v e b e e n w i d e l y a p p l ie d i n m a n y a r e as s u c h as n u m e r i c a l l i n e a r a l g e b r a , n u m e r i c a l a n a l y s i s , o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s , c o n - t r o l t h e o r y , m a t h e m a t ic a l s t a t is t i c s , d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i n t e g r a l e q u a t i o n s t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e s o f m a t r i x a r e a l s o i mp o r t a n t a n d i n d i s p e n s a b l e m a t h e m a t - i c a l t o o l s i n s t u d y i n g t h e l e ast - s q u a r e p r o b l e m s , t h e r e c t a n g u l a r a n d i l l - c o n d it i o n e d l i n e a r p r o b l e m s , t h e s t a t i s t i c a l p r o b l e m s s u c h as ma r k o v c h a i n s a n d s o o n . p r e s e n t l y , t h e t h e o r y a n d t h e c o m p u t a t i o n s o f t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e s a r e s t i l l o n e o f t h e m u c h d i s c u s s e d a r e a s . t h e w o r k o f t h i s p a p e r d e a l s w i t h t h r e e a s p e c t s o f g e n e r a l i z e d in v e r s e s o f m a t r i x . t h e f o l lo w i n g i s a b r ie f d e s c r i p t i o n o f t h e m. 1 . r e p r e s e n t a t i o n , c o mp u t a t i o n a n d p e r t u r b a t i o n o f w- w e i g h t e d dr a z i n i n v e r s e o f ma t r i x b e c a u s e t h e d r a z i n i n v e r s e o f m a t r ix i s o n e o f t h e c o m m o n e s t g e n e r a li z e d i n - v e r s e , t h e w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e h as n a t u r a l l y b e c o m e a f o c u s i n t h i s fi e l d . i n c h a p t e r 2 o f t h i s p a p e r , 饰 u s i n g t h e m e t h o d s o f f u l l r a n k d e c o m p o s i t i o n o f m a t r i x , w e g i v e a n e w r e p r e s e n t a t i o n o f w- w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e a n d i n t r o d u c e t w o a l - g o r i t h m s o f t h i s i n v e r s e r e l a t e d t o t h e r e p r e s e n t a t io n s o f a d ,w=g ( g w a wg ) t g a n d a d ,。 一 b ( c wa wb ) 一 c . w e a l s o g i v e t h e p a r a l l e l c r a m e r s r u l e a l g o r i t h m o f w- w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e . i n c h a p t e r 3 . b y u s i n g t h e m e t h o d s o f r a n k i d e n t i t y o f m a t r i x , a n e c e s s a r y a n d s u ffi c i e n t c o n d i t i o n i s g i v e n f o r t h e r e v e r s e o r d e r l a w o f t h e w- w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e o f ma t r i x p r o d u c t a=a j a 2 a、 t o h o l d . t h e r e s u l t c o n c e r n i n g d r a z i n i n v e r s e i s e x t e n d e d . i n c h a p t e r 4 , w e s t u d y t h e p e r t u r b a - t i o n o f w- w e i g h t e d d r a z in in v e r s e , e s t a b l i s h a b a n a c h - t y p e p e r t u r b a t io n t h e o r e m f o r w- w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e , a n d p r e s e n t t h e p e r t u r b a t i o n b o u n d s fo r ij b d ,1 , ii , ii b d ,w一a d ,w i i 川a d ,wjj u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s . t h e s e r e s u l t s a r e t h e e x t e n s i o n s o f t h o s e r e l a t e d t o g r o u p in v e r s e a n d d r a z i 工 t i n v e r s e . wi t h p q ( 2 ) - n o r m , d i s c u s s t h e c o n d i t i o n n u m b e r s o f t h e w- w e i g h t e d d r a z i n in v e r s e a n d t h e s o l u t i o n o f s i n g u l a r i l l 上海师范大学理学博士学位论文 l in e a r s y s t e m wa wx=b , a n d s t u d y t h e m i n i m u m p r o p e r t y a n d t h e s e n s i t i v i t y o f t h e s e c o n d i t i o n n u mb e r s . 2 . p e r t u r b a t i o n o f t h e o b l i q u e p r o j e c t o r a a 玉 ， 、a n d a 裕 二 a i n c h a p t e r 5 , w e s t u d y t h e p e r t u r b a t io n o f t h e o b li q u e p r o j e c t o r s a a 孙 二a n d a 玉 i n a . l e t e b e a p e r t u r b a t io n m a t r ix o f a a n d b=a + e , w e g iv e t h e n o r m a l fo r m t h e o r e m o f a a 杨 ， a n d b 玮， ， a n d b a s e d o n t h i s t h e o r e m w e o b t a in e d s o m e r e s u lt s o f t h e p e r t u r b a t io n f o r a a 公 、 a n d b 成n . e in t r o d u c e a n e w c o n c e p t io n o f w e i g h t e d a c u t e a n g l e p e r t u r b a t i o n f o r m a t r ix a , g iv e a n e c e s s a r y a n d s u ff i c i e n t c o n d i t io n t h a t b i s t h e w e i g h t e d a c u t e a n g l e p e r t u r b a t i o n o f a . o u r r e s u l t s e x t e n d s o m e o t h e r r e s u l t s r e l a t e d t o t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t o r a a t a n d a t a . 3 . c r a me r r u l e f o r t h e s o l u t i o n o f s o me r e s t r i c t e d ma t r i x e q u a t i o n s i n c h a p t e r 6 , w e s t u d y t h e s o l u t i o n s o f r e s t r i c t e d m a t r ix e q u a t io n s a x = d . ( r ( x ) c r ( a ) ) ; x b=d , ( n ( x ) ; ? n ( b 2 ) ) : a n d a x b一d , ( r ( x ) c r ( a k ) , n ( x ) d n ( b 2 ) ) . b y u s in g s o m e p r o p e r t i e s o f t h e d r a z in i n v e r s e o f t h e c o e f fi c i e n t ma t r i c e s , w e e s t a b l i s h t w o f o r m s c r a m e r r u l e f o r t h e s o l u t i o n s o f t h e s e e q u a t i o n s . t h e s e r e s u l t s a r e t h e e x t e n s i o n s o f t h o s e r e l a t e d t o r e s t r i c t e d s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s . ke y w o r d s : m o o r e - p e n r o s e i n v e r s e , w e i g h t e d m o o r e - p e n r o s e i n v e r s e , g r o u p i n - v e r s e , d r a z i n i n v e r s e , w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e , i n d e x o f m a t r i x , c o r e - r a n k , p c r a l g o r i t h m , r e v e r s e o r d e r l a w , p e r t u r b a t io n , c o n d i t i o n n u m b e r , o r t h o g o n a l p r o j e c t o r , o b li q u e p r o j e c t o r , f u l l r a n k d e c o m p o s i t i o n , g e n e r a l i z e d s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n , w e i g h t e d o r t h o g o n a l v e c t o r , w e i g h t e d n o r m , p q ( 2 ) - n o r m , w e i g h t e d a c u t e a n g le p e r - t u r b a t i o n , r e s t r i c t e d ma t r i x e q u a t i o n , c r a m e r r u l e w y 7 0 8 1 8 2 劫、 鑫 芝 会 -: f : 1 il 2 s . 、 二 玖奋长 加权广义逆及约束矩阵方程的理论和计算 第1 章概述 芬 1 . 1 引言 广义逆理论有着十分广泛的应用领域和研究背景广义逆理论在数值线性代 数、数值分析、最优化、控制论、数理统计、微分和积分方程等领域以及应用数 学中都有重要的应用，在研究最小二乘问题、长方及病态线性方程问题和马尔可 夫链等统计问题中， 广义逆都是不可缺少的重要工具. 文献【 1 ,4 , 5 , 6 ,8 中介绍，广义逆的 概念最早是由 i . a e d h o l m 于1 9 0 3 年提出的， 他给出了积分算子的 广义逆， 并称之为伪逆( p s e u d o i n v e r s e ) . 1 9 2 0 年， e . h . mo o r e 推广了非奇异矩阵的逆矩阵的概念，对于任意的mxn 矩阵，他引入了广义 逆矩阵的概念， 其定义如下: 设aec ，则满足矩阵方程 a x=践( a ) ; xa=氏(x ) 的 n x m 矩阵 x 称 为 a 的 广 义 逆 ， 其 中 瓜(a ) 表 示 在 a 的 列向 量生 成 的 子空 间 上的 正 交投影算子. 直到上世纪五十年代中期，围绕着某些广义逆的最小二乘性质以及广义逆与线 性方程组解之间的关系的讨论使得广义逆的研究出现了新的起色特别值的提到 的 是r . p e n r o s e 3 9 给出了 矩阵 a 的 广义 逆a t 的一个十分简洁而直观的定义: 设aec - ，则满足下列矩阵方程 ( 1 ) a x a二a ; ( 2 ) xa x=x; ( 3 ) ( a x ) * 二a x; ( 4 ) ( x a ) =x a 的唯_1 b x m 矩阵x称为a 的广义逆. 不难证明以上两种定义是等价的.自 此开始，广义逆的研究进入了一 个蓬勃发 展的阶段为了纪念e . h . mo o r e 和r . p e n r o s e 对广义逆研究所作的贡献，人们把 这种广义逆称为m o o r e - p e n r o s e 逆，简称m - p 逆，记为a t . r . p e n r o s e 定义中的方程( 1 ) 一 ( 4 ) 称为四个p e n r o s e 条件，由此出发，可以衍 生出 很多种不同 类型的广义逆 设 a=王 1 . 2 , 3 , 4 1 , a e c - ， 如果 矩阵 x c s x m 满足 p e n r o s e 条件中的第 ( 2 ) , (7 ) , . . . , ( k ) 个方程 ( i j . 二 ， k ) c a ) ，我们 加权广义逆及约束矩阵方程的理论和计算 第1 章概述 芬 1 . 1 引言 广义逆理论有着十分广泛的应用领域和研究背景广义逆理论在数值线性代 数、数值分析、最优化、控制论、数理统计、微分和积分方程等领域以及应用数 学中都有重要的应用，在研究最小二乘问题、长方及病态线性方程问题和马尔可 夫链等统计问题中， 广义逆都是不可缺少的重要工具. 文献【 1 ,4 , 5 , 6 ,8 中介绍，广义逆的 概念最早是由 i . a e d h o l m 于1 9 0 3 年提出的， 他给出了积分算子的 广义逆， 并称之为伪逆( p s e u d o i n v e r s e ) . 1 9 2 0 年， e . h . mo o r e 推广了非奇异矩阵的逆矩阵的概念，对于任意的mxn 矩阵，他引入了广义 逆矩阵的概念， 其定义如下: 设aec ，则满足矩阵方程 a x=践( a ) ; xa=氏(x ) 的 n x m 矩阵 x 称 为 a 的 广 义 逆 ， 其 中 瓜(a ) 表 示 在 a 的 列向 量生 成 的 子空 间 上的 正 交投影算子. 直到上世纪五十年代中期，围绕着某些广义逆的最小二乘性质以及广义逆与线 性方程组解之间的关系的讨论使得广义逆的研究出现了新的起色特别值的提到 的 是r . p e n r o s e 3 9 给出了 矩阵 a 的 广义 逆a t 的一个十分简洁而直观的定义: 设aec - ，则满足下列矩阵方程 ( 1 ) a x a二a ; ( 2 ) xa x=x; ( 3 ) ( a x ) * 二a x; ( 4 ) ( x a ) =x a 的唯_1 b x m 矩阵x称为a 的广义逆. 不难证明以上两种定义是等价的.自 此开始，广义逆的研究进入了一 个蓬勃发 展的阶段为了纪念e . h . mo o r e 和r . p e n r o s e 对广义逆研究所作的贡献，人们把 这种广义逆称为m o o r e - p e n r o s e 逆，简称m - p 逆，记为a t . r . p e n r o s e 定义中的方程( 1 ) 一 ( 4 ) 称为四个p e n r o s e 条件，由此出发，可以衍 生出 很多种不同 类型的广义逆 设 a=王 1 . 2 , 3 , 4 1 , a e c - ， 如果 矩阵 x c s x m 满足 p e n r o s e 条件中的第 ( 2 ) , (7 ) , . . . , ( k ) 个方程 ( i j . 二 ， k ) c a ) ，我们 上海师范大学理学博士学位论文 称 x 是 a 的 i , 7 , - - , 衬一 逆，记为 x = a ( j , ，*) 不同于m - p 逆， 这种逆一 般不具 有唯一性， 所以 通常用a 仁 , 7 , . . , 岭表示a 的 林 , 7 , . . , 岭一 逆的全体. 下面我们给 出两个简单的例子，用来说明这种类型的广义逆在表示线性方程组的解方面的作 用. 例 1 . 1 . 1 1 相 容 线 性方 程 组 的 极 小 范 数 解 与 1 , 4 一 逆. 设a e c 0 , b e侧a ) , s 二 y a y 二歼. 则x b 是 相容线性方程组 a x = b , ( b e r ( a ) )( 1 . 1 . 1 ) 的 解并且 对任意的 ， e s ( y =a x b ) 都有l x b l) 。 . 定义1 . 3 . 5 5 , 2 5 设a e c n x m , i n d ( a ) 二 k . 满足下列方 程 a k + l 犬 =a k xa x 二x; ax 二 x a (l)(2)(5) 的 .kc x “ 称为 a 的 d r a z i n 逆，记为 x二a d ，有时也记为 x二川1 ,2 ,5 ) . 特别 地 mn d ( a ) 二1 时， 我们把满足上述方程的 x 称为4 的 群 逆 g r o u p i n v e r s e ) ，记 为a 9 . 显然， 群逆和d r a z i n 逆都是 特殊的 2 一 逆. 为了方便起见，关于其他一些广 义逆的概念我们在后文用到的时候再将其给出下面给出 矩阵广义逆的一些基本 叶 质， 更 多 更详 细的内 容 可 参 阅 广义 逆 方 面的 经 典 著作 【 1 , 5 , 6 , 8 , 4 2 1 . 加权广义逆及约束矩阵方程的理论和计算 关于a 的m - p 逆a t ，有许多与逆矩阵相仿的常用性质. 引理1 . 3 . 6 5 设ae c - , a e c .下述结论成立: 1 . ( a t ) t =a ( a a ) t ( a * ) t = a t a t ， 其中当a =。 时a t =0 ，当a =a 0 时a t = a - 1 ; =( a t ) * ( a a ) t ( a * a ) t ( a * ) t a t ( a ) t ( a * ) t a t =( a * a ) t a * =4 * ( a a * ) t a *二a * aa t 二a 1 .4 .4 关 于 加 权 m - p 逆 a 友 9 . a - ， 有 下 面 的 常 用 性贡 . 引理1 . 3 . 7 5 , r: 设ac m x, m和n 分别是i l ， 和7 7 阶h e r m i t e 正定矩阵.下述结论成 工 . ( a mt ,a ) n ,a ff 一 a ; 2( 八 ta 1 , n ) 一( a * ) n 一 : .。 ， 一 ; 3 . a tm , 一 ( a * m a ) ; ，二 a * m一 _ - - l a ( .-1 - - i a * ) ta ,t ,r ; 4 - r ( a m , ) 一 n 一 r ( a * ) , n ( a n r .n ) 一 i f 一 n ( a * ) ; 5 . r ( a a 从 n ) 一 r ( a ) . n ( a a ; r ,n ) 一 1 1 一 n ( a ) ; 6 . r ( a m , a ) 一 n - r ( .4 ) , a 一 ( a 从 n a . 一 ! ( a ) ; 7 一 a t7 - a a r ,、 一 n - 1/ 2 ( n l 1 / 2 a n - 1/ 2 ) r 1 1 11 2 . 为了方便起见，关于d r a z i n 逆和加权d r a z i n 逆的很多性质我们将在后文中 给出.这里仅给出d r a z i n 逆核心一 幂零分钾的性质及一个有关满秩分解的结 论，设a e c ，我们把矩阵c a=儿七1=a 2 a d 称为a 的核心部分，把矩 阵心 =a一 c a =( 1 一a a d ) a 称为 a 的 幂零部分，分解式a二心 +心称为a的 核心一 幂零分解. 上海师范大学理学博士学位论文 i 1 jm 1 .3 .8 5 ， 设 a e c n 0 , in d (a ， 一 “ ， a 一 p 叮另 卜1是 a 的 j o 。 二 标 准 形分解式，其中p 和c非奇异，n是幂零矩阵.下述结论成立: i. c a 一 尸 言 ; 尸 一、 一 尸 !名 0 1j n 尸 一 ; 2( 叽 ) k =0 , 口- 1 i n d ( 凡 ) 0 “ 一 尸 一一 d a 4 . i n d ( a d ) 二i n d ( a c ) = i n d ( a ) i n d ( a ) _ 1 , 二d ; 叔戈认 一一;了.，、 5 . 吃 c a二c a 心 二0 ; 6 . n a a d=a d -v a=0 : 7 . 伪 a a : 二a a d 心 =自 ; 8 . a二ca 4 二 月 ， i n d ( a ) _ 1 . 引理 1 . 3 .9 匡 8 设 a e c ， 执行 下 面一 系 列 满秩分 解: 4 二b l c , . c i b , =b 2 c 2 2 ， 3 ， 姚b 2 二b 3 妹 使民以是以- 1 旦_ 1 的满秩 分解 者c k b k =0 或者氏b 、 非奇异 直 到存在 一对 因子氏 b k .或 并且 a 一 b , b 2 b k ( c k b k ) 0 - 1 久久_ 。 . . . c l . 仇从非奇异 认 b 、二0 本文中，我们将用到下列符号: b ” 维实向量的全体 c ; ， 维复向量的全体 c x m x n 复 矩阵的 全体 c . m x n秩为 r 的 mx n 复矩阵的全体 a t a 的 转置 a a 的共扼转置 a = a 的加权共辘转置 侧a ) a 的 值域 ( a 的 列空间) a ( a ) a 的零空间 d i m ( s ) 子空间s 的维数 r a n k ( _4 ) a 的秩 加叔广义逆及约束矩阵方程的理论和计算 c o r e - r a n k ( a ) d e t ( a ) i k i n d ( a ) at a mt n a 9 a d a d ,w a (l )q a ( s ,j r t , k ) a t ,s k ( a ) 142 川 im iia 112 iia iim n 凡,m p 0 c o n d p q ( a ) c o n d p q ( a . b ) a 的核秩 a的行列式 k 阶单位矩阵 a 的指标 a 的mo o r e - p e n r o s e 逆 a 的加权m o o r e - p e n r o s e 逆 a 的群逆 a 的d r a z i n 逆 a 的加权d r a z i n 逆 a 的b o t t - d u ff i n 逆 a 的广义b o t t - d u ff i n 逆 a 的 i 一 逆 a 的仁 ， ， ， ， k 一 逆 a 的 具 有值 域t 和零空间 s 的 2 一 逆 a的条件数 向量x 的2 范数 向量x 的加权m范数 a 的2 范数 a 的 加 权( m , 习范数 沿m到l 的投影算子 到l 上的正交投影算子 向 量x 和y 的内积 向 量二 和y 的 加权m内积 a 的第7 列由向量b 替换后得到的矩阵 a 的第 ， 行由向 量尹替换后得到的矩阵 向量x , ， . . . ， x 。 生成的子空间 指矩阵a 是正定的h e r m i t e 矩阵 a 的加权d r a z i n 逆在p q ( 2 ) 范数下的条件数 一类线性方程组的解在p q ( 2 ) 范数下的条件数 上海师范大学理学博士学位论文 第2 章加权dr a z i n 逆的表示和计算 本章我们主要介绍加权d r a z in 逆的几种表达式和计算方法.为了使得引用更方 便起见，有关加权d r a z i n 逆的一些性质我们将在接下来的二章中作为引理陆续给 出. 2 . 1 加权d r a z i n 逆的定 义和基本性质 c l i n e 和g r e v i l le 2 2 在1 9 8 0 年提出了 长方矩阵的 d r a z in 逆概念， 它是d r a z i n 逆概 念的进一步推广. 定义2 . 1 . 1 2 2 设a e c m ， i v e c ru x ， 若对于某个非负整数k ，存在x e c m x n 满足下列方程 ( a iv ) k + x l i / 二 ( 八 1 1 一 ) k xi v a wx =x; ai vx = xi va. ( 2 . 1 一 1 ) ( 2 . 1 . 2 ) ( 2 . 1 . 3 ) 则称x 为 a 的加w权的d r a z i n 逆，简称为a 的加权d r a z i n 逆，记为x=a d w . 满足( 2 . 1 . 1 ) 式的最小正整数k 称为a 的加权指标，记为 i n d ( a w) ，它恰好 是方 阵a w的指 标 .特 别 地 ， 当a 是n 阶方 阵 并 且w= 人时 ， x恰 好 是a 的d r a z i n 逆a d . 引理2 . 1 . 2 2 2 设a e c - x ，如果对于某个w e c n x m 存在x e c - 满足定 义2 . 1 . 1 中的二个矩阵方程，则这样的x