（计算数学专业论文）关于差分流线扩散法的两个问题.pdf

赵云凯 ( 南开大学数学学院计算数学天津3 0 0 0 7 1 ) 摘要 本文由两部分组成，在第一章中，将交替方向法与差分流线扩散法( 以下简称 f d s d 方法) 相结合，对于线性对流扩散阿题稿趸了二种交替方向差分流线扩散格 式，给出了格式的实现过程并就稳定性及误差做了分析。此格式不但实现了解二 维对流扩散方程降维的目的并且保持了呈2 2 左迭良好稳定性及高精度阶的基本 性质。第二章对具第三类边界条件的对丽扩散问题，给出了差分流线扩散法的理 论分析，包括格式的建立，稳定性分析，可解性及格式的误差估计。 t w o q u e s t i o n a b o u tf i n i t ed i f f e r e n c e s t r e a m l i n ed i f f u s e z h a oy u n k a i ( n a n k a iu n i v e r s i t ym a t h e m a t i c s i n s t i t u t e c o m p u t e m a t h e m a t i c s t i a n i i n3 0 0 0 71 ) a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o m p o s e dt w op a r t ，i nt h ef i r s tc h a p t e r , a l t e r n a t ed i r e c t i o nm e t h o d i sc o m b i n e dw i t hf i n i t ed i f r e r e n c es t r e a m l i n e d i f f u s e ( f d s d ) m e t h o d t h e na l t e m a t e d i r e c t i o nd i f f e r e n c es t r e a m l i n ed i 厢j s es c h e m ei sc r e a t e df o rl i n e a rc o n v e c t i o nd i n b s e q u e s t i o n ，w ep r e s e n tr e a l i z a t i o no f s c h e m ea n dt h ea n a l y s i so fs t a b i l i t ya n de r r o r t h i s s c h e m en o to n l yr e a l i z e st h ep u r p o s eo fl o w e r i n gt h ed i m e n s i o no f s o l v i n gt h et w o - d i m e n s i o nl i n e a rc o n v e c t i o nd i f f u s eq u e s t i o n ，b u ta l s ok e e p st h ef a v o r a b l es t a b i l 时a n d h i g hp r e c i s i o no ff d s dm e t h o d i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sf o r d i f f e r e n c es t r e a m l i n ed i f f u s em e t h o dh a v i n gt h et h i r dk i n dc o n d i t i o ni so f f e r e d t h e r e a r et h ef o u n d a t i o no f s c h e m e ，a n a l y s i so f s t a b i l i t y , s o l v a b l ea n de s t i m a t i o no f e r r o r 前言 交替方向法是由p e a c e m a n ，d o u g l a s 等人于1 9 5 5 年提出的，后d 0 u g l a s 和d u p o n t 作过这方面的理论分析 1 1 其思想是：通过算子分裂【2 】2 ，把一个高维问题化为 一系列的一维问题，交替地在各空间变量方向求解，降维后的问题求解简便， 快速，大大降低了计算复杂性。 流线扩散法( 简称s d 方法) 是由h u g h e s 与3 0 h n s o n 等人于8 0 年代初提出 并加以发展的一种数值求解对流占优问题新型有限元方法4 ，因其具有良 好的稳定性与高阶精度，愈来愈为数学界与工程界所关注，已成为求解对流占 优扩散方程的一种新型方法。九十年代初期，孙澈教授在此基础上提出了差分 流线扩散法( 简称f d s d 方法) f 5 】，理论及数值实验表明，与传统的流线扩 散法相比，此方法计算简便并保持有良好的稳定性与高阶精度的性质，但对高 维问题，在每一时间层上仍需求解一个大型线代数方程组。在孙澈教授的指导 下，本文作者将两种方法有机结合，构造了一种交替方向差分流线扩散格式， 用以求解二维对流占优扩散问题文章第一章对格式的实现过程，稳定性及误 差估计作了详细的阐述，并给出了数值算例，实际的数值结果与理论分析符合 的很好；此格式不但大大缩短了计算的工作量并且保持了差分流线扩散法良好 稳定性及高精度阶的基本性质。 虽然已有诸多文献就流线扩散法的理论及其应用进行了讨论【5 1 1 8 7 ，但大 多局限于第一类边界问题，对具有第三类边界条件的对流扩散方程的f d s d 方 法，仅有文 8 】作过分析，然而该文中给出的假设条件7 + 扣- 畜7 0 0 似过于 苛刻，使方法的应用具有较大的局限性，本文第二章将此条件舍去，对c n 型f d s d 格式重新进行了理论分析，证明了当关系式a t = 府舻中的系数府满 足适当限制时，格式关于右端项及初值稳定，其风误差在时间上达到2 阶， 空间上丰满。 1 交替方向差分流线扩散法 1 1 问题的提出 设矗= j 置为单位方形域，j = 0 ，1 】，本文讨论如下对流占优扩散问题： ( 1 1 l a ) 赞一v ( 口( ，t ) v u ) + 卢( z ，t ) v u + 口( 2 ，t ) t = ，( ，t ) ，( ，t ) n ( o ，卅， ( 1 1 i b ) u ( ，t ) ：0 ，( z ，t ) a q ( 0 ，t 】， ( 1 1 i c ) ( z ，0 ) = u o ( z ) z n 其中：t 0 为给定常数，卢= ( 卢。，卢：) ( 1 1 2 ) 口( z ，t ) ，风l o o ( i 矿1 1 0 。( n ) ) ，盯( 嚣，t ) ，工o 。( 三( n ) ) ，( z ，t ) 上2 ( 上2 ( n ) ) 记： 口= n 。( o ，t 】，8 。1 酽。( 。，) ，a l 2 s u 口p 口( z , t ) ，6 = s - 口p i l v 口( 。，) m v 为关于空 间变量的梯度算子， a = i i 爱怯仁叫n ) 】，蜘= n i g o 内= s u pi 口( ，t ) l 2 q 耳= s u p l i 卢( ，t ) l i = s u p ( 慨( z ，t ) 1 ) ，b l = s u p l 戚印i 2 这里0 。a l k ，意指问题( 1 11 ) 是对流占优的。简称满足上述条件的问 题( 1 1 1 ) 为问题( a ) 。 1 2 交替方向f d s d 格式及其数值实现 设孔h = 0 ，使得对v t l ，h ，成立： i i v w lj p , h “i i 训l i i i i p j l 一1l l v w l i 其中：i lz x w f i 垒( l i ”i f ：) e i tm h 甜聪 引理1 3 2 ( 插值逼近性质) 设h ：日州( n ) nc ( a ) 一是有限元插值算子，如 _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ r _ _ - - _ _ _ _ - r 一 果g 日+ 1 ( n ) i - i c ( f i ) ，则对w 竺i i h g v h 有： i i g w i t + h l l v ( g w ) l l + 2 | j 彘( g t o ) 1 1s m h h l l l 9 1 1 r + 1 其中界定常数m 与投影w 及网格参数h 均无关。 设w 三”( 1 ，”( n ) ) 容易得 i i , o n 一, o - - l i t 2 圳瓦o w 忆2 2 ( j n ；l 。) 咿( ”“一1 1 ) n - - i ) 2 t l 限筹) 1 1 2 2 ( j ；l 2 ) 记磊矿n + 1 ：贮苌竽。在格式( b ) 中取a = g a 。，其中g = 2 ( 1 + q o ) ，选取6 使之 满足条件 6 m “ k p 4 耳p q o , 2 a p k ； 6m a x k 2 ，4 c , ，2 k a ) 警 6 口。g u 耳p 2 i h 2 6 c a ) 鲁 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 33 ) ( 1 3 4 ) 其中c o = m a x 8 ，2 0 蜀2 + 4 + 2 a ，2 0 口 ) 。在后文中，无妨认为6 i 。 定理! ! ：!如果 ) 是格式( b ) 之解，5 满足条件( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 且 a t 适当小，则有稳定性估计 m a x1 u “妒+ 2 n n 如套v 州1 聃碚。辫【瑚l 磊哪 c ( n - 1 zat+aoat-：圳叫iz+aoatiifll a t a o a t l w uip a o t l l 警i i 。 c ( + 咿。 寻2 + a 0 2 ( a t ) 2 i i 丽5 9 2 州) 其中c 是与h ，t ，石1 无关的正常数。 证明：对于格式( b ) ，取”= u “，则 ( 学，u n + ，) + a ( v t v ”+ 、一矿“) ，v u “+ 1 ) + ( a v u “，v u “+ ) m ( 0 2 ( l ，焉1 ) 6 ：( ，n ，u n + 1 + 5 p n v 矿n + 1 ) ( u n - - 五厂u n - 1 ，j 卢“v 矿“+ 1 ) + ( 可( 口r t v u ) ，j 卢“v u 。+ 1 ) 一( p “v u ”，矿“+ 1 + 6 卢”v u “+ 1 ) 一( ，“u “，u “+ 1 + 6 卢”v 矿”+ 1 ) 垒且 ( 1 35 ) 记( 1 3 5 ) 式左端垒 + ，其中 ：( 骘, v n + 1 ) + ) s a t 丽0 2 ( 一1 坩) ，磊 2 去- 2 u + l l 。刈c ，”l i 2 ) + q 2 a 0 2 2 a t ( 。i i a 。0 菇s 一2 刈彘州n = a ( v ( ，“+ l u “) ，v u n + 1 ) + ( a v u “，v u 1 ) = ( a v u n + 1 一( a a n ) v u “，v u “+ 1 ) ( a 一；j l a 一口”i l 。) l l v u “+ 1 1 1 2 一；i | a a l i o 。l i v u “1 1 2 再对右端作逐项估计 由( 1 3 2 ) 有 从而 由( 1 32 ) 有 s 1 = ( ，“，u ”+ 1 + 6 芦“v 矿“+ 1 ) 2 州i 。+ 扣n + ，nt $ 2 k 2 | | v u - + l p 2 5 k 詈 s ，3 扩i t 2 + 扣州n 剖a o v 矿州i | 2 s 2 = 一( u n 面- 矿一n - i ，5 f i n v u - + i ) 剑即刈z + 竿i i v u - + t h 2 s 。= 6 慨矿”n 黝v 矿州1 1 2 如= ( v ( a n v u “) ，6 矿v 矿”+ 1 ) = ( v a “一v 矿“占卢“v 矿”+ 1 ) + ( 口“v ( v 矿“) ，即“v 矿”+ 1 ) s ( q o a o $ k p h _ 1 + 5 k a ) i l v u “i v u - + 1 i i 由( 1 31 ) 及( 1 32 ) 有 岛= 黜v 矿”n 嚣l t v u 州1 1 2 7 ( 1 3 6 ) = 一( 矿，v u n ，u n ) 一( 目n v u n ，u n + l 百_ 一u n ) t 一( 卢”v 矿“，占矿v 矿”+ 1 ) 知一i i + 竽啊哪+ 础ij g t u 州1 1 2 + 等川v 删i i + l l v 旷1 2 ) 釉矿l i + ( 竽+ 剐v 盯i i + 而a o 咿i i + k a 圳反扩“酽 2 吲矿f l z + ；i i u + - lj 。+ 扣i i + 孚 1 1 2 卸旷1 1 2 + ；l t u ”ij + 黜v 矿i i 综合 ， ，矗一一乳两边同乘2 a t ，并关于n = l ，m 一1 ，ms 求和 由a = q a o = 2 ( 知+ 口1 ) ，可得 一扣一矿l i 。一；1 1 - a - l l i 。= 2 d 0 因此 i i u | | 2 + 3 口0 i l v u 州酽a t + g 。3 ( 出) 2 “万鼍扩”酽 1m 一11i一1 d ( i i “l i 2 a t + l l u ”1 1 2 t ) + i k a t i l v u “1 1 2 a t 芝i 妒+ 1j 1 2 埘苣i i g , t r 刊2 + 竿i l v u + 2 k a t a t i i g , t r a t i l v u lj 1 2 懈矿”1 j 1 2+ 2 j ”1 1 2 + = 专兰 1 酽 r t = l n = 1 + l l u l 肌矿碚( 蜊巍矿1 | 1 2 为对上式右端中出现的项2 k a t m - 1i i & u n + ，酽a t + 2 6 ”n - 1i i & u n 胪a t 作进一步处 理，建立以下引理 呈l 理! ! ! 如果 u “) 为格式( b ) 之解，5 取僵满足条件( 1 3 1 ) ，( 1 3 3 ) 则估 计式 m 薹- 1 胪+善州：埘2 鲥a t 铃 - 铲幔8 - - 旷驴y l i e u a t 2 q a o a ti wc & v ) l la t+ 1 2 a t 1 | 1 2 + ”1 2 + 4 a 2 ( ) 2 p ”。 2 n = ln = l ，1 t t o 仇一1m 一1w 1 - - 1 sc o ( a t l j 兰夭 f 1 2 + i l 广l | 2 a t + v 扩l 2 a t + | l 矿“i 2 t ) + ( a ) * t i v u n + 1 2 + 2 a o q o l l v u l 俨( 1 3 7 ) 成立，其中c o = m a z s ，2 0 k 2 + 4 + 2 a ，2 0 口i ) 与h ，a t ，i 1 无关 8 证明：在( 1 2 1 ) 中取v = 反驴+ 1 有： ( 反矿“+ 1 ，0 t u “+ 1 ) + a ( v ( 玩矿“+ 1 ) ，v ( g , u “+ 1 ” + a 2 2 ( 淼( 反矿”1 ) ，赢( 玩u 州) ) 二( ，“，玩，”+ 1 + 5 卢“v ( 玩u n + t ) ) 一( o t u “，6 芦“v ( 反矿“十1 ) ) + ( v - ( a r t v u “) ，即“( v 磊矿”+ 1 ) ) 一( 卢“v 矿“，磊矿“+ 1 + 即”- v ( 磊u “+ 1 ) ) 一( 盯“矿“，反矿“+ 1 + 占卢“v ( 反矿“+ 1 ) ) 一( a r t v u “，v ( 反矿n + 1 ) ) 6 垒e l i ( 1 3 8 ) 显然上式左端：慨c ，“+ 1 1 1 2 + a t | | 审( 反矿“+ 1 ) 1 1 2 + a 2 ( t ) 2 | | 缶( 反c ，“+ 1 ) | | 2 现对于上式右端作逐项估计 j l = ( ，“，反矿“+ 1 + 6 芦“v ( 磊u n + 1 ) ) l i f f l 2 + 扣v - + i l l 2 圳删+ 罕啊妒1 2 由条件( 1 3 1 ) 式及引理1 3 1 可得 2 1 1 1 “n 勘磊矿州i | 2 类似地，有 ，2 = 一( 仇矿“，6 矿v ( o , u “”) ) 知反矿”n j 2 k 2 f 甲磊矿州f 1 2 s 扣磊盯“n 去l l o - , u 1 炉 厶= ( v ( a t ) v u “) ，即“v ( g , v ”+ 1 ) ) = ( v a “v c ，“，占卢“v ( 磊矿”+ 1 ) ) + ( a v ( v 矿“) ，即“- v ( 磊矿“+ 1 ) ) ( 5 盯口1 p 2 h 一2 + d a g k h 一1 ) l l v v “i | i 玩矿“+ 1 | | | | v 矿”n 副玩矿”1 f 1 2 1 4 ： - z “v u “，反u “+ 1 + 6 p “v ( 玩u “十1 ) ) 4 k 2 | | v 矿“n 刹1 执- 矿州nk a i i v 矿“n ；5 2 盯2 愀反矿州) 酽 5 k 。l i v e r “n 副o 执- 矿州旷 如= 一( 口“矿“，磊矿“+ 1 + 5 卢”v ( g , v “+ 1 ) ) 5 一湘“n 扣反u ”1 n 却盈u l 2 5 口“n 副反矿”1 | j 2 9 对于项一( 矿v 矿“，v ( 反扩1 ) ) 作如下处理： = 一( n “v 矿“，v ( 百t u “+ 1 ) ) + ( a n + 1 v u “+ l ，! ! ! ! 竿) _ ( 口州v 矿n + l ，婴等婴) 垒g 】一g 2 g - = 一( n “v 矿“，v ( 反矿“+ 1 ) ) + ( a n + l v u n + l , ! ! ! 竿) = ( ( 口“+ 1 一n ”) v c r “+ 1 + a “( v u “+ 1 一v 矿“) ，v ( 反矿“+ 1 ) ) = ( ( 口“+ 1 一口“) v u “+ 1 ，v ( 玩矿“+ 1 ) ) + ( 口“( v u ”+ 1 一v 矿“) ，v ( 玩矿“+ 1 ) ) 垒0 1 + 0 2 o l = ( ( 口“+ 1 一扩) v u “，v ( a u “+ 1 ) ) 出i i 勃州帅”l l v u ”1 i i i i v c 6 , u 州川 。圳v ( 魂u “+ 1 ) | 2 + ( a i ) ：2 _ a t ”v v + t 1 ) 2 0 2 = ( a n ( v u “一v u “) ，v ( a u ”+ 1 ) ) = a t ( a “v ( 磊n + 1 ) ，v ( 磊“+ 1 ) ) a l a t i l v c 反u “+ 1 ) 1 1 2 = 9 0 圳v ( 反矿n + 1 ) fj 2 g 2 = 【扩+ t v u 州，v u + n 1 - cv u ) 2 壶( 口1 v c ，1 、可矿蚪1 ) 一- 击c o o + 1 v 矿1 ，v 矿“ 三 击( 一1 v r n + 1 ，v 咿1 ) 一丽1l 虿1 ( 一1 v 矿n + l ，v 州) + ；( 口“+ 1 v 矿“，v c 厂”) 】 2 赤( a n + l v 咿1 ，v 一1 ) 一赤( a 州v 矿“，v 矿“) = 五i ( a n + 1 v 盯州t v c r 州) 一蕊1 t 口n v 扩，v 扩n ) 一志( ( 矿+ 1 一矿) v u “，v 明 2 面1 ( 一1 v 矿n + l ，v 旷1 ) 一蕊i ( 柙n v 矿“) 一；a l l v u ”1 1 2 将g 2 移到估计式( 3 8 ) 的左端，综合 一厶得 ；| 磊矿“+ 1 胪+ ；z 印州v ( 磊扩“+ 1 ) 1 1 2 + a 2 ( t ) 2 “! ! ：雩! 等旷 + 赤( a n + 1 v u n + l , v ，卅1 ) 一赤( 矿v 矿“，v 矿”) s 扣反矿“n2 1 2 + ( 1 + 5 k 2 + ；) i l v u n j | 2 + 警啊m 1 2 + 5 a 引删i i ( 13 9 ) 上式两边同时乘以4 a t ，并对n = 1 , 2 1 2 1 - 1 ，2 曼m 墨求和得 l i e u “+ 1 i i2 a t 十2 q a o a t i i v ( 玩矿“+ 1 ) 1 1 2 a t + 2 ( a ”v u ”，v u ) 瑚叫：虱雩圹t g 删j 竿炉+ 虱，n j l 2 t + 蚤v 哪t + 卦扩炉乱) + 警荨w 州0 2 a t + 2 q o a o 拶旷 其中c o = m a x 8 ，2 0 k 2 + 4 + 2 a ，2 0 砰) 与 ，a t ，击无关， 弓i 理得证 现另戚足理1 3 1 的证明，取a t 冗分小，便得 a ts 1 ，k a t c 。而a o ，k a a t 塑4 ( 1 3 1 0 ) 由引理1 3 3 及条件( 1 3 2 ) ，( 1 3 4 ) 可得 +dom圣-1iiu i i i t v u 州i 阻口3 ( z i i 番矿一i i a t “2 + d o “+ 1 i 阻碚( t ) 2 i i j 若蕊矿”2 g ( i l l “i i2 a t + i i u ”| | 2 a t + a o x t l l w u l l l 2 + i i 盯1 1 1 2 慨酬i 里1 1 2 + a 2 | | 品哪) ( 1 31 1 ) 运用g r o n w a l l 不等式有 ：m 她= 。i i u 刈2 + a 。刭v 州i 斟。3 ：辫( 瑚l 番删i i c ( n - i n 1 12at+aoatii-ii：+iiitli i a t a o a t l l v ui i i i u l i l 2 佃a t l l 之罢i z c ( “+ + 知竿i 2 + 碚( t ) 2 i i 蠢毛u 1 其中c 是与h , z l t ，击无关的正常数。定理得证。 作为定理1 , 3 1 的一个直接推论，有 立喇l 盥 设6 满足条件( 13 1 ) 一( 1 3 4 ) ，则当a t 适当小时，格式( b ) 之 解存在唯一i 1 4 格式的误差估计 刀订比糌式( b ) 的误爱估计，假足f 司越( a ) 的解u 具有光滑性： u l 。( h t mnh j ) ，窑甜( 1 ) ，器甜( 功，盎甜( 主。) ( 1 4 1 ) 取w ( t ) 为u 在v h 中的插值：”= i i h u ( t ) ，记 f “= u ”一w ”，叼“= u “一w “ 则 e ”= “”u ”= 叩”一e ” 其中u “是格式( b ) 之解，矿是问题( a ) 之弱解。 由引理1 3 2 有 i i , r l l + i i v , 7 1 1 + h 2 l i 南q “t i m 一1 i i , r i i r + 1 ( 1 4 2 ) 因磐是罄在中的插值，易见有 白卅础) 州i v ( o 胪r h 2 i i 旦o = o y f o t 州“，) c h 州愤h 枷一) ( 1 删 注意到问题( a ) 之解u 满足关系式 ( 芝，帮”卅例酬警，盖v ) = ( 卜胪v u ”卅u n ，v + 6 嵋) 一( 号，哪) ( vu n + l - - u n 例+ a 2 a t ( 警，盖”) + ( v ( a n v b n ) ，邶) 一( a v u v v ) + ( t * , t n + l _ t t n 一( 鲁) “，”+ 睇) 将上式- g ( 12 1 ) 相减，则可导出 ( 学，”m ( v + 17 例水w v 卅煳磊( n + l - - f n ) ，彘。) ( l 产，”) + a ( v ( 1 一n v ”) + ( a “v v ) + f t ( 熹( ) ，羔。) = ( r 7 n + 1 r r n 州v ( 矿1w ) 胁) 埘t ( 南n n + l - - f 7 n ) ，磊”) 。( v n + l _ t t n ) j v ”) _ a 2 a t ( 番( 一吼南卅( 椰柑”) 一( u n - - u n - 1 1 汀_ _ u n + l + u n ，5 嵋) + ( e l ，。+ 5 唯) + ( 一v ( 。n v p ) ，6 唁) 、 t p ，。 ”1 p ，1 - l “ c j o 唯j - i v _ 矿v 矿) ，5 嵋) 一”v p t 口+ 5 昭) + ( 矿v 矿，口+ j 嵋) + ( 盯“叩“，u + 占 孑) ( 矿“f “， + 占口嚣) 1 2 垒1 f 1 iv v h ，( 1sn 曼n 1 ) ( 1 4 4 ) 蓦 其中e 。= 警一( 象) “ 定理! ：垒：!设 u “) ， “”) 分别为格式( b ) 及问题( a ) 之解，扩= u “一矿”， 则当d 满足条件( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 0 3 3 ) 且a t 适当小时，有误差估计 n 2 ：她m a x 。i i e 刈2 + a 2 a t 22 辫i | 淼矿| | 2 + a o 到乳刈衬 c ( h 2 h 1 执驴+ 去驴+ 2 + a t 2 证明：在( 1 44 ) 中取v = p + 1 ，并记其左端垒 + ：( 甓+ 1 ) + a 2 a t ( 丽0 2 ( 嘲为) 知妒旷) + 学川品1 1 2 刈丽( 9 2 哪i i ) ：a ( v ( f 卅1 一p ) ，v f 时1 ) + ( 口n v p ，v p + 1 ) ( a 一；i i a - a “l l 。) l i v e 州肛；i i a - a - i i m t l v f 1 1 2 对( 1 4 4 ) 右端作逐项估计 = ( r + 丽i 一7 ，f ”+ 1 ) 翱孰郴。；计挑州酽 a ( v ( q “一矿) ，v f “+ 1 ) s c 啪t v ( 釉t ，( j 。舻) + 帮v 2 cd = 舶t ( 磊卅) ，彘+ 1 ) ) t 学l | 磊1 ”+ c a r a t ”鑫知。m 。 注惹到a = q a o 有 = 一a ( v ( u “+ 1 一t “) ，v e “+ 1 ) 口口0 t 愀警) 悒u + 1 川+ 嚣l t v e 州1 1 2 d = 舶t ( 巍( 一1 。矿) ，巍p 1 ) s 学| | 彘1 1 1 2 + c a r a t i i 盎铷。 1 3 ( a 7 v 叩“，v f “+ 1 ) c a o l l v z ? ”n 黜v 酽 一( 坠旦丢芝型 ( 掣，6 - 【矿，o p 叩“v p + 1 ) ( 与# 矽v 十1 ) + ( 竺：二二笋，5 p “v f ”+ 1 ) t 却跏。，+ 竽孵+ l i 队列训2 + 竿孵1 f 2 + 2 圳等眠；口) + 丁6 2 k 2 旧2 面2i l 瓦o r 州2 撕l ：) + 1 6 i r e “+ 1 n 柏洲+ c ( a t ) 其中厶，= f t ”1 ，t n + 1 】 = ( e 1 ，p + 1 + 卵“v f n + 1 ) c ( a 0 + 翱一1 1 1 2 + k 2 慨时1 | i 2 g ( t ) + 帮1 1 1 2 ：一( v ( 扩v t “) ，6 矿v e “+ 1 ) = 一( v a “v 口“，5 卢”v e “+ 1 ) 一( g n v ( v 矿) ，卵”v p + 1 ) ( t f q o a o k p h - 1 十f k a ) l i v 矿v e 蚪1 i i 嚣 i v 矿1 1 2 + 嚣l l v e “+ 1 1 1 2 参照 的估计 = ( v ( 矿v p ) ，5 芦n v f n + 1 ) s 副a ov 洲2 + 剖u o v 1 酽 = 一( 卢“v f “，e “+ 1 + 即“v p + 1 ) f - e 1 一f ” 2 一( 卢“v f “，! 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