（计算数学专业论文）偏微分方程的精确解及taylor级数解.pdf

摘要 本文以计算机代数和导师张鸿庆教授的“a c = b d ”理论为工具，以构造 机械化算法为目的，以源于物理，力学，光学等领域中的非线性问题所对应的非 线性偏微分代数方程( 组) 为研究对象，研究了它们的一些问题，如精确解( 孤 子解，周期解) ，k i c c a t i 方程展开法，微分代数及t a y l o r 级数解。 第一章介绍了孤立予理论，计算机代数，数学机械化等学科的起源和发展， 以及国内外学者在这些方面所做的工作和一些所取得的成就。 第二章以“a c = b d ”的理论模式为指导，考虑了非线性偏微分方程( 组) 的精确解的构造，给出了“a c = b d ”理论的基本思想，c d 可积理论在微分 方程求解中的应用，然后通过具体的变换给出了构造c d 对的算法。 第三章基于非线性发展方程求解，代数化，算法化，机械化的指导思想，运 用吴方法和符号计算为工具，考虑了非线性发展方程精确解的构造，提出了射影 p d c c a t i 方程展开法，并将其应用到求解二维广义b u r g e r s 方程及耦合m k d v k d v 方程中。 第四章介绍了微分代数的基础知识，并讨论了偏微分代数方程的t a y l o l 一级 数解。在特征集的基础上，讨论了其参数导数构成的状况，并给出算法。 关键词：偏微分代数方程；精确解；数学机械化；射影r i c c a t i 方程展开法；t a y l o r 级数解。 a b s t r a c t i nt h i s d i s s e r t a t i o n , t h e n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n o r e q u a t i o n s ( p d a eo rp d a e s ) r e l a t e dt o s o m en o n l i n e a rt o p i c sw h i c ho r i g i nf r o m p h y s i c s ，m e c h a n i c sa n do p t i c s e ta la r e s t u d i e d ，i n c l u d i n g e x a c t s o l u t i o n s ( s o l i t o n s o l u t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n ) ，t h ep r o j e c t i v er i c c a t ie q u a t i o nm e t h o da n dt a y l o rs e r i e s s o l u t i o n s t h ec o m p u t e ra l g e b r aa n dt h e “a c = b d m o d e lo fp r o f e s s o rz h a n g h o n g q i n ga r ee m p l o y e da st h et o o l st od e a lw i t l lt h i sp r o b l e m c h a p t e r1 i n t r o d u c e st h eo r i g i na n dd e v e l o p m e n to fs e v e r a ls u b j e c t sr e l a t e dt o t h i sp a p e r , s u c ha st h es o l i t o nt h e o r y , c o m p u t e ra l g e b r a ，m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n t h em a i nw o r k sa n da c h i e v e m e n t st h a th a v eb e e no b t a i n e da r e p r e s e n t e d c h a p t e r2c o n s i d e r st h ec o n s t r u c t i o no fe x a c t s o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( p d e s ) u n d e r t h eg u i d a n c eo f t h e t h e o r yo f “a c = b d ”t h e b a s i ct h e o r y p f “a c = b d ”a n dt h ea l g o r i t h mt o c o n s t r u c tt h ec d p a i r a r ei l l u s t r a t e d t h r o l i g hs o m ec o n c r e t et r a n s f o r m a t i o n s b a s e do nt h ei d e a so f a l g e b r a i c m e t h o d ，a l g o r i t h mr e a l i z a t i o n ，a n dm e c h a n i z a t i o n f o rs o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，c h a p t e r3d e a l sw i t ht h ec o n s t r u c t i o no f e x a c ts o l u t i o n sf o rn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sb yu s eo fw u m e t h o da n ds y m b o l i c c o m p u t a t i o n t h ep r o j e c t i v er i c c a t ie q u a t i o nm e t h o di sg e n e r a l i z e dt oo b t a i ns o m e n e we x a c ts o l u t i o n sf o rt w o d i m e n s i o n a l g e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o na n dt h e c o u p l e dm k d v k d ve q u a t i o n s c h a p t e r4i s d e v o t e dt o s t u d y i n g t h e t a y l o rs e r i e s s o l u t i o n s b a s e do nt h e c h a r a c t e r i s t i cs e t ，t h ec a s eo f i n f i n i t yp a r a m e t e r si sd e s c r i b e db yu s i n go ff i n i t ev a l u e a n df u n c t i o n s t h es i t u a t i o no f l i n e a rp d a e si se x t e n d e dt ot h en o n i n e a rp d a e s k e y w o r d s ：p a r t i a l d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n ；e x a c ts o h i f i o n ；t a y l o r s e r i e s s o l u t i o n ；m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；p r o j e c t i v ei u c c a t ie q u a t i o nm e t h o d 大连理工大学硕士学位论文 第一章绪论 本文以物理，力学，光学等领域的线性和非线性问题所对应的线性和非线性 微分代数方程( 组) 为研究对象，以计算机代数( 符号计算) 为工具，研究了其 精确解，可积性等问题。 下面我们介绍一下这方面国内外的发展状况及本文的主要工作。 1 1 孤立子理论 1 11 孤立子理论产生的历史背景 孤立子研究的历史背景大致可分为以下三个阶段。 第一阶段( 1 8 3 4 1 9 5 5 ) ，英国物理学家j s c o t t r u s s e l 1 于1 8 3 4 年最早发现 孤立子( s o l i t o n ) 现象。他在1 8 4 4 年9 月的英国科学促进会第1 4 次会议上作了论 波动的报告，报告中讲述了他于1 8 3 4 年8 月在河道里发现了一个波形不变的 水团( 孤立波) ，该水团在一两英里外的河道转弯处消失了。他进一步指出，这 种孤立波实际上是流体力学方程的一个稳定解。后来r u s s e l l 为了更加仔细地研 究这种现象，在实验室进行了很多实验，用多种方法激发，也看劐了同样的现蒙。 该水波具有浅长的性质。另外，在深度为h 的河道中，该孤立波行进的速度c 满 足关系式c 2 = g ( h + 叩) ，其中冲为波的振幅，g 为重力加速度。但r u s s e l l 的学说 并未能成功趣便当时的物理学家信服，这可以从l o r dr a y l e i g h 在18 7 6 年发表的 论文中可以看到，孤立波问题引起了当时物理学家的极大争议。 在随后的几年间，a i r y 0 8 4 5 ) ，s t o k e s ( 1 8 4 7 ) ，b o u s s i n e s q ( 1 8 7 2 ) 2 和 r a y l e i g h ( 1 8 7 6 ) 对这种波作了迸一步的研究，为了近似的描述孤立波，b o u s s i n e s q 提出了一个一维非线性演化方程，即后来被人们所命名的b o u s s i n e s q 方程。 r u s s e l l 等人所观察的孤立波到底存在于什么样的水波方程中，或者说什么 样的水波方程才能拥有那样的孤波解呢? 这个问题直困扰着当时的物理学家。 直到1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和他的博士生d e v r i e s 3 提出了一个非线性演化方程( 人 们简称为k d v 方程) ，他们用该方程的一个孤波解解释了r u s s e l l 所观察到的 第一章绪论 浅水波。与此同时，b a c k l u n d 变换的发现也为后来孤立子的发展奠定了重要的基 础。 第二阶段( 1 9 5 5 1 9 7 0 ) ，1 9 5 5 年，著名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 4 提 出了著名的f p t 问题，即将6 4 个质点用非线性弹簧联结成一条非线性震动弦， 初始时，这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上，即其他6 3 个质点的初始 能量为零。经过相当长的时间后，几乎所有能量又回到了原来的初始分布状态， 这个现象与经典的理论相矛盾，由于只在频率空间来考虑问题，因此，未能发现 孤立波解。后来t o d a 研究了这种模式的非线性震动，得到孤波解，使f p u 问题 得到了圆满的解答，从而激发了人们对孤立子的研究兴趣。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 5 在研究基本粒子模型时，对s i n a - g o r d o n 方程 做了数值实验，结果表明：这个方程产生的孤波解不分开，即使碰撞后两个孤立 波也保持着原来的形状和速度。为了更好地解释f p u 问题，1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r u s k a l 6 从连续统一体的观点来考虑这个问题。在连续的情况下，这个问题 可以近似的用k d v 方程来描述，他们对k d v 方程两个波速不同的孤立波进行了 研究。如果这两个孤波开始时分开且波速大的在左边，那么相互碰撞后，波速大 的在右边且保持原来的高度和速度，仅仅发生变换的是相的转移，这两个孤波的 碰撞是弹性碰撞，又类似于粒子，因此，他们便将其称为孤立子。孤立子有时也 称为孤立波。它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及与 之相应的物理现象。如果用物理的性质来描述，可以概括为：( 1 ) 能量比较集中 于一个狭小的区域。( 2 ) 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象，即波形和波 速能恢复到最初的状态。这也揭示了孤立波的本质。 第三阶段( 1 9 7 0 ) ，把孤立子的概念和理论广泛地应用于其他学科，同时也 开展了高维孤立子的研究。 1 12 研究孤立子理论的一些构造性方法 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，它所包含的内容和 研究方法比较丰富，国内外学者从不同的方面进行了比较系统的研究 7 1 1 】。特 别是近十几年来研究队伍不断扩大，也取得了一些较好的成果。 非线性演化方程解的构造性方法 2 大连理工大学硕士学位论文 自从1 8 9 5 年k d v 方程被提出以来，在很多领域，人们获得了大量的具有实 际意义的非线性演化方程。许多数学家和物理学家为了构造它们的精确解，做了 大量的工作。一般来说，直接寻找非线性演化方程的精确解是比较困难的，往往 是采用一些变换，将原方程化为比较简单的，容易求解的方程。 一些比较经典的方法如下： 1 8 9 5 年，瑞典几何学家b a c k l u n d 1 2 在研究负曲率曲面时，发现s i n e g o r d o n 方程的两个不同解”和z ，+ 之间有如下的关系式 驴旷2 腼n ( 半) ，”；。+ 扣洋) 这就是著名的b a c k l u n d 变换。但由于当时没有发现别的用处，因此被冷落 了几十年，直到2 0 世纪的6 0 年代，由于非线性光学和晶体位错等许多领域的研 究都和s i n e g o r d o n 方程有关，这肘，这个变换才重新受到重视。1 9 7 3 年，w a h l q u s t 和e s t a b r o o k 1 3 发现k d v 方程也具有b a c k l u n d 变换。1 9 7 6 年他们提出了求解非 线性方程的b a c k l u n d 变换的延拓结构法，将b a c k l u n d 变换，守恒律及反散射变 换统一在一个拟位势中。1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a r b e v a l e 1 4 ，1 5 1 推广了常微分 方程的p a i n l e v e 可积的判定方法，提出了偏微分方程的p a i n l e v e 可积的判定方法， 并用其获得了一些可积方程的b a c k l u n d 变换。 1 9 8 2 年，d a r b o u x t 6 1 在研究一维s c h r o d i n g e r 方程的特征值问题时，引进了 一个变换，后来被人们称为d a r b o u x 变换。有时人们也把这个变换叫做求 b a c k l u n d 变换的d a r b o u x 方法。1 9 7 5 年，w a d a t i 等人 1 7 将这个变换推广到m k d v 和s i n e g o r d o n 方程。1 9 8 6 年，中科院院士谷超豪等人1 1 ，1 8 ，1 9 1 将其推广到 k d v 族，a k n s 族和高维方程组，并将这个变换应用到微分几何中的曲面论和 调和映照中。1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g i n a ) 2 0 】利 用s c h r o d i n g e r 方程的反散射问题，将k d v 方程的初值问题，转化为求解三个线 性方程的问题。这种处理问题的方法称为反散射法。由于求解过程中用到了 f o u r i e r 变换，有时也称该方法为非线性f o u r i e r 变换法。1 9 6 8 年，l a x 2 1 对g g k m 用于求解k d v 方程的上述思想进行分析整理，提出了用反散射方法求解其他方 程的更一般的框架，并用指出用反散射方法求解方程的前提，是寻找该方程的 l a x 表示( l a x 对) 。1 9 6 8 年，m i u r a 2 2 发现了k d v 方程和m k d v 方程之问存在 一个变换( 即后来人们称之为的m i u r a 变换) ，每一个k d v 方程的解可以通过这个 变换变成m k d v 方程的解，反之不成立，这己由a b l o w i t z 等人证明。m i u r a 变 第一章绪论 换的另一个重要作用是证明了k d v 方程有无穷守恒律。1 9 7 1 年，h i r o t a 2 3 弓1 入 了双线性方法，用于构造许多方程的多孤子解和b a c k i u n d 变换。最近，胡星标 教授等人很好地发展了该方法，并且给出了解的互换定理和解的非线性叠加公 式。 1 9 7 8 年，张鸿庆教授【2 4 提出了偏微分方程求解的构造性的机械化算法， 即”a c = b d ”法。他借助于代数的理论来构造偏微分方程组的解，结果大批力学 问题所对应的偏微分方程组的求解问题，在一个统一的框架下得到了解决。最近， 在这一思想的基础上，又提出了c d 对和c d 可积系统的概念。1 9 9 5 年，王 明亮教授和李志斌教授提出了齐次平衡法，用来求解非线性偏微分方程的精确 解。1 9 9 6 年，高以天教授和田播教授改进了该方法，来研究2 + 1 维方程的解， 随后，他们又给出了非线性偏微分方程的更一般形式的解。1 9 9 8 年，范恩贵教 授和张鸿庆教授进一步发展了该方法，不仅得到了更多类型的解，也找到了得到 b a c k l u n d 变换的另外一个途径。近来，闰振亚博士和张鸿庆教授在此发展了该方 法，并且利用该方法推广了s i n e c o s i n e 方法，t a n h 法，目标方程法和椭圆函数 法，获得了非线性偏微分方程的更丰富的精确解的形式。 关于偏微分方程的研究，还有对称约化的方法。1 9 世纪后期s o p h u sl i e 给 出了p d e s 对称的理论基础，即连续群。l i e 主要受s y l o w 和a b e l 的工作的启发， 为了统一以前解常微分方程的方法，引入连续群的概念。借助于代数工具去研究 偏微分方程的问题。l i e 证明：一个常微分方程若在点变换的单参数l i e 群的作 用下不变，则其阶可降低一次。对于线性偏微分方程，l i e 证明：l i e 群作用下 的不变性借助变换可直接得到解的叠加。可积系统是研究p d e s 的一个重要的方 向。 计算机代数的发展状况 1 2 计算机代数 计算机代数是- - 1 7 介于数学，计算机科学和人工智能之间的边缘学科，主要 研究用计算机进行数学公式演绎的算法和系统应用。其主要功能在于：在计算机 上以符号形式进行运算，实现公式的机器推演。如果和初等数学相比，寻常的数 值计算可比拟为数值计算，则符号计算可比拟为代数计算 d 2 时， = 茜店豸s e c 料彘+ 圭z n e 情况4 ：当l t e + 2 b = 0 ，e 2 0 ，e + d = 0 时， 础) = 南础抄驯n 华卅丽a + f 情况6 ：当e ( p e + 2 b ) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 2 ) 能量比较集中于一个觉狭小的区域( 或能在给定区域内稳定存在) ； ( 3 ) 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象( 即波形和波速能迅速恢复到 最初) 。 孤立子可分为两大类：一类是拓扑性孤子；一类是非拓扑性孤子。拓扑性 孤子稳定存在的必要条件是简并真空态，即在无穷远处存在不同的真空态，或者 说有不同的边界条件。有孤子解时，无穷远处的边界条件就与没有孤子解时的不 同。非拓扑性孤子不需要筒并真空态，无论有无孤立子，在无穷远处都有同样的 边界条件。般来说，钟型分布的正，负孤波及其序列都是非拓扑的，但是扭型 孤波是拓扑孤子。 3 2 广义射影r i c g a t i 方程方法及其应用 许多非线性发展方程的孤子解可以写成两个基本函数的多项式形式，其中 这两个基本函数满足射影( 所以是可以线性化的) r i c c a t i 系统。由这个性质， c o n t e 和m u s e t t e 得到一个构造解的方法，这个方法只确定有限个系数。与通过 包含扰动项级数的方法相比，这个方法更为简洁，而且可以得到更多的解。通过 简化射影r i c c a t i 常系数的假设，可以发现由钟状和扭状函数组成的多项式形式 的解，这些解包含了许多具有物理意义的孤立波解。如果不借助于这种简化的假 设，则可以发现更多的解，甚至可以给出一些常微分方程的广义解。近来，闰振 亚 3 5 1 发展了广义射影k i c c a t i 方法来寻找线性发展方程更多的精确解。这个方法 主要基于以下的更为广义的射影r i c c a t i 方程； 盯( 亏) = a ( 毛) t ( d ，r 7 ( 毛) = r + t 2 ( 毛) 一u 盯( 专) ，= 士1 ，( 3 2 1 ) 当r 0 时，它具有下面的首次积分： 2 t 2 ( 号) = 一【r 一2 l o ( ) + e ! 0 2 ( o ，r 0 ， ( 3 2 2 ) n 其中r ，u 为常数，且= 酬 。当s = 一1 ，r = 1 ，_ p k ，它就变为射影 r i c c a f i 方程。 方法简述： 对于给定的非线性发展方程 大连理工大学硕士学文论文 p f ， ，“n ，”h ，“。，t ) = 0 ， 作行波变换u ( x , t ) = 甜俘) ，f = x - 2 1 ，方程约化为 ( 32 3 ) g ( u 。，“。，”。，) = 0( 3 2 4 ) 步骤1 由齐次平衡法，平衡最高阶导数项和最高阶非线性项，确定平衡常 熟 z 的值。, q l 通常为正整数，若掰为分数或是负整数，可以做下面的变换 ) = v m g )( 3 2 5 ) 然后重新确定m 的值。 步骤2 我们假设方程的解具有如下的形式 类型1 当式( 321 ) ( 3 2 2 ) 中r 0 时， 设其具有如下重要物理意义的行波解， g ) = 4 + 善( 3 t - ! ( e ) 【4 。( ) + 巨t ( 0 】， ( 3 2 6 ) 其中4 = a o ( x ，r ) ，4 = 4 f ) ，骂= 层( x ，f ) ( f = 1 ，珊) 是 x ，t ) 的未知方程，a ( e ) 和t ( ) 满足式( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 。 类型2 当( 3 21 ) 中r = = 0 时， 偕) = 4 一( f ) ( 3 27 ) 1 = 0 这里r ( f ) = ，2 ( 孝) 。 步骤3 1 ) 当r 0 时，在满足条件( 3 2 ，1 ) 一( 3 2 2 ) 的情况下，将( 3 2 ，6 ) 代入( 324 ) 。 2 ) 当r = u = 0 时，在满足条件，偕) = 1 , 2 ( 善) 的时候，将( 3 2 7 ) 代x ( 3 2 4 ) ， 于是得到关于r ( ) a 7 ( ) ( f = 0 ，1 ；j = 0 ，1 ，) 的代数多项式，令同幂次一( e ) g ( ) 的系 数为零，得到了z ，4 ，4 ，骂( f _ 1 ，所) ，r 和的一组超定代数方程组。 步骤4 借助于符号运算软件m a p l e ，求借上面得到的代数方程组，得到 第三章非线性发展方程的精确波解 鸽，4 ，置( i = l ，) ，r ，五的值。 步骤5 我们知道( 321 ) 有如下形式的解 徽二堂：篡慧 b zs ， 心e ) = 毒蠹暑瓣 ( ) = 盖蒜鬻 当= 1 时，r 0 时 l 卷鬟塑： 叫， k e ) = 麓，t 。( e ) = 一鬻 当r = “= 0 时， c r 52 詈2 c p 弓( 考) ，g ) 2 言( 3 2 , 1 0 ) 这里c 是常数。 于是，根据( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) ( 3 21 0 ) 以及步骤4 中的结论，我们就可以得到 方程( 3 2 3 ) 的许多精确解。这里我们将这个方法推广到二维b u r g e r s 方程中。 例1 二维广义b u r g e r s 方程 l + “虬一z o ) ，+ 占o ) 甜州= 0 通过以上方法，可以得到 u ( x ，t ) = + 6 0 x + q f ( e ) + 岛o ( e ) 其中= o ，f ) ，b o = 岛o ) ，q = q 0 ) ，岛= 包( f ) ，e = x p ( t ) + q ( y ，f ) 及t ( e ) ，g ( d 满足( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) a 代入收集系数，可得超定方程组 - r 2 ( - 2 p a 泓b o 一r f 以强一咒p 2 口。岛+ 8 p 3 q p 一占譬q u + r q 0 2 斗一r p b a q , 一只q 斗一p q ，= 0 ， 帮p b , ( b o p + p 。) = 0 ， 3 0 大连理工大学硕士学文论文 - 足卜7 q 2 + 7 a ；p 2 p 3 + 5 8 p 2 b t + 2 蜀西岛一2 p b n , i x 2 1 2 p 3 q 肛 + 2 p 2 a o b i + 1 2 p 3 q ，一2 s 包斗2 + 2 p b l q t 一2 p 2 a o b 】9 2 ) = o ， 只2 ( s a o w + 留+ 。) = 0 2 r p b , ( p 一1 ) ( 斗+ 1 ) ( b o p + n ) = 0 2 r 3 r p 3 b l g + p a l q , 一圈雾q h 2 + s q ；a i p a _ 1 q , i x 2 + 3 r q g p 2 6 l + p 2 a o a l o i 上2 ) 】= 0 2 e p q ( i x - 1 ) ( p + 1 ) ( b 0 p + a ) = 0 3 p 2 ( p 一1 ) ( 1 t + 1 ) ( 2 p c i x 2 + i t 2 q2 2 p q 一砰+ r 砰) = o ， 6 。印2 b , o 1 ) ( 斗+ 1 ) p + q ) = 0 ， r 2 ( 一取一2 p b l b o + r a ! p 2 a p 6 j ；+ 冠p 36 1 一p 2 a o a l i x s q ；a l i x p a d g l , 一岛只) = 0 ， 一r 2 l a p a l ( b o p + p , ) = 0 ， r ( s r a , 2 p 2 p 2 3 r p b l q t l x + 2 p a l b o 一3 冗，玩岛p 一4 p 3 q 冗一3 印2 岛斗+ 2 r 2 p 2 6 7 + 7 r p 3 q 斗2 一p l a l i x 2 + s q r , o n 一2 茸e p 2 + p f d l s 譬伊q 斗2 + 弼 一p a a f 斗2 2 p a l b 0 1 t 2 ) = 0 3 r 2 p p l h ( b o p + p , ) = 0 ， 其中s = s ( f ) ，以= 掣，q ，= 掣以此类推 用m a p l e 解上述方程组，可得 情况1 ： 弘= 岛= o s = s , a o = 删y + 黜) ，6 0 = ，+ c l ，a ，f 2 + c 百2 肛矗 p 鹏毗) 一j 婴号地毋一f 鬻批， g ，c 4 是任意常数，s = s 表示t 的一个任意方程，5 ( f ) ，压( f ) 是f 的一个 任意方程且垂= ，5 吗( t ) t t t 。 3 l 第三章非线性发展方程的精确波解 胪干嘎等舻一矗驴壶， = 删y + f 2 ( t ) 告加羔， p y m 吲一f 型罨妞一f 鬻出+ c 4 ， 其中。= f 器加。 因此可得方程的解如下 情况1 ： 。= e 。) y + e ( f ) + 寿! 毒一j 2 + g q , , i x t a n h - , i x 、f 2 + g 百十g 地 铲删y + 删+ 矗百2 g c l , - d c 。m 压路l 情况2 ： 。堋加靴毒+ q 盅勰+ 岛器， 铲删朋( f ) + 毒+ q 丽4 x o o 出( - 屣) + 岛器， 其中e ：功+ 盯。 3 。3 广义射影r i c o a t i 方程展开法和类孤子解 最近，g a o 和t i a n 通过引进系数，提出了种广义的双曲函数方法。正如 我们所知，应用这种直接方法的时候，重要的是选择适当的变换。近来，陈勇博 士通过引进一个更为广泛的变换，提出了广义的r i e e a t i 方程展开法。 方法简述： ( a ) 对给定的非线性发展方程( 自变量不妨设为三个x ，y ，f ) 大连理工大学硕士学文论文 j 刍了一”“一u u y ，o 一一”一，u x y 爿妒 ：o ( 3 31 ) 【五( ，v ，”q ，“，u ，巧，甜。，比，甜“，比，) = 0 、 7 我们假设方程具有如下形式的解 “( w ，f ) = + 妻w ( 孝) + 矿1 ( 亭) 扛帝丽+ ( 观 ：( 3 3 2 ) v ( x , y , o = 4 + 【4 庐7 ( f ) + b 庐1 皤) 尺+ 矿( f ) + q 矿( 善) ， 这里掰，1 7 是平衡常数，r 是实常数，a o = a o ( x , y ，f ) ，a = a 。( x ，y ，t ) ， q = q ( x ，一，t ) ，岛= 4 ( x ，y ，t ) ，q = c f ( x ，y ，t ) ，a j = a j ( e y ，f ) ，b = 哆( x ，y ，t ) ， c ，= c ，( x ，_ y ，0 ( i = 1 ，m ；j = 1 ， ) ，f = f ( x ，y ，力是关于x ，y ，t 的可微函数， 6 售) 满足 垡掣：r + 此) ( 3 - 3 3 ) “ ( b ) 将( 3 3 2 ) 代入( 3 33 ) ，在得到的方程中通分，并取分子，令 矿g ) ( r + 2 ( f ) ) 9 ( p = o i ，q = o ，1 ) 系数为零( 这里矿( 亭) 表示( ) 的p 次幂， ( 撕五而) e 表示止西了丽的g 次幂) ，然后令同次幂的系数为零。这样我们就 得到了一个超定的关于可微函数q ，觑，q ，a j ，岛，c j 和善的偏微分方程组。 ( c ) 利用符号运算软件m a p l e 中的软件包口d e t o o l s ) ，求解上述的抄定方程 组，最终，我们将得到q ，匆，c j ，4 ，b j ，c j 和喜显式表达式或者彼此的约 束条件。 ( d ) 方程( 3 3 3 ) 的解如前所述。最后，综合以上各步，我们就可以得到方程 ( 3 3 ，1 ) 的形式更为一般的类孤子解。 例2 耦合m k d v k d v 方程 p ，+ m 匕+ g v 乓+ 拧甜2 蚝+ s u 埘= o ，( 3 3 4 ) l v f + ，( ”v ) ，+ p 1 雌= 0 ， 第三章非线性发展方程的精确波解 应用上面的方法，我们得至u k 礁，蠢麓嚣；篱z 氓，q - c 1 慨。- s ， 【v = q o ( 芎) + 岛t ( 鼍) + d ：g 2 ( 芎) 十也d ( 亏) f ( 毛) 其中口，b ，c ，q ，岛，c 1 ，吒，岛为常数，a ( ) 和 ( ) 满足( 3 2 3 ) 。 带入得到超定方程组 6 p b 2 c 2 j 2 3 p b 2 c z j 4 + 4 p 吒c 2 e j = ，2 4 p 口2 乞e r p 6 2 乞e 2 + 2 p b 2 c ；e 2 j 2 3 p 岛乞- p b 2 c i e 2 _ ，4 = o 4 p b ；j 2 2 p b g - 4 p a z b 2 e r - 2 p b ；j 4 - 2 p c ；e r + 4 p a 2 b 2 e r j 2 + 2 p c ；e r j 2 - 2 p a ；e 2 ，2 = 0 6 p b l b 2 2 3 p t b 2 j 4 + 6 l b b 2 j 2 + 9 p b ；c 2 j 3 r + 4 p b 2 c 2 e 2 ，3 r - 4 p b 2 c 2 e 2 穸- 3 p t h b l e r 一3 场岛一3 l a c 2 e r 一3 p 岛如 3 l b a 2 e r - 3 l b b 2 j 4 - 3 p a l c 2 e r + 3 p a ；b l e r j 2 + 3 p a 】c 2 e r j 2 - 9 p b 2 c z j r + 3 1 b a 2 e r j 2 - 7 p a 2 c 2 e r 2 j + 3 l a c ：e u 2 = 0 3 l a b 2 e r 一3 p a l a 2 e 2 r 2 - 3 p c ；e r 2 j + 3 p a l b w r j 2 - 3 l a e 2 a 2 1 2 + 3 1 a b 2 e r j 23 1 b c 2 8 ，- 3 p a i b 2 e r + 6 p b ：j 3 7 6 p a 2 b 2 e r 2 j 3 p b l c 2 e r + 3 1 b c 2 e r j 2 6 p b ；r j + 3 p b l c 2 e r j 2 = 0 9 b b 2 j r + 2 l a b l e r j 2 - 2 1 b a l e r + 2 l c c 2 e r j 2 + 2 p q c 2 e r j 2 + 2 p a q 8 巧2 2 z 鸸e r - 5 l a c i e r 2 一5 p 呜岛e r 2 j + 2 k q e r j 2 + 9 p 鱼6 2 _ ，3 r 一2 p q c 2 e r + 3 p a ：c 2 e r 3 2 k c a e r 2 p 鱼q 8 r + 2 p b 2 c ：e r 一2 1 c e r - 5 p q c 2 p r 2 j + 2 t b a i e r j 2 - 5 l b a 2 e r 2 j 一6 p 屯乞口2 ，2 - ，2 - 9 p b 2 c 2 ，2 j 2 + 9 l b b z j 3 r 一9 p 岛如少+ 3 p 如c 2 ，2 = 0 大连理工大学硕士学文论文 - 4 1 a b 2 e r 2 j 一2 p q b 2 e r - 2 k a 2 e 2 r 2 2 p q a 2 e 2 r 2 - 2 l a e 2 q r 2 - m ? e 2 ，2 2 l b b l e r + 2 l b b l e r j 2 - 4 p b l c 2 e r 2 一2 1 c a 2 e 2 ，2 + 2 p b ；r 2 - 4 l b q e r 2 一6 p b ；j 2 ，2 + p c ；e r 3 - p b i 2 e r + 2 l c b 2 e r j 2 + 2 p q b 2 e r j 2 2 p b 2 e a 2 r 3 2 k b 2 e r + 2 后也e r j 2 4 p q 6 2 2 ，2 j + p b f e r j 2 - 2 l c b 2 e r = 0 3 p b l b 2 r 2 一地盯+ 3 l b b ：r 2 - l c b l e r - 9 p b l b 2 r 2 j 2 - p q b l e r + 2 l a c 2 e l 3 + 2 p a l q e r 3 + l c b l e r j 2 3 p q c 2 e r 2 j + 3 p b 2 c 2 ，j + 2 l b a 2 e r 3 - i b q e r 9 l b b 2 r 2 j 2 + p q b l e r j 2 - 3 p b l a l e r 2 ，+ 2 p 岛吼p ，3 + 4 p b 2 c 2 e 2 r 3 j 一3 k c 2 盯2 j - 3 l b a j e r 2 一3 l a b l e r 2 j + l b q e r j 2 + 肋1 e r j 2 - 3 l c c 2 e f 2 j = 0 - 2 k b 2 e r 2 j - p t 2 e r 2 j + p b 】e c 2 ，3 + l a e b 2 r 3 + l b e c 2 ， + p b 2 e a l r + 2 p b ；r 3 卜l a 矿q r 一2 p q b ：e r j - 2 1 b b l e r 2 j 一2 1 c b 2 e r 2 j - p q q e 2 r 2 - i c a l e 2 r 2 一j 魄e 2 r 2 = 0 i b a l e r 3 + l a b l e r 3 - l b q e r 2 j + 3 p b l b 2 r 3 j 一她甜2 j + 3 1 b b ：r 3 j - p q b l e r 2 j + p q c 2 e r 3 - p b 2 c ：e 2 ，4 + l c q e r 3 - l c l a e r 2 _ ，+ e r 3 + p b l a l e r 3 = 0 _ 4 c 2 e r j 2 + q b 2 c 2 e 2 4 + q b 2 c 2 e 2 + 3 q b 2 c 2 j 4 + 3 q b 2 c 2 + 4 q a 2 c 2 e r 一6 q b 2 c 2 j 2 - 2 q b ：c 2 e 2 ，2 = 0 2 q b ；j 4 + 2 q a ；e 2 ，2 4 q a 2 b 2 e r j 2 + 2 q b ； 一2 弼e r j 2 + 2 q c ；e r - 4 q b ；j 2 + 4 q a 2 b 2 e r = 0 玎6 3 ，4 - 3 q a ：b l e r j 2 + l q b 2 乞少一6 9 岛岛，2 + n b 3 + 6 s b e 2 + 4 q b 2 c 2 e 2 j r + 3 h a 2 b e r - 3 n a z b e r j 2 + 7 q a 2 c 2 e r 2 j 3 5 第三章非线性发展方程的精确波解 一9 q b 2 c 2 j 3 r 一3 q a l c 2 e r j 2 + 3 9 岛6 2 ，4 - 4 q b z c 2 e 2 3 r - 1 2 s b e 2 j 2 + 3 q a 2 b l e r - 2 n b 3 j 2 + 6 s b e 2 j 4 + 3 驰6 2 + 3 q a l c 2 e r = 0 - 3 q b l c 2 e r j 2 + 3 q c ；e r 2 j + n a 3 e 2 ，2 + 3 q a l a 2 e 2 r 2 + 6 q a 2 b 2 e r 2 卜6 s a e 3 巧2 6 s a e 3 ，- 3 q a i b 2 e r j 2 + 6 q b ；j r 一6 孵- ，3 ，+ 3 蚂6 2 8 r - 3 n a b 2 e d 2 + 3 q b l c 2 e r + 3 n a b 2 9 r = 0 9 q b l b 2 j 3 r + 2 q q c 2 e r 一2 q b l 喁e u 2 + 5 q a 2 b l e r 2 j + 1 2 s b e 2 j r - 3 n b 3 疗 + 2 m c 2 e r 2 m c 2 e r j 2 + 99 6 1 岛少+ 6 q b 2 c 2 e 2 r 2 j 2 - 3 q a 2 c 2 e 3 + 4 n a c b e r 一2 q q c 2 e r j 2 1 2 s b e 2 一一4 n a c b e r j 2 - 2 鸦c 2 e 2 r 2 + s q a 】e 2 e r 2 ， + 3 n b 3 j r + 2 q b l q e r + 5 1 7 a 2 b e r 2 j - 3 q b 2 c 2 r 2 + 9 鸲c z r 2 - ，2 = 0 一q c ；e r 3 2 q b r 2 十2 n a 2 c e 2 ，2 一q b ? p r j 2 + 4 瑚6 2 e r 2 - ，+ 6q b g j 2 ，2 2 q b 2 e a 2 r 3 + 9 砰b 2 ，2 + 6 s a e 3 r 2 ，一2 m b 2 e r j 2 + 2 m b 2 e r + 孵e r + 2 n b 2 c e r + 4 q a l b 2 e r 2 j + 2 q q a 2 e 2 ，2 + 4 q b l c 2 e r 2 2 m a 2 e 2