四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题注意事项：1．答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号、班级在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，则1+i2+2A．4 B．2 C．0 D．42．已知集合A=x−1≤x≤2，B=x−a≤x≤a+1，则“a=1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．若双曲线E：x2a2−y2bA．22 B．2 C．3 D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且BD=DA，AE=3EC，点F为DE中点，则A．−18BA+38BC B．5．一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（

）A．图中a的值为0.005B．这200天中有140天的日销售量不低于80kgC．这200天销售量的中位数的估计值为85kgD．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为916．函数fx=14cosπA． B．C． D．7．已知正四棱锥P−ABCD的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为36π，若正四棱锥P−ABCD的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（

A．16 B．8 C．4 D．28．已知a,b,c∈0,4，且满足a+12=cos2aA．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．a>b>c二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数fx=sinωx+3A．fxB．fx在−C．fx的图象关于点−D．fx的图象可由y=2cos2x10．已知椭圆E:x24+y23=1的左顶点为A，左、右焦点分别为A．FB．PQC．当F2,P,Q不共线时，△D．设点P到直线x=−4的距离为d，则d=211．已知函数fx=x−1A．fx的极小值一定小于B．函数y=ffC．若对于任意的x∈R，fx≥ax−1，则aD．过点0,−2有且仅有1条直线与曲线y=fx三､填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P1,2，则cos2α=13．已知数列an满足a3=5，a2n=2an+1，2an+114．条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为EXY=y=i=1nxi⋅PX=xiY=y=i=1nxi⋅PX=xi四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2(1)求角A；(2)若∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD=4，b=5，求△ABC的面积.16．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC.(1)求证；平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC=5，BC=12，三棱锥P−ABC的体积为100，求二面角A−PB−C的余弦值.17．已知函数fx(1)若fx在0,+∞上单调递减，求(2)若a<0，证明：fx18．甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，未投进记(1)求甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率；(2)记甲、乙每轮投篮得分之和为X.①求X的分布列和数学期望；②若X>0，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续nn≥8轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为Y，当n为何值时，P19．已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线与C相交于点A，B，△AOB面积的最小值为12（O为坐标原点）.按照如下方式依次构造点Fnn∈N*：F1的坐标为p,0，直线AFn，BFn与C的另一个交点分别为A(1)求p的值；(2)求数列xn(3)数列xn答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：题号12345678910答案BABCDDCAACDBCD题号11答案ACD1．B1+i2．A当a=1时，B=x−1≤x≤2，此时A=B，即a=1可以推出A⊆B，若A⊆B，所以−a≤1a+1≥2，得到a≥1，所以A⊆B推不出a=1，即“a=13．Bba=34．CBF=12(BD+BE)，又5．D由图知(a+a+0.02+0.04+0.03)×10=1，解得a=0.005，所以选项A正确，由图知日销售量不低于80kg的频率为0.7，由0.7×200=140，所以选项B正确，设中位数为x，由(x−80)×0.4=0.5−0.2−0.05−0.05，解得x=85，所选项C正确，设第85%分位数为a，则有(100−a)×0.03=0.15，得到a=956．D又f−x=14cos(−πx)⋅e−x−ex=−14cosπx⋅ex−7．C如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥P−ABCD的外接球球心在PG上，设球半径r,OG=ℎ,AB=2a，体积为36π，即43正四棱锥P−ABCD的高与底面正方形的边长相等，则AG=2a,PG=2a,AG2+O8．A令fx=xe2xx>0,gx=x−lnx+1x>0，则f'x=2xe2x>0,g'x=x−122xx+1≥09．ACDfx=sinωx+3cosωx=2sinωx+π3，其最小正周期为T=2πω=π，所以ω=2，即fx=2sin2x+π310．BCDa=2，b=3，∴c=a2−b2=1，∴F1F2=2c=2，A错误；∵PQ为椭圆C的焦点弦，∴PQ≤2a=4设Px0,y0，则d=PM=∴2PF111．ACDf′x=xex−1，令gx=xex−1⇒g′x=x+1ex所以∃x0∈12,1使得gx0=即x=x0时，fx取得极小值，极小值为fx0<f0=−1，故A正确；由上知在−∞,x则∃x1∈−1,x0,x2∈x0若对于任意的x∈R，fx≥ax−1，即x−1ex−a+1x+1≥0，令ℎx=x−1ex−a+1x+1⇒ℎ′x=xex−a+1，若a>−1，则ℎ′0=−a−1<0，根据上证y=xex的性质知∃x3>0，使得ℎ′x3=0，即0,x3上ℎx单调递减，此时ℎx<ℎ0=0，不符合题意，若a=−1，则有ℎx在−∞,0上单调递减，0,+∞上单调递增，即ℎ12.cosα=11213．2an+1=an+an+2，所以an+1−an=an+2−an+1，所以数列14．由题意可知ξ可取1,2,3，所以Pξ=1,η=4=p1−p2p=p2所以Eξη=4=1⋅15．（1）因为sin2所以a2=b所以cosA=−因为A∈0,π，所以（2）根据题意及余弦定理有AD所以cosC=则sinC=根据正弦定理有ACsin所以S△ABC16．1）证明：由题意得PA⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AC⊥BC，PA,AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC.（2）因为AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以S△ABC又因为三棱锥P−ABC的体积为100，即100=13×PA×30由题意可得以A为原点，分别以平行于BC，及AC，AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则A0,0,0，B12,5,0C0,5,0所以AP→=0,0,10，CB设平面APB的一个法向量为n→则n→·PB→=12x+5y−10z=0n→设平面PBC的一个法向量为m→则m→·PB→=12a+5b−10c=0m→设二面角A−PB−C为θ，则.所以锐二面角A−PB−C的余弦值为24517．（1）由fx=xln因为fx在0,+∞上单调递减，所以f′所以lnx+1−2ax≤0，即a≥构造函数gx=ln当x∈0,1时，g′x>0；当所以gx在区间0,1上单调递增，在区间1,+所以当x=1时fx取得极大值也是最大值，即gxmax所以a的取值范围为12（2）由题意得fx=xln当a<0时，要证fx>0，即证：x构造函数ℎx=ln所以ℎ′x=因为函数Tx的对称轴为x=12a<0，所以且T0=−1<0，T1=−a>0，所以存在所以当x∈0,x0时，T当x∈x0,+∞时，所以ℎx在0,x0所以当x=x0时，ℎx又因为−ax02+x令px=lnx+2所以px在0,1上单调递减，所以px>p所以即证ℎxmin>018．（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于0，即甲在一轮投篮中至多命中一次，所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率为P=1−(（2）①由题知X可能取值为−4,−2,0,2,4，P(X=−4)=13×P(X=0)=1P(X=2)=23×所以X的分布列为X−4−2024P111311数学期望E(X)=(−4)×1②由①知P(X>0)=13+19由P(n=k)≥P(n=k−1)P(n=k)≥P(n=k+1)得到Cnk(整理得到4Cnk≥5得到4×(n−k+1)≥5k5×(k+1)≥4(n−k)由题有k=8，所以4n−59≤8≤4n+49，得到17≤n≤774，又n∈N19．（1）设直线AB:x=ty+p2，联立y2=2pxx=ty+得Δ由韦达