（计算数学专业论文）三角剖分上的多元有理样条及其应用.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 有理样条函数是多项式样条函数的一种自然推广，但由于有理样条空间的复杂性，所 以有关它的研究成果不像多项式样条那样完美，有些问题还值得进一步研究本文一方面 继续研究具有很重要应用价值的三角剖分上的多元有理样条方法，着重讨论了平面三角剖 分上g 1 有理插值样条函数另一方面积极地将多元有理样条理论方面获得的结果应用到 计算机辅助几何设计中去，研究曲面造型等方面的问题主要工作如下： 第二章主要研究了g - 有理样条曲面约束范围插值问题首先具体描述了g 1 有理样 条函数等价形式的重心坐标下的表达式非均匀有理b 样条( n u r b s ) 在形状定义方面 具有强大的功能和潜力，国际标准组织( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的 s t e p 国际标准，把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法文献f 1 3 中 利用广义楔函数方法构造了平面三角剖分上的a ”有理样条函数，并给出了它的等价混合 形式，具有完全局部构造、表达式显示以及保形性好等特点，并且如上所述，n u r b s 方 法的研究已经比较成熟并且应用广泛，因此研究有理样条插值曲面与n u r b s 标准形式 的内在联系是十分有意义的基于上述考虑，本章具体描述了e 1 有理样条函数等价形式 的重心坐标下的表达式，搭建起了有理样条曲面与n u r b s 之间关系的桥梁，它是三个三 次b e r a s t e i n b 6 z i e r 三角曲面片的凸组合，而三角b e r n s t e i n b 6 z i e r 曲面片自从f a d n 【4 】1 9 8 0 年系统提出以来，已经得到了迅速发展和广泛应用，将这些结果应用到有理样条曲面的研 究中去，必将促进有理样条睦面理论的发展 进一步基于上述e 1 有理样条函数重心坐标下的等价表现形式实现了约束范围插值 在计算机辅助几何设计中，一个普遍的问题就是构造具有一定连续性的光滑拼接插值曲面， 然而当数据点本身具有一些内在的性质时，诸如：正性，单调性，凸性等，人们希望构造的 曲面也能保持这些性质例如，在某些c a d 环境中，面对一组有限数据的用户，可能认为 一种保持某些特征的插值格式是理想的而实际问题中的物理特征常可用数学形式进行描 述，例如在物理学中得到的有关密度，降雨量等的一组数据是正的，就物理方面而言，总希 望建立在这组给定数据上的插值格式也是正的，这就是所谓保正插值问题更为广泛的是 约束范围插值问题，即所给数据点在约束曲面范围之内，所构造的曲面也必须在约束曲面 范围之内这个问题已经被广泛的研究，随着研究的发展，约束曲面从平面发展到三次多项 式曲面，从单一的上界或下界约束发展到上下界约束本文由b 6 z i e r 曲面非负的充分条件 得到了有理样条函数系数的约束条件，从而保证了有理样条函数的非负性，进一步将此方 法推广，实现了约束曲面为三次多项式的上下界约束有理曲面插值该方法是完全显示的， 不需求解连续性方程组和泛函的极小值问题，并且通过调整因子进行调整，是一种局部方 法，具有调整灵活、计算简便的特点 第三章，基于广义楔函数方法讨论了球面上散乱数据插值问题球面上构造函数的问 题应用领域是很广泛的，包括大地测量学地理物理学和气象学等，其基本模型均为定义于 球面上的函数插值问题由于广义楔函数方法对考虑有理样条函数问题具有通用性，因此 三角剖分上的多元有理样条及其应用 除对二维问题外，三维，以至更高维的问题也可以较容易地得到解决鉴于此，我们由定义 在高维流形上的插值算子在某些特殊的低维流形上的限制来得到低维流形上的插值算子， 这种方法巧妙地避免了在低维流形上直接构造光滑过渡的插值算子所带来的困难，是局部 构造的方法首先对于圆周上的散乱数据插值问题，圆周上的散乱点与辅助点圆心构成了 高维流形圆盘，定义在圆盘的三角剖分区域上的广义楔函数在圆弧上的限制即为圆弧端点 处对应的广义楔函数，它们的组合即为定义在圆周上的a 1 插值样条然后基于这种思想， 解决了球面上的散乱数据插值问题球面上的散乱点与辅助点球心构成了高维流形球体， 通过求解定义在球体的四面体剖分区域上的广义楔函数在球面三角形上的限制即得对应 于球面三角形各节点的广义楔函数，它们的组合即为定义在球面上的e 1 有理样条插值益 面 第四章，给出了一种依赖型值的g ( ) 和融( ) 多元样条空间非奇异自适应三角剖 分的方法众所周知，对于r 2 中的一组散乱点集，构造这组点集的三角剖分问题是在许多 科学计算如曲面设计与拟合、有限元计算以及其他大型科学计算等领域中不可回避的问 题对于实际问题中所获得的海量数据点，从计算的效率和误差考虑，并非所有的数据点需 要参与进行区域的剖分因此研究依赖于数据型值的优化的有效三角剖分方法是十分必要 的不可否认，多元样条函数是以上科学计算领域中的重要而十分有效的工具，在许多方面 有着重要的应用但是多元样条空间的结构至今没有得到彻底的解决，特别是多元低次样 条函数空间的维数不仅与剖分的拓扑结构有关而且还受到三角剖分的几何性质的约束而 低次的多元样条函数，由于它的许多性质被人们所认知而且计算简便等特点，成为科学应 用中最为常用的工具因此，研究具有如下特性的三角剖分方法是十分有意义的 1 尽可能使用少量的数据点参与三角剖分，有效地提高定义在此割分上的有理样条曲 面的精度： 2 所生成的三角剖分应满足其上的避( ) 和砖( ) 样条空间非奇异 3 所生成的三角剖分应满足传统意义上的局部优化条件 基于以上考虑，并且鉴于多元有理插值样条函数具有完全局部构造、表达式显示等特点、 在文【5 中研究的母( ) 和霹( ) 样条函数空间非奇异的三角剖分算法基础上，本章利用 第二章中给出的c 1 有理样条函数的等价表现形式给出了满足上面3 个性质的三角剖分方 法判断三角剖分节点选取的方法是一种离散的方法，由多元有理样条函数的系数定义了 一种离散范数，从而给出了节点处权值的定义，以此来衡量节点在构造有理样条插值曲面 中的重要性，进而决定该点的取舍数值实验表明该方法是可行并且有效的 关键词：多元有理样条；广义楔函数；约束插值；球面；非奇异三角剖分 1 1 大连理工大学博士学位论文 m u l t i v a r i a t er a t i o n a ls p l i n e so nt r i a n g u l a t i o n sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n s a b s t r a c t m u l t i v a r i a t er a t i o n a ls p l i n ei st h en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fm u l t i v a r i a t ep o l y n o m i a l s p l i n e h o w e v e r ，t h es p a c eo fr a t i o n a ls p l i n ei sm o r ec o m p l i c a t e d ，s ot h et h e o r i e sa r en o t a sp e r f e c ta st h o s eo fp o l y n o m i a le a s es o m eq u e s t i o n ss h o u l db ef u r t h e rs t u d i e d t h i s d i s s e r t a t i o ns t u d i e sm u l t i v a r i a t er a t i o n a ls p l i n e sd e f i n e do nt h et r i a n g u l a t i o n w ef o c u so n c 1r a t i o n a ls p l i n ed e f i n e do nt h ep l a n a rt r i a n g u l a t i o n m o r e o v e r ，w ec o n s i d e rt h ea p p l i c a t i o n o fi ti nc a g d t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r2s t u d i e st h er a n g er e s t r i c t e di n t e r p o l a t i o np r o b l e m f i r s tw ed i s c u s st h e e q u i v a l e n te x p r e s s i o no fc 1r a t i o n a ls p l i n ei nb a r y c e n t r i cf o r m n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ( n u r b s ) i sp o w e r f u la n dh a v eg r e a tp o t e n t i a li nt h ed e f i n i t i o no fs h a p e i n1 9 9 4 ，f o r t h ee x c h a n g eo fi n d u s t r i a lp r o d u c td a t a ，i n t e r n a t i o n a ls t a n d a r do r g a n i z a t i o n ( i s o ) i s s u e d s t e ps t a n d a r d w h i c hm a k e sn u r b sau n i q u em a t h e m a t i c a lm e t h o df o rt h ed e f t n i t i o n o fi n d u s t r i a lp r o d u c t i nt h ep a p e r 【1 - 3 ，a u t h o rc o n s t r u c tt h er a t i o n a ls p f i n ed e f i n e do n t h ep l a n a rt r i a n g u l a t i o nb yg e n e r a l i z e dw e d g ef u n c t i o nm e t h o da n dg i v et h ee q u i v a l e n t h y b r i de x p r e s s i o n ，w h i c hi sl o c a l ，e x p l i c i ta n dg o o da ts h a p ep r e s e r v i n g a n da sw h a tw e h a v es a i da b o v e ，n u r b sm e t h o di sp e r f e c ta n dw i d e l yu s e d s oi t ss i g n i f i c a t i v et os t u d y t h ec o n n e c t i o nb e t w e e nr a t i o n a ls p l i n ea n dn u r b s b a s e do nt h ea b o r ei d e a ，w ed i s c u s s t h ee q u i v a l e n te x p r e s s i o no fc 1r a t i o n a ls p l i n ei nb a r y c e n t r i cf o r ma n db u i l dt h eb r i d g e b e t w e e nr a t i o n a ls p h n ea n dn u r b s ，w h i c hi st h ec o m b i n a t i o no ft h r e ec u b i cb e r n s t e i n b 6 z i e rt r i a n g u l a rp a t c h a n db e r n s t e i n - b 6 z i e rt r i a n g u l a rp a t c hh a sb e e ns t u d i e ds i n c e f a r i n 4 p r o p o s e ds y s t e m i c a l l yi n1 9 8 0 i th a sd e v e l o p e dr a p i d l ya n db e e nw i d e l yu s e d ，w h i c h w i l la c c e l e r a t et h ed e v e l o p m e n to fr a t i o n a ls p f i n ew h e nw ea p p l yt h e mi n t ot h er e s e a r c ho f r a t i o n a ls p l i n e ， f u r t h e rb a s e do nt h e t h ee x p r e s s i o no fc 1r a t i o n a ls p l i n ei nb a r y c e n t r i cf o r m ，t h er a n g e r e s t r i c t e ds c h e m ei sp r e s e n t e d i nc a g d ，ag e n e r a lp r o b l e mi st oc o n s t r u c tt h ei n t e r p o l a n t w i t hac e r t a i nd e g r e eo fc o n t i n u i t y w h e nt h e r ea r es o m ep r o p e r t i e si n h e r e n ti nt h ed a t a ，l i k e p o s i t i v i t y , m o n o t o n i c i t ya n dc o n v e x i t y , o n ew i s h e st op r e s e r v e i nc a d ，t h eu s e rm a yt h i n k i t sg o o dt h a tt h ei n t e r p o l a n tp r e s e r v e ss o m ep r o p e r t i e s a n di np r a c t i c e ，s o m ep h y s i c a l p r o p e r t i e sc a l lb ed e s c r i b e di nm a t h e m a t i c a lf o r m w h e nt h ed a t aa r i s ef r o map h y s i c a l e x p e r i m e n t ，l i k ed e n s i t i e sa n dr a i n f a l l ，w h e r en e g a t i v ev a l u e sa r en o tp h y s i c a l l ym e a n i n g f u l i ti sv i t a lt h a tt h ei n t e r p o l a n tp r e s e r v e sn o n n e g a t i v i t y s u c hp r o b l e mi sc a l l e dn o n n e g a t i v e - 1 1 1 三角剖分上的多元有理样条及其应用 p r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o n t h em o r eg e n e r a lp r o b l e mi sr a n g er e s t r i c t e di n t e r p o l a t i o n i e ， t h ei n t e r p o l a n ti sc o n s t r a i n e db yt h es u r f a c e sa ss a m ea st h ed a t a t h i sp r o b l e mh a sb e e n w i d e l ys t u d i e d t h ec o n s t r a i n e ds u r f a c eh a sb e e nd e v e l o p e df r o mp l a n et oc u b i cp o l y n o m i a l s u r f a c ea st h el o w e ro ru p p e ro rb o t ht h el o w e ra n du p p e rb o u n d w jg i v et h er e s t r i c t e d c o n d i t i o n sh e r eo nt h ec o e f f i c i e n t so fc 1 r a t i o n a ls p l i n et oe n s u r et h en o n n e g a t i v i t yo fi t b yg e n e r a l i z i n gt h i sm e t h o d ，w eg e tt h er a n g er e s t r i c t e di n t e r p o l a n tw i t hl o w e ra n du p p e r c o n s t r a i n tp o l y n o m i a ls u r f a c e su pt od e g r e et h r e e t h em e t h o di sc o m p l e t e l ye x p l i c i t t h e r e a r en oc o n t i n u o u se q u a t i o n sa n dm i n i m i z a t i o np r o b l e mi n c h i d e d w i t ht h es c a l i n gf a c t o r ， t h em e t h o dw eg e ti 8af o c a lm e t h o d i ti sf l e x i b l ea n dc o n v e n i e n tt oc o m p u t e c h a p t e r3d i s c u s s e st h ep r o b l e mo fs c a t t e r e dd a t ai n t e r p o l a t i o no i lt h es p h e r eb yu s i n g g e n e r a l i z e dw e d g ef u n c t i o nm e t h o d t h ep r o b l e mf o rc o n s t r u c t i n gf u n c t i o n so nt h es p h e r e a r i s e si nm a n ya p p l i c a t i o n s ，s u c ha sg e o d e s y , g e o p h y s i c sa n dm e t e o r o l o g ye t c ，w h e r et h e b a s i cm o d e l sa l lb e l o n gt ot h i sp r o b l e m g e n e r a l i z e dw e d g ef u n c t i o nm e t h o di sg e n e r a lf o r t h ep r o b l e mo fr a t i o n a ls p l i n ef u n c t i o n s s oe x c e p tf o r2 ds p a c e ，i ti se a s yt os o l v et h e p r o b l e mi n3 do rh i g h e rd i m e n s i o ns p a c e b a s e do nt h i s ，f o rs o m es p e c i a ll o wd i m e n s i o n m a n i f o l d s ，w eg e tt h eg e n e r a l i z e dw e d g ef u n c t i o n sc o r r e s p o n d i n gt ot h e mb yr e s t r i c t i n gt h e o n e sd e f i n e do nt h eh i g hd i m e n s i o nm a n i f o l d so nt h e m i t sal o c a lm e t h o dt h a ta v o i d st h e d i f f i c u l t i e si nc o n s t r u c t i n gt h ei n t e r p o l a n t so nt h el o wd i m e n s i o nm a n i f o l d sd i r e c t l y f i r s t f o rt h ec i r c u l a rc a s e ，t h es c a t t e r e dd a t ao nt h ec i r c l ea n dt h ec e n t e ro fi tc o n s t i t u t ead i s c b yr e s t r i c t i n gt h eg e n e r a l i z e dw e d g ef u n c t i o n sd e f i n e do nt h et r i a n g u l a t i o no ft h ed i s co n t h ec i r c u l a r ，w eg e tt h eo n e sc o r r e s p o n d i n gt ot h ev e r t i c e so fe a c ha r c b a s e do nt h es s i t l e i d e a ，w eg e tt h ec 1i n t e r p o l a n td e f i n e do nt h es p h e r e s c a t t e r e dd a t ao nt h es p h e r ea n d t h ec e n t e ro ft h es p h e r ec o n s t i t u t eab a l l b yr e s t r i c t i n gt h eg e n e r a l i z e dw e d g ef u n c t i o n s d e f i n e do nt h et e t r a h e d r o no nt h es p h e r i c a lt r i a n g l e ，w eg e tt h eo n e sc o r r e s p o n d i n gt ot h e k n o t so fe a c ht r i a n g l e ，t h e nt h ei n t e r p o l a n ti sc o n s t r u c t e d c h a p t e r4g i v e sad a t a - d e p e n d e n tm e t h o do fn o n s i n g u l a rs e l f - a d a p t i v et r i a n g u l a t i o n f o r 毋( ) a n ds 3 ( ) m u l t i v a r i a t es p l i n es p a c e s ，g i v e nas e to fp o i n t si nr 2 ，i ti sw e l l k n o w nt h a tt h et r i a n g u l a t i o no ft h i ss e to fd a t ai sn e c e s s a r yi nm a n ys c i e n t i f i cc o m p u t a t i o n f i e l d ，s u c ha ss u r f a c ed e s i g na n df i t t i n g ，d e f i n i t ee l e m e n ta n ds o m eo t h e rl a r g es c i e n t i f i c c o m p u t a t i o n f o rt h em a s sd a t ag o tf r o mp r a c t i c a lp r o b l e m t h e r ei sn on e e do fa l lt h ed a t a p o i n t st a k i n gp a r ti nt h et r i a n g u l a t i o ni fw ec o n s i d e rf r o mt h ep o i n to fv i e wo fe f f i c i e n c ya n d e r r o r s oi t si m p o r t a n tt os t u d yt h ee f f e c t i v ea l g o r i t h mo fo p t i m i z i n ga n dd a t a - d e p e n d e n t t r i a n g u l a t i o n i ti sw e l lk n o w nt h a tm u l t i v a r i a t es p l i n e sa r ei m p o r t a n ta n de f f e c t i v et o o l sf o r t h ea b o v es c i e n t i f i cc o m p u t a t i o n b u tt h ep r o b l e mo fm u l t i v a r i a t es p l i n es p a c eh a sn o tb e e n c o m p l e t e l ys o l v e d p a r t i c u l a r l yf o rt h el o w e rd e g r e em u l t i v a r i a t es p l i n es p a c e ，t h ed i m e n s i o n o fi td e p e n d sn o to n l yo nt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t yo fp a r t i t i o n ，b u ta l s oo nt h eg e o m e t r i c p r o p e r t yo fp a r t i t i o n l o w e rd e g r e em u l t i v a r i a t es p l i n e sa r ew i d e l ya p p l i e d ，f o rm a n yo fi t s l v 大连理工大学博士学位论文 p r o p e r t i e sh a v eb e e nk n o w na n di t sc o m p u t e dc o n v e i n e n t l y s oi t ss i g n i f i c a t i v et os t u d y t h et r i a n g u l a t i o nw i t ht h ef o l l o w i n gp a r t i c u l a rp r o p e r t i e s ： 1a d dd a t ap o i n t si n t ot h et r i a n g u l a t i o na 5f e wa sp o s s i b l ea n di m p r o v et h eu c c u r a c yo f r a t i o n a ls p l i n es u r f a c ed e f i n e do i lt h i st r i a n g u l a t i o ne f f e c t i v e l y ； 2 5 2 ( ) a n d 砖( ) a r en o n - s i n g u l a r i t yo v e rt h ec o n s t r u c t e dt r i a n g u l a t i o n ； 3s a t i s f yt h et r a d i t i o n a ll o c a lo p t i m a lc o n d i t i o n b a s e do nt h e 曲o v ec o n s i d e r a t i o n ，a n dt h er a t i o n a ls p l i n ed e f i n e do nt h ep l a n a rt r i a n g u l a t i o n h a v es o m eg o o dp r o p e r t i e s ，s u c ha sl o c a la n de x p l i c i t b a s e do nt h ea l g o r i t h mp r o p o s e di n p a p e r1 5 ，w h i c hg i v e san o n s i n g u l a r i t yt r i a n g u l a t i o nm e t h o df o r 母( ) a n d 器( a ) s p l i n e s p a c e s ，w ep r e s e n th e r eat r i a n g u l a t i o nm e t h o dw h i c hs a t i s f i e st h ea b o v et h r e ep r o p e r t i e s b yu s i n gt h ee q u i v a l e n tf o r mo fc 1r a t i o n a ls p l i n ep r e s e n t e di nc h a p t e r2 b yu s i n gt h e c o e f f i c i e n t so fc 1 一r a t i o n a ls p h n e w ed e f i n ead i s c r e t en o r l nf o ri t i ti sad i s c r e t em e t h o d t h e nt h ed e f i n i t i o no fw e i g h tf o re a c hk n o ti sg i v e n w h i c hi sam e a s u r eo ft h ei m p o r t a n c e o ft h ek n o ti t h er e p r e s e n t a t i o no ft h er a t i o n a ls p h n e t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h e m e t h o df e a s i b l ea n de f f e c t i v e k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t er a t i o n a ls p l i n e ；g e n e r a l i z e dw e d g ef u n c t i o n ；r a n g e r e s t r i c t e di n t e r p o l a t i o n ；s p h e r i c a ls u r f a c e ；n o n s i n g u l a rt r i a n g u l a t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：考& 皇鑫l 日期：二塑蔓纽 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解”大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规 定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：彰兰丝 导师签名：翌垄童盔杰 五争么月旦日 大连理工大学博士学位论文 l 绪论 我们先在第一节和第二节中对多元样条函数和多元有理样条函数的研究概况进行了 简单的介绍，而后在第三节中对本文的工作给出扼要的概括 1 1 多元样条函数简介 所谓样条函数( s p l i n ef u n c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的函数，如 果在每段或每片上定义的函数都是多项式，则称为多项式样条函数，本节若无特别指明， 样条函数都是多项式样条函数样条函数最早由美国数学家i j s c h o e n b e r g 6 】于1 9 4 6 年提出的，以研究无穷区间上的等距节点数据的平滑问题为背景引入了样条函数i ，j s c h o e n b e r g 深刻指出了研究一元函数的三种观点，它们分别是f o u r i e r 交换的观点，截断 多项式差商的观点以及t a y l o r 展开的观点按前两种的观点，i j s c h o e n b e r g 较为系统的 建立了一元样条函数的理论基础，这些观点和方法对于样条函数的发展产生了极其深远的 影响但是，s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着电子计算机 技术的飞速发展，样条函数也得到了迅速的发展和广泛的应用鉴于客观事物的多样性和 复杂性，开展有关多元样条函数的研究，无论在理论上还是在应用中都有着十分重要的实 际背景和意义现在，多元样条函数在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限 元及小波等领域中均有较为重要的应用 普遍认为、目前研究多元样条函数有三种方法一种是经典的代数几何方法亦称光滑 余因子方法f s m o o t h i n gc o f a c t o r c o n f o r m a l i t ym e t h o d ) ，这一方法是王仁宏在1 9 7 5 1 v j 年发 现的，在文中作者采用函数论与代数几何的方法，简明、深刻地刻划了多元样条函数光滑 连接的内在本质，并建立了光滑连接所应满足的协调方程，进而使求样条空间的维数和 基底等问题归结为求解协调方程的问题，建立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架 从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题均可转化为与之等价的代数问题来研究 之后王仁宏、ll s h u m a r k e r 、ck c h u i 等学者用这种方法进行了大量的研究工作，得 到了丰富的结果 值得提到的是王仁宏教授带领他的弟子们在光滑余因子框架下对多元样条函数进行 了卓有成效的研究工作( 见文献 3 、 8 】) 特别地，对于散乱数据插值问题，檀结庆【。】、罗 钟铉1 1 】、王晶昕【q 等学者在构造多元样条空间插值适定结点组与讨论插值结点的适定性 方面做了大量的研究工作在某些特殊样条空间里，他们给出了寻找适定结点组的方法，同 时也讨论了在给定结点组下，如何寻找使之成为适定结点组的剖分对于样条函数空间的 结构问题，王仁宏、c k c h u i 、l l s c h u m a k e r 、何天晓、施锡泉等学者应用光滑余因子 协调法解决了贯穿剖分、拟贯穿剖分、1 型、2 一型等三角剖分空间的维数以及样条基函 数，他们也讨论了带边界条件的样条函数空间的结构问题李崇君【1 l 】等学者也用此方法研 究了某些特殊三角剖分上样条函数空间的结构，并得到了有意义的结果罗钟铉和王仁宏 【1 q 利用光滑余因子方法和多项式环上代数方程组的解法对二元样条函数空间的维数和奇 异性方面获得了一些新的结果最近，罗钟铉等人利用光滑余因子方法对m o r g a n - s c o t t 类 三角剖分上的多元有理样条及其应用 三角剖分上的一系列样条空间奇异性问题给出了代数型充分必要条件，并利用射影平面 中的对偶原则发现和证明了一类多项式空间中代数曲线的新的不变量，进而发现了著名 p a s c a l 定理在高次情形的直接推广一代数曲线的内蕴性质如此的思维方式和结果又为研 究代数几何中的一些经典问题的研究提供的新的研究方法多元样条方法实践表明，光 滑余因子方法不失为研究样条空间结构的最有效的方法之一 另一种研究多元样条的方法是利用单纯形上多元多项式的b 6 z i e r 网表示，亦称b 一 网方法此方法来源于多元b e r n s t e i n 多项式它是一种局部坐标法，是利用相邻单纯形上 b 6 z i e r 坐标之间的相互关系来刻化多元样条函数的光滑程度的最初是由d ec a s t e l j a u 于 5 0 年代末提出的，他考虑的从曲线推广到曲面的第一种类型就是现在称之为的b 6 z i e r 三 角曲面片但d ec a s t e l j a u 的工作从未发表，直至1 9 7 5 年才被w b o e h m 在两篇内部技术 报告中发现将b e r n s t e i n 多项式用于多元样条理论的研究，当首推g f a r i n l 4 在1 9 8 0 年 完成的博士论文中的工作g f a r i n 在博士论文中考虑了多元样条的b 6 z i e r 坐标和光滑性 之间的关系，从而使b 网方法成为研究多元样条的重要方法之一，在此之前其他人的工作 都限于定义在正三角剖分上d eb o o r ，h s l l i g 等人对b 网方法的发展起过重要的作用此 外，中国学者苏步青、刘鼎元、郭竹瑞、贾荣庆、常庚哲、冯玉瑜等人也作了许多有意义 的工作 b 网方法只适用于所谓的单纯形剖分，适用性上有一定的局限性，但由于剖分的针对 性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性迄今为止，单纯形剖分上 样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上二元样条函数空间的维数问题，多是 由b 网方法得到的 研究多元样条的第三种方法是投影算子法，亦即b o x 样条法，此方法是最早用于研究 多元样条的方法由c u r r y 和s c h o e n b e r g 建立的，此方法的本质思想是研究高维空间上的 多面体对低维空间的投影测度函数等价的线性泛函表示使得此种方法在理论上得到了较 为优美的性质m i c c h e l l i ，d eb o o r ，d ev o r e ，d a h m e n 以及贾荣庆和王仁宏等学者对此方 法也作了大量的工作，起了十分重要的作用 除此之外，施锡泉1 1 q 在其博士论文中结合了上面三种方法的长处，给出了一种插值方 法他利用此方法对某些结果重新得到了证明。同时得到了一些新的结果 1 2 多元有理样条函数简介 有理样条函数是多项式样条的一种自然推广，同时又是有理函数逼近的重要组成部 分有理函数逼近是非线性逼近研究领域的一个重要分支，有理函数属于简单函数类，它 虽然比多项式复杂，但用它来近似表示函数时，却比用多项式灵活、有效、更能反映函 数的一些特性所以，近年来人们在数值与函数逼近，计算机辅助设计中常常偏爱有理函 数有理样条函数作为样条函数和有理逼近的结合，兼顾了二者的优点，且使用更为灵 活，更具一般性例如在逼近理论中，用有理样条函数逼近有极点的函数较好：在计算机辅 助几何设计中，如飞机外形设计与绝大多数机械零件中经常遇n - 次曲线形状，而b 样条 曲线包括其特例的b 6 z i e r 曲线都不能精确表示除抛物面外的二次曲线，为解决这一问题 2 大连理工大学博士学位论文 v e r s p r i l l e 、p i e g l 1 4 等研究了有理b 样条方法，为建立n u r b s 方法提供了理论依据由 此可见将多项式样条推广到有理样条是十分有意义的 由于客观事物的多样性与复杂性，开展多元有理样条函数方面的研究无论在理论上还 是在应用上都是很有价值的但由于多元有理样条空间的复杂性所以有关它的研究成果 不像多项式样条那样完美历史上，e l w a c h s p r e s s 1 目及g b i r k h o f f ，l m a n s f l e d 1 6 1 等 从有限元角度考虑过，其中w a c h s p r e s s 利用有理楔函数的拼接方法研究了在任意代数元 上具有一次