国家开放大学《应用概率统计》综合作业1-4参考答案

国家开放大学《应用概率统计》综合作业1-4参考答案综合作业1一、填空题1.已知随机事件A的概率P（A）=0.5，事件B的概率P（B）=0.6，条件概率P（B|A）=0.8，则事件A∪B的概率P（A∪B）=（0.7）。2.设在三次独立试验中，随机事件A在每次试验中出现的概率为1/3，则A至少出现一次的概率为（19/27）。3.设随机事件A，B及其和事件A∪B的概率分别是0.4，0.3和0.6，则积事件AB的概率P（AB）=（0.3）。4.一批产品共有10个正品和两个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为（1/5）。5.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有一件是不合格品，则另1件也是不合格品的概率为（0.2）。6.设随机变量X～N（3，σ2），且P（3<X<5）=0.3，则P（X<1）=（0.2）7.设随机变量X绝对值不大于1，且P（X=-1）=1/8，P（X=1）=1/4，则P（-1<X<1）=（6/16）。8.设随机变量X的密度函数为以Y表示对X的三次独立重复观察事件出现的次数，则P{Y=2}（9/64）。9.设随机变量X的概率分布为P（X=1）=0.2，P（X=2）=0.3，P（X=3）=0.5，则随机变量X的分布函数F（X）=（）10.设随机变量X的密度函数为fx=1π(1+x2)，求随机变量Y=1-二、选择题（每小题2分，共20分）1.同时抛掷3枚均匀对称的硬币，则恰有2枚正面向上的概率为（）（A）0.5（B）0.25（C）0.125（D）0.3752.某人独立地投入三次篮球，每次投中的概率为0.3，则其最可能失败（没投中）的次数为（）（A）2（B）2或3（C）3（D）13.当随机事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列各式中正确的是（）（A）P(C)≤P(A)+P(B)-1（B）P(C)≥P(A)+P(B)-1（C）P(C)=P(AB)（D）P(C)=P(A∪B)4.设0<P(A)<1，0<P(B)<1，P(A|B)+P(A|B)=1，则（）（A）事件A和B互不相容（B）事件A和B互相对立（C）事件A和B互不独立（D）事件A和B相互独立5.设A与B是两个随机事件，且0<P(A)<1，P(B)>0，P(B|A)=P(B|A)，则必有（）（A）P(A|B)=P(A|B)（B）P(A|B)≠P(A|B)（C）P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)≠P(A)P(B)6.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有（）（A）F(-a)=1-0（B）F(-a)=12-（C）F(-a)=F(a)（D）F(-a)=2F(a)-17.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则随着σ的增大，概率为P{|X-μ|<σ（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定8.设两个随机变量X和Y分别服从正态分布N(μ,42)和N(μ,52)，记（A）对任意实数μ，都有P（B）对任意实数μ，都有P（C）只对μ的个别值，才有P（D）对任意实数μ，都有P9.设随机变量X服从正态分布N(0,4)，则P(X<1)=（）（A）0（B）0（C）1（D）-∞110.设随机变量X的分布函数为则（P(3<X<5)）=（）。（A）4/25（B）9/25（C）16/25（D）1三、摆地摊的某赌主拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里，并规定凡愿摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋口摸出5个棋子，中彩情况如下：摸棋子5个白4个白3个白其他彩金20元2元纪念品（价值5角）同乐一次（无任何奖品）试计算：①获得20元彩金的概率；②获得2元彩金的概率；③获得纪念品的概率；④按摸彩1000次统计，赌主可望净赚多少钱？解：（1）C（2）C（3）C（4）净赚大约为1000（1-2078-1039四、已知连续型随机变量X的密度函数为试求：（1）常数A；（2）P（X=2），P（0<X<2）;（3）X的分布函数。解：（1）由于+∞0∴k=12（2）由于F(X)=P(X≤x)=0当x<0时，F(X)=x当0≤x<2时，F(X)=0当2≤x时，F(X)=012ex,x<0∴Fx=12+14x，1，2≤x（3）由于连续型随机变量在任意点处的概率都为0，因此P（X=1）=0而P{1<x<2}=F(2)-F(1)=14五、设10件产品中有5件一级品，3件二级品，2件次品，无放回地抽取，每次取一件，求在取得二级品之前取得一级品的概率。解：先取得一级品的概率为5÷10=1/2那么当取出一级品，再取得二级品的概率就为3÷（10-1）=1/3所以在取二级品之前取得一级品的概率为1/2×1/3=1/6六、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。（Φ(1)=0.841，Φ(1.5)=0.933，Φ(2)=0.977）解：因为F(96)=96-72所以x=12成绩在60至84分之间的概率：F（84）-F（60）=[(84-72)/12]-[(60-72)/12]=(1)-=2x0.8413-1=0.6826七、设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出2分。试求：（1）先抽出的一份是女生表的概率P；（2）若后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。解：设事件：Hi={抽到的报名表是i区考生的}（i=1,2,3）;事件：Hj={第j次抽到的报名表是男生报名表}（j=1,2,3）;事件：A={第一次抽到的报名表是女生的}事件：B={第二次抽到的报名表是男生的}显然有，抽到三个区的概率是相等的，即：P(H1)=P(H2)=P(H3)=13P(A|H1)=310P(A|H2)=715P(A|H3)=525=15（1）根据全概率公式有：P（A）=P(A|H1)P(H1)+P(A|H2)P(H2)+P(A|H3)P(H3)=13×310+13×715+13×15=2990（2）根据全概率公式，第二次抽到男生的概率为：P（B）=P(B|H1)P(H1)+P(B|H2)P(H2)+P(B|H3)P(H3)显然，P(B|H1)=710，P(B|H2)=815，P(B|H3)=2025=45故P（B）=710×13+815×13+45×13=6190第一次抽到女生，第二次抽到男生的概率为：P（AB）=P(AB|H1)P(H1)+P(AB|H2)P(H2)+P(AB|H3)P(H3)而P(AB|H1)=310×79=730P(AB|H2)=715×814=415P(AB|H3)=525×2024=16故：P（AB）=730×13+415×13+16×13=29根据条件概率公式有：P（A|B）=P（AB）P（B）=29÷6190=2061即：P=2061故第一份抽到是女生的概率为2990，在第二份抽到是男生的前提下，第一次抽到是女生的概率P为2061八、假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布，（1）求相继两次故障之间间隔时间T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障工作8小时的概率q。解：(1)由泊松过程的定义,时间间隔分布为参数是λ的指数分布即P(T0)(2)P(N(16)=0|N(8)=0)=P(N(16)=0)/P(N(8)=0)=exp(-16λ)/exp(-8λ)=exp(-8λ)综合作业2一、填空题（每小题2分，共20分）1.某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记，则，i=1,2,3,则X1,X2的联合分布律为（）。2.设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度函数为其中k为常数，则k=（8）。3.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,22)，Y~N(1,32)，则（X,Y）的联合密度函数为（f(y)=lny×1/y）。4.设随机变量X和Y同分布，X的密度函数为若事件A={X>a},B={Y>a}相互独立，且P{A∪B}=3/4,则a=（34）5.设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律，且X=x01P0.50.5Z=0，P=14Z=1，P=34则随机变量Z=max（X,Y）Z=0，P=14Z=1，P=346．设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E（X2）=（18.4）。7.设离散型随机变量X服从参数λ的泊松分布，且已知E(X-1)(X-2)=1，则参数λ=（1）。8.设随机变量X和Y相互独立，且均服从正态分布N(0,1/2)，则随机变量|X-Y|的数学期望E=(|X-Y|)=（2/2π）9.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1服从正[0，6]区间上的均匀分布，X2服从正态分布N(0,22)，X3服从参数λ=3的泊松分布，记随机变量Y=X1-2X2+3X3，则D(Y)=（46）。10.设随机变量X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，则由切贝雪夫（Chebyshev）不等式，有P(|X-μ|≥3σ)≤（1/9）二、选择题（每小题2分，共20分）1.设两个随机变量X和Y相互独立且同分布，P(X=-1)=P(Y=-1)=1/2，P(X=1)=P(Y=1)=1/2，则下列各式成立的是（）（A）P(X=Y)=1/2（B）P(X=Y)=1（C）P(X+Y=0)=1/4（D）P(X-Y≤1)=1/22.设随机变量Xi(i=1,2)的分布律为：Xi=k-101P0.250.50.25且满足P{X1X2=1}=1，则P{X1=X2}等于（）（A）0（B）1/4（C）1/2（D）13.设两个随机变量X和Y相互独立，且都服从（0，1）区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上的均匀分布的随机变量是（）（A）X2（B）X-Y（C）X+Y（D）（X,Y）4.设离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为Y123X=11/61/91/18X=21/3αβ若X和Y相互独立，则α和β的值为（）（A）α=2/9，β=1/9（B）α=1/9，β=2/9（C）1/120（D）α=5/18，β=1/185.设随机变量X的Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)与Fy(y)，则随机变量Z=max(X,Y)的分布函数FZ(z)是（）（A）max{FX}(z),Fy(z)（B）FX(z)+Fy(z)-FX(z)Fy(z)（C）FX(z)Fy(z)（D）1/2[FX(z)+Fy(z)]6.对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则下列结论正确的是（）（A）D(XY)=D(X)D(Y)（B）D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C）X和Y相互独立（D）X和Y不相互独立7.设随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4，D(X)=1.44，则参数n，p的值等于（）（A）n=4，p=0.6（B）n=6，p=0.4（C）n=8，p=0.3（D）n=24，p=0.18.设两个随机变量X和Y的方差存在且不等于零，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y的（）（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的必要条件，但不是充分条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件9.设随机变量（X,Y）的方差D(X)=4，D(Y)=1，相关系数ρXY=0.6（A）40（B）34（C）25.6（D）17.610.设随机变量X和Y相互独立，且在（0，θ）上服从均匀分布，则E[min(x,y)]=（）（A）θ（B）θ/2（C）θ/3（D）θ/4三、（10分）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布：P{Xi=0}=0.6，P{Xi=1}=0.4，i=1，2，3，4。求行列式X=X1X解：Y1=X1X4Y2=X2X3Z=Y1-Y2P{Y1=1}=P{Y2=1}={X2=1,X3=1}=0.16P{Y1=0}=P{Y2=0}=1-0.16=0.84Z有三种可能-1,0,1P{Z=-1}={Y1=0,Y2=1}=0.84×0.16=0.1344P{Z=1}=P{Y1=1,Y2=0}=0.16×0.84=0.1344P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312Z-101P0.13440.73120.1344四、已知随机变量X的概率密度函数为fx=12e-|x|（1）求X的数学期望E(X)和方差D(X)。（2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？（3）问X与|X|是否相互独立？为什么？解：（1）E(x)=-∞因为：x12e-|x|为奇函数，积分区间为（E(x)=-∞E(x2)=-∞=20+∞=0=0=-x2=0+∞e-xd=-2xe=20+∞e（2）E(X|X|)=-∞+∞x|x|f根据协方差定义：Cov(x,|x|)=E(X|X|)-E(X)E(|X|)=0-0=0因此，相关系数：ρx,故X与|X|不相关（3）X与|X|不独立因为：对于给定的0<a<+∞有（|X|<a）（X<a）所以P（|X|<a,X<a）=P（|X|<a）由于：P（X<a）<1P（|X|<a）·P（X<a）<P（|X|<a）·1<P（|X|<a）因此：P（|X|<a，X<a）≠P（|X|<a）·P（X<a）所以X与|X|不独立综合以上分析，可知，X的数学期望为0，方差为2，X与|X|不相干也不独立。五、设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为试求：（1）常数C；（2）fx(x)，fy(y)；（3）FX|Y(x|y)，FY|X(y|x)；（4）P(X+Y<1)。解：六、（10分）两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中的一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度函数E(T)及数学期望和方差D(T)。解：用X1,X2表示两台机器先后开动的记录无故障工作的时间则：T=X1+X2由已知条件，X1与X2相互独立，且Xi（i=1,2）的概率密度为：P(x)={5e-5x,x>00,x≤0}利用两个独立随机变量和的密度公式可得：（1）对于任意t>0,T的概率分布：f(t)=-∞=25te-5t（2）当t≤0时，显然有f(t)=0于是，f(t)={25te-5t，t>00,t≤0}由于Xi（i=1,2）服从参数为λ=5的指数分布所以：EX1=15,DX1=125因此，ET=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=25因为X1与X2相互独立所以：DT=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=225七、设随机变量X和Y相互独立，X服从[0，1]上的均匀分布，Y的密度函数为试求随机变量Z=X+Y的密度函数fz(z)。解：因为X与Y都服从[0,1]上的均匀分布八、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记。试求：（1）随机变量X1与X2的联合分布律；（2）随机变量X1与X2的相关系数ρ。解：（1）（2）综合作业3一、填空题（每小题2分，共20分）1.在天平上重复称量一重为a的物品，测量结果为X1，X2，…，Xn，各次结果相互独立且服从正态分布N(a,0.22)，各次称量结果的算术平均值记为Xn，为使P(|Xn-a|<0.1)≥0.95，则n的值最小应取自然数（16）。2.设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ,42)的容量为10的简单随机样本，S2为样本方差，已知P(S2>a)=0.1，则=a（1）。3.设随机变量Y服从自由度为n的t分布，则随机变量Y2服从自由度为（（1，n））的（F）分布。4.设总体X服从正态分布N(12,σ2)，抽取容量为25的简单随机样本，测得样本方差为S2=5.57，则样本均值X小于12.5的概率为（4/25）5.从正态分布N(μ,σ2)中随机抽取容量为16的随机样本，且μ,σ未知，则概率P(S2σ6.设总体X的密度函数为其中其中a>-1，X1，X2，…，Xn是取自总体X的随机样本，则参数a的极大似然估计值为（）。7.设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ未知而σ2已知，为使总体均值μ的置信度为1-a的置信区间的长度等于L，则需抽取的样本容量n最少为（[4σ8.设某种零件的直径（mm）服从正态分布N(μ,σ2)，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为X=12.075，样本方差S2=0.00244，则均值μ的置信度为0.95的置信区间为（1004.435,1047.0659.在假设检验中，若σ2未知，原假设H0:μ=μ0，备择假设H1:μ>μ0时，检验的拒绝域为（(n-1)s10.一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄X（年）对员工的月薪Y（百元）的影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得：i=125Xi=100，i=125Yi=2000，i=125Xi二、选择题（每小题2分，共20分）1.设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X~N(0,σ2)的一个简单随机样本，X为其样本均值，令Y=i=1（A）X2(n-1)（B）X2(n)（C）N(μ,σ（D）N(μ,σ2.设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X~N(μ,σ2)的简单随机样本，S12=S32=则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是（）（A）T=（B）T=（C）T=（D）T=3.设X1，X2，X3，X4是来自正态总体X~N(μ,22)的简单随机样本，若令Y2=a(X1-2X2)2+(3X3-4X4)2，则当Y2服从X（A）a=1/9；b=1/144（B）a=1/144；b=1/9（C）a=1/100；b=1/20（D）a=1/20；b=1/1004.设简单随机样本X1，X2，…，Xn来自于正态总体X~N(μ,σ2)，则样本的二阶原点矩A2=（A）1/4σ（B）1/2σ（C）σ（D）2σ5.设随机变量X服从自由度为（n，n）的F分布，已知a满足条件P(X>a)=0.05，则P(X>1/a)的值为（）（A）0.025（B）0.05（C）0.95（D）0.9756.设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，X1，X2，…，Xn是从X中抽取的简单随机样本，其中μ，σ2未知，则μ（A）（X-Za2S（B）（X-ta2(n-1)（C）（X-Za2σ（D）（X-ta2(n)7.设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2未知，X1，X2，…，Xn是简单随机样本，记X=1ni=1（A）0.90（B）0.95（C）0.975（D）0.058.从总体中抽取简单随机样本X1，X2，X3，易证估计量μ1=μ3=均是总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的估计量是（）（A）μ（B）μ（C）μ（D）μ9.从一批零件中随机地抽取100件测量其直径，测得平均直径为5.2cm，标准差为1.6cm，现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm，采用t检验法，并取统计量为t=X-5.21.6/10，则在显著性水平（A）|t|<t（B）|t|<t（C）|t|≥（D）|t|≥10.在假设检验中，方差σ2已知，H0:μ=μ0（A）若备择假设H1:μ≠μ0，则其拒绝域为|T|=|（B）若备择假设H1:μ≠μ0，则其拒绝域为|U|=|（C）若备择假设H1:μ>μ0，则其拒绝域为|U|=|（D）若备择假设H1:μ>μ0，则其拒绝域为U=X三、现有一批种子，其中良种数占1/6，从中任选6000粒，问能从0.99的概率保证其中良种所占的比例与1/6相差多少？这时相应的良种数在哪一个范围？解:这个问题属于“二项分布”，且n=6000，P=1/6。故μ=E(X)=np=6000×1/6=1000,D(X)=σ2=np(1-p)=6000×(1/6)×(1-1/6)=833.33切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。我们取ε=6000×（1/100）这个概率（0.7685）不算很低，也就是说，良种比例与1/6相比很可能不超过1/100。四、设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，假如要以99%的概率保证偏差|X-μ|<0.1，试问：在解：因为X1,X2,…,X2n是正态分布N(μ,σ2E从而，随机变量X1+Xn+1，X2+因此可以将其看作是取自总体N(2μ,2σ21样本方差为：1因样本方差是总体方差的无偏估计，故E即E五、设总体X服从0-1分布：P(X=x)=pxq1-x，x=0.1；其中0<p<1，q=1-p，从总体X中抽取样本X1,X2,…,Xn,求样本均值X的期望和方差、样本方差S2的期望解：E(XE[(XD[(X六、某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg，方差为9。设居民对某种商品的需求量服从正态分布，如果此种商品供应该地区10000户居民，在α=0.01下，试求居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以0.99的概率满足需要？解：由题设，n=100，样本均值x=10，样本方差s2=9，α=0.01，查附表得tα299=2.63（10-2.63×310，10+2.63×310）=（9.211，因9.211×10000=92110（kg），所以最少要准备92110kg这种商品，才能以0.99的概率满足需要。七、某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为20.0现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，测量长度为：20.020.020.120.020.220.319.820.2问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化（α=0.05）？解：因为样本数据在20.0上下波动，所以X甲=0.02+20.0=20.02X乙=0.02+20.0=20.02S2甲=110[0.34-10×(0.210)2]=0.0336mm2S2乙=110[0.52-10×(0.210)2]=0.0516mm2八、设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，X1,X2,…,Xn是从X中抽取的简单随机样本，其中μ，σ2未知，选择常数c，使统计量T=c解:EσEYi=-∞+∞由E得：k=π综合作业4一、填空题（每小题2分，共28分）1.一元线性回归方程，y=a+bx中x是（自）变量，y是（因）变量2.回归系数b=lxylxx，则lxy=（i=13.方程y=a+bx,y称为（估计值），y4.相关系数是表示，（随机变量Y与自变量X之间相关程度的一个数字特征）。5.相关系数r=（lxylxxlyy）；与回归系数b的关系6.回归平方和U=（r2lyy）或（i=1n(yi-y)7.剩余平方和Q=（（1-r2）lyy）或（i=1n(yi8.设y=a+bx0，y0的1-a置信区间为（y0-δx0，y0+δx9.根据因素A的k个不同水平A1,A2,…,Ak的k组观测数据来检验因素A对总体的影响是否显著，检验假设H0:μ1=μ2=…=μk，如果F>FK时，则在水平a下（拒绝假设H0）,认为（因素A对总体有显著影响）；如果F<FK时，则在水平下（接受H0）,认为10.如果因素A的k个不同水平对总体的影响不大，F=SA/SE（F~Fk-1,n-k11.正交表是一系列规格化的表格，每一个表都有一个记号