（概率论与数理统计专业论文）耐用消费品消费研究的马尔可夫骨架过程方法.pdf

摘要 在本论文中，作者从随机过程的角度看待消费问题中各种变量在发展变化过 程中所表现出来的随机性质，用随机过程的方法特别是马尔可犬骨架过程来描述 和分析消费者购买耐用消费品的行为。 第1 章绪论，主要介绍了本论文的选题背景和动机，以及论文的基本结构和主 要观点。 第2 章主要介绍了论文中要用到的马尔可夫骨架过程的基本定理和消费经济 学的基本理论。 第3 章将马尔可夫骨架过程的方法引入到耐用消费品消费的研究，建立了新 的马尔可夫骨架过程耐用消费品( s ，s ) 模犁。首先，在随机折旧率的假设下， 得出了连续状态的马尔可夫骨架过程耐用消费品( s ，s ) 模型。然后用马氏调制 的方法对随机的折旧率进一步具体化，从而得到逐段决定的马尔可夫骨架过程耐 用消费品消费的( s ，s ) 模型，并推导出消费者到达购买耐用消费品的临界状态转 移概率，以及购买的时问的分布。接下来建立了离散状态的马尔可夫骨架过程耐 用消费品( s ，s ) 模型，并得出了更加具体的结果，包括到达购买耐用消费品的 临界状态的转移概率的显性表达式，以及到达这个临界状态的时间的分布的具体 表达式及其主要随机性质。最后，用连续时间q 过程理论分析了购买耐用消费品 的问题。 第4 章对第3 章的基本模型作了一些推广，使模型更加接近现实。首先放松 了没有增长的静态经济的假设，得到了有经济增长情况下的马尔可火骨架过程耐 用消费品支出模型，然后得出了在考虑财富因素影响的情况下码尔可夫骨架过程 耐用消费品支出模犁。 第5 章和第6 章将我们的讨论从前两章微观个体的消费行为转向了宏观总体 的消费行为，从宏观的角度建立了耐用消费品消费的随机模型。第5 章讨论了耐 用消费品的静态宏观消费行为，建立了反映耐用消费品静态宏观消费行为的特征 和发展规律的随机模型，并得出相应的结论，提出一些政策建议。 第6 章讨论了耐用消费品的宏观动态行为，特别是，用统计力学的方法分析 了全体消费者在小同折旧阶段上的分布的演变规律及其由此决定的耐用消费品 总需求的演变规律。 关键词：耐用消费品，( s ，s ) 模型，马尔可夫骨架过程，统计力学 a b s t r a c t i nt h et h e s i s ，t h ea u t h o ra n a l y z e st h e ( s ，s ) m o d e lo fd u r a b l eg o o d s c o n s u m p t i o nw i t hm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e sa n dd i s c u s s e st h ec o n s u m e r b e h a v i o ri np e r c h a s i n gd u r a b l eg o o d s i nc h a p t e r3 ，t h ea u t h o rs e t su pt h eg e n e r a lm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s ( s ，s ) m o d e lf o rd u r a b l eg o o d sc o n s u m p t i o nw i t hc o n t i n u o u ss t a t es p a c eu n d e r t h ea s s u m p t i o no fs t o c h a s t i cd e p r e c i a t i o nr a t e a n dt h e ng e t st h em o r e d e t a i l e dm o d e lw i t ht h ea p p l i c a t i o no fm a r k o vs w i t c h i n gm e t h o df o rt h e s t o c h a s t i cd e p r e c i a t i o nr a t e t h i r dt h ea u t h o rs e t st h em a r k o vs k e l e t o n p r o c e s s ( s , s ) m o d e lo fd u r a b l eg o o d su n d e rd i s c r e t es t a t es p a c ea n df m d t h et r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y f o rd u r a b l e g o o d st ot h et r i g g e rp o i n to f p u r c h a s e a n df m a l l yt h ea u t h o ra n a l y z e st h ed u r a b l eg o o d sc o n s u m p t i o n w i t hc o n t i n u o u st i m eq p r o c e s st h e o r y i nc h a p t e r4 ，t h ea u t h o re x t e n d st h em o d e li nt h ep r e v i o u sc h a p t e rb y r e l a x i n gs o m ea s s u m p t i o n sa n ds e t su pt h em a r k o vs k e l e t o np r o c e s s ( s ，s ) m o d e lf o rd u r a b l eg o o d sc o n s u m p t i o nw i t he c o n o m i cg r o w t ha n dw i t h w e a l t hc h a n g e s i n c h a p t e r5 a n d c h a p t e r6 ，t h e a u t h o rt u r n sf r o mt h ei n d i v i d u a l c o n s u m e r sb e g a v i o rt oa g g r e g a t eb e h a v i o ro fd u r a b l eg o o d sc o n s u m p t i o n i nc h a p t e r5t h ea u t h o rs e t st h em a c r o e c o n o m i cm o d e lo fd u r a b l eg o o d s c o n s u m p t i o nw i t h ( s ，s ) r u l ea n dc h a r a c t e r i z e s t h em a c r o e c o n o m i c 儿i b e h a v i o rf o rd u r a b l eg o o d sc o n s u m p t i o n i nc h a p t e r6 ，t h ea u t h o rd i s c u s s e sd y n a m i ca g g r e g a t eb e h a v i o ro fd u r a b l e g o o d sc o n s u m p t i o n t h e a u t h o ru t i l i z e st h em e t h o do fs t a t i s t i c a l m e c h a n i c st oa n l y s i z et h ee v o l o t i o no fs t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o no fa l l c o n s u m e rd u r a b l e si nt h ed i f f e r e n ts t e p so fd e p r e c i a t i o nf r o mw h i c ht h e a u t h o rg e t st h ee v o l u t i o no fd e m a n df o rd u r a b l eg o o d s k e yw o r d s ：d u r a b l eg o o d s ，( s ，s ) m o d e l ，m a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s ， s t a t i s t i c a lm e c h a n i c s i v 博士学位论文第章绪论 第一章绪论 人类正处于一个转折点上，正处于一种新理性的开端。在这种新理性中，科学不再等同 于确定性，概率不再等同于无知。 嘈- 里高津 1 1 问题的提出及其背景 1 1 1 本文选题的背景 我们生活在一个不确定的世界中，不确定性是现实世界巾事物发展变化过程 的一个基本属性。正如普利高津说的，“我们的世界，是一个由概率定律支配的 不断“建构”的世界。世界的这种不确定性或日概率性是大自然在所有层次上的 内在性质。”【普利高津：2 0 0 5 ，p 1 】但由于人们对世界认识的局限性，传统的科 学在很大程度卜排除了这种不确定性。例如，牛顿经典力学就是建立在确定性基 础上的。在牛顿的世界里，确定性和时间对称性是基本特性。在这种情况下，自 然的法则就表现为，一旦给定了初始条件，一切都确定了。我们既可以推算出所 有的后继状态，也可以推演出先前的状态。这就导致了“拉普拉斯妖”的出现： 拉普拉斯想象这个小妖有能力去观察宇宙的现今状态并预言其演化【普利高津： 1 9 9 8 p 9 1 。 一个多世纪以前，科学界开始了一场概率的革命，标志着人们对世界的认识， 逐渐从确定性转向随机性。在这种不确定性的世界里，“自然法则的意义发生了 根本变化，因为自然法则现在表达可z 丹, 匕l a 性或概率”，【普利高津：1 9 9 8 ，p 3 】“而 当我们能够把概率包括到物理学基本定律的表述之中，牛顿确定论就破产了：未 来不再由过去所确定，过去与未来之间的对称性被打破了”【普利高津：1 9 9 8 ， p 4 】。由此可见，从牛顿经典力学发展到现代物理学，随机思想的引入和相应的 随机数学工具的应用起着多么关键的作用。 这场概率革命，现在不仅仍在继续，而且发展得更为猛烈，更为迅速，影响 博+ 学位论文 第一章绪论 更为广泛，更为深刻。不仅从根本上改变了自然科学，而 从根本上改变了社会 科学，甚至从根本上改变了人们对整个世界的看法。“我们对自然的看法正经历 着一个根本性的转变，即转向多重性、暂时性和复杂性”【普利高津、斯唐热： 2 0 0 5 ，p i 。而和这种人类对自然的看法的根本改变相适应的，也伴随着或者必 然需要相应的数学分析工具的改变，这就是数学中研究随机现象的学科大举进入 各个学科。事实上，“许多科学的成功正是由于科学家在追求知识的过程中学会 了利用不确定性。不确定性非但不是阻碍科学前行的障碍，而且是推进科学进步 的动力。科学是靠不确定性繁荣的”【波拉克：2 0 0 5 ，p 6 】。 在这场新的概率革命中，经济学也受到前所未有的冲击。和传统物理学一样， 传统的经济分析也是局限j j ：确定性分析的。新古典经济学的精美分析框架、瓦尔 拉一般均衡体系的建立，都是在确定性假设下进行的。经济学中不确定性的引入、 概率工具的采用，比自然科学要晚，但发展却要迅速得多。萨缪尔森说，经济学 中包含比自然科学中更多的内在不确定性，对于经济运动的不确定性，经济规律 是概率规律，不是准确的规律【萨缪尔森，转引自汪浩瀚2 0 0 6 ，p 7 2 】。因此，经 济学比自然科学更需要随机的数学工具。纵观近3 0 年经济学分析方法的发展， 一个重要的趋势就是随机思想和_ t 具的引入。很显然，经济学的分析越深入，越 需要考虑随机因素的影响，越离不开随机分析的工具。埘随机因素的分析和随机 数学工具的采用，已成为经济学向前发展的强大助推器。 随机过程是专门研究不确定现象随时问变化规律的科学。马尔可夫骨架过程 是一类新的随机过程，是1 9 9 7 年由侯振挺教授、刘再明教授、邹捷巾教授等在 总结、归纳诸多随机模型的基础上提出来的，它是指在一系列停时具有马尔可夫 性的随机过程，旨在描述事物从景变到质变，又从质变到最变这种不断交替变化 的过程，所以又可称为“量变质变过程”【侯振挺、刘再明、邹捷中等：1 9 9 8 ， p 4 5 7 1 。侯振挺教授等人经过多年系统而深入的研究，已奠定了马尔可夫骨架过 程的理论基础，并成功地应用于排队论、存储论、可靠性理论、生物数学及数理 金融等领域，但尚未应用于经济学理论的研究。如何将这一数学领域的最新成果 应用于经济学理论的研究，使其找到更广阔的应用天地? 经济学研究中，有大量 问题都涉及到量变和质变的交替过程，如金融危机的出现，战争的爆发，政府政 策的突然变化等等，都是由景变逐渐积累到一定程度就发生质变的例子。如何引 2 博士学位论文第章绪论 入新的数学工具，更好地描述经济学研究中这些带有普遍性的量变质变现象的 共性并找出其中的变化规律? 这些都是十分重要并有待解决的问题。 1 1 2 问题的提出 笔者长期关注和研究消费经济学问题，所从事的教学和科研工作又处于浓厚 而良好的研究随机问题的学术环境中，很自然使我产生了将消费经济研究和随机 过程结合起来的想法。在导师的直接指导和启发f ，使我在多个可供选择的选题 方向中，最终找到了我博士论文的切入点：将侯振挺教授在概率论上的最新成果 马尔可大骨架过程和消费经济学研究结合起来，用马尔可犬骨架过程来研究消费 经济学中的问题。 马尔可夫骨架过程是描述事物从罱变到质变再从质变到量变这种交替变化 规律的具有较普遍意义的一大类随机过程。在居民消费问题中，耐用消费品问题 具有典型的这种量变质变的特征：消费者在较长时期内都不购买耐用消费品，由 于折旧的影响使耐用消费品存量4 直趋于减少，这就是渐变或者量变的过程。但 当耐用消费品存量减少到一定的限度，达到某个临界点，消费者就会一次购买较 人数额的耐用消费品，这就是跳跃或质变过程。同时，耐用消费品的消费又具有 十分晕要的意义，特别在我国，正处于消费结构转换升级耐用消费品消费快速发 展的时期。而相应的关于耐用消费品消费的理论研究却显得不足，亟待有所发展。 因此，耐用消费品的消费问题就成为笔者将马尔可夫骨架过程运用于消费经济学 研究的酋选。 1 2 相关理论研究的历史和现状 1 2 1 不确定性和经济学的发展 最近半个多世纪以来，经济学发展的一个重要趋势就是1 i 确定性的引入。 奈特是推动随机思想引入经济学分析的先驱，也足最早把不确定性作为一个独立 的经济范畴进行系统研究的经济学家【浩瀚：2 0 0 6 ，p 7 4 】。奈特认为，不确定性 3 博+ 学位论文第一章绪论 是人类经济活动的一个基本因素和人们决策时一个内在组成部分。早在1 9 2 1 年 奈特在风险、不确定性与利润一书中就指出，我们生活的世界是一个充满不 确定性的世界，要理解经济体系的运行，就必须研究不确定性的含义和重要性【奈 特：2 0 0 6 ，p 1 8 l 】。因此，他建议把不确定性包括在某种经济模型里，也就能够 更准确地理解经济主体的行为特征i 转引自汪浩瀚：2 0 0 6 ，p 7 5 。2 0 世纪最伟大 的经济学家凯恩斯也十分重视不确定性在经济分析中的作用，认为概率是真实世 界的一种特性，大多数经济决策都是在不确定条件下作出的，并将概率作为其宏 观经济的方法论基础【转引自汪浩瀚：2 0 0 6 ，p 6 4 。凯恩斯的三大心理规律实际 上都是建立在不确定性的基础之上的，可以说，不确定性是凯恩斯庞大的宏观经 济理论的逻辑起点。1 9 4 4 年冯诺伊曼和摩根斯坦出版了其经济学巨著博弈 论与经济行为，提出了期望效用理论，并通过阿罗和德布鲁的- 般均衡框架而 成为后来经济学研究中处理不确定问题的标准范式。经济计量学的产生和发展对 现代经济学的巨大影响是不言而喻的，而经济计量学从创立到真止进入实用并深 刻而全面地影响整个经济学研究的一个根本转折点，正是由于哈维尔莫将概率论 和数理统计这样的随机数学工具引入到了经济计量学中。1 9 7 0 年代以后，不确 定性在经济学中的发展更加如火如荼，成为许多经济学家研究的丰题，诸如博弈 论、信息经济学、数理金融这样建立在不确定性基础上的经济学新学科也正是在 这一时期蓬勃发展起来。 1 2 2 不确定性和消费函数理论的发展 人类+ 切经济活动的最终目的，都是为了自身的消费。消费问题是经济学 研究的起点，也是经济学的中心课题。传统的消费经济学都是从确定性情况开始 分析的，但从最近儿十消费经济学的发展，我们清楚地看到不确定性思想和方 法的渗透。虽然，在消费函数理论发展之初，其创立者凯恩斯以及后来的主要发 展者莫迪利安尼、弗里德曼等人就明确认识到不确定性对消费的重要性，但当时 经济学家还没有掌握处理不确定性的有力的数学上具，使得他们的消费函数并没 有把不确定性当作一个常规问题来处理【迪顿：2 0 0 3 ，p 2 2 - 2 3 】。直到最近二曼十 年，不仅仅是概率论、数理统计等传统数学工具，而且随机微积分，随机微分方 4 博士学位论文 第一章绪论 程、随机动态规划等现代随机分析的数学工具大量引入到经济学分析，才使得不 确定性成为消费函数的丰要分析对象。 消费函数理论是由2 0 世纪最著名的经济学家凯恩斯在就业、利息和货币 通论中首先提出来的。凯恩斯的主要结论是：消费者根据自己现期收入的绝对 数量米安排现期的消费。随着现期收入的增加，消费也增加，但增加的比例没有 收入大( 即边际消费倾向递减规律) 。1 9 4 9 年，杜森贝用“相对收入”的概念来 改进和发展凯恩斯的消费函数理论。其基本思想是，一个消费者将收入用于消费 的比例主要依赖于相对于周围其他家庭的收入水平，也就是他的收入在他周围的 相对地位，而不是他自身收入的绝对水平 夏皮罗：1 9 8 5 ，p 1 7 2 。1 9 5 4 年，莫 迪利安尼和布伦伯格提出了生命周期假说。该理论认为，一个人在安排其现期消 费时，是从一生的效用最大化出发，这就需要将一生的总资源在生命周期的各个 阶段作出最佳分配，使消费在一生中尽可能比较平稳。【莫迪利哑尼：2 0 0 1 o1 9 5 7 年，弗里德曼提出了持久收入理论，认为人们的消费主要受持久收入，也就是长 期稳定的收入影响，而小是受现期收入的影响。其基本结论是：持久消费和持久 收入呈一个比例关系，这个关系的比例系数受利息率、非人力财富和收入之比以 及决定是偏向现在消费还是积累财富的因素等等的影响，而和持久收入本身无关 【f r i e d m a n ：19 5 7 ，p 2 6 ，2 2 2 。 无论是1 9 3 0 年代凯恩斯提出的消费函数理论还是1 9 5 0 年代杜森贝利、莫 迪利安尼提出的消费函数理论，其创立之初基本上都是以确定性的形式出现的。 在弗里德曼的消费函数理论里，就较多考虑了不确定性的影响。而到了1 9 7 0 年 代，不确定性就开始深刻影响消费函数了。1 9 7 6 年，霍尔发表“生命周期持久 收入假说的随机含义：理论和证据”一文 h a l l ：1 9 7 8 ，p p9 7 1 9 8 7 ，分析了消费者 在面临未来收入不确定的情况下选择使生的期望效用最大化的消费所必须满 足的一阶条件。由此得出的结论是：消费的边际效用服从一个随机游动，而且消 费本身也是一个随机游动。霍尔在不确定条件下，推出了消费函数的随机形式， 并直接将消费表j 为一个屿氏过程，使得传统的生命周期持久收入消费函数取得 了更加现代的随机过程的形式。1 9 9 0 年代至今，建立在不确定性基础 ：的预防 性储蓄理论开始大行其道，逐渐成为消费函数研究的丰流。该理论最先是由利兰 德在1 9 6 8 年提出的 l e l a n d ：1 9 6 8 1 ，他发现当未来收入不确定时，消费者将变得 5 博士学化论文第章绪论 更加谨慎，他们会用增加储蓄的办法来预防收入不确定带来的风险，这就是预防 性储蓄。我们清楚地看到，消费函数理论发展的历史，也就是从确定性走向不确 定性的历史。 1 2 3 从马尔可夫过程到马尔可夫骨架过程的发展 马尔可夫过程是俄国数学家马尔可夫于1 9 0 6 年提出的概念，旨在描述这样 一类随机过程，即在已知过程现在状态的条件下，过程将来的状态与过去无关。 为纪念马尔可夫对这一问题的开创性贡献，随机过程的这一性质被称之为“马尔 可犬性”，而具有这种性质的随机过程，也被称为马尔可夫过程。1 9 3 1 年，俄国 数学家柯尔莫哥洛夫首次将微分方程的方法用于马尔可夫过程的研究，得到了马 尔可夫过程的向后和向前方程，这两组方程后来成为研究马尔可夫过程的重要工 具和基础。日本数学家伊藤在1 9 5 1 年建立了随机微分方程理论，为马尔可夫过 程的应用开辟了崭新的领域【侯振挺等，2 0 0 0 a 。 马尔可犬过程是在一切常值停时上具有马氏性的随机过程。但在研究过程中 人们发现，马尔可夫过程的条件要求过于苛刻，这大大限制了它的应用范围。如 何将它进一步推广以适应更多的现实情况? 1 9 5 5 年l e v y 等人将连续时间马氏链 中两次跳跃时问间隔服从负指数分布这一条件放松为服从一般分布，从而将马氏 过程推广到了半马氏过程。1 9 8 4 年，d a v i s 等人又将两次跳跃之间取常数值放松 为一段光滑曲线，从而将马氏过程推广到了逐段决定马氏过程。后来一些学者提 出的半再生过程，逐段决定线性过程，马尔可夫决策漂移过程，跳线性系统，时 滞跳线性系统等等，都是马尔可夫过程推广的例子 侯振挺等，2 0 0 0 a 。 1 9 9 7 年，侯振挺教授等人在总结多种随机过程的基础上，提出了类含义更 为广泛的混合型随机过程，它所要求的条件比其他过程更松，只要求在一系列停 时具有屿氏性。这类过程描述了事物的发展变化先是按照某种规律进行，即量变 过程，然后在某个时刻出现跳跃，即质变，在质变后事物又重新回到原来的规律 发展。也就是说，过程在质变之处具有马氏性。这种使过程重新开始的质变时点 被称为过程的骨架时序列，这类过程也被命名为“马尔可夫骨架过程”。现在， 经侯振挺教授等人多年系统而深入的研究，已奠定了马尔可人骨架过程的理论基 6 博十学位论文第一章绪论 础，并成功地应刚于排队论、存储论、町靠性理论、生物数学及数理金融等领域， 取得了很多引人注日的成果。 1 3 本论文的主要创新和结构 1 3 1 本论文的主要创新之处 本论文的主要创新在于用随机过程的方法研究耐用消费品消费的问题，特别 是，将马尔可犬骨架过程这一具有广泛意义的新型随机过程应用于消费经济学的 研究，并用统计力学的方法建立了微观个体和宏观总体之间的联系。 1 ) 本论文将概率论的最新研究成果马尔可夫骨架过程用于耐用消费品消费的 研究，建立了新型的研究消费问题的马尔可夫骨架过程随机模型，为耐用消费品 消费以及经济学中其他类似的研究提供了一个新的研究工具，同时也为马尔可夫 骨架过程理论找到了新的应用领域，这是本论文的主要创新。 2 ) 本论文将统计力学的方法应用于耐用消费品需求的研究，用统计力学的思 想和方法，从新的视角建立了描述耐用消费品支 l 的宏观动态微分方程，为耐用 消费品消费的宏观建模引入了一种新的方法，这是本论文的一个重要创新。 3 ) 耐用消费品消费问题由- 丁其特殊性，研究起来要远比一般消费问题复杂， 其建模一直是许多经济学家研究和探索的难题。本文采用( s ，s ) 策略的思想，用 马尔可夫骨架过程这一新的数学理论建立了不同于现行模型的新型随机( s ，s ) 模 型，为这一难题的解决作出了一些有益的探索。 4 ) 本论文从微观个体消费者的( s ，s ) 行为出发，用马尔可夫骨架过程建立了 描述消费者购买耐用消费品的随机模型，建立了从微观个体的消费行为及大量个 体的统计分布及其演化推导出宏观总体动态变化的耐用消费品总量需求的分析 范式，并使得耐用消费品消费的宏观行为建立在微观基础之上。 5 ) 国内对耐用消费品消费的研究，主要是基本影响因素、特征、趋势的分析， 统计数据的时间序列分析等，用数学模型进行耐用消费品消费研究的4 多，而且 以确定性模型为主。本论文将经济理论、随机过程理论和统计力学结合起来，建 立了全新的耐用消费品消费随机模型，将复杂的耐用消费品宏观需求的随机动态 博十学位论文第一章绪论 规律用随机过程中的主方程表示出来，并针对不同的假设条件得出了不同的形式 的丰方程。 1 3 2 本论文的结构 第一章绪论主要是介绍了本论文的选题背景，选题过程及其意义，本文相关 领域的研究概况以及本文的主要创新之处。 第二章简要介绍了马尔可夫骨架过程和消费经济学的基本理论，包括马尔可 夫骨架过程的基本概念，马尔可夫骨架过程最核心的部分一向后和向前方程， 马尔可夫骨架过程的极限分布，关于消费函数的绝对收入理论，相对收入理论， 生命周期理论，持久收入理论，理性预期生命周期持久收入理论，预防性储蓄理 论，以及耐用消费品的存量调整理论、( s ，s ) 理论等等。这些内容给后面的分析 提供了基本的理论依据和必要的研究工具。 第三章主要研究了用马尔可夫骨架过程建立耐用消费品支出的基本随机模 型。第二节主要分析连续状态空间下马尔可夫骨架过程的耐用消费品( s ，s ) 模型， 第三节讨论离散状态空间下的马尔可夫骨架过程耐用消费品( s ，s ) 模型 第四章是第三章基本模型的推广，将一些假设条件放松后，使我们的模型更 加接近现实。第一节将没有经济增长的情况推广到了有稳定的经济增长的情况。 第二节考虑财富的引入对模型的影响。 第三、四章讨论单个消费者购买耐用消费品的行为，这些都是微观消费行为。 第五章和第六章则是讨论一个社会中大量个体消费者微观行为的加总，即宏观消 费行为。第五章从耐用消费品的微观消费行为出发，推导出全社会耐用消费品的 静态宏观消费行为。第二二节讨论最简单的情7 兄，即初始分布为均匀，消费者为同 质的情况下耐用消费品支出行为的宏观随机模型，第三节推广到非均匀初始分布 下的情况，第四节则将分析推广到异质消费者的情况，第五节进一步讨论了多种 耐用消费品的支出行为模型。 第六章讨论了用统计力学的方法研究耐用消费品动态宏观消费行为。第二节 建市最基本的动态宏观耐用消费品消费模犁。第三节是第节基本模犁的推广， 从各个折旧等级上耐用消费品的独立同分布推j “n t 仁- 独立、彳、= 同分布等情况，并 8 博士学位论文 第章绪论 将消费者人数n 固定推广到非固定，从而将封闭的模型推广为开放的模型。 1 3 3 本论文的意义 本论文主要研究耐用消费品的需求。这一课题的研究，具有重要的意义。消 费是g d p 的最大一个组成部分，一般占g d p 的三分之二左右。消费的波动，是经 济波动的重要来源，而在消费波动中，耐用消费品又是波动最大的一个部分。因 此，许多经济学家都将耐用消费品支出的波动作为经济周期波动的先行指标。理 解耐用消费品的需求及其波动，就成为理解经济波动进而采取措施减缓经济周期 波动的一个十分重要的内容。同时，在国际金融危机以及国内扩内需保增长促发 展的大背景下，研究如何扩人耐用消费品的需求问题，对于扩大国内需求特别是 消费需求，保持经济稳定，实现生产与消费的良性循环和经济的又好又快发展， 具有重要的理论意义和实际意义 改革开放以来，我国经济持续高速增长，取得了举世瞩目的成就。但长时期 以来，我国的经济增长过度依靠投资和出口，而居民消费需求相对不足，这是制 约我国经济持续健康发展的关键所在。如何扩大居民消费需求，充分发挥消费需 求的作用，已经成为备受关注的重大问题。耐用消费品的支出，是扩大居民消费 需求的重要内容，是将经济增长方式由以投资和出口为主转变为消费、投资、净 出i z l - - 驾马车相互协调相互促进从而实现经济增长方式的转变的重要内容。 相对于浩如烟海的对消费问题的研究，国内对耐用消费品需求的研究相对薄 弱，理论模型研究尤显不足。美国著名消费经济学家d e a t o n 在其名著经济学 与消费者行为中就说，“为经济学的应用工作开发出好的理论模型是一项艰难 的任务，也许没有什么比建立耐用品需求模型更难的了，特别是对总量时间序列 数据更是如此”。 d e a t o n ，a n g u s m u e l l b a u e r ，j o h n ，1 9 8 0p 3 4 5 。本文将经 济学理论、随机过程和统计力学结合起来，用新的方法和建模思想提出了新的耐 用消费品需求随机模型，对于耐用消费品需求的理论特别是理论模型的研究，具 有一定的意义。 9 博十学位论文第二章马尔可夫骨架过程和消费经济学的基础理论 第二章马尔可夫骨架过程和消费经济学的基础理论 本章主要是介绍后面要用到的一些关于马尔可夫骨架过程和消费经济学的 基本理论，包括马尔可夫骨架过程的基本概念，向后向前方程，正则性准则，极 限理论，凯恩斯的消费函数理论，相对收入、生命周期、持久收入理论，理性预 期消费函数理论，预防性储蓄理论以及耐用消费晶的几种主要模型。 2 1 马尔可夫骨架过程 2 1 1 基本概念 设( q ，厂，尸) 为一完备概率空间，( e ，d 为一p o l i s h 空间令 x = x ( f ，动，o t 0 0 是定3 l f ( n ，兀p ) 取值于( e ，占) 的随机过程， z x ，t o ) 是 x 生成的自然o 代数流。 定义2 1 1 ：称随机过程x = x ( f ，妨，0 t 为马尔可夫骨架过程，如果存 在一停时列 乙) 腔。满足： ( c 1 ) t o = o 且f 个，并对任意的以0 ，乞 o l ； ( c 2 ) 对于一切刀= o ，l ，有o i = 乙+ & ； ( c 3 ) 对每个乙和任意定义在o ”1 上的有界o ，。1 可测函数f 有 e 【厂( 义( 乞+ ) ) l 】= 研厂( x ( 乞+ ) ) ix ( 乞) 】， 尸一口j 其中，只是推移算子：( 幺动，= 嗷( 皑x ：。q q = ( 国：乙( 妫 一) ，= 4 ：v f o ，么n ( 国：乙f z 是q 上的o 代数。 我们称 ) 二为马尔可夫骨架过程x 的骨架时序列。如果在q 上有： 研厂( x ( 乙+ ) ) l ，t n x 】- 研( 厂( x ( 0 + ) ) i 】= b 【厂( x ( ) ) 】 p - a s 成立，则称x 是时齐马尔可夫骨架过程，记为m s p ，其中e ( ) 表示对 l n 尊十学化论文 第二章马尔可夫骨架过程和消费经济学的基础理论 应于尸( i x ( o ) = 功的数学期望。 命题2 1 1 ：如果 五，) ；f o 是以 ) 二为骨架时序列的马尔可夫骨架过程， 则f ，- - t 一l 是似x ( 0 + ，) ；f o ) - 可测的。 2 1 2 向后方程和向前方程 定义2 2 1 称时齐马尔可夫骨架过程x = x ( t ，动，o 是方程( 2 2 2 ) 的最小非负解。方程组( 2 2 2 ) 称为正规马尔可夫骨架过程 x ( f ) ，f o ) 的向后方程组。 h ( x , t ，彳) ) h ，q ( x ，d t ，咖) 记作q 。由定理2 2 1 可知x ( t ) 的一维分布由( 日，q ) 决定。 定义2 2 2 如果存在测度簇鸯= 毒( x ，d t ，砂) 肿，使得对于任意的 彳，x e ，t 0 ， f 办( y ，f s ，么) 叮( x ，d s ，方) = f 办( x ，f s ，砂) 鸯( y ，d s ，彳) ( 2 2 3 ) 则称如下方程组： p ( x ，f ，彳) = 厅( x ，f ，a ) + s ef p ( x , t - j ，咖) 毒( 乃f 凼，彳) x e , t 0 ，a ( 2 2 4 ) 为马尔可夫骨架过程 x ( r ) ，t 0 ) 的向前方程组，令 毒d ( x , d s ，咖) = 4 ( x ，d s ，d y ) 口心( x , d s ，a y ) = f 尹( x , d s ，比) 讹卜s ，咖) 尹( x ，d s ，d y ) = f 西胁( x ，d s ，比) 毒( z ，卜s ，砂) 定理2 2 2 如果存在满足等式( 2 2 3 ) 的q = 4 f x ，d t ，砂) ) 舯，则马尔可夫骨架 过程 x ( f ) ，f 0 ) 的转移概率p ( x ，t ，a ) = p ( x ( t ) ealx ( 0 ) = x ) 也是向前方程组 ( 2 2 4 ) 的最小非负解。 定理2 2 3 设x = x ( f ) ，t 0 ) 是以 吒) 二为骨架时序列的正规的马尔可夫骨 架过程，则对j ：任意的x e ，名 0 ，a e ，有 1 2 博士学位论文第二章马尔可丈骨架过程和消费经济学的基础理论 b ( 圳= ( 州) + 上荟俨( 五a y ) h a y 棚 ( 2 2 5 ) 从而 只( x ，彳) ) 是如下方程的最小非负解 只( t 彳) = 吃( x ，么) + 上吼( 五咖) 只( 少，彳) ( 2 2 6 ) 方程( 2 2 6 也称为x 的向后方程。同样，我们也把与( 2 2 4 ) 等价的方程 p a x , a ) = 以( x ，彳) + 只( x ，a y ) 毒a y ，么) ( 2 2 7 ) 称为x 的向前方程，其中吼彳) = f p 一舢盆( x ，f ，a ) d t 由定理2 2 1 知正规马尔可夫骨架过程应是我们进一步研究的对象。下面我 们给出马尔可夫骨架过程称为正规马尔可夫骨架过程的一个充分条件，这个条件 就是过程轨道以概率l 处处有左极限。在实际应用巾，到目前为止，我们所遇到 的马尔可夫骨架过程都具有这个性质。 在今后的研究中，我们所说的马尔可夫骨架过程都是指正规马尔可夫骨架过 程，不再一一申明。 2 1 3 极限分布 定义2 3 1 设彳( f ) 是( q ，厂，尸) 上的取值于( e , g ) 的随机过程， p ( x , t ，彳) 箩( x o ) 么l x ( o ) = z ) 若对f f l ! n n x ee ，a eg ，l i m ，一尸( x ，f ，彳) 存在 且与x 无关，并且是p ( 4 ) - = l i r a ，一p ( 墨，彳) ( a e 占) 是( e ，) 上的概率分布， 则称x ( f ) 的极限( 概率) 分布存在，称尸( ) 为x ( f ) 的极限( 概率) 分布 定义2 3 2 设x ( ，) 是一个以 厶) 二为骨架时序列的马尔可夫骨架过程，如 果存在( e ，e ) 上的概率测度万( ) ，使得对于任意的4 ， e ( x ( ，1 ) 彳i x ( o ) = 工，t l = 菩) = p ( x ( ，1 ) a ) = 石( a ) ( 2 4 1 ) 则x ( ，) 称为d o o b 骨架过程，称万( ) 为x ( f ) 的特征测度，称 乙) 二为x ( ，) 的再牛点 1 3 博士学位论文 第二章马尔可夫骨架过程和消费经济学的基础理论 注2 5 1d o o b 骨架过程是齐次可列马尔可夫过程中d o o b 过程的推广在应 用中，我们会常常遇到d o o b 骨架过程，或者通过骨架的时间序列的再选择而得 到d o o b 骨架过程 令 f ( 墨f ) = 尸( f 防( o ) = x ) ， 眠e f o ； ，( f ) = f x ( d x ) f ( x , f ) ， v t _ 0 引理2 3 1 若x ( ，) 为d o o b 骨架过程，则 q ( x , d s ，咖) = f ( x ，凼) 双砂)( 2 4 2 ) 引理2 3 2 若z ( f ) 是d o o b 骨架过程，则 p ( x ( t n ) ea ) = p ( x ( t 1 ) ea ) = 万( a )( 即1 ) 引理2 3 3 若x ( f ) 是d o o b 骨架过程，则 p ( o l 一乙，) = p ( t 2 - t , ，) = f o ) ( 丹1 定理2 3 1 设z 是d o o b 骨架过程，则 驰) = 簧 ( 2 4 3 ) 驰，a ) 吲舭) + 等掣 ( 2 4 4 ) 定理2 3 2 设x ( f ) 是d 。b 骨架过程且f 胛( f ) 若对于一切的 x e e ，a 占，极限l i m ，一p ( x ，t ，a ) 存在，则 p ，1 川d ，1 川、f ( ”) r h ( y ，f ，一) 万( d y ) d (2li p f ，彳垒，一+ r a - p x ，7 ，彳= 】了了j j i i 了一。二一j 从而p ( x ，么) 与x 无关，当且仅当f ( x ，0 0 ) - c o r t s t 这时令 p ( a ) = 尸( x ，a ) ( v a e ) ，尸( ) 是( e d 上的概率测度当且仅当 f ( x ，c o ) = 1 ，v x ee 定义2 3 3 设x ( f ) 为d 。b 骨架过程，若f t d f ( t ) 且对于任意的 1 4 博士学位论文第二章马尔可夫骨架过程和消费经济学的基础理论 x e ，f ( x ，o ) = o ，f ( x , o o ) 量1 ，贝i lx ( t ) 为正常j n _ d o o b 骨架过程 定理2 3 3 设x ( f ) 为正常返d o o b 胃架过程若对于任意的x ee ， 彳占，极限l i m ，一e ( x ，f ，彳) 存在，贝l j x ( t ) 的极限分布尸( ) 存在且 川) ：d 竺型，( w ) lt d f ( t ) 并非每个正常返i 构i d o o b 骨架过程都有极限分布，有时甚至极限 l i m ，一e ( x ，t ，彳) 不存在 2 2 消费函数理论 2 2 1 凯恩斯的消费函数 消费函数理论是由2 0 世纪最伟人的经济学家凯恩斯在就业、利息和货币 通论中首先提出来的。凯恩斯的消费函数理论，将收入和消费相联系，用收入 说明消费的变动，这是经济理论上的一个具有里程碑意义的重大创新，它是凯恩 斯用以推翻萨伊定律、解释非自愿失n k 的有效需求理论的基础，也是凯恩斯用政 府积极干预的财政和货币政策解决失业问题的主要理论依据。其基本模型是： c = a + b y 其中c 是现期消费，y 是现期收入。凯恩斯的主要结论是：消费者根据自己 现期收入的绝对数量来安排现期的消费。随着现期收入的增加，消费也增加，但 增加的比例没有收入大( 即边际消费倾向递减规律) 。由此得出的一个直接推论 就是，随着收入的增加，收入中消费所占的比重，即平均消费倾向，也会降低。 在这里我们看到，虽然凯恩斯十分强调不确定性的作用，在其消费函数的思想中 也考虑到诸如未来预期等不确定w 素，但消费函数的模型本身基本上还是确定性 的。凯恩斯的消费函数理论也有不完善之处。例如，它在考虑收入和消费的关系 时，仅仅局限在现期收入上。又如，这种消费函数没有考虑人们的微观经济行为， 使得这一宏观经济理论犹如空中楼阁，缺乏必要的微观基础。 博士学位论文第二章马尔可夫骨架过程和消费经济学的基础理论 2 2 2 相对收入假说、生命周期假说、持久收入假说 1 9 4 6 年，库兹涅茨发现，在相当长的时期内，平均消费倾向并随着收入的上 升而下降，而是大致为一个常数，这就是“消费函数之谜”。消费函数之谜将凯 恩斯消费函数理论的内在缺陷暴露出来，也引起经济学家的震惊和极大兴趣，并 由此引发了2 0 世纪5 0 年代开展的一场关于消费函数理论的大论战。论战的结果， 产生了诸如相对收入假说、生命周期假说、持久收入假说等新的消费函数理论， 使凯恩斯开创的消费函数理论得到了进一步丰富和发展。在这次论战中，杜森贝 用“相对收入”的概念来改进和发展凯恩斯的消费函数理论，解释消费函数之谜。 其基本思想是，一个消费者将收入用于消费的比例主要依赖于相对于周围其他家 庭的收入水平，也就是他的收入在他周围的相对地位，而不是他