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两类变分不等式问题的有限元方法 y6 3 9 7 8 7 摘要：本文首先对二阶位移障碍问题考虑了二次协调元对光滑区域的 应用，采用新的插值技巧把已有文献中的凸多边形区域扩展至具有光滑边界 的凸区域并得到同样的误差阶，因而更具有普遍性与广泛性。 接着，对四阶曲率障碍问题本文通过对逼近格式的修正，并引入新的估 计技巧讨论了非协调m o r l e y 元逼近，得到了误差估计的新结果。 最后，利用能量模的正交性，讨论了另外两个新的矩形单元对四阶曲率障碍 问题的逼近。结果表明，上述非协调m o r l e y 元逼近的结果对这两个矩形非协 调元也适用的。 关键词：位移障碍，皓率障碍，变分不等式，m o r l e y 元，8 - 自由度矩形 元，新误差估计。 t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d so ft w ok i n d so f v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s a b s t r a c t ：i nt h i s p a p e rw ef i r s ta p p l y t h e q u a d r a t i cc o n f o r m i n g f i n i t ee l e m e n tt ot h es e c o n do r d e rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y w i t h d i s p l a c e m e n t o b s t a c l ei ns m o o t hd o m a i n b a s e d o nt h en e w i n t e r p o l a t i o ns k i l l s ，w eg e tt h es a m ee r r o ro r d e r0 ( 庐6 ) i nt h ec o n v e x d o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r ya si nt h ec o n v e xp o l y g o no n e t h e n ，f o rt h ef o u r t ho r d e rc u r v a t u r eo b s t a c l ep r o b l e m ，b yu s i n g m o d i f i e dt h ea p p r o x i m a t ef o r m u l a t i o na n du s i n gt h en o v e lt r i c k s ，w e d i s c u s st h en o n c o n f o r m i n gm o r l e y sf i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o na n d g e ta n e we r r o re s t i m a t i o n f i n a l l y , w ed i s c u s st h eo t h e rt w on e wn o n c o n f o r m i n gr e c t a n g u l a r e l e m e n t s a p p r o x i m a t i o n s t ot h ef o u r t ho r d e ro b s t a c l e p r o b l e m i t i s s h o w nt h a tt h ec o n c l u s i o n so b t a i n e da b o v ea r es t i l lv a l i d k e yw o r d s ：d i s p l a c e m e n to b s t a c l e ，c u r v a t u r eo b s t a c l e ，v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y , m o r l e y se l e m e n t ，8 - p a r a m e t e rr e c t a n g u l a re l e m e n t ，n e w e r r o re s t i m a t e s 刖舌 随着有限元方法的出现以及计算机的发展，变分不等式问题的数值计算成 为可能。在变分不等式的有限元分析中，首先要提到得是f a l k l 9 7 4 年的工作 1 0 和m o s c o s t r a n 9 1 9 7 4 年的工作 1 1 。此后出现了大量的工作。国外，比如 s c a r p i n i 等 1 2 ，g r e e z z i 等 1 3 以及g a i o c c h i 4 等等。国内，自从8 0 年代 以来，关于变分不等问题的有限元方法的研究也纷纷涌出。比如，王烈衡 1 5 】， 石东洋等 6 8 ，等等。变分不等式问题还大量应用于力学等其他领域。然而也 留下了许多问题还有待于进一步的分析和解决。 文献中对变不等式问题的逼近工作，基本上限于凸多边形区域的范畴，为了扩 大使用范围，2 0 0 3 年对于二阶障碍问题，王烈衡教授给出了凸区域上非协调线形 元以及非协调w i l s o n 元的逼近。本文通过采用一些新的技巧，给出了凸区域上协 调二次有限元的逼近，获得新的误差结果。 文献 3 对于四阶障碍问题给出了非协调m o r l e y 有限元的逼近，本文采用了 修正的逼近格式，并引入新的估计技巧，讨论了 1 0 r l e y 非协调元以及8 一参数非协 调矩形单元的逼近，得到了新的误差估计结果。 本文的写作安排如下： 第一章：介绍基本知识，列举本文所用到的记号和定理。 第二章：对于二阶变分不等式的逼近问题，给出了凸区域下的二次有限元逼近 结果。 第三章：本章主要分析了四阶变分不等式问题的有限元逼近，运用新的修 正格式，给出了m o r l e y 非协调元的逼近结果。同时利用能量正交性，验证该结 果同样适用于两类非协调元8 一参数矩形单元。 第一章概论 1 1 常用记号及主要引理 我们在所考虑的有限元逼近问题中，剖分单元一般用t 表示，t 可为三角形 单元( 或矩形单元) ，d ，为t 的顶点，。为其相应的三条边( 或四条边) ， i = 1 , 2 ，3 ( 或扛1 , 2 ，3 ，4 ) 。设_ ，s 分别表示边，。上单位外法向导数及单位切向导 数。如图所示： q = v ( q ) 表示单元顶点q 处的函数值，卜；为，边上外法向导数积分 jr m 平均值。 对于三角形单元，设 ：生型掣表示三角形的面积坐标，z ：1 ，2 ，3 77 其中 知何几析解 x 由 坼 ， 一 睁 撒 一 3 = z q 引雎 b h 盼 u = = 中 也 式 三述匕 k h1 l l = l tj ，：1 l l 弓儿1 l 2 w l4 - w 2 + w 3 = 口l b 2 一“2 b = a 2 b 3 一a 3 b 2 2 口3 b l 一口1 b 并记a 。= l a l 对于矩形单元不妨设中点在( o ，o ) 点，边长分别为= 吲= 2 a ，i i ：i = 川= 2 b 1 2 二阶与四阶变分不等式问题的已有结果 对于二阶变分不等式问题的逼近，自7 0 年代起有以下的研究结果， 文献 1 3 】利用协调线形元分别在齐次与非齐次的边界条件下获得了d ( 向) 的 误差阶。 1 4 利用协调二次元在自由边界具有有限长度的假设以及z = 0 的条件下， 获得了误差阶o ( i ) v 巧 0 。 4 1 ，【5 】 引入非协调元对二阶变分不等式问题进行逼近，先后采用非协调线 形元以及w i l s o n 元，于 2 】中得到了与 13 中相同的结果。同时， 1 $ f l 用协调二 次元，在没有自由边界具有有限长度的假设下，获得了与 1 4 相同的误差阶 ! 一j o ( h ：1 v j 0 。 关于四阶变分不等式问题的有限元方法，到目前为止研究工作还相当少 d 2 3 对固支情形曲率障碍问题构造了m o r l e y 元逼近，给出了收敛性分析， 但没给出误差估计。 【9 对简支情形曲率障碍问题构造了c l o u g ht o t h e r 协调元逼近，得到了 ! 一土 o ( h 2 ，) 的误差估计。 【3 对简支情形曲率障碍问题，在解满足一定的光滑性的条件下给出了 m o r l e y 非协调元逼近的误差估计c 矗( h 湘+ 1 9 l 。+ , l t t f 。) 1 3 本文的主要结果 x , t 于- 次元逼近，本文第三章在保持 1 】的误差阶的前提下，将适用范围由 1 中的凸多边形区域扩展至具有光滑边界的凸区域，主要结论为定理2 2 关于四阶变分不等式问题，本文对 3 的逼近格式进行修正，给出了新的误 差估计结果，同时利用能量模的正交性，证明所得结果对另一个8 一自由度的矩形 元同样适用。主要结论为定理321 及定理33 1 第二章二阶变分不等式的逼近问题 2 1 基本知识与已有结果 设q 是r 2 内的凸区域，f r ，z 日2 ( n ) ，g 是h2 ( q ) 内的一个函数在边 界上的迹，z g 在a q 上。 考虑下述二阶问题： 其中 k = p j v j ( n ) ：v z a p 在q 中，v = g 在弛上 订( 址v ) = 廖”v v d x ， ( ，v ) = l ，v d r 由文章【1 4 知问题( 21 1 ) 等价于下述微分问题 ( 2 1 1 ) ( 2i2 ) ( 213 ) 一“= ，在n + = 仁n ： ( r ) z ( r ) 冲， 一a u ，在q 。= 扛q ：( x ) = z ( x ) ) 扣， ( 2 l4 ) “2z ，在q 中，n = g 在a q 上 关于问题( 211 ) 的正则性，我们有如下引理 引理2 ir 圳耶6 1 如果f rn b 矿( q ) ，( 晶z ) c 3 每) ，n 的边界足够光滑且在q 的边界上z g ，则问题( 1 1 ) 的解“满足 z f w s - ( q ) ，1 p ，2 + 三一万 5 2 + 土( 2 15 ) pp 考虑问题( 21 1 ) 的协调有限元逼近，令l 是q n i i i n n # ，= u t ；l t ，t 为 6 k 懈叫 足q 勘毗 剖分单元，吒c l 2 ( n 。) 是范数为。的有限元空间k 。ck 是世的有限元逼近且 为吒的闭凸集。那么问题( 211 ) 的有限元逼近如下 其中 j 求k 。，使得 1 口( z f 。，v 。一z ，。) ( ，v 。甜。) v v 。足。 ( 2 1 6 口 一，v 一一“一) = v 。v v h a 6 c 关于问题( 2i 1 ) ， 1 】利用二次元逼近在凸多边形区域己得定理21 定理2 1 设问题( 2 11 ) 的解具有正则性：”w ”( n ) v 1 p 。，5 o( 2l7 ) 为以后的证明需要，引入下面引理 引理2 1 ”1 若对所有t t h ，v b ( t ) ， x 。t 使得v ( r 1 ) ：0 。则下面不等式成立 i l q l ：- ( h t l v l 。( 21 8 ) 引理2 2 设f ， z ，。分别为( 211 ) 与( 21 6 ) 的解，则v v 。k 。，对协调有限元下面的不 等式成立 月 t l “。一v 。t l 。c ”k 歧+ ( w ，v 。一“。) j ( 2i 9 ) 这里及以后出现的c 是个与居无关的常数，不同处可取不同值，w = 一( + ) 。 2 2 凸区域下二次有限元逼近 关于二阶变分不等式问题，文献 2 】中实现了凸区域下的一次元逼近，我们现 在考虑凸区域下问题( 211 ) 的二次有限元逼近，令l 是q 上的满足正则性假定的 三角剖分。q = u 。l t ，且t k 为剖分单元，x 。为相应的二次有限元空间， 其形函数空间为只( t ) ，节点参数为三个顶点处的值及三边上的中点值，元素t 的顶点用口j ，中点用肌j 定义，1 i 3 ，且用表示d j 口；边上的中点， v a t a ；o q 。( 如图22 ) 示 令 以及 p i = v f 以( 卅) = g ( p 。) v 节点脚m 。 k 。= v 。v 。( m j ) z ( m j ) v 节点m j 茌m 。 ? = v 。x ：v 。( m ) = 0v j 点n ! a q 。 下面给出凸区域下二次有限元逼近的误差估计： 图( 22 ) ( 221 ) ( 222 ) ( 2 23 ) 定理2 2 假定问题( 2 1 1 ) 的解z ，满足正则性：“w ”( r d v l p 。c ， s 0 ( 224 ) 证明：1 ) 定义插值算子n 。：c 。( 五) 。五如下：v v co ( 五) ，1 1 。v e x 。，使得 且 1 7 。v ( d j ) = v ( “_ _ r ) 1 1 1 。v ( j ) = v ( m ? ) 其中m j ，a j 为前面所定义。 ( 225 ) 由于1 7 v ( ) = v ( 卅) v ( p 。) = g ( p 。) v m m ，则1 1 v 茌k v v k 于是我们修 正插值算子兀。! i e i t ： 令壶。c o ( 豆) 寸x 。：v v c 。( 豆) ，行。v x 。，使得 集合。 厅，v ( j ) = 1 1 v ( d j ) v n kt ，v t l ( 226 ) n t v ( m j ) = 1 2 t v ( m j ) v m j t ，v t 仨o r ，其中弭为边界元素t 的 亓。v ( m j ) = 兀：v ( m j ) v m 硷。v t 仉 而f i t v 仰) = v ( 巴) v m 触 ，t c - t , 且亓，v ( m 7 ) = v ( m ? ) z ( 坍j ) v 胁j 区触。，以及 矗t v ( m ) = v ( 只) = g ( 只) 2 z ( p ，) v m a n 。，t d l 得 厅 v k v v k ( 227 ) 对于v v p 2 ( t ) ，i r v = 属丑+ 屈五2 + 屈如+ 风2 l 五2 + 展五2 2 3 + 成五3 五， ( 228 ) 将节点参数( 225 ) ，( 227 ) 代入( 228 ) 得 而且 1 1 t v f i t v = 4 ( v ( ，”) 一v ( p 。) ) 五1 五3 ，v t 0 t h ， ( 229 ) v t 巩我们有 其中 1 1 t v 一疗t v = o ，v t l ，t 盛e l h ( 亓t v 一1 1 t v ) ( z ) = ( v ( ，”) 一k p ，) ) 。( x ) v x t ， 。( z ) 定义了二次协调有限元插值的基函数，即。( x ) = 4 2 。五，最( t ) 。) = 1 ，v m a q ，f 1 m n t a l 边上的中点 。( j ) = o v m j a q ， u 。( d j ) = o v a , 1 t 下面讨论l l ( f it v - - 1 1 ，v ) k ， 因为v t 弭 所以 ( 亓。v 一1 7 ：v ) ( r ) = ( v ( ， ) 一v ( p 。) ) - 一，( r ) 悼。v n ，毗，| v ( m ) 一v ( p ，) 。i i 町，v t e 巩 由假定q 的边界是分段光滑的，于是我们有 以及 l m p ，ls c h ； 1 0 因此v t 仉 显然 v ( p ) 一v ( p 。) l = l v v ( q 。) p 。m i c 衅l v i 。， b = ( 肛。n j = f | 4 a ，) i c h t i i ( 疗t p - - 1 - i ，v ) k ，- 1 v ( m ) 一v ( p 。) i f 阻。k ，( 协；i v l 。 风v - t v ) | | m q = 到( 前r 叫叫 。 ( 221 0 ) 删阱 更进一步，v t 弧 因此 显然 啪c h 25 i v t 疗，v n ，v l ) 一v ( p 。) | _ i f , 。i ，c h t ”ii 忡， 慨v _ 叫卜 轰 _ n t ”吖 倒 ii 。铲i 仉i 蝴 i t 甜 j 兀。v ) 雌 2 。 ( 221 1 ) 令( 2i 7 ) 式中的v 。= 疗。，其中“为问题( 2 11 ) 的解，则由插值误差估计 及( 221 1 ) 得 ( 2 21 2 ) n h p “ o 蛳 2 ) 根据引理2 2 中的( 21 9 ) 式，估计障碍问题的二次有限元逼近误差现在只 需估计( w ，疗一z ，。) 因为 ( w ，亓。“- - u h ) = ( w ，行。 一z ) 一( 甜一z ) ) + ( w ，甜一z ) + ( w ，开。z 一甜。) 由( 14 ) 知( w ，“一z ) = 0 ，则 ( w ，i i 。“一“。) = ( w ，面。0 一z ) 一( 材一z ) ) + ( w ，疗。z z ，。) ( 2 21 3 ) 用与b r e z z ie ta l 1 3 】相类似的方法我们估计( 22 1 3 ) 的第一项如下： v v w “9 ( q ) ，v 5 2 + 土，i p 。且j ，。pl + d ， 3 ) ( r ，f i z z ，。) 的估计： 由( 221 0 ) 得 ( 221 7 ) ( w ，打。一z ，。) = ( w ，丌。z 一玎。) + ( w ，疗。z 一1 7 。z ) ( w ，1 7 一z 一) + 劬25 啪 ( 22i s ) 为估计( 2 2 1 8 ) 中右端第一项，令 1 3 ( 221 9 ) mc =n 、j、j t饼秽蛐 k k m l l l lp扛汀 l l = | f c ：q c ： ，；，、l 因为w ( x ) = o v z q + ，所以 - ：f 扣委h z - u h 协+ 委m l l h z - t q 胁( 2 2 2 0 ) 现在估计( 2 21 1 ) 式右端第一项，令 p j v i 卉肛，掰v _ ；v - p t o v 由于w 0 与k ； 2 0 ( 脚j ) z ( 埘j ) v m ? t ，t el ，那么 l w ( 兀一z 一) 出l 碍w ，( n 。z 一) 出= l 碍w - 碍( 兀。z 一) 出 兰峪w 忆i l 碍( n 。z - - i i h ) h 考虑到当t q ：时z z ，运用插值误差估计得( 参考【1 8 ， 1 9 ) 因此 s t w ，( r i 。j j - u h ) d x c h 。5 5 i l w l l 。，一；。- 矗l ( 兀。z - - i t h ， c h l5 5 i w l f 。，一。 i ( 兀。l j - x ) t ，。+ i ，# z r 。f 。j c h l5 5 i l w l l o 5 - 。, t 拓：t z l 。，+ l p 一“。忆， ( 222 1 ) 由于t 哦，w o ，且r “，( 兀 z 一2 i h ) ( m j ) 0 , 1 i 3 ，所? 为任意单元t 边上 的中点，我们有： 那么 ( 1 q 。2 - t t h ) 出硝w 群( n 。z - - l j h ) 出 = fr ：w r j ( n 。z z ) + 尺j ( z z ，) + 磁( “ 控 n 一+ z 始寸 汁 驯 帖 v i 胁 p 卜 呱 几 p 肛 蝌蛳 町 p ( - i h x - - l l h ) d x t q ： 轰霹w 僻( 毗刊+ r j ( z 由插值误差估计( 参考【1 8 】，【1 9 】) ，( 2 22 3 ) 右端第一项有以下估计 碍w 辩( n z z ) 出i i r ：w 1 1 w i l r ：( n 。z z ) 出k ， ， 一， t一 茎c ( j t1 d ，) ( j r ( r j w ) 9 d ，) 知1 n z z 1 ，一， ，2 西。懈w h i n 。z 一扎。 2 一三一2 1 二氓矿向f n z z l m 一三一5 o f f w f ! 呐 忱 ( 222 4 ) 由h o l d e r 不等式得 委霹w r j ( n z - z ) a x 爿4 隆。i 拼妇k 蛐 zz s ， c k 9 1 i l w l l z 一4 。j z ! 。n c k 3 5j ；w 0 1 一。，。j z i ：。，。 ( 222 3 ) 右端第二项可作如下估计 e 碍w 靠j ( z 卅) 斑懈机p u , 一呲。 3 一上一4 c h 州b - 8 1 , p , t i z k ， p 由于( z ，7 ，) 2 + 一是( n ) ，】 o ( 参考 1 3 ， 2 0 ) ，那么 v ( z 一“) “i ”2 ”( q ) 嵌入c 岫，口：1 一! 一万一“) ( q ) 嵌入“，口= 一二一万一 因为t q ：，t n q o 中故一定存在q 1 t ，使得 v ( z 一“) ( q 1 ) = 0 ， 于是v x t c q ：，我们有 则 i v ( z 一“) ( x ) i = l v ( z 一“) ( x ) 一v ( z z ，) ( q 7 ) 玉c x - q i 。| z 一“8 ：+ ! 一岛。 222 6 c h 。恬一“。 l ( - - i i i 。，。西。峪一1 1 ：+ b 利用h o l d e r 不等式( 土+ 一1 ：1 ) ，我们有 。萎鼻硝蝴j ( z - u ) d x _ 2 则问题( 311 ) 的解 z ，w 3 1 9 ( 购 为了进行有限元分析，【3 假定q 是有界多边形凸区域且问题( 311 ) 之解 以n 碍3 ( q ，建立( 311 ) 的m o r l e y 元逼近如下 妾“ k h , 使得 ( 31 3 ) 【五 ( z f h ，v ) ( ，v h 一1 1 ) ，v v k h ， 其中拍沪军n 础。u ”若( i , j = 1 2 ) 且 k = v h 圪口a v 考虑辅助问题如下： f 求pe ! r q 、n 2 ( q ) ，使得 1 衄o - - - w u 、& - - ：, 眈，v v 片：( q ) n h ：( q ) ( 3 _ 1 4 其中n r ：是凸多边形区域，并假定，：( q ) ，g ：( q ) n h3 ( q ) 。 今 q 8 = t q ，a g ( x ) l q 。= x q ，口g ( z ) 卢) ( 315 ) 辅助引理3 。1 【3 】变分不等式( 31 1 ) 的解“( z ) 满足下述关系： a u ( x ) = 口在q 。中 a u ( x ) = g ( 砷在q o 中 a u ( x ) = 脏n 9 中 直接验证( 3 16 ) 的解满足( 31 1 ) 以及( 311 ) 解的唯一性而完成证明 借助上述辅助问题， 3 】给出了如下结果： ( 316 ) 定理3 2 设q c r 2 是凸多边形区域，l 是q 的正则三角形剖分，k 是对应简 支问题的m o r l e y 元空间。“。为逼近问题( 313 ) 的解。假定问题( 3 11 ) 之解l ，月：( q ) n 日3 ( 锄，辅助问题( 314 ) 之解g j ( 9 n 日3 ( q ) ，则 忡一“。忆c i ，( k l 加+ l g l 。+ l l x l l 。) ( 3 1 7 ) 3 2 四阶变分不等式问题的m o r l e y 元新逼近 建立问题( 31 1 ) 的有限元逼近如下：设l 是q 的一个三角剖分，满足正 则性假定。为相应的m o r i e y 有限元空间，其形函数为p2 ( t ) ，节点参数为三 个顶点订。处的值及三边t 上法向导数积分平均值。 令 吒= p 。h 置，且在8 q 上节点参数取值为o k = v 。：口a v 。卢 现定义插值算子1 1 。如下： v v h 3 ( t ) ，1 7 t v 只( t ) 使得 1 7 t v ( a ，) = v ( a ) ， a 。n ，础= j 2 - d s , i = l - 3 且满足 兀。v | t = 1 7 ，e 由于吒( v h , v h ) i = ( n ( v 。，v 。) l 。) j 在中不是模 t 因此改写问题( 3 1 1 ) 的形式如下： 设 ( 321 ) 磊( v 撺) = l a 口v a g m 矗，v v h ：( q ) n ：( q ) ， 。j a 2 y ( 322 ) d v 2 i = 一 。 血血， 利用g r e e n 积分公式，容易导出m 】： 盯u 苟( 刚) = d ”诎+ l 2 a 1 2 h a 1 2 v e l l l l a ：v a ：己，v 扭 = d “a v d x + 。( a n s l l a ：v a a 。v ) d s 2： a 。v = a ，v _ ，o ；v = o ，v 薯 悼il = i 22 a 。v = a u v 一5 ，a 。v = a ，v - 5 ， ，= l 1 1 = 1 其中= ( ”。，”：) ，s = ( ，s 2 ) 分别为边界艘上的单位外法向及切向。 注意到虬v j ( q ) n h2 ( n ) 以及q 是多边形区域。则 a ；v = o ，a 。v = o a e 在a q 上。因此 f t ( u ，v ) = a ( u ，v ) ，v u ，y 胃：( q ) n h2 ( q ) ( 3 23 ) 这样问题( 3 11 ) 可改写如下： f 求”k ，使得 i 磊( “，v ) ( f ，v 一甜) ，v v k 此时 瓦( ，v 一) 2 = ( 茸( v 。，h ) i ，) j = l l v 。扎 在p j 中确实是模。事实上，若h 使得 瓦( ，v 。) ：0 则 k = o ，v t e t ( 324 ) ( 325 ) 从而l ，只( t ) ，v t l 又由于v 。吒从而v 。在三角形单元的每条棱上法向及 切向导数均连续，因此，v 。在整个区域q 上必为次多项式，但由于在边界顶点 处v h 2 0 ，因此v i 0 为了获得更优的误差估计，引入修正的离散格式如下 ( 326 ) 其中v 。是v 。的线性部分。 我们有 定理3 2 1 在定理3 ，1 2 的条件下，设h 与“。分别为( 3 11 ) 和( 32 6 ) 的解并 假定“3 ( q ) n h ：( q ) ，g 3 ( q ) n h ：( 卿，则有下述估计式 | | 1 ，一i i h k ( 乩。+ l g l 。) 证明：由三角不等式肛一k j ，一v 。虬+ 牡。一v 。 因“ k ，v v k 有 ( 327 ) = 言 再 卜v 得净使 “ 似求瓦 口慨- - v h 盯曼瓦( “。一h ，”。一h ) = 瓦( z ， 一z ，u 一v h ) + 瓦( 2 f v h , t ， 一v ) = 瓦( “ ，z f 一v h ) 一a h ( ，“ 一v ) + 五h ( z ，一v ，“ 一v h ) - m i l l , - v h k 飞i i 。+ 瓦( 叩。卅。) 一( ，i 瓦l i i u - u 。刮”p i + 地萨) 由上述丌。的定义，v u 日3 ( t ) 利用g r e e n 公式得 弘z ，蚴2 莩l 争2 莩j 2 挚= ( n 脚蚴 由于o t a u ，因此口a ( n 。“) ，即 r l k 从而可在( 328 ) 式中取v 。= n 。，有 f i t , - , , h l l 。鲫陋山i i + 巡等粹 上式右端第一项的估计是m o r l e y 元插值误差的估计m ， i i l l - - n 。“ns 嘶队。 为估计右端第二式，先考察( 31 3 ) 的m o r l e y 元逼近 f 求矾e v 使得 1 瓦( ，) ：( 厂，i l v h y 。， 下述误差估计成立 i g g 。怦乩。 事实上，由s t r a n g 引理 ( 328 ) ( 329 ) ( 321 0 ) ( 321 1 ) ( 321 2 ) 由插值理论 炉g 一雌c ( 糕恬 。i n 。，f i i g v h l l 。- l l g 一兀一g l l 。 - c h t g t ，。 其次，由g r e e n 公式 瓦( 一) = 一莓鼻v g v w m 蚴， ，秘= 一秘2 车胎秘 于是 醵) 一，_ ) 一军v a v ( w 一一瓦蛔 s c h e i g l 玎1 1 w i i 。 ( 32 1 4 ) ( 321 5 ) a h ( u ，丌一“一“一) 一【厂，n 。“一“。) = 瓴( ”，兀。”一i i h ) 一g ( g ，r i 。”一“。) ) + 誊i ( g ，兀一z f 一“。) 一毛( g 。，1 7 。”一u hj 2 莓f a 口( 一g ) a 。+ f a 。( g 喁) a 。一。 = p t ( i ”g ) - ( n 一( 1 7 h i t - - i t h ) d r ( r i )drith)dr + 苫l 鼬m ( n h l - - i i h m ( 。舶a 。( i _ i h l l - i i h ) 拉 3 21 6 + 上a 。( g g h ) a 口( r i 。 一z ，。) d r = t j + i ，+ i ， 其中 学 2 军p ( “吲a ( n h l l - - u h ) 出 ，：= 车l p 。( “一 ，= f a 。( g g ) a ，( n “h ) 一a 。( “一g ) a 。( n “一i i h ) k k g h ) 。a ，( 兀 一“ ) 出 由标准m o r l e y 元非协调估计 2 1 2 2 ，2 有下述估计 ，z ( 盹。+ l g l 。) l l n 一h h k 依据( 3 2i 2 ) ，；可估计为 ，；c l 。i i n 叫m 。 对于，因为 其中 ( 321 7 ) ( 3 21 8 ) 卜军p ( “- g ) a ( n hr d - - h ) 出 2 军p ( “一g ) a ( n 。“一“) 出+ 军p ( “一g ) + ( 1 l - - z l h ) 出 = 1 1 i + 1 1 2 “3 萃p ( 叫a ( n h i t - - i i ) 出 k 2 军脚刊( i i - - i i h 烛 为估计i u v = ( t ) ，令 r 2 击脚， 注意到前文所给插值算子n ，的定义，则 ( t i f ) 2 南p z 胁：舭d ( 321 9 ) 脚似吖) ) 2 击枷，_ g 减那么 “= 莓p ( “一g ) a ( n 。u - u ) d x = 善一g ) 一r ( ( “一g ) ) 】- p o ( a “) 地r k 从而由数值积分误差得 ，。c h 2 ( 虬。+ 1 9 k ) 卜3 , o ( 322 0 ) 下面估计，：，令 v + = m a x ( 0 ，v ) ，v 一= m i n ( o ，u ，则v = v + + v 一， 从而 ，1 2 ：莓p ( ”一g ) + ( 1 l - - i i h ) a x + 莘p ( “一g ) 一a ( 1 l - - 1 1 h ) d x ， 由于口a u 卢以及辅助引理311 有 ，】2 0 a ( u - - “h ) 出( “一g ) + 一a ) d x = 0 a ( h - - i i h ) 出( “一g ) 一 一p ) a x = 0 ( 322 1 ) 综合( 321 6 ) ( 322 1 ) 得到 呻a ( u , n b “。u + - l 甚篙i i h 川如唯kq ) b k 。 ( 3 ：， ( 盹，。+ 乩圳兀一”2 ( 睢。+ 乩。) - 。 ” 若 8 n 一“。忙h ( 1 l 。+ l g l 。) ， 由三角不等式及f 3 2l o ) 得 ，一z ，。| | 。i ，一h z ，l i 。+ l l n 。“一“。i l 。 兰c h ( i , ，k + l g l 姐) 定理3 21 得证 若 + 厂 b 0 b 0 一 一 “ 甜 ( ( r，盯r打 是f i i n 一u h 忪蝌，k + l g l 。) ，则由( 322 2 ) 得 ( u , r i h u - - u h ) 一( ，丽万i ) ( i 。+ i g l 。) 忆一甜。忆 将( 322 3 ) 代入( 3 29 ) 即得定理3 21 。 3 3 四阶变分不等式问题的8 参数非协调矩形元逼近 f 322 3 ) 建立问题( 324 ) 的有限元逼近如下：设l 是q 的一个矩形剖分，满足正 则性假定。t l 为剖分单兀间，在单兀t 上定义有限兀如f b = p2 ( t ) u 3 ，y 3 ，= 0 ，v ，k 矗豢盎嘉凼未西五詈丞 其中v ，f 罢出，f - 1 ，2 ，3 ，4 如前所定义。 “l 棚 x 。为相应的8 一参数有限元空间， 令 圪= v 。1 v 。乩，且在a q 上节点参数取值为o j k 。= p p j 口a v 。蔓卢l 现定义插值算子f i 。如下 v r h 3 ( 1 ) ，l i ，y 只( t ) 使得 容易验证 h t v ( ，) = v ( a ，) ， 争t 池= l d s , i = 1 4 且满足 兀 v ft = 1 - i t v ( 331 1 a hv h , v 。) i = ( 万( v 。，v 。) l 。) j 是k 中的模 t 下面建立问题( 324 ) 的8 一参数元逼近如下： f 求“ k 。，使得 k ( 一“。) ( ，i 五) 咖k 。 其中v 。是h 的线性部分。 我们有 ( 33 2 ) 定理3 31 设“与 。分别为( 324 ) 和( 3 32 ) 的解，在定理321 的条件下 下述估计式成立： l l u 一1 1 h | i 。c h o i ，。+ l g l ；。) ( 333 ) 证明：由三角不等式降一忙一+ 忙。一v 因为甜自k ，v k 有 所以 a i b 。一v 。| | 。2 苟h ( 1 l 。一v 。，“。一v 。) = 瓦( “ 一i i , z ， 一v ) + 瓦( 甜一v h , z 一v ) = 瓦( “ ，z f 一v ) 一矗 ( “，z f h v ) + 日 ( z ，一v h ，z ， 一v ) - c m i i - - v h k 飞1 1 。+ 瓦( ”旷v 。) 一口，i 忑) 卜“ - c ( 1 r r