（计算数学专业论文）helmholtz方程在三层平板光波导中的特征计算.pdf

浙江大学颐士学位论文 摘要 本文主要提出了一种在上下无界的平板光波导区域中计算h e l m h o l t z 方程的 特征问题的有效数值解法。 对于求解无界多层均匀的光波导特征问题，以往的方法首先是简单地设立假 的边界条件将无界的求解区域有界化，如设这些边界条件为第一、第二或第三类 边界条件。这种做法只是将原方程特征问题粗糙地近似化，所以无论是对此近似 问题进行精确求解还是离散方程后进行数值计算，解的偏差会变得很大，导致解 的逼近效果变差。产生偏差的主要原因在于这样的边界条件实际上并不符合无界 区域中光波传播的特性。因此，人们在边界处改进化引入让波向外传播的条件， 即所谓“o u t g o i n gc o n d i t i o n ，从而将无界的求解区域有界化，并根据包层与芯 层之间的界面条件，建立关于特征值的非线性方程。由于求解非线性方程一般采 用迭代法，如牛顿法，所以其收敛性严重依赖于迭代初始值；然而，选取合适的 初始值使迭代法收敛在数值计算上是一件非常困难之事。 因此，本文采取从h e l m h o l t z 方程出发，引入完美的匹配层( p m l ) 将无界 的求解区域有界化，将方程离散化( 包括层与层之间的界面条件及上下边界条 件) ，得到一复矩阵，利用非对称广义r a y l e i g h 商迭代具有良好的局部收敛性和 快速收敛的特点，构造多重广义r a y l e i g h 商迭代的方法来计算矩阵特征值逼近 方程特征值，并对计算误差做了一定的分析。数值模拟计算结果表明，利用这种 方法，不仅可以近似求出h e l m h o l t z 方程在无界光波导中的传播模的特征分布， 而且可以大大改善数值求解的精确度，又具有易于数值计算的优点，如保持三对 角矩阵运算，极大地减少了存储空间和计算量。 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t s l a bw a v e g u i d e sa r ec o m m o n l yu s e di np h o t o n i ci n t e g r a t e dc i r c u i t s s ot h e i ra c c u r a t e m o d e l i n gi se s s e n t i a lf o rt h ed e v e l o p m e n to fn e w , h i g h e rp e r f o r m a n c eo fo p t i c a l c o m p o n e n t sr e q u i r e db yh i g h b a n d w i d t hc o m m u n i c a t i o n ss y s t e m m o s tn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n so fn o r m a lm o d e so fs l a bo p t i c a lw a v e g u i d e sa r e c a r r i e do u tw i t h i naf i n i t ec o m p u t a t i o n a ld o m a i n ，w h i c hl e a d st oad i f f i c u l t yw h e nt h e i n v e s t i g a t e dm o d ee x t e n d so u t s i d et h ed o m a i n t h u si t i si m p o r t a n tt ou s ea c c u r a t e t r a n s v e r s eb o u n d a r yc o n d i t i o n so ra b s o r b i n gl a y e r st os i m u l a t et h eo p e nn a t u r eo ft h e c r o s s s e c t i o nb e y o n dt h ed o m a i nb o u n d a r y i nt h i st h e s i s ，w eu s et h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ( p m l ) a sam a t e r i a la b s o r b i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n ( a b c ) t os o l v et h eh e l m h o l t ze q u a t i o n t h ep e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r ( b e r e n g e r , 1 9 9 4 ) i sa l la r t i f i c i a li n t e r f a c eb e t w e e n t w oh a l fs p a c e s ，w h i c hh a st h e v i r t u et h a ts u r r o u n d i n gt h ec o m p u t a t i o n a ld o m a i ni tc a nt h e o r e t i c a l l ya b s o r bw i t h o u t r e f e c t i o na n yk i n do f t r a v e l i n gw a v e st o w a r d sb o u n d a r i e s t h el o s so f l o s s yh a l f s p a c e i s i nt h ed i r e c t i o nn o r m a lt ot h ei n t e r f a c e ，a ss u c h ，t h ep m lm e d i u mh a sb e e n c o m m o n l yu s e da st h eb e s ta b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o nf o rn u m e r i c a ls o l u t i o no f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i th a sb e e nd e m o n s t r a t e dt h a tp m li nc a r t e s i a nc o o r d i n a t e si se q u i v a l e n tt o c o o r d i n a t es t r e t c h i n gi nt h ec o m p l e xs p a c e ，t h r o u g hac h a n g eo fv a r i a b l e s ( c h e wa n d w e e d o n ，19 9 4 ) i nb r i e f , b yr e f o r m u l a t i n gt h ew a v ee q u a t i o n ，t h ep r o b l e m i sd e d u c t e d t oac o m p l e xe i g e n v a l u cp r o b l e m h e r e ，t h ef o r m a l i s mo fc o m p l e xc o o r d i n a t e s t r e t c h i n ga l l o w su st or e u s ea l lt h ee i g e u m o d ef o r m u l a sd e r i v e df o rt h en o n - p m l c a s ew i t h o u tm o d i f i c a t i o n ，s i m p l yb ya l l o w i n gt h ec l a d d i n gt h i c k n e s st oa s s u m e c o m p l e xv a l u e s ( b i e n s t m a ne ta 1 ，2 0 0 1 ) ( d e m d d e r e ta 1 ，2 0 0 1 ) t h e n ，u s i n gt h ea l t e r n a t i v en u m e r i c a ld i s c r e t i z a t i o nb yt h ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ，t h eh e l m h o l t ze q u a t i o nl e a d st oa na l g e b r a i ce i g e n v a l u ee q u a t i o n s i n c et h e 3 浙江大学硕士学位论文 c o r r e s p o n d i n gm a t r i xi san o n - h e r m i t i a nm a t r i x ，i ti sd i f f i c u l tt oc o m p u t et h ee x a c t e i g e n v a l u e s t h i st h e s i s w i l lp r e s e n ta l l a l t e r n a t i v em e t h o dt os o l v et h ec o m p l e x e i g e n v a l u ee q u a t i o n w em a k eam o d i f i c a t i o no ft h ec l a s s i ci t e r a t i o nm e t h o d g e n e r a l i z e dr a y l e i g hq u o t i e n ti t e r a t i o nm e t h o d t h i st e c h n i q u eh a sab e t t e rl o c a l s t a b i l i z a t i o na n daf a s t e rc o n v e r g e n c e b yt h ee n d ，w ea l s og i v es o m en u m e r i c a le x a m p l e st od e m o n s t r a t et h es u c c e s s f u l u s e so f p m lt e c h n i q u e 4 浙江大学硕士学位论文 1 1 理论背景 第一章引言 介质光波导是集成光路中普遍存在的。随着光通信技术的不断发展和集成光 路研究的不断深入，非常有必要对各种不同波导结构的介质光波导的传播模式及 电磁场分布进行详细的分析，建立起精确的数值分析或近似计算方法，以期对光 波导的结构进行优化，进一步提高器件的性能。平板光波导是其中最常见的一种 介质光波导】。 目前对介质光波导的研究有多种解析和近似的方法。一是射线( 或光线) 分 析法，它是建立在全内反射的原理之上，物理概念清晰，并能得出一些光在波导 中传输的基本特性，很直观。但缺点也很明显，它并不能得出波导中的场分布。 二是利用模式匹配方法( c o u p l e dm o d em e t h o d ) 1 9 1 。这是迄今比较成熟的理 论方法。它利用一正交完备组的模式展开，从而问题的解由相应的一组耦合系数 来表示。但是其公式推导繁琐，且随着模式的增加，计算量比较大。 三是解析法0 】。根据分离变量法来求解偏微分方程，可将解表示为已知函数 的形式，从而计算出精确的数值结果。它还可以作为近似解和数值解的检验标准。 但是它仅能解决很少量的问题，不具有普遍性。平板光波导由于无限的边界条件， 还没有简洁的数学表达式。 四是数值求解波动方程”4 】。它是目前最常用的方法，在计算电磁学的各个领 域巾得到了广泛应用。求解波动方程的方法可以有有限元方法、有限差分方法、 及积分方程方法等。这类数值方法对复杂问题有较强的适普性。这些数值方法都 属于全局方法，都将导致高阶系统，因此将会占用大量的c p u 内存及计算时间。 若遇上非稀疏矩阵，更在计算空间上碰到了很大困难。目前纯数值法正在发展当 中，大量研究工作都在探讨相应的计算技术及手段。最新的发展动向是研究高效 的并行数值算法。 一般来说，数值求解波动方程仍比其它方法来得更加容易，速度也更快。 浙江大学硕士学位论文 而且与其它绝大多数波导器件不同的是，光波的波长很小而且光波导是开放 式结构，因此用有限网格划分空间并引进计算时，需要设置其吸收边界条件m 。 如果不对边界条件进行处理，就会发生边界反射。在这种情况下，必须引入适当 的吸收边界层条件把计算空间截断，并且应保证在截断边界处只有向外传播的波 而没有向内传播的反射波。吸收边界的效果直接关系到数值计算的正确性和精确 性，是影响计算品质的决定因素。j p b e r e n g e r - t 1 9 9 4 年首先提出了高效的二维 理想匹配层( p m l ) 吸收边界条件的概念 6 1 。后来，又在理论上证明了该方法可 以完全吸收来自各个方向、各种频率的电磁波，而不发生任何反射。它被认为是 目前最好的吸收边界层条件。 在各类介质波导问题中，特征方程问题始终是核心问题。所以，我们从数值 角度出发来分析此特征问题。我们运用有限差分方法来离散，得到代数特征值问 题。本文的重点就是在于运用恰当方法求得精确的特征值。 以下第二章先介绍了完美匹配层的概念，及引入完美匹配层后对应的方程的 复坐标变换；第三章陈述了引入完美匹配层后方程的特征值问题，以及差分计算 时的离散方法；并在第四章中，利用了多重广义r a y l e i g h 商迭代法计算其对应 矩阵的特征值；数值例子将在第五章中给出。 1 2 基本方程 平板波导，又称平面介质波导。它有两个介质交界的界面，因此有三层( 见 图1 ) 。中间层折射系数为强，厚度为d ，称为波导的芯层。光波就在芯层中 传播。另外两层为包层，折射系数分别为m 和喝。为了使光波集中在芯层中， 即光波在通过上下包层的交界面处发生全反射，和n 3 必须小于n l 。如果 也n 3 ，平板波导是非对称的，而在也= 鸭时，例如两者都是空气时，就形成了 对称平板波导。对称平板波导其实是非对称平扳波导的极限情形。为方便起见， 在这篇文章中，我们讨论对称平板波导。 浙江大学硕士学位论文 x 敷层n 2 d 旅板厶， | 7 图1 介质平板波导示意图 在研究此类光波导问题的数值方法中，模式展开方法是最基本，也是最不可 或缺的方法。非对称平板波导存在着数目有限的传播模，并且还有连续的无限多 个非传播的辐射模。其中，传播模也可以从几何光学的观点来考虑。利用有限差 分方法求得的就是传播模相应的特征值。 按图1 所示，将波导的纵轴定义为x 轴，且在波导中能量是沿z 方向传输。 这样选取坐标后，平板波导的研究就成为二维问题了。光是一种电磁波，根据麦 克斯韦方程，可以导出二维光波导中的导波的波动方程亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程：令d = 2 , ， 其中j ，z 的定义域分别为- - o o c x ，0 h ) 处截断，并且假设有边界条件在x = 日2 处有 d = 0 。根据推导可知，若选取适当的条件，可使光波导在x = + h 2 处的反射足够 小。 浙江大学硕士学位论文 这样，在计算边界的周围，都有完美匹配层作为吸收介质。波由区域内通过 边界传播到完美匹配层时，基本上不会发生反射。波在完美匹配层中传播时，也 不会发生反射，并且按传播距离的指数呈规律衰减。当波传播到完美匹配层的外 边界时，波场近似为零，也不会发生反射。 实际上，b e r e n g e r 所假设的完美匹配层内的电磁场并不存在，它是一种假想 的能产生电损耗和磁损耗的各向异性介质。所以，完美匹配层自身可以被看作是 一个狭窄的介质层，在这一介质层中，任何角度的入射光都被完全吸收。 以下在计算操作中，我们记d ( d h 2 一且) 为完美匹配层的厚度，分别以 也一d j h 2 与一 x 一( 凰一d ) 作为正半空间与负半空间的完美匹配层。 完美匹配层( p m l ) 可以看作是变量x 通过衰减系数仃( x ) 的一个到复坐标系上 的伸展变换： j = x + f r 盯( r 弦， 其中盯( x ) 是一个正的，且连续的函数，满足r 2 仃( f p f 足够大，且 仃( z ) = 彦( c ，x ) = c 鲁，h ：- d x 峨； c - 立l + t 2 2 ，一致x 一也+ 。； 0 ，其他 其中， = x - ( h 面2 - 一d ) ，f 2 = ( - - h 1 2 + 厂d 一) - - x ，面问题( a ) 被截断为以下问题( b ) 。 问题( b ) ：在复空间内的h e l m h o l t z 方程； 屯+ 虹+ 露砰i = o ，当h q ； 屯+ 屯+ 蚝2 心2 ” = o ，当q i x i 一d ；0 3 ) 小去昙( 高罢) 吲汹，当h a - d lt? z ) r + h ? fl i m 上堕：l i r a 上堕 i h 端p l0 x z 十8p 20 x ， l 。 ，。) - ，+ l i r a 啊i ( 五。) 在上下两包层的最外端产生的边界条件为： 罢l ：，= 口二i ，；。：和- 誓x _ h , 2 = - - a u 一。：， 其中是一模足够大的常数。因为当选择c l 足够大时，相当于= 0 ，即最外端的 场量为零。 理论上，若口o ) 越大，当电磁波穿过完美匹配层的边界时，穿透波会衰减 地越快，当然由数值方程产生的解也越来越接近于精确解。我们现有结论：当 奠。o - ( r 矽r 寸+ 。o 及譬”盯( r p r 寸佃时，女收敛于“。但是，由于数值计算 时舍入误差的影响，方程离散的密度也会影响盯( 工) 的选取。 经过坐标变换后，方程( b ) 可以简写为： 。+ p ( q f i ，) ，+ y f i = o 其中 p ( 舢) 刊郴) ：南当h 2 _ d h 姒，p ( 舢) = g ( 郴) = 1 + 打( x ) 一2 ” 2 ， 【1 ，其他 f 砰，当h s q 尸1 砖，当；i ， 邮h 2 。 在以下章节中，我们将集中讨论如何用数值方法求解h e l m h o l t z 方程( b ) 的特 征问题。 浙江大学硕士学位论文 第三章特征值问题 虮在，我们先讨论引入p m l 后的万崔( b ) 的特，仕值i 列越。 为方便起见，令h 趋向+ o 。，则这意味着：乱。= 乱一。，= o 。对于一固定z ， 令辑( x ) ，五( x ，z ) ) 分别是以下问题的特征值和特征函数： p ( 口五) ，+ 力= 互 ； ( 1 ) 在土片，处的面边界条件为： b u 嚣上a a 2 螺去尝 l 舞2 岛 及 il i m 上盟：l i m 土盟 j ，一日i d xz + ，岛d x ，( 3 ) l l i r a 蚺= ，磐， 包层在完美匹配层处的边界条件为 k = 札。= 0 ， 其中仃( ( h ：一d ) ) = o ，盯( ( 嘎- d ) ) = o 。 根据偏微分方程的理论，它必产生关于特征值五的非线性方程，( 互) = 0 ，其 中五是复数。若用数值问题求解，则必须使用牛顿下山法等迭代法来求根，但这 一类迭代法只有一阶或二阶收敛速度，而且迭代的初值也很难选择，从而影响计 算的精确度。所以我们利用有限差分方法来求解相应的数值特征值问题。 问题( 1 ) 、( 2 ) 和( 3 ) 有无限多个特征值，且备特征函数可组成完备的正 交基。但是，若通过离散，这个问题就变成了有限维问题。因为p ，日，都是 浙江大学硕士学位论史 有界区域内的函数，故( 1 ) 的特征谱也是离散的。 现在对方程( 1 ) 、( 2 ) 和( 3 ) 进行离散化处理。平板光波导在引入完美匹 配层( p m l ) 后，相当于具有五层介质，所以必须对各层分别离散。取x 方向的 网格点为： 1 在h 日l 内，2 蠡，女= 。，1 ，2 ，l ，其中反= 哆a + ) ； 2 在h l x h 2 内，= 啊+ 一l 一 ) 疋，k ；i + 1 ，l + 2 ，1 + 2 ，其 中岛= ( 见一+ ) ； 3 在一以 x - h i 内，气= 一q + ( t + 1 + ) 最，i = 一( 。+ 1 ) ，一( l + 2 ) ，一， 一( l + n 2 ) ，最同上。 为叙述方便起见，以下把出现的f i 重新简记为，且互也简记为a 。 我们利用一阶及二阶差分公式： ( 警 毕， p 丢( p 警l “铷+ + 华 华 来推导差分方程。以上计算时是利用空间上相距半个网格的场值，然而在完美 匹配层的外边界上，向外半个网格的场值是没有被定义的。因此二阶差分公式 在此边界上是不成立的，必须进行适当修改，或借由其它的公式来计算。由于 使用了上述对x 方向上的离散方法，我们不需要利用匹配层向外半个网格的点， 而且由于完美匹配层的外边界处的场值可以近似为零，故离散后的格式就变得 方便了。 同时，对于包层与芯层间的边界条件( 2 ) 和( 3 ) ，我们利用延拓方法来进行离 散。 以下以x = q 处为例。由于与该点相邻的两离散点分别为h = 塌一和 + 。= h 14 - ，孤点与点h 岵= q 的距离部相等。为此，定义矗。= q 一， 浙江大学硕土学位论文 嘎+ = q + 。这相当于吒与j 毛+ 。分别为h 。与h 在离散方向上的延拓，且 特征场量分别为p m 、伊。 由边界面条件( 2 ) 得： f 如! i 二丛：坠：i 二啦 j 岛嘎岛点 l 丛! ! 坠：墼! 立如 【 22 由上述两式可得： 一 2 p 1 6 ，氏+ ，+ ( 岛疋一n 4 ) “ 眠”2 赢再面p 2 产n 岛+屯 。( n 4 一岛疋) 氏。+ 2 岛杰氐 2 i 泰亩产 同样地，在z = 一h 附近，也可以利用此延拓方法。由边界面条件( 3 ) ，可 得 x ( 一q + ) 和一 x ( 一q 一 关于h = x ( 一目+ ) 与 ，= 妒 x ( - h i - ) 卜抗 这样，若令妒= p 托+ 屿，氏啦- i ，一，破，丸，丸l ，一，盘。m + 屿叫，丸。】+ 也， 7 。则可把方 程( 1 ) 化为向量形式，即： 删= 删 ， ( 4 ) 其中a 是如下在复数空间上的维数为n ；2 ( l + 2 ) + l 的三对角矩阵： a = b n j n zc n j + n l q n l + n l _b n v l _ c n 【+ n 2 一i _ r 。ib lc | _ _ c l ( m + 也一j 】6 - ( i + m l 】c _ ( m + 一 疋( 川+ 2 )6 - ( n t + 也) 且矩阵4 的各元素满足： 1 4 浙江大学硕士学位论文 1 ) 当卅 l 时， q = 万1 乃易。：，0 ；k 2 惕2 一万1 日( 只。：+ 马。：) 2 i p i p 一2 2 ) 当，= l 时 旷毒斋基z旷耳雨专商印川“ q = 瑶砰一毒马( 日。：+ 五云拿去i 竹。：) ，。= 专马巧。： 3 ) 当，2 i + l 时，q 2 万1 乃所w z ， q = 瑶一毒乃。岛q 2 p + = 4 鬲嘶。 2 p ，6 ， c j 2 虿雨节西竹b “2 ； 4 ，当户m 时一= 毒m 。：_ = 砖砰一毒p ，( 万署帅：饥，：) c i = 画2 丽p 丽, 4 p i p 川2 5 ) 当，= 一u u + 1 ) 时 圹毒蔫：圹虿雨赢只，2 q = 瑶一寿乃( 马。：+ 五丽2 p 2 6 2 竹。： ，q = 壶所日。： 6 ) 当l + 2 l 卅i + 2 时，巳= 虿i 只马w ：，q2 砖”；一三f p j ( p j w ：+ 只w ：) 2 虿p p ：“2 5 浙江大学硕士学位论文 第四章特征值问题的数值解法 求解a 的特征值是一个棘手的问题。a c “，它虽然是三对角矩阵，但非 对称，而且还是在复空间上，非共轭。目前为止，并没有理想的算法来求解它的 全部的精确特征值。 由于爿是一个三对角矩阵，利用这一点，迭代法和反迭代法无疑是更佳选择。 对于一般的对称r a y l e i g h 商迭代，对应的渐进收敛速度最高为两次。由于a 是 非正规矩阵，对称r a y l e i g h 商的稳定性对之不一定成立，所以如果由任意一个值 作为迭代的初始值，我们还不能判断它收敛到哪一个特征值。故我们采用稳定性 及收敛性更佳的非对称广义r a y l e i g h 商迭代。 4 1 非对称广义r a y l e i g h 商迭代 o s t r o w s k i 提出的非对称广义r a y l e i g h 商迭代。( t w o - - s i d e di t e r a t i o n ) ： 非对称广义r a y l e i g h 商迭代是利用广义r a y l e i g h 商进行的。其中广义 r a y l e i g h 商的定义为： p ( v ，“) s 尸( v ，州) 皇，嘭。， ( 5 ) 其中v 、“分别代表定义域内的行和列向量，表示矩阵的共轭对称算子，并且 假设v “0 。 稳定性：p 在点( 矿，) 稳定，当且仅当v 和 分别为a 关于特征值p 的行和 列特征向量，及，“0 。 证明：令户= p ( v ，“) ，及= ( v + 御) 0 + 班) 譬o 。则有 尸( v + 御，“+ 玎z - p i = 黝( a - p i ) “+ r l v ( 4 一p 1 ) z + r l c o ( a - p o z a 这对所有+ 和z 都是d ( 研) ，当且仅当( a - p ) u = o ，v ( 一一p ) = o 。 证毕。 浙江大学硕士学位论文 以下是非对称广义r a y l e l g h 商迭代对任意的矩阵爿的算法： 取初始特征向量嚣和满足器0 ，懈0 = l m = l 。 对t = 0 ，1 ，2 ， 1 ) 计算丸= p 雠，7 。) ， 2 ) 若a - 4 , 1 奇异，解方程y ( a 一五，) = o 和( a - 2 k i ) x = o ，得y ，x o ，停 止：否则 3 ) 解 嚣+ ，( 彳一 ) = 爿咋， ( 6 ) ( a 一五) 仇+ = 仇q ， ( 7 ) 其中u 和气都是正规化因子； 4 ) 若美+ 。仉+ = 0 ，则停止，失败。 局部收敛性：若当_ 。o ，美- - y + ，仉呻x ，其中y + 0 2 i ) = o ， ( a - m ) x = o ，y * x 0 ，删= l l ，l | = 1 ，则太- - , t ，且此渐进收敛速度为三次。 以下证明非对称广义r a y l e i g h 商迭代算法的局部收敛性。 定理1 ：设盯是爿”。”的其中一个特征值，则存在正的占o ) = 巧，a ) ，和 某一关于向量分量孝与玎的函数p l ( 亭，7 ) ，手、印与局( 六玎) 都只与盯的选择有关， 当 l 矗一盯l j 。且乃( 彘，编) o 时r 我们有数列 五) 趋向于盯。 证明： 由于原问题有连续谱，所以方程( 1 ) 中的数值特征问题具有n 个各异的特 征值，即4 与某对角矩阵相似。设此对应过渡矩阵为s ，则有 s a s = d i a g ( o ，0 2 ，吒，o - ) 。 ( 8 ) 在这个变换中，向量仉s 。代替了原来的仇，s 最代替了美，内积仇彰则不 l 浙江大学硕士学位论文 燹。由( 5 ) 式定义的广义r a y l e i g h 商的值不变，迭代过程中( 6 ) 、( 7 ) 也不受 影响。故我们可以假设a 具有形式( 8 ) 。 相对应的，向量最，仉也可表示为： 磊皇( 菩“，酲2 ，掣，酲? ) 皇( 并“，髫砷) 坑皇( 牲堪协- ( 0 喇) 皇( 社) 令 p l = “”= p ( 岛，叩o ) = 珩。钎o ( 9 ) 再令b = d i a g ( 0 2 ，吒，o n ) ，由( 6 ) 和( 7 ) 可得， 酽“) = ；哥“，_ f “1 ) = ；_ p ) ，( = o 川1 ) ( 1 0 ) 盯一盯一 ( b - ，) g “1 = 器“，, 7 7 “( b 一以j ) = “，( 女= o ，1 ，) 。( 1 1 ) 根据( 1 0 ) ，再令 m = 丌( o - - 2 。) ，o = o ，l i 1 - - ) ( 1 2 ) 从而我们有 冉去辨牡瓦1 一。 ( 1 3 ) 再由a 的分解( 8 ) ，联合( 1 3 ) 和( 9 ) ，我们可得 喇= 薏一，其中z ( ”= 掣 则由五的定义得 仇其2 薏+ 似，其中( ”= 斑q 弘 扣。丽t h a 参；町2 警筹地q ， m ：， 其中皿= 筹器 ( 1 4 ) 8 浙江大学硕士学位论文 现令 则由( 1 1 ) 得 m ”= ”2 0 , v 川，2 , v ”，乏+ ) - 磋挈矗等 ( 1 5 ) ( o v - - ，- ， k ，y ：( ，k + ”= 彰譬，哇( 吒一 ) = 磋? 彰譬：打( q 一 ) 一1 彰譬，拳；啦? 兀k - i ( q 一 ) 一i 代入( 1 5 ) ，可得 州“- r 一c o ) 兀( q 以) 。受譬 - i 雹”= 吒冼譬兀( 吒一丑) 4 ；拶 故由z 耻及( 的定义得 z 耻) - 掣，= 州“， z 忙- c r n o ) _ ( q a 州 ) 。 v = 2 现令 卿h 盯i = 2 d ， 其中d 是关于4 的其次函数。不失一般性，令d = 1 ，即 再令 i o v 一盯i 2( o v 圹) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) “ 硝= p 2 ( 磊，) = i 班譬最? 1 = 2 1 ：1 ， ( 2 0 v f f i 2v = 2 一( 觚) = 拶 若彘，已经是爿关于口的左、右特征向量，则有p ：= o ，p = 。o 。另一方 面，如果磊和r o 的其中一个向量对应于特征值盯空间内的向量分量为零，则有 浙江大学硕士学位论文 p = o 。所以p 在某种程度上代表了向量彘、离对应特征向量有多近。 现令 罂罂i 盯，一盯1 2d 1 ， 从式( 1 6 ) 及( 1 7 ) ，可以得到 z 一圹州t ) ：叩器( o v - - 0 ) f i ( q 一口) 2 彰? 。 ( 2 1 ) 现在，我们假设存在一个固定的女，有 l 丑一仃l 1o = o ，l ，一1 ) ， ( 2 2 ) 则从( 1 9 ) 可以推出 l q 一五l = i ( t 一盯) 一( 以一盯) l ( q 一盯) 一( 一仃) i 2 1 = 1 即 故由( 2 1 ) 得 0 = 0 ，1 ，t l ；v = 2 ，3 ，功 i 去卜c 删凡卜；v 铊s ，神。 c z s ， l 互“一仃v l 吐嘭- 睫叫院， 再代入( 1 8 ) ，联合( 2 0 ) 得 z 御一剁站旧孙雌小d 另一方面，由( 2 3 ) 得 故 陋( t 一 ) 。l l d i m 】l - - k 0 ) 篡”l = i 州1 ( 2 4 ) 2 0 浙江大学硕士学位论文 妒，i 宝| ：o ，卜 我们从( 1 4 ) ，利用( 2 4 ) 及( 2 5 ) 得： 若定义占如下 刚 万篱啬。 占= 占c 孝。，) = m ，n ( ；，詈 并令成立比( 2 2 ) 更严格的关系： 从( 1 2 ) 式帆的定义得： 又从( 2 6 ) 得 故由( 1 4 ) 得： l 仃一以i s 占( s = 0 ，1 ，女一1 ) i 以一。i s 圳2 舞砑嘉 吾 ( 2 5 ) ( 2 6 ) i a , - a 1 参帆1 2 2 分渤2 如( i _ 删 ( 2 7 ) 故只要假设p a i j 成立，则k o - i _ a 也成立。 以上证明了非对称广义r a y l e i g h 商迭代对a 的局部收敛性。 4 2 多重r a y l e i g h 商迭代的算法 证毕。 令埘是一正整数，表示把c 分成t n 等分。我们给出精确求a 特征值的多重 r a y l e i 曲商迭代算法旧具体如下： 第一步：令，= o ，q ( x ) = 号( o ，z ) ，对应得到的矩阵4 是实矩阵，求出其 堑坚茎兰堡圭兰垡堡兰 特征值 掣) ； 第二步：对，= 1 ，2 ，m 1 ) 计算c j = 鲁，巴( z ) = 彦( e ，x ) ； 2 ) 计算对应方程离散化后的对应矩阵正： 3 ) 分别以4 一得到的特征值 硝川) 为初值，进行非对称广义r a y l e i g h 商迭 代，得到4 的特征值 硝1 ，i = 1 ，2 ，n 。 注：矩阵4 是由矩阵冬，微小扰动得到的。根据前面的定理，我们得到，从 4 一处求得的特征值可以作为在4 处的非对称广义r a y l e i g h 商迭代的初值，从 而保证它的局部收敛性质。 另外，由于4 是个实数范围内的三对角矩阵，通过把它转化为对称矩阵， 从而利用l a p a e k 中的程序包求出其特征值。 浙江大学硕士学位论文 第五章数值模拟结果 利用上述方法，我们测试了几个数值例子。 例1 ：t e 情形。令啊= 1 4 6 ，n 2 = 1 4 8 ，h i = o 2 m ，4 = 1 2 珊。图1 和图2 分别给出了取完美匹配层的不同厚度d = 0 2 口州和d = 0 3 9 m 时的特征 值分布情况。离散过程中都取n = 5 0 0 等分和把c 分成m = 5 0 0 等分。 例2 ：t m 情形。仍选择与例1 中相同的参数，m = 1 4 6 ，n 2 = 1 4 8 ， q = 0 2 z m ，也- - 1 2 t m 。图3 和图4 分别给出了取完美匹配层的不同厚度 d = 0 2 , r i m 和d = 0 3 m 时的特征值分布情况。 三 窑， 山 芎 正 o e 图1 ：t e 模，c = 1 0 4 ，n = 5 0 0 ，m = 5 0 0 ，d = 0 2 t t m 浙江大学磺士学位论文 呈 宝 山 鼍 凸- r e a lp a r to fe i g e n v a l u e s 图2 ：3 e 模。c = 1 0 ，n = 5 0 0 ，m = 5 0 0 ，d = 0 3 p r o r e a lp a r to fe i g e n v a l u e s 图3 ：t m 模c = 1 0 4 ，n = 5 0 0 ，m = 5 0 0 ，d = 0 2 1 t i n an焉a石面苫焉n哥山l 浙江大学硕士学位论文 三 璺 山 口 七 正 e 图4 ：t m 模，c = 1 0 4 ，n = 5 0 0 ，m = 5 0 0 ，d = o 3 t i n 从以上图中可以看出，我们得出了漂亮的特征值分布图。以下，我们分析使 用非对称广义r a y l e i 曲迭代与使用对称r a y l e i g h 迭代得到的不同。圈5 和圉6 分别给出了在t e 情形与t m 情形若分别使用这两种算法的特征值分布图，以供 比较。 浙江大学硕士学位论文 r e e lp ar te fe i g e n v a l u e s 圈5 ：t e 模，c = 1 0 4 ，n = 5 0 0 。m = 5 0 0 ，d = 0 , 2 , u m 图中0 表示由非对称广义r a y l e i g h 迭代得到，而“”表示由对称r a y l e i g h 迭代得到。图形放大后发现。大部分模式的特征值相同，但对于传播模和 p m l 模，有几个不同值。 r e a lp ar to fe i g e n v a l u e s 图6 ：t m 模，c = 1 0 4 ，n = 5 0 0 ，肌= 5 0 0 ，d = o 2 p r o 嚣nl芒雪山售芑正孑e 呈芒61山j0葛皿霉e 浙江大学硕士学位论文 上图中0 表示由非对称广义r a y l e i g h 迭代得到，而“”表示由对称r a y l e i g h 迭代得到。图形放大后发现大部分模式的特征值相同，但对于传播模和p m l 模。有几个不同值。 三 堂 山 。 七 ( 3 - 图7 ：醚意取的若干个特征值的收敛情况，t m 模， c = 1 0 4 ，n = 5 0 0 ，m = 5 0 0 ，d = o 2 t i n ，其中o 表示第一个特征值 表示第4 9 个特征值，一表示第6 0 个特征值。 从图7 中可以看出，利用非对称广义r a y l e i 曲迭代，特征值有很好的收敛 性。根据统计，在这5 0 0 个迭代算法中，前4 个分别利用了七，八，三，四次迭 代，第5 至1 4 个利用了3 次迭代，1 5 至3 6 3 个利用了2 次迭代，其余只需一次 迭代即可，从中可以看出其极快的渐进收敛速度及良好的局部收敛性。 最后，对于本文新提出的多重广义g a y l e i g h 商迭代，若把它与一般的广义 r a y l e i g h 商迭代比较，会得到图8 中的结果。由于一般广义r a y l e i g h 商迭代的收 敛性与稳定性强烈依赖于迭代的初始值，从而计算的精确性很难保证。 浙江大学硕士学位论文 三 璺， u o 芑 正 e r e 截p a r t 讲e g e 州a l 怕3 图8 ：例1 中d = o 2 l t m 时的特征值分布图，“0 ”代表了利用多重广义r a y l e i g h 商迭代方 法得到，“”代表的点由一般的广义r a y l e i g h 商迭代方法得到。 浙江大学硕士学位论文 结论 本文将完美匹配层( p m l ) 吸收边界条件用于平板波导的数值研究，并使用 差分方法导出其特征方程。对于平板波导中此类特征方程，由于其特殊性质，很 难求出其精确特征值。本文尝试利用多重的非对称广义r a y l e i g h 商迭代方法求 出其特征值