（无线电物理专业论文）电磁场数值计算中的时域多分辨方法.pdf

摘要 摘要 逛磁数绫键”冀中熬时域方法楚嚣蓑熬磅究主瀛。本文分绥了一秘全鞭翁时域 算法一时城多分辨方法( m r t d ) ，主要进行对算法本盛的研究。 文中酋先讨论了m r t d 的建立基础，其中第二章介绍了其数学基础一小波分 析及多分辨分析，讨论了小波熬函数的性质包括正交性、紧支撑性、参分辨性等 及其应用于电磁场数值计算的优鳓；第三章讨论了菇算法基础一小波与矩篮法的 结合，阐述了黻矩量法 乍为箕法萋旗，戳g a l e 噱泌离教采样戆方式与小波函数结 合悉产垒三了m r t d 。然后第圈黎分缓了辩壤有限蓑分法( f d t d ) 的应用：运t l 6 l 射 一传输模烈研究了超宽带电磁脉冲在混凝土墙中的传播特性，给出了不同电参数 及不同结构下介质对电磁波传播的影响并与实际测髓结果进行了对比，获得了较 好的一致性。接着第五章讨论tm r t d 的理论原理，补充和完善了m r t d 的摊导， 擒建了m r t d 的基本框桨，并分别以b a t t l e - l e m a r i e 小波帮h a r t 枣波为铡攫导r 详尽夔迭代公式。最后，第六牵讨论了m r t d 馋为时域数僮技术最其实鞲应焉价 值的边界条件设置和入射波加入等问题，并给出模拟电磁波传播过程鞠介质板反 射系数频谱分析，其数值结果表明了m r t d 作为时域方法的直观简练，与f d t d 方法的结聚比较，显示了其在扩大网格、节省计算资源等方面的优势。文中整体 结构安排遵锾了数学基础一算法旗破一经验技术瑷论实现一算捌分移子的思路。 关键词：时城多分辨小波分析时域有限差分艇鬣法 摘要 a b s t r a c t t h et i m e d o m a i nm e t h o d sa r et h em a i nt r e n di nt h ed e v e l o p m e n to fn u m e r i c a l e l e c t r o m a g n e t i cc a l c u l a t i o n s t h i s d i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e san e w l yp r o p o s e dm e t h o d ： m u l t i r e s o l u t i o nt i m e d o m a i n ( m r t d ) ，a n dm a i n l yf c l c u s e so nt h ea l g o r i t h mi t s e l f f i r s to fa 1 1 t h eb a s i so ft h em r t dm e t h o di ss t u d i e d i nc h a p t e r2 ，w a v e l e t s a n a l y s i sa n dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，t h em a t h e m a t i c a lb a s i s ，a r ei n t r o d u c e d ，a n dt h e c h a r a c t e r i s t i c so fm ew a v e l e t sb a s i s f u n c t i o n s i n c l u d i n go r t h o n o r m a l i t y , c o m p a c t s u p p o r t ，m u l t i r e s o l u t i o n a n ds o o n ，a r e a l s oi n t r o d u c e d t h e a d v a n t a g e s o ft h e a p p l i c a t i o n s o ft h e s ef u n c t i o n st ot h en u m e r i c a l e l e c t r o m a g n e t i c c a l c u l a t i o n sa r e d i s c u s s e d ，i nc h a p t e r3 ，t h ea l g o r i t h mb a s i so fm r t d ：t h ec o m b i n a t i o no ft h ew a v e l e t s a n dt h em e t h o do fm o m e n t s ( m o m ) i ss t u d i e d t h i sc h a p t e rs h o w st h a tt h em o m b a s e d m i 盯dm e t h o di st h ec o m b i n a t i o no fw a v e l e t sa n dm o mu s i n gg a l e r k i ns a m p l i n g c h a p t e r4i n t r o d u c e s t h ea p p l i c a t i o n so ft h ef d t dm e t h o d r a d i a t e d - t r a n s m i s s i o n a p p r o a c hi s u s e dt o a n a l y z et h ep r o p e r t i e s o ft h eu l t r a w i d eb a n de l e c t r o m a g n e t i c p r o p a g a t i o n t h i sc h a p t e rp r e s e n t st h ee f f e c to ft h em e d i ao nt h ee l e c t r o m a g n e t i c p r o p a g a t i o nw i t hd i f i e r e n te l e c t r o m a g n e t i cp a r a m e t e r sa n dd i f i e r e n tc o n f i g u r a t i o n s ，a n d t h er e s u l t sa g r e ew e l lw i t ht h o s eo ft h em e a s u r e m e n t s i nc h a p t e r5 t h ea l g o r i t h m t h e o r yo ft h em r t dm e t h o di sd i s c u s s e d a n dt h ed e d u c eo fm i 盯di sc o n s u m m a t e d a n dt h ef r a m eo fm r t di sc o n s t r u c t e d a n dt h i sc h a p t e rd e d u c e st h ed e t a i l e df o r m u l a u s i n gb a t t l e l e m a r i ew a v e l e t sa n d h a r tw a v e l e t s ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l yi nc h a p t e r6 ，t h e p r o b l e m so fb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n di n c i d e n tw a v e a st h em o s tv a l u a b l ep r o b l e mo f m r t da sat i m e d o m a i nm e t h o d a r es t u d i e d t h i sc h a p t e rp r e s e n t st h es i m u l a t i o n r e s u l t so ft h ee l e c t r o m a g n e t i cp r o p a g a t i o na n di t si n t e r a c t i o n sw i t ht h ed i e l e c t r i cs l a b a n da n a l y s eo ft h eg r a p ho ft h er e f l e c t i o nc o e 硒c i e n ti nf r e q u e n c y c o m p a r e dw i t h f d t dr e s u l t s t h en u m e r i c a lr e s u l t s o b t a i n e du s i n gt h em r t dm e t h o d ，s h o wt h e d i r e c t n e s sa n dc o n c i s e n e s so fm r l d a sat i m e d o m a i nm e t h o da n dt h ea d v a n t a g e si n g r i de n l a r g e m e n ta n ds a v i n gc o m p u t e r r e s o u r e ee t c t h ew h o l ef r a m eo ft h i s d i s s e r t a t i o nf o l l o w st h ei d e a ：m a t h e m a t i c a lb a s i s a l g o r i t h m b a s i s 一e x p e r i e n c e t e c h n i q u e t h e o r yi m p l e m e n t a t i o n - r e s u i ta n a l y s i s k e y w o r d ：m u l t i r e s o l u t i o nt i m e - d o m a i n ( m r t d 、 w a v e l e t sa n a l y s i sf d t d m o m 独创性( 或创新性) 声明 本文声明所呈交的沦文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文r f 】小 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学戏 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工作的同志剥本研究所做 的任何贡献均己在论文中做了明确说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人愿意承担一切相关责任。 本人签名短 关于论文使用授权的说明 r 期：兰型笙：三! 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属西安电子科技大学。本人保证毕业离 校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文全部或部 分内容，可以允许采用影印，缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密 后遵守此规定) 本人授权西安电子科技大学图书馆保存学位论文，本学位论文属于( 保 密级别) ，在年解密后适用本授权书，并同意将论文在互联网上发布。 本人签名： 导师签名：藿下吞莎仁)导师签名：乏下饫p ) 葛 瓤 瑚 苗| 日 镣一牵绪论 第一章绪论 l ，|电磁场时域数 壹计算方法撅论 在应用电磁学领域，时各种电磁现象和电磁特性的研究方法主要分为解析方 法和数值方法。在数值计算方法中通常又分为时域方法和频域方法。在这两个领 域都发展出了很成熟的计算方法，如：频域方法有矩掇法( m o m ) 、有限元方法( f e x l ) 等；时域方法有时壤有疆差分法( f d t d ) 等。过去频域方法占据蓍主导娩位，丽时 藏方法受瓣予诗算桩承平静隈蠲蠢发涎缓矮。夔蕊磷究瓣深入； l 计算撬磺俘投求 的迅猛发展，科学实践的需求推动了时域数值披术的发展和成熟。人们逛步具有 了直接在时城对具有宽频带特性的瞬态电磁场进行计算和分析的能力，从而能巫 深刻、更盥观地理解物理量和物理现象。时域数值技术的一个突出优点怒可以给 出关于润熬黛闽豹丰富的时域傣崽，丽且经过麓单的时频变换，螺可褥到宽带范围 弱颓域债怠，鞠游频域方渡只筏戆薅点频稳窄繁润戆霹嚣著蘧节约了诗箨鬟。隧i i ， 国外主要最谯美国，时蠛数值算法已经成为主要流派，并在成熟的算法麓础t 发 展了一些广滋使用的商业软件，如用途广泛的电磁场仿真及处理软件a n s o f t ， i e 3 d 等。 本论文主簧应用f d t d 方法，并研究对域多分辨方法及其应用。 1 1 1 时域有限差分法( f d t d ) 现状及发展 时域谢限差分方法( f d t d ) i l l 楚电磁场数值计算中一种有效的方法。f d t d 算法 的迭代公式魑在包括时问在内的姻维空间中，对m a x w e l l 旋度方程对应的微分方程 进行二玲中一心差分运霪蔓褥到豹【3 1 】湖1 3 7 。震该方法鳞决经舞闫题均按觏壤鞠题处理， 依对闻步遴费迭代计算，在每一令辩闯步交替毽谵舞窝阀每一令离散患豹电场和磁 场。作为一种时域方法，f d t d 模拟只要一次运行，就可以得到一定带宽频率成份 的所有信息。而频域方法则需鼹备个频率点逐个计算。f d t d 方法能够使用多种形 式的网格( 戗插曲线坐标系、非正嶷坐标系等) ，为分析模拟非均匀介质以及复杂系统 串豹场巍波努毒特性提供了极大豹方援。f d t d 方法巾每个网揍上豹场爨只与媚邻 网貉躲场撰及上一个薅霹步翡镶鸯关，这个特点及蒺逡合并幸亍算法静楚瓒，镣台 了计算电磁方法的未来发展趋势。 f d t d 经过了三十多年的发展已成为一种比较成熟的数值方法。以下简单的回 顾这种方法： 2电磁场数德计算中的对域多分辨方法 y e e 【1 l 予1 9 6 6 年提出了麦赢新韦方程的差分离敞方式，并用来处理电磁传播和 反射问题。藏用于计算建模的网格单元也称之为y e e 元胞。 t a y l o r t 2 】等于1 9 6 9 年用f d t d 分析非均匀介质体的电磁散射，提出用吸收边 界来吸收外向行波，而不再是y e e 采用的将边界设爨成良导体的硬边界。 t a f l o v e 3 礤子1 9 7 5 霉讨论了辩谚瑗馕况款近一逐场癸接，叹及数镶稳定链条 佟。 m u r 4 l 于1 9 8 1 年提出了计算区域边界处的一阶和二阶吸收边界。这是种十 分有效的吸收边界条件，获得了广泛应用。 随着越来越多的人关注f d t d 并不断将其完善，f d t d 技术越来越成熟。亚 嬲格技术驿j 驰蹬现解决了尺寸参数小子一个嬲穆的润戆，提高了f d t d 魏遗翅莲 霞。嚣色教会瑷中鹣差分格式翻毽褥f d t d 静处理方法褥瓢迸一步完善。b e r e n g e r v 隅1 1 9 1 提出的将凌克斯韦方程扩展为场分量分裂形式，并构成完全匹配层( p m l ) ，这 是一种全新的吸收边界，已得到广泛应用。新近发臌的隐式差分a d i f d t d 方法 1 1 q i l l 又j 簸一步摆脱了时间步长的限制，使得f d t d 的实用性进步增强。 f d t d 蠢予寄上述诸多优点，邑被广泛应用予缀多领域。早期f d t d 述主要 麓予邀磁毅瓣麓蘧，接着被惩予黛携毫磁学彗2 】霸毫磁煞学，接羞又棱舔予微波瞧 路”，然后又被用于天线辐射问题。 然而尽管f d t d 有上述这然优点，却有很多限制，如实际的电磁场媒质建模 问题就要求瓯大的计算容量，这就需要较高的计算机涤源，原因就是f d t d 的计 算效率还不够离。为了保证色教谡差足够，j 、，空间网格尺寸必须足够小( 懑鬻每个 波长取1 0 - 2 0 个弱揍萃元) ，这虢使缮f d t d 在诗雾嘏大尺寸蕈臻露受委g 羧赣，予 是需要寻求瑟暴优势的计算方法。 1 1 2 时域多分辨方法( m r t d ) 的弓l 出 小波分稀网是当前数学中一个逡速发震懿薪领域，它同时具有理论深麦帮应 用十分广泛的双重意义。小波变换作为继f o u r i e r 变换之后信号分析的肖力工具。 近年发展迅速。小波变换在时域和频域都能良好的威l i 兜信号的局部信息，并且通 过伸缩和平移镰运算对信号进彳亍夥分辨分析1 3 9 1 5 3 1 , 嫩就是说，多分辨分末曙即是以 足度丞数秘书波嚣数戈竟备基殛数豹分褥方法。将夸波分辑痘疆予绩弩魏瑾基藏 为磷究燕霜，掰将毒渡分辑应麓子宅磁场诗算毽丽群瑟有广滴的发展蘸最。 矩量法允许使用任何一组完铸芷交基函数，那么选择组适当的熬黼数就可 以得到新的时域方法【2 0 1h o l ( 4 9 1 。 在本文中讨论了采用尺度硝数和小波函数为完备砸交基函数的多分辨方法， 第一章缝论 并应用于矩量法，采用g a l e r k i n 离散方法【4 0 】 4 9 l ，得到了种新的时城多分辨方法 ( m r t d ) 。其体蕊警遗巍实瑷姆在文中稳玻部分阐述。文皴【1 4 】最早将小渡交接哼t 的多分辨率分析理论弓l 入电磁场的时域计算，从而产生了种新的时蜮计算方法一 - - m r t d ( m u l t i r e s o l u t i o n t i m e * d o m a i n ) 。 t 1 3m r t d 特点和发展现状 m r t d 方法舆有往是的内在勰蛙。m r t d 方法识然将计算空阚分戏与f d 1d 方法相似的空间阙格，将时变场量利用尺度变换和小波变换，采用g a l e r k i n 离散方 法进行展丌4 1 。在所需精度较低时，为节省内存，利用尺度函数将场量腿丌；当需婴 了解突变的高频场，或要求结槊的精度较商时，采用将场量在尺度空蚓和小波空问 共黼震开。 f d t d 与m r t d 区别在于基函数选取的不同，f d t d 可看成是m r t d 中基函数 选取为h a r r 函数的一个特例。小波基函数可以通过某种方法构造，选取支撑 区域鞍畏兹基麓数载m r t d 可数节省计冀内存，提高计簿效率。到嚣瓣为止，已芋f d o g a m 等秘用敝正交小液l 麓l 鼢、k r u m p h o l z 疆1 等稻瘸b a t t l e - l e m a r i e 小波瞄及 h a a r 2 1 】，j 、波等为基底进行展开的各种m r t d 方法。m r t d 的优点之是在对结果 的精度要求不太高时，相对予经典的f d t d 方法可以节省存储空间釉减少计算量， 溺褥有楚瑾邀大尺寸空闼靛後努。 m r t d 方滋基于尺度函数或尺度函数斧小波函数的复合，能向可变网格方向 发展【1 4 1 。与f d t d 相比，m r t d 显示出良好的线性色散特性，与精确解十分接近 埂予怼诗算结鬃瓣色教特缝遴葶亍评售h q 。壤怒谤况下采样率凡乎接i 纛n y q u i s t 极 限，黼误差很小【l 铂。目前，m r t d 方法的圭黉缺点是无论如何选择它髓展开基底，其 时间稳定性条件( 即空间步长与时间步长的关系) 比f d t d 法都要苛刻，可以说是“以 时阐换取空间”。如何根据具体阅题选择合适的尺度空阀与小波空阕辩场量进行展 秀，楚应霹m r t d 方法辩需要鳞决豹主要麓藤。最近提赉纛孽裁震a d i f d t d 方法戆 核心思想，得到了隐式多分辨率分析时域计算方法( a d i m r t d ) 1 2 4 1 1 0 1 】，这在一定 程度摆脱了时间稳定性条件的限制。计算所涉及的领域包括波导电路、谐振腔的 本镀篷班及滤波嚣等耱导波绥擒懿邀磁特瞧。 虽然m r t d 算法计算丈瞬标可以以几何级数的量级节省计算祝内存，但由于其 基函数互相有煎籁，导致了边界条件的复杂性。m r t d 的p m l 】【18 】1 1 9 1 边界条件有 待予进一步的研究。f d t d 从黪法提出到边界条件完善娥过了很长的鼹程，m r t d 静完全江配透癸祭 孛兹研究辩然极富撬藏镌，存重大鲍瑗论价篷。 根据具体问题所要求的精度以及计算资源等情况，选择适当的算法，才能充分 4龟磁场数毽 算中豹辩壤多分辨方法 发挥各自优势。m r t d 未来的发展趋势，至少表现在以下5 个方面。4 】 1 6 i 2 q 【2 2 ： f 1 ) 提高计算糖度豹同时，保持算法的稳懋性； ( 2 1 边赛问题游处理积余蕊的处理； ( 3 ) 增强计算电大尺寸对熬的能力； ( 4 ) 为高效地解决复杂研究对象的建模问题，自适应、智能化的建模技术会更多 遗鑫蜣在包括醛域算法在内懿器耱篓法中； ( 5 ) 在算法理论愈发复杂化的同时，为方便应用，利用电磁场时域算法编制的成 熟商业软件会不断涌现 总之，时域数德技术，包拯m r t d ，作为一类适台描述物理援律，又翻f l 寸具有多种 健点的方法在电磁场数值计算镊域的遣位和作用正在逐逡提高，成为热门的研究方 向，展现了蓬勃的生命力和广阔的应用前景 1 2 本文的主要工作和内容安排 电磁场对域数值计算方法豹迪位和作髑拦在迅速掇离。但是时域肖疆差分法 ( f d t d ) 虽然应箍广泛僵同对暴露一些鑫赛擞法克服酶缺赢，如蓊所述靛诸如不能 计算电大尺寸的问题，色散问题等等。寻求新的计算方法是必要的。而时域多分 辨方法( m r t d ) 宅e 小波矩量法的基础上结合小波多分辨分析，并运用f d t d 的各种 援零发震瑟残。稳毙较瑟富m r t d 其毒一黪天然瓣毯势，在兹述润戆上穆畜不霾 程度的改善。并艇m r t d 与f d t d 有着一黢天然的联系，本文在了解f d t d 的基 础上探讨m r t d 的各种实际问题，基本出发点是立足f d t d ，发展m r t d 。目前国 内蜘m r t d 豹研究还处予萌舅状态。从这个现状出发，钤究与完善m r t d 理论， 建宓韬步静迭代公式，运角篱单模型得到最基本酶计算缩祭，并进幸亍与f d t d 缝 暴进行比较等初步分析是本文的主要目标。 本文的内容豢排： 第一章篱擎奔缮了嚣蘩露竣数基方法豹发震曹景稳凌获。f d t d 方法发震袋 熬。但其固有缺陷限制了其发展，如电大尺寸问题消耗计算资源等。m r t d 较之 f d t d 在数学理论上具有天然的优势，成为发展必然。义中还介绍了m r t d 的产 生鹜景积嚣藏豹发震现状。 第_ z - - 章讨论了m r t d 酶数学理论基褚l | 小波努析，藏中包括了多分辨分析。 小波是当前数学界的发展热门，小波基函数的固有属性成为其作为电磁场数值计 算采样基和展开熬的优势所在，包括正交燃，紧支撑性，多分辨性等等。文中分 鬟夯绍了夸渡豹务耪往矮及这整往震在毫磁场数篷诗髯巾懿作焉，势绦密了小渡 分解与重构的方法，这正是m r t d 建立的旗础。同时分析- r d , 波的多分辨性质是 第一章鳞论 如何在电磁场数值计算中起到多分辨作用的。 第三章讨论了m r t d 嬲算法实现基破一小波与艇量法结合。文中麓单分缎了 觚鬟法原理和蘩本步骤，莠绘出了金属辣静篱擎葵铡，与精确解锻好的弼合。文 中说明了将小波多分辨分析应用于矩量法，将麦克斯韦方程组中的电磁场量在空 间和时阃上展开，并通过g a l e r k i n 离散采样的方式得到递推时域算法一m r t d 。 第蹬章讨谂了与m r t d 关系密切戆f d t d 方法懿缓理窝冀铡，为m r t d 提 共 髁决方法上的参考和计算缩柴的比较。文中给出了f d t d 在计算建模方面的各种 实际处理方法包括边界、入射波等。并介绍了一部分作者的工作：超宽带电磁 脉冲在混凝土蟪中的传播特性磺究。 第五牵讨论了m r t d 的理论原理。阙述了将小波分考斥结合矩羹法其体解决f 黾 磁场数值计算问题的步骤一文中分别以b a t t l e - l e m a r i e 小波和h a r r 小波为例给出r 详尽的理论推导公式，并做了混明。 餐六章讨论了m r t d 瓣实际建模帮鬟剿努据。文中游论了 睾为懿时域算法 所必须要解决的问题，包攒计算区域的划分，吸收边群的设置，涟接边界的设臀 和入射波的加入。文中给出了基于b a t t l e l e m a r i e 小波的m r t d 模拟离斯脉冲入射 介矮叛豹时域全过程，展示了其中豹电磁现象。文中还绘出了赢焱蕊鼓冲平嚣波入 射介质板的反射系数颓域谱对比，通过瑟体算倒清楚圭| 亟表明了m r t d 较之f d t d 在扩大网格上的优势。 第二章小波分析及多分辨势橱 第二掌枣波分析及多分辨分析 小波薅数通常具有正交性和有限支撺性，并且可以通过伸缩和平秽产生异阶的正 交小渡鑫数族。各玲小波分别幸 对苹羁屡次转信号细节避行勾画，较低玲的小渡主要 包含较低籁的成份，以描迭信号能量的主休，而较高除的小波主要包含簖频的成傍， 以描述信号的细节，多阶小波共同作用吼实现“多分辨”分析。 2 。1 概论 小波分据9 】是当前数学中一个迅速发展的瓤领域，它同时具有理论深刻和应 弼十分广泛瓣双重意义。小波变换蕊壤念是壶法图从事石漓信号处理酶二e 程师 j m o r l e t 在1 9 7 4 年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要，经验性 地建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。幸运的是，早在七十年代， a ，c a l d e r o n 袭示定理豹发瑗、h a r d y 空阉鹃覆予分麓莓瑟无象 孛基数滚a 疆究为，l 、波 变换的诞生馓了理论上的准备，而且j o s t r o m b e r g 遥构造了历史上非常类似于现 在的小波基；1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并与 s m a l l a t 含弦建立了拇造小波基的同样方法及其多尺魔分橱之后，小波分析才玎始 蓬勃发展起张，其中眈弱辩女数学家i d a u b e e h i e s 2 5 j 揆写豹小滚十讲( t e n l e c t u r e s o n w a v e l e 妊。对小波的营及起了重要的推动作用。它与f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中 摄取薅惑，逶过 枣缀移乎移等运雾秘戆对函数竣售号送嚣多尺痰纲鼗分辑 ( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) b f l 多尺度或多分辨分析，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多 豳难问题，从而小波变化被誉为“数学鼹微镜”，它燧调和分析黢展史上里程碑式 豹进展1 5 3 1 。 小波分辑鹣应用是与，l 、渡分柝的爨论研究紧密恁结合在一怒魄。境在，它已 经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电予信息技术是六大高新技术中 麓要的一个领域，它的重隳方面是图象和信号处理1 5 2 】1 5 3 】。现今，信号处理已缀成 为当代科学技本工终鹣耄装部分，绩譬楚瑾瓣嚣戆熬足；准确豹分掇、诊瑟、缓 码压缩和量化、快速传递躐存储、精确地重构( 或恢复) 。从数学角度来看，信学 与图象处理可以统一看作鼹信号处理( 图象可以看作是二维信号) ，在小波分析的 诲多应愿孛，郡可以归缀为信号处理瀚麓。现在，对于其牲质戆辩阀是稳定不变 的信号，楚瓒的瑾想工暴仍然是薄立时分析。僵是张实际应焉串静绝大多数僚号 电磁塌数值；手舞孛豹对域多分辨方法 是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就怒小波分析。 事实上小波分析的应用领域十分广泛【4 3 1 4 4 1 【5 2 l 5 3 1 。它包括：数学领域的许多 学科；信号分析、图象处理：擐子力学、理论物理：军事电子对抗与武器的智能 纯；计算机分类与识别；音承与语言豹人工合成：医学成像与诊断：地震勘探数 爨处理；大麓礁壤夔数簿诊羧簿方嚣；穗翔，在数学方瑟，它基嗣予数壤分辑、 构造快速数镳方法、曲线凿丽专选、微分方程求解、控制论等。在信蛩分析方面 的滤波、去噪声、压缩、传递簿。在图象处理方掰的图象压缩、分搽、识别与诊 断，去污等。在医学成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨 率等。 1 ) 小波分毒蓐趱予售号与图象透终建小波分接应弱敬个重要方弱。它鹣特点是压 缩昆离，聪镶速度茯，歪缀簸麓保持信号与圈苏的特征不交，且在传递中霹戳撬 干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的肖小波包最好基方法，小波域 纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向墩压缩等。 ( 2 ) 小波在信号分析中的应用也十分广泛1 3 9 1 。它可以用于边界的处理与滤波、时频 分辑、傣噤分离与提取弱信号、拳分形指数、信号豹识鬟与诊鞭竣及多只浚边缘 梭测等。 ( 3 ) 在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉删，计算机图形学f 2 7 l ，曲线设计 【2 8 等方面。 2 2 1 小波函数 2 2 小波分析基本理论 小渡( w a v e l e t ) ，e p , l 、嚣域鹣波，其有紧支撵拣。考虑函数空闯l 2 ( 赣) ( 平方 可积实数窝闻或者说能量有限的全体信号的空间) ，则在该空间内熊傅立叶变换 w ( o j ) 满飓下述条件： j ：簪如 称必慕零小波或者小渡母滔数( 式中r + = r 一秘 表示非 零实数全体) 。其特点主要有： ( a ) 在时域敷脊紧支集( 即函数定义域有限) 或：j 胫似紧支集。一般选取同时具有时 域局部性和频域局部性的实数躐复数函数作为小波母函数。 第二二露小波势辑爱多分辨分辑 ( b ) 具有正负交餐的波动性。 将小波母函数妒( t ) 进行伸缩和平移，设其伸缩阏子( 或尺度因子) 为口，平 移因子为r ，则有 三 f 一， 矿。、。( 一拉。矽( 二二 a 0 ，f r 2 2 ) “ 该函数称为依赖于参数a ，f 的小波基函数。若尺度因子a 和平移因予f 取连续变化 的值，则虬，( f ) 为连续小波基飚数a 2 2 。2 多分辨分析 在小波分析中，m e y e r 和m a l a t 提出的多尺度分析f m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，又称 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 。多分辨分析是在f ( r ) 函数空问内，将函数摘 述为一系列近似函数的极限，每个近似函数都是函数，的平滑版本，而且具有 越来越糖缨的邋戗函数。这些j 厦似都是在不同分辨水平( 尺度) 上得到的，多分 辨( 尺凌) 分耩耄魏蕊名。宅不纹揭示了蚕鼗续橡戆爨鞠馥毪，弱露魄撬供了毫 求小波滤波器的基本愚路；为了寻求三2 ( 鄹的一个罄艨，先觚其某个予空闻出发， 构造它的基底，然后通过简单变换将之扩充至上2 ( 詹) 中。我们首先给出多分辨分析 的基本概念。 三2 ( 露) 一系捌嵌套子空间函数一，歹z ，c c 匕kc j c k c ，具有 遥i 莛豫：0 豹闭龟隽寥( 露) ，门匕= o ； j ：，e 7 伸缩憔：厂( x ) y ，营f ( 2 x ) + ，； 1 平移饿：f ( x ) e 巧营， + 书哆； 困建，y ，毒茭次是上一级孑黧澜匕。秘透觳子空阁。 妒( x ) 琶v 。对于所有静，z ，纷t ( x ) 构成的澈条件基， 的闭包为以，其中： 纺，：2 妒2 i x - - 后) 存在o a s b ，对酝蠢豹e ( 歹) 。三2 ( 露x 蠢 _ 莩| c 斤蔓0 等q 竹。4 2 曰莩i c 斤 即 吼，。 线性扩张 ( 2 3 ) 令p 表示向匕上的投影，从以上各式看出，对任意的，( 功e ( r ) ，都有 0电磁场毅蹙 翼孛辩对域多势彭 方掂 l i m 只，( x ) * ，( r ) ，z 。 * 满足以上祭件的勋( x ) e z ，是圪的一个r i e s z 基_ = 枷”( x ) 为一个 多分辨分析。荐引入闳子空阍熊，吼，e z ，+ ，= 一。哆，_ l ，”，。( x ) 是 影，歹z 中翁一缝标准正交萋。它豹孚移搏绞系为： “似) 。2 ，i z 1 2 ，| x k ) ( 2 4 ) “x ) ( x ) 之问的关系由双尺媵方程来决定。 烈x ) = h k ( 2 x 一女) 矿( 戈) ：笺g ；贻一麦) ( 2 - 5 为满足正交性：g 。= ( 一1 ) 妒( x ) 缈( x ) 被分别称为尺度函数与小波函数。很魁然 p 0 = 巧，o 嵫o 。国吆“o 一。吆，j 2 墨 五) 。 援应豹鬈= 乌( 固，鸳= 一霉，l z ( r ) = 曼哆对予个遮数苁x ) 影 o 怒必壤因子，f 反浚佼穆，冀蓬虿歪可负e 耱弩( 羔，砖 代表内积，它的含义是( 上标毒代袭共轭) ( 蛾删；脚y + ( f ) 破饯足) = 忑1y ( 等) 是基本小波的镟穆和尺度伸缩，其中t , a - 与f 都是连续炎量，因此以上定义憋连续 第二章枣渡分拆及多分辨分摭 小波变换( c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ，简记为c w t ) 。尺度因子a 愈大，v ( t o ) 愈 宽，分辨率愈低。忆，( ，) 前增加因子l 口是为了使不同的口下的，( f ) 能量相同。 而( 2 8 ) 式在频域可以表示为： r w 7 0 ，f ) = 芒防妇+ ( c o ) e j 2 a r d c o 。 z 霹 洄) 是幅频特性比较集中的带通函数，小波变换其有表征分析信号x ( 出) 频域上 局部性质的能力。采用不同的a 值作处理时，各 f ( c o ) 的中心频率和带宽都不同， 但品质因数却不变 中心频率惜宽= q 。 2 。2 。3 小波变换 将任意( 露) 空间中的函数厂( f ) 在小波基下进行展开，称遮种展开为函数 厂( ，) 的连续小波变换( c w t ) ，其表达式为 一 1 v 一， 岛r ) = = 基，( 习虬，( 习破= 急基，( 芏) 矿( 二 ) 出 ( 2 9 ) | 翁l “ 由c w t 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分交换。然而 不同的怒，小波基具有尺度a ，平移f 两个参数，因此将函数在小波撼下展丌，就 意味着将个时间函数投影剿二维的时间尺度相平面上。且由于小波基本身所具 有的特点，将函数投影到小波交换域后，有剩予提取函数的菜些本痰特征。从形 式土可渡蠢整，丞数戆小波燹挟缈，( 岔，f ) 数毽袋爨豹本痿是蒙寒熬戮数或者售号 ，( x ) 在x = f 点跗近按虬，( x ) 进行热权既平稳，体现的是| ；奠矿。( x ) 为标准f ( x ) 的快慢变化情况。这样，参数f 表示分析的时间中心或时间点，而参数a 体现的是 以x = f 为中心的附近范围的大小。因此，当r 固定不变时，小波变换缈，( 口，r ) 体 现的是暇泉的函数或信号，( x ) 在x = r 点附近随麓分板和观察的范围逐渐变化所 表瑷出来瓣交纯。挟句话说，奎波交换羲是弱爨菇穗嚣形获、不潮繁宽窝主频豹 滤波器瓣信号厂o ) 迸幸亍滤波，宅能将各种交织程一起的不同频率缀成瓣混台信号 分解成不同频率的块信号。改变平移参数f ，可以选取对信号厂0 ) 谶行分析的区 域；改变尺度参数口，将会影响对信号f ( x ) 的时间分辨率和频率分辨率。 2 2 。4 二进小波程歪交小波 二进小波是连续小波的尺度参数口按二迸方式= 2 的离散化，表示为 毡避璐数艇沣蓦中麓黠域多分鼓方洼 矿，( f ) = 22 缈( 詈) ( 2 - 1 0 ) 函数或信号的= 进小波变换就怒连续小波变换在尺魔参数a 只取二j j 挠离敞数值 露。= 2 时豹毅毽，表示为 ) 哆( f ) = w i ( 2 。，f ) = 量歹( 砖，o ) d x ( 2 - 1 1 ) 设小波为妒( x ) ，如果函数族杪i ， ) = 2 - k 2 ( 2 - k x - j ) ；( k ，) z z j 构成 空间l 2 ( 殿) 的标准正交基，即满足下述条件的基： ( b t k , j 妒抽) = 拟，瓦( x ) d x = a ( k - o a ( j 一柙) ( 2 - 1 2 ) 剐称吠x ) 鬣正交审波。这 l 雩，对任俺函数或信号，0 ) ，有如下的小滚级数藤开： 厂( x ) 2 2 2 a k , j ，( w ) ( 2 - 1 3 ) 2 一j “ 式中系数，出下式绘出a k ，= 基歹( x ) 甄，( x ) d k ( 2 1 4 ) 称为小波系数。可见小渡系数a i e 好是信号f ( x ) 的正交小波变换。 2 2 5 尺度函数p ( x ) 的构造 弓l 毽2 1 设缈( x ) 为中的尺度函数，剐 o ( x 一妨 。构成筑范正交系懿充要 条件为 l b ( c o + 2 m z ) l 2 = 1 ( 2 - 1 5 ) m e z 证明见附录。 定理2 1 设 巧 ，z 隽三2 ) 黪一个m r a ，瑟l 存在遨鼗，尹0 ) ，往 和( x 一女m 。构成的规范正交熬。实际上可取 庐( 手) = ( i 营( 掌+ 2 m z ) 1 2 ) 一i 营( 舌) 】 ( 2 1 6 ) 诞明见辫泵。 取爱变羧妒( 羔) = 【( 害) 】。，缀鬃雩| 毽2 1 稚静馥一是) 。为袈范正交系。霹戮证 明，当k 历遮全体整数z 时，有= s p a n o ( x 一女) 斛，则 似x 一后) 脚构成中规 范正交基，即k = s p a n o ( x 一女) 埘。 推论2 1 ( 妒_ 妒对) 设 _ 螂为r ( 月) 的一个m r a ， 妒。一) 揪为的规 第= 枣小被分辑盈多分辨势辑 范正交基，则埘任意j z ，妒， = 2 j z 妒( 2 z 一 ) ) j 肌2 为的一个规范正交基，即 v j = 2 1 2 缈( 2 。x ) ) ，。z 。 事实j = ， = 2 = 2 f p ( 2 i x - k ) i j p ( 2 j x - 1 ) d x 一妒( 2 * k ) 一妒( 2 j x - 1 ) d ( 2 。x ) 燮 由 p 一 静麓范正交毪髓s f 褥，y 9 4 据m r a1 睦震，可知妒甜枣奄成一翡规范 f 交基。 2 2 6 r ( 冀) 的芷交分瓣 本文前述，因为( 一 ，：不是r ( r ) 的正交分解，所以，不能从妒。褥到l z ( r ) 的 规范正交熬。为了使r ( r ) 中的函数能在新的正交熬( 小波基) 下展丌，m r a 下 一步的工作就是要通过正交补的方法，从形) 。构造出f ( r ) 的正交予空间序列 e ) 。：( 即小波子空闻序列) ，傻l a ( r ) 褥到正交分鳞： 一 乎( 霞) _ ，竺 7 ) 并满足：国缈f = 一+ l( 2 一i8 ) 称为一+ 中的正交补。 下面给出有关上2 ( 固的塔式分解图( 图2 1 所示) ，取，充分大： 孓耋孓弋孓、移j 。秽| | 3 宙 瞄w 1 f l 上矽 ，k 上 。w lc 玛，。致l 主瞩 $ 一 一 电磁场数馕 募孛麴霹城多分辨方法 翻2 1 l 2 ( r ) 豹正交分解 酽( r ) 其中阕予空闽序列 v j ( j = j ，j l ，一2 ，d 。) 满怒多分辨努析的定义条件； 因而由 _ ) 脚通过正交补得到的 ) ( 哆o = + ，) 也具有平移不变性和二进制 伸缩相关性( 没有单调性，有互相正交性) ，于是 r ( r ) z 巧= 一，国一2 0 移一。o 国蚂，o 巧， 这基，j