（数学专业论文）脉冲积微分方程解的存在理论及其应用.pdf

t h ee x i s t e n c ea n d a p p l i c a t i o no fs o l u t i o n so fn o l i n e a r i m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：s u nx i a o y a n s u p e r v i s o r ：p r o f s o n gg u a n g x i n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c s c o m p u t a t i o n a ls c i e n c e c h i n au n i v e r s i t yo fp e t r o l e u m ( e a s tc h i n a ) 嗍7舢5m 6m 6 7m 8 m肌y 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文作者签名： 豳二逸一 日期：, r o t1m石月毕同 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文 保密学位论文在解密后的使用授权同上 学位论文作者签名：诅= 蕴瞳 指导教师签名：等乙珥 日期：w 7 年多月眵h r 物，降多月多r 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学中的一个重要分支，它具有非常重要的作用，因为 自然界中很多的自然现象都能够通过它得以清楚地解释，也正因如此非线性泛函分析受 到越来越多的数学家与数学工作者的关注其中，包含在应用数学以及物理的多个分支 中的非线性问题，是目前被国内外学者研究的最为广泛的问题之一本论文主要讨论 了带有时滞项的二阶脉冲积一微分方程的周期边值问题，带有时滞项的一阶脉冲积一微分 方程组的积分边值问题，以及研究各类方程的重要工具不动点理论，全文共分四章 第一章，l j 言部分，主要介绍了课题研究背景及其研究意义、国内外研究的现状、 研究内容和目标 第二章，通过建立新的比较引理和运用上下解方法，讨论了带有时滞项的二阶脉冲 积一微分方程的周期边值问题，并对某些已有的结果作出了改进 第三章，利用单调迭代方法，研究了带有时滞项的一阶脉冲积一微分方程组的积分 边值问题的极值解和唯一解的存在性 第四章，研究了锥度量空间上算子的新的公共不动点理论，并对某些已有的结果作 了推广和改进 关键词：脉冲积一微分方程，边值问题，单调迭代技巧，上下解方法，不动点 t h ee x i s t e n c ea n d a p p l i c a t i o no fs o l u t i o n so fn o l i n e a ri m p u l s i v e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s u nx i a o y a n ( m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f s o n gg u a n g x i n g a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sab r a n c ho fm o d e r na n a l y s i sm a t h e m a t i c s ， i ti s v e r yi m p o r t a n tb e c a u s e i tc a ne x p l a i nal o to fn a t u r a lp h e n o m e n a sc l e a r l y ，s o m a t h e m a t i c a lr e s e a r c h e r sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a rp r o b l e mi s a tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a ti ss t u d i e di na n a l y s i c a lm a t h e m a t i c s t h ep r e s e n t t h e s i sm a i n l yd i s c u s s e st h ep r o b l e m sf o rs o l u t i o n so fi n t e g r a lp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s ， n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e m so ff i r s to r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s ，a n df i xp o i n tt h e o r e mi st h ei m p o r t a n tt o o lo fr e s e a r c h i n g a l lk i n d so f e q u a t i o n s i n c h a p t e ro n e ，w em a i n l y i n t r o d u c e b a c k g r o u n d ，r e s e a r c hm e a n i n ga n dc u r r e n t s i t u a t i o n so ft h i ss t u d y ，a n dt h em a i nc o n c l u s i o n sa n dm o t i v eo ft h i st h e s i s i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h ep r o b l e m sf o rs o l u t i o n so fi n t e g r a lp e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n g a r g u m e n t s ，b yu s i n gac o m p a r i s o nr e s u l ta n dp a r t i a lm e t h o d i tg e n e r a l i z e sa n di m p r o v e s s o m ef o r m e rc o r r e s p o n d i n gr e s u l t s i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n v e s t i g a t en o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e m so ff i r s t o r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t sb yu s i n gt h ec o n e t h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e o u rr e s u l t si m p r o v ea n de x t e n dm a n yr e c e n t r e s u l t s i nc h a p t e rf o u r ，a c c o r d i n gt ot h ef i x e dp o i n tt h e i r yi nt h ef u n c t i o n a l a n a l y s i s ，w e i n v e s t i g a t en e wc o m m o nf i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rm a p so nc o n em e t r i cs p a c e s o u rr e s u l t s i m p r o v e a n de x t e n ds o m er e c e n tr e s u l t s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n ，f i x e dp o i n t 目录 第一章前言1 1 1 课题来源及研究意义1 1 2 国内外研究现状分析2 1 3 主要研究内容和目标一3 第二章带有时滞项的二阶脉冲积一微分方程的周期边值问题5 2 1 引言和准备工作5 2 2 弓i 理6 2 3 主要结论1 0 2 4 举例1 4 第三章带有时滞项的一阶脉冲积一微分方程组的积分边值问题一1 5 3 1 引言和准备工作1 5 3 2 弓i 理1 6 3 3 主要结论1 9 3 4 举例2 3 第四章锥度量空间上算子的新的公共不动点理论2 4 4 1 引言和准备工作2 4 4 2 主要结论2 5 结 论3 1 参考文献3 2 攻读硕士学位期间发表论文。3 5 弱c 谢3 6 中国石油人学( 华东) 硕j ：学位论文 第一章前言 1 1 课题研究背景及其研究意义 非线性泛函分析是数学领域中一个具有强大生命力的研究方向，它是以数学及自然 科学的各个领域中出现的诸多非线性问题为背景，同时建立了许多处理非线性问题的一 般性的理论它不仅具有深刻的理论意义，而且还具有广泛的应用价值它为解决各种 非线性的微分方程( 组) 、积分方程( 组) 以及其它各种类型的方程( 组) 提供了非常广泛的优 秀成果，同时也在计算数学、控制理论、最优化理论、动力系统、经济数学等许多领域 中被广泛的应用非线性泛函分析的主要内容包括临界点理论、拓扑度理论、半序方法、 解析方法和单调型映射理论，等等由于非线性问题已经越来越引起国内外数学学者和 自然科学学者的高度重视，所以对非线性泛函分析的研究和应用具有十分重要的理论价 值和实践应用价值 二十世纪以来，非线性泛函分析取得了突破性的进展例如，b a n a c h 压缩映象原理、 l e r a y s c h a n d e r 拓扑度理论、抽象锥的不动点理论以及临界点理论的提出，都在很大程 度上促进了对非线性常微分方程( 组) 和非线性偏微分方程( 组) 的各种类型的边值问题的 研究，并且大大加速了非线性泛函分析的发展作为最近几十年发展起来的一个新兴的 数学分支b a n a c h 空间中的常微分方程理论，它将常微分方程( 组) 的理论和泛函分析 的理论完美的结合起来，然后利用泛函分析中的方法去研究b a n a c h 空间中的各种常微 分方程( 组) 利用抽象空间中的各种方程( 组) 对非线性问题进行探讨是一个非常巧妙而且又被广 泛应用的方法相反的，恰恰是由于抽象方程( 组) 的各种理论在许多数学领域中都被广泛 的应用，又使它得到了更加迅速的发展抽象空问的各种方程( 组) 的研究方法和研究手 段是非常多的特别是，许多的微分方程( 组) 、积分方程( 组) 和积微分方程( 组) 的各种边 值问题都可以经过适当的转换，化为抽象空间中的算子方程( 组) 来进行进一步的讨论， 从而再利用泛函分析上的方法去解决 带有脉冲项的微分方程( 组) 是最近这些年发展起来的微分方程中的一个重要领域 因为脉冲微分方程( 组) 具有脉冲现象，所以这种方程( 组) 的解的连续性会受到这种脉冲 性质的影响，在某一瞬间出现一定的跳跃度，这就给这类问题的讨论带来了一定的困难 性然而，非线性泛函分析却为解决当今各个领域中不断出现的变化多端的各种非线性 问题提供了非常具有成效的理论工具因此，利用非线性泛函分析理论来研究脉冲方程 1 第- 一章前言 ( 组) 解的存在性和唯一性，也就日益引起广大学者的关注 此外，泛函分析中的不动点理论是研究各类方程的重要工具，不动点理论的研究是 非线性泛函分析中的一个重要研究方向，特别是近几十年来，许多学者在此方面做了大 量的工作 郭大钧先生在其专烈1 】中对非线性泛函分析中的几个非常重要的课题方向及其应用 都作出了系统的概括和总结例如一些非常经典的非线性算子、h a m m e r s t e r s t e i n 型的积 分方程、常微分方程和偏微分方程、迁移方程、锥理论及其非线性算子方程的正解、非 线性算子的拓扑度和不动点以及固有值、解的个数与分支，在其专著【2 】中他利用锥理论 讨论了许多非线性问题，主要是近几年来发展起来的最新研究成果专掣3 5 】贝u 讨论了各 种积分方程的解的存在性和唯一性，其中包括非线性泛函分析这个领域中各个方面的优 秀研究成果 本课题正是在上述的背景下提出的，通过研究抽象空问中的各类方程以及各类方程 组的解的相关理论，希望从中找到能使相应的脉冲方程( 组) 的解存在并且比较容易验证 或者检验的条件；同时努力构造出逼近一致收敛于其解的单调迭代序列，并给出其相应 的误差估计式 1 2 国内外研究现状分析 近些年来，数学领域中发展起来一个新的分支抽象空间中的常微分方程，它将 微分方程( 组) 理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析的方法来研究抽象空间中的 各类微分方程随着研究的深入，得到的优秀成果越来越多，抽象空间中的常微分方程 体系也越来越完善郭大钧先生和孙经先先生合著文献h 1 是关于这一研究课题的代表性 之作，并对b a n a c h 空间中常微分方程理论作出了概括文献盯】则全面综述了抽象空间内 非线性微分方程各个分支的内容，其中包括证明方程解的存在性和唯一性时所使用的方 法和手段以及方程解的某些性质，文献淄】贝0 是一篇综合报告，概述了微分方程领域发展 的一些最新研究成果另外，近几十年来，有许多学者利用半序方法来研究缺乏紧性或 连续性的非线性问题并且获得了一系列的新结果 研究方程( 组) 解的存在性和唯一性的理论方法有很多种，例如，压缩映象原理、变 分原理、单调算子理论、不动点理论、上下解方法、单调迭代方法以及拓扑度理论，等 等，但它们的侧重点不一样其中，压缩映象原理的重点在于讨论非线性算子方程解的 存在性与唯一性；而拓扑度的方法则要求算子是全连续的，并且只能给出解在特定意义 2 中困油人学( 华东) 硕i j 学位论文 下的存在个数，不能给出逼近解的迭代序列；上下解方法和单调迭代方法则对方程( 组) 要求条件较高 目前，单调迭代方法、上下解方法以及拓扑度方法是我们研究抽象空间中的常微分 方程( 组) 最主要的方法利用上下解方法以及单调迭代方法不仅可以得出解的存在性和 唯一性，而且可以获得方程的最大解、最小解以及一致收敛于解的迭代逼近序列更好 的结果是我们可以得到相应近似解的误差估计式但是能够使用上下解方法和单调迭代 方法来进行研究的方程( 组) 条件较高，而拓扑度方法则只能给出解的存在性，一般不能 给出逼近解的迭代序列因此，在已有成果的基础上推广已有空问或者减弱已有条件， 再利用上下解方法与单调迭代方法得到我们想要的结果是现在许多学者致力于研究的 问题宋光兴教授( 本课题指导教师) 以及国内外一些数学专家在这方面做出了许多工作， 这些工作中的基本思想对本课题的研究有着重要的意义 1 3 主要研究内容和目标 本课题主要是充分利用上下解方法、单调迭代方法以及不动点定理，研究抽象空间 中方程( 组) 解的存在性和唯一性、构造逼近解的迭代序列以及相应的误差估计，并且给 出锥度量空间上算子的新的公共不动点理论课题中所研究的方程更具有一般性，构造 新的比较引理，在利用上下解方法与单调迭代方法时尽可能的减弱有关条件是本文研究 的主要目标 利用上下解方法和单调迭代法研究脉冲积一微分方程( 组) 的解的性质一般需要以下 几个步骤： ( 1 ) 建立新的比较原理； ( 2 ) 运用积分方程( 组) 与微分方程( 组) 的关系将脉冲积一微分方程( 组) 的相关线性问 题转化为积分方程( 组) 的； ( 3 ) 通过研究该积分方程( 组) 解的存在与唯一性从而构造非线性自映射算子a ； ( 4 ) 通过算子a 的性质寻求所研究脉冲积一微分方程( 组) 的解的存在性 本文主要的研究对象有以下几种： 1 带有时滞项的二阶脉冲积一微分方程的周期边值问题： 一x ”( f ) = 厂( f ，石o ) ，x ( 日( f ) ) ，k x ( t ) ，j 既o ) ) ，t e j = 【0 ，丁】，t 乒t t ， a x ( t t ) = i k o 瓴) ) ， a x ( 气) = ，：( x o 。) ) ，k = 1 ，2 ，3 ， z ( 0 ) = z ( 丁) ，x ( 0 ) = x ( 丁) ， 3 第一章前占 其中k x ( t ) 2 j = 七o ，5 ) x ( s ) d s ，s x ( t ) 。f oh ( t ，s ) 工( s ) d s ， 巾 这罩o e c ( j ，j ) ，：，x r 4 一尺，k ( t ，s ) c ( d ，尺+ ) ，h ( t ，s ) e c ( j x j ，r + ) 2 带有时滞项的一阶脉冲积一微分方程组的积分边值问题： 比7 0 ) = f ( t ，髓( f ) ，矿o ) ，“( a ( f ) ) ，t u ( t ) ，鼬o ) ) ， v o ) = g ( t ，v ( f ) ，“( f ) ，y ( 口o ) ) ，7 、，o ) ，j 沁( f ) ) ， h u ( t k ) = i k ( “( 气) ) ，a v ( t k ) = ( ，( ) ) ，k = 1 , 2 ，p ， h ( o ) = 砷( 丁) + 九f 珂( s ) v o ) d s + 优， v ( o ) = v 仃) + 九；万 如o ) 出+ 小：， 其中( 死) ( f ) = r ”k ( t , s ( ) ，o ) ) 出，( s u x t ) = f ；oh ( t , s 如( 6 0 ) ) 出， 这罩厂：j x r 4 呻r ，芦，) ，6 e c ( j ，j ) ，k ( t ，s ) e c ( d ，r + ) ，h ( t ，s ) e c ( j x j ，r + ) 3 锥度量空i 日j 上算子的新的公共不动点理论： 令( x ，d ) 是锥度量空间，a f o ( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) 是常数且满足口l + 口2 + 口3 + 口4 + a 5 1 假 设映射，g ：x _ x 对v x ，y x 满足条件 d ( 豇，痧) s a 。d ( g x ，g y ) + 口2 d ( 扛，痧) + 口3 d ( 痧，痧) + a 4 d ( g x ，痧) + 口5 d ( 扛，g y ) ，v x ，y x 如果g 的值域包含，的值域，且g ( x ) 是一个完备的子空问，则厂和g 在x 中有唯 一的重合点此外，如果厂和g 是弱相容的，则厂和g 有唯一不动点 4 中困钮油人学( o # 东) 硕f j 学位论义 第二章带有时滞项的二阶脉冲积一微分方程的周期边值问题 2 1 引言和准备工作 本章我们主要研究带有时滞项的二阶脉冲积一微分方程的周期边值问题： f x ”o ) = f ( t ，工o ) ，工( 口( f ) ) ，k x ( t ) ，o ) ) ，t e j = f o ，丁】，t 乒气， 缸 ，：恐鼍，1(2-1) la x ( 气) = ，：( 工( 气) ) ，k = l 2 ，3 ， 卜( o ) = x ( r ) ，z ( o ) = x ，( r ) ， 这罩0 = 气 f l t ： 0 ， m 2 20 ， m 3 0 ，m 4 0 ，0 s l k 1 ，0 s e 胛) ， f 0 ， 矿成( o ) sf l o ( r ) ， 伽 竽嘲w 脚) 们) ， 2 2引理 考虑下面的线件方稗： 6 中困，f i 油人学( 华东) 硕i j 学位论文 一x ”( f ) + m 。石o ) = 盯o ) 一m ：工( 口( f ) ) 一m ，i o 七( f ，s 冷( s ) a s m 4 f oh ( t ，s 沁( s ) a s ， a x ( t k ) = l k ( x ( t k ) ) + i k 0 7 ( ) ) 一厶( 叼( 气) ) ， a x 7 ( 气) 一t ( 工( 气) ) + ，：( ，7 ( 气”一l ( r o k ) ) ，k = l 2 ，柳， x ( o ) = z ( 丁) ，z ( 0 ) = x7 ( 丁) ， ( 2 - 2 ) 这罩f j ，t 气，m l 0 ，m 2 苫0 ，m 3 0 ，肘4 乏0 ，0 s l k 1 ，0 s t 1 是常数， f la ( t ) p c ( j ，r ) ，, t q ) p c i u ，r ) ，0s ) ，0sf 引理2 2 1 函数z e 是线性方程( 2 2 ) 的解，当且仅当x e p c i ，r ) 是下面的脉冲积 分方程的解： x ( f ) = fg i p ，s ) 【仃g ) 一m p ( s ) ) 一m 0 。k ( t ，s 沁o ) a s m 4 f h ( t ，s 扛( s ) 出协+ 三卜g l ( t , t k ) ( tx 纯) + ，力瓴) 一l 】= r l ( t k ) ) + g 2 p ，t , x l t 石纯) + 厶，7 纯) 一l t r l 纯) ) 】 ( 2 3 ) 其中，晰) = 【2 面( e 4 - f i r - 1 ) - 妒e - i f ( r 小- t - ) + e e 肌 - f f ( t - s 悃) , o $ 娜 t 0 ，m 220 ，m 3 2 0 ，m 4 之0 ，os 厶 1 ，0 s t 1 ，0s ，o ) ， o ( t 1s t 若 彘t m z t + m 3 k o t 2 + m 4 扩+ 驷+ 丢薹， ( m 2 t + m 3 k o t 2 + m 4 ) + 三薹e + 譬薹， 则方程( 2 2 ) 有唯一解x g e 证明对觇e ，定义算子： ( ，x ) ( f ) = g 。o ，5 ) 【( s ) 一m ：工( 日( s ) ) 一m 3 f o k ( t ，s ) 工( s ) a s m 4 o oh ( t ，s ) z ( s ) a s a s + 芝卜m 。g 1 0 ，气) ( 厶x ( 气) + ，t ，7 ( 气) 一厶，7 ( “) ) + g z ( f ，气) ( t x 纯) 第一二章带有时滞项的一二阶脉冲积一微分方程的周期边值问题 + i r l ( t k ) 一：，7 。( 气) ) 】，t e j ， 直接计算得，“m，月ax：gl(f，5)，-=彘，(fm，axg：(t，s)=j1 由引理2 2 2 的条件我们可以得到 一。，m j p a x 蒜r m 2 t + m 3 k o t 2 + 9 4 r 2 + 薹e ，+ 三薹t ，丢c m ：丁 + m ，七。丁2 + m 。h o t 2 ) + 互1 薹e + i - m i ： ( 了1 呵+ e - f i r ) 荟 厶) 0 ，m 2 苫0 ，m 3 0 ，m 4 0 ，0s 厶 0 ，且对f j ，x ( t ) 0 ； ) 存在t ，t 。j ，使得工o ) 0 ，x ( t ) o ，v t e j ，则a x ( t i ) 2 l k ( x 瓴” o ，k - - 1 , 2 ，m 这些都说明x ( f ) 在j 上 严格增，这与x ( 0 ) 一工仃) 矛盾因此存在f - ，使得x7 ( f ) s 0 令t e j ，e 0 ，1 ，牌 ，由中值定理得 x 7 ( 彳) 一鸩- - x7 0 ) 5x 7 0 ? ) 一工7 0 ) = 一工”( s ，) ( f 一彳) s a b ( m 1 + m 2 + m 3 k o t + m 4 h o t ) ，s t “，t ) ， x ( t 。) 一6 薯一。一工( ) sx ( t ，) - x ( f ，) 一x 。( _ ) “一t 。) s a b ( m l + m 2 + m 3 七o r + m 4 h o t ) ，s t le ( t t 一1 ，t t ) ， ： x ( f i ) 一6 写一工( f ：) sz ( f ? ) 一工o ：) ；z ”( s 。x t , 一f ? ) s a b ( m l + m 2 + m 3 k o t + m 4 丁) ，s le ( t l ，t 2 ) ， 工( 0 ) 一x7 0 。) = 一z ”( s o m s a b ( m 1 + m 2 + m 乒。丁+ m 4 丁) ，s o ( o ，t 1 ) ， 将上面的不等式相加得 j 【( o ) sx 6 ) + 6 【荟e + 口( 肌+ 1 ) ( m 1 + m 2 + m 3 k o t + m 4 h o t ) s 6 【荟e + 口伽+ 1 ) ( m 1 + m 2 + m 3 k o t + m 4 h o t ) 类似可得 x 7 0 ) s x ( r ) + 讲罗e + 口( 垅+ 1 x m l + m 2 + m 3 k o t + m 4 h o r ) 局 s 石( o ) + 讲罗e + 口沏+ 1 ) ( m 1 + m 2 + m 3 k o t + m 4 h o 丁) 】 锱 9 第二章带有时滞项的_ 二阶脉冲积一微分方程的j i i 习期边值问题 s 拍【罗e + 口( _ ，l + 1 ) ( m 1 + m 2 + m 3 k o t + m 4 h o 丁) 】 危 令f e j ，首先设f 。 j 1 ，这与( 2 - 5 ) 矛 对于f t + 的情况证明类似，因此省略不证了定理得证 2 3 主要结论 在这一章节中，我们利用上下解方法和单调迭代技巧来建立( 2 1 ) 解的存在定理对 于，风e e ，我们记口。s 成， 对v te j ，成立口。( f ) s 成o ) 在这种情况下，我们 记【a 。，成】= x e e ，口o ( f ) x ( f ) o ，m 2zo ，m 3 2 0 ，m 4z o ，os 厶 1 ，os t 1 ，o s ) ，0s f ，且 满足( 2 - 5 ) ； ( h 。) 函数，满足t 0 瓴) ) 一i k ( y ( t k ) ) l k ( x 瓴) 一y 瓴) ) ，：( x 瓴) ) 一，：( y 瓴) ) st ( x ( t k ) 一y ( t k ) ) ，这里口。纯) s y ( t i ) s 工瓴) s 风( t k ) ，七= 1 2 ，m 贝j j ( 2 - 1 ) 有极值解口，【口。，成】此外存在单调迭代序列 口。( f ) ， 成( f ) ) c 【，风】使得 在j - - e a n _ 口，成一 一) ，其中缸。( f ) ， 成o ) 的形式如下： ( f ) = g l ( f ，s ) 【仃( s ) 一m ：一。p ( 5 ) ) 一m 0 。k ( t , s ) 一。o ) d s m 4 f h ( t , $ ) a n 一。( s ) d s 】幽+ 罗【一g l ( t ，s ) ( l k a 瓴) + ，_ 瓴) 一e 叩瓴) ) + g ：( f ，s ) ( 厶一。瓴) + 厶，7 瓴) 卅 一l k r l 纯) ) 】， ( 2 6 ) 成( f ) = fg i ( f ，s ) 【盯( s ) 一m ：成一。( 口( s ) ) 一m 0 。k ( t , s ) f 1 一。o ) 如一m 。f ；oh ( t , s ) 成一。o m s l a s + 荟卜g l ( t , s ) e 成一- ( ) + ，力( 气) 一e ，7 纯) ) + g 2 ( f ，s ) 厶一- 瓴) + l 叩( 气) 一l m 瓴) ) 】 ( 2 7 ) 且 口osqs s 口。s s 口s s sf t s sf l , sf l o ， ( 2 8 ) 其中g 1 0 ，s ) ，g 2 0 ，s ) 的定义与引理2 2 1 中的相同 证明对v 口“，f t 一，p c i u ) ，由引理2 2 1 可得( 2 - 6 ) 和( 2 - 7 ) 有唯一解a 。，成g p c i u ) 下面我们证明 口。一ls o t ns f t s f t 一l ，l = 1 , 2 ， ( 2 9 ) 由( 2 - 6 ) 、( 2 7 ) 得 一口。o ) = f ( t ，口。一，( f ) ，口。一。( 口o ) ) ，( k a 。一。) o ) ，( s a 。一，) o ) ) 一 ，。( 口。一口。一，) o ) 一m ：( a 。一口。一。) ( 矽o ) ) 一m ，k ( a 。一口。一。) o ) 一m 。s ( a 。一一，) ( f ) ， a a 。 ) = 厶( 口：瓴) ) + ，： o 以) ) 一l ( 口。瓴) ) ，k = 1 ，2 ，p ， a ：纯) = t ( 纯) ) + ，：( 口。( 气) ) 一l ( 瓴) ) 口。( o ) = 口。( 丁) ，口：( 0 ) = a i ( r ) ， 第二章带囱时滞项的- 阶1 脉冲积一微分方程的周期边值问题 一”( f ) = f ( t ，成一( f ) ，成一，p ( f ) ) ，( k 成一。x t ) ，岱成一。) ( f ) ) - m 。( 成一成一，砸) 一m ：( 成一成一，) p ( f ) ) 一m ，k ( 成一成一，) 一肘。s ( 成一成一，) ， 成瓴) = 厶( 瓴) ) + ，：( 成( 气) ) 一t ( f l o ( t k ) ) ，k ；l 2 ，p ， 瓴) = t ( 成纯) ) + ，：( 成瓴) ) 一t ( f l o ( t k ) ) 成( o ) = 成仃) ，( o ) = 以仃) ， ( 2 - l o ) 【z 。1 1 ) 令p ( f ) = 口。o ) 一口。( f ) ，由( 2 - 1 0 ) 和( h 。) 得 一p 。o ) = 一口”o ) + m l a o ( t ) + m 2 a o ( o ( t ) ) + m 0 。k ( t ，s ) 口。( s ) e s + m 。oh ( f ，s ) 口。g ) a s + 口沁) + m l c r l ( t ) + m ：口。p ( f ) ) + m 0 。k ( t ，s ) 口。o ) d s + m n f = r oh ( t ，s ) 口。o ) a s m 。pp ) 一m 2 p ( o ( t ) ) 一m ，。k ( t ，s ) p g ) a s m 4 f oh ( f ，s ) p g ) a s s ，( f ，口。( f ) ，口。( 口( f ) ) ，( k 口。) ( f ) ，( s 口。) o ) ) + m 。口。( f ) + m 2 a o ( o ( t ) ) + m 。f o 七( f ，s ) a 。( s ) d s + m 。f oh ( t ，s ) 口。( s ) a s f ( t ，口。( f ) ，口。( p ( f ) ) ，( k 口。) ( f ) ，( s a 。) o ) ) 一m t a 。o ) 一m z 口。 ( 口( f ) ) + m s 。k ( t ，s ) g ) a s + m 4 f r o oh ( t ，s ) ( s ) a s m 。p o ) 一m ：p ( p ( f ) ) 一m ， r 七p o ) a s m 4j oh n ，s ) p o ) a s = 一m l p ( t ) 一m ：p ( 口( f ) ) 一m 3 f o k ( t ，s ) p ( s ) a s m 4 f h ( t ，s ) p ( s ) d s ， p ( 气) = a a 。( 气) 一( 气) 乏，( 口。瓴) ) 一丘口：纯) - , ( a 。纯) ) + 厶a ；瓴) 一丘 ：瓴) 一口：瓴) ) ， a p ( 气) = 口；( 气) 一口：( 气) ，：( 口。也) ) 一t 口。纯) 一，：( 口。瓴) ) + t 瓴) = t o 瓴) 一口。瓴”= t p 瓴) p ( o ) = 口。( 0 ) 一口。( o ) = 口。( 丁) 一a 。( 丁) = p ( t ) ， p7 ( o ) = a o ( o ) - o q ( o ) 口：( 丁) - a ；( r ) = p ( 丁) 根据引理2 2 3 ，可以得到o t o o ) s o ) ，类似的我们得到f l l ( t ) s 成( f ) ，v t e j 令 p 0 ) ；a ，( f ) 一f l l ( f ) ，由( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 、( ，) 、( 。) 得 中罔钮油人学( 华东) 硕l j 学位论文 p 吣肘。p ( f ) 一m ：卯一肘0 。k ( t p g 炒一m 。f 嘏咖( s ) a s ， j 酬地o ，( f j ) ， i 卸( 气) 苫t ( p 瓴) ) ，七= 1 2 ，m ， 【p ( o ) = p ( 丁) ，p7 ( o ) p ( 丁) ， 根据引理2 2 3 得口。o ) s 展( f ) ，因此口。sa 。s 屈sf l o 现在假设当，l = f ，q 一。so t is 屈屈一，时( 2 9 ) 立，下面我们证明，当以；i + 1i f ( 2 9 ) 成立 事实上，令g o ) = q + 。一口i ，由( 2 l o ) 、( h ：) 、( ，) 、( 。) 知 f q ”o ) sm 。口( f ) 一m ：口p o ) ) 一m