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界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法中文摘要 摘要 j b f r a n c i s c o ，n k r e j i c 和j m m a r t i n e z 提出求解简单界约束 的欠定非线性方程组的内点法本文在此基础上提出一种非单调仿射尺 度内点信赖域方法求解简单界约束非线性方程组，该算法结构简单，且 使用非单调结构，放松了接受尝试步的条件，同时，新算法更具一般性。 首先利用信赖域子问题确定搜索步长见，使用投影方法得到可行点 后，再对新步长进行收缩，以保证新的尝试点是内点若目标函数不满 足充分下降性，则用非单调结构来放松接受尝试步的条件，如仍不满足 充分下降性，则缩小信赖域半径，重新确定下一个尝试步。对由此算 法产生的迭代序列 屯) ，本文证明了如下结果：在通常假设条件下，若 算法不是有限步终止，则每个极限点都是问题的稳定点。 最后，我们用m a t l a b 语言编写了新算法的程序，并进行了数值实验， 结果表明，新算法是十分有效的。 关键词：非线性方程组，界约束，内点信赖域方法，非单调 作者：夏红卫 指导教师：陈中文 墅竺! ! 旦! ：苎! 型! 坚! ! ! ! ! ! ! ! 墼! 坐! 翌璺墨堡! 竺翌! ! ! 型垒! ! 型 a n a f f i n e - s c a l i n gi n t e r i o r - p o i n tt r u s tr e g i o nm e t h o d f o rn o n l i n e a r e q u a t i o n sw j t hs i m p l eb o u n d s a b s t r a c t a n i n t e r i o r - p o i n tm e t h o di n t r o d u c e dr e c e n t l yb yj b f r a n c i s c o ， n k r e j i ca n dj m m a r t i n e z f o r s o l v i n gb o x c o n s t r a i n e d u n d e r d e t e r m i n e dn o n li n e a rs y s t e m s i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n ta n a f f i n e - s c a l i n gi n t e r i o r - p o i n tt r u s tr e g i o nm e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a r e q u a t i o n sw i t hs i m p l eb o u n d s t h en e wm e t h o du s e st h en o n m o n o t o n e s t r u c t u r ew h i c hr e l a x e st h ec o n d i t i o n st h a tt h et r i a ls t e pi sa c c e p t e d s o t h en e wm e t h o di sm o r ec o n c i s ea n dm o r eg e n e r a l f i r s t l y , w ed e t e r m i n ea t r i a l s t e pab ys o l v i n gat r u s t r e g i o n s u b - p r o b l e m 1 1 l ep r o j e c t i o nw i l lb eu s e dt om a i n t a i nt h ef e a s i b i l i t y o f t h et r i a lp o i n t t h e nt h en e w s t e pl e n g t hw i l lb es h r u n kt og u a r a n t e et h a t t h et r i a lp o i n tw i l lb ei n t e r i o rp o i n t w h e nt h es u f f i c i e n t l yd e s c e n t c o n d i t i o ni s n ts a t i s f i e d ，t h en o n m o n o t o n es t r u c t u r ew i l lb eu s e dt o d e t e r m i n ew h e t h e rt h et r i a ls t e pi sa c c e p t e d i ft h es u f f i c i e n t l yd e s c e n t c o n d i t i o ns t i l li s n ts a t i s f i e d ，t h e nt h er a d i u so ft r u s tr e g i o nw i l lb e d e c r e a s e d u n d e rt h es t a n d a r da s s u m p t i o n s ，i ft h e s e q u e n c e 墨) g e n e r a t e db yt h i sm e t h o dd o e s n tt e r m i n a t ef i n i t e l y , t h e ne v e r yl i m i t p o i n to f t h es e q u e n c ei ss t a t i o n a r yp o i n to f t h ep r o b l e m f i n a l l y ，t h en u m e r i c a lt e s tr e p o r ti sg i v e n ，w h i c hs h o w st l l a tt h e n e wm e t h o di sv e r ye f f e c t i v e k e y w o r d s ：n o n l i n e a re q u a t i o n s ，s i m p l eb o u n d s ，i n t e r i o r - p o i n tt r u s t r e g i o nm e t h o d ，n o n m o n o t o n e 。 w f i a e nb yx i ah o n g w e i s u p e r v i s e db y p r o f c h e nz h o n g w e n n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：经受e l研究生签名：旌型! 芝 学位论文使用授权声明 期：2 堕鱼! ! ! ：! 兰 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：壑受里日期：2 塑曼：! ! ：! 三 导师签名： 垒垒量e t 期：丝丛垒笆 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法一引言 第一章引言 最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等 自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用，它的 研究和发展一直得到广泛的关注。最优化的研究包含理论、方法和应用， 最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和 一般复杂性等，而最优化方法研究包括构造新算法、证明算法的收敛性、 算法的收敛速度及数值试验等，最优化的应用研究则包括算法的实现、 算法的程序、软件包及商业化、在实际问题中的应用等。 d a n t z i g 在1 9 4 7 年提出单纯形法，该方法以成熟的算法理论和完善 的算法及软件统治线性规划达三十多年，1 9 7 9 年，前苏联数学家 k h a c h i y a n 提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法一椭 球法，但遗憾的是广泛的数值试验表明，椭球算法的计算比单纯形方法 差。 k a r m a r k a r 在1 9 8 4 年提出了求解线性规划的另一个多项式时间算 法，这个算法从理论和数值上都优于椭球算法，从那以后，许多学者致 力于改进和完善这一算法，得到了许多改进算法，这些算法运用不同的 思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列，因此统称为解线性规划 问题的内点算法。目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯 形法。 界约束非线性方程纽的仿射尺度内点信赖域法一引言 在实际研究工作和生产实践中存在大量非线性最优化问题，把它们 完全简化成线性问题来处理是不妥当的。随着科学技术和计算机的发展， 这些实际问题具有这样一些特点：一是问题的变量比较多，因为问题涉 及的因素越来越多；二是问题的规模越来越大；三是问题越来越复杂， 问题的非线性程度越来越高。这类问题通常描述成在一组非线性约束条 件下寻求某一非线性目标函数的最小或最大值。 非线性规划的一个重要理论是1 9 5 1 年k u h n - t u c k e r 最优性条件( 简 称k t 条件) 的建立，此后的5 0 年代主要是对梯度法和牛顿法的研究：以 d a v i d o n ( 1 9 5 9 ) ，f l e t c h e r 和p o w e l l ( 1 9 6 3 ) 提出的d f p 方法为代表 参见 文献1 、2 、3 、4 。6 0 年代是研究拟牛顿方法活跃时期，同时对共轭梯 度法也有较好的研究 参见文献5 】。在1 9 7 0 年由b r o y d e n ，f l e t c h e r ， g o l d f a r b 和s h a n n o 从不同的角度共同提出的b f g s 方法是目前为止最有 效的拟牛顿方法之一。由于b r o y d e n ，d e n n i s ，m o r e 等许多学者的工作 使得拟牛顿方法的理论变得越来越完善 参见文献6 、7 、8 、9 】。7 0 年 代是非线性规划飞速发展的时期，序列二次规划( s q p ) 方法( h a n 和p o w e l l 为代表) 和l a g r a n g e 乘子法( 代表人物是p o w e l l 和h e s t e n e s ) 是这一时期 主要研究成果 参见文献l o 。计算机的飞速发展更使得非线性规划的研 究如虎添翼。8 0 年代开始研究信赖域法、稀疏拟牛顿法、大规模问题的 方法和并行计算 参见文献1 1 、1 2 、1 3 、1 4 。9 0 年代以来，求解非线性 规划问题的内点法及其理论越来越受到重视，并取得了许多重要成果 参 见文献1 5 、1 6 、1 7 、1 8 。 ， 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法一引言 内点算法是起源于线性规划的一类重要的优化算法，现已被广泛应 用于非线性规划、组合优化、互补问题等优化问题。而信赖域方法最早 是用来求解无约束优化问题的，信赖域算法的特点在于不是用线搜索的 方式确定步长，而是通过求解信赖域子问题直接得到尝试步，然后计算 目标函数的实际下降量和模型的预测下降量的比值来决定接受或拒绝该 尝试步，该方法不要求二次子问题的h e s s e 矩阵正定，具有很好的可靠 性和强适性，并具有很强的收敛性。对于界约束的问题，内点法与信赖 域法可以相结合来设计出新的适合于该类问题的算法。1 9 9 6 年，c o l e m a n 和l i 提出求解界约束的非线性规划问题的内点信赖域算法 参见文献1 7 、 1 8 。随后，许多学者对此做了深入的研究。 本文考虑下述非线性方程组 f ( 力= o x q ( 1 1 ) 其中， q = x r “lz x “ t ，珥r ，咖 珥 o ，0 1 7 , 仍 1 , o 屈 屋 0 ，使j | o i i d 。1 ( t ) 0 z 。，f 限0 而。 子问题( 2 3 ) 一般不需要精确求解，而只需计算满足下列条件的近似 盟1 峪盈叫- j ( 3 1 ) 其中艿( 0 ，1 ) 。关于上式的讨论可见文献 2 5 ，2 6 】。 以下假定p 。都满足( 3 1 ) 式。 引理2 算法是适定的，a p o l l o 。( x 。) g 。) 8 0 ，则在迭代点t 算 法至多有限次缩小信赖域半径即可使r , 。 证明：假设忪。( t ) g ( t ) 0 o 且有 + ， 0 ，则了苁 o ，使得对v 后有 五色苁。 证明：假设结论不成立，则存在无限子集k ，使得】脚正。= 0 ，故 可设k 是第一个使下式成立的指标 1 正a - 森屈( 1 。，7 ：) ( 3 4 ) 如果瓦t 丽1 鼯( 1 - r z ) ，则根据算法步4 及征) 的单调增加性，有 ”飚 赤俐h 於镌并 此与( 3 4 ) 式矛盾，故有 弘瓦1 z 2 瑟( 1 - - 7 2 ) 1 ，正 1 ，1 ，i i p , i i 屁。，有 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法三全旦收敛性 k - 1 i s 萄t 萄2 号：生( 瓦。+ y ，a 。) l i mi n ci i d 一( x a g ( z a i = 0 。 证明：假若j 0 ，使得l i mi n el l d 1 ( x 。) g ( t ) 6 = s 。则由引理3 ，存 在以 o ，使得对v 七有z 。以 o ，对足够大的后s ，定义 ，( 七) = m a x j l j r 删n k 鼎r q 享l # 专1 ， 厂魄”卜讹“净泐赫卜封。万 ( 3 7 ) 把( 3 5 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) 相加得， f ( x o ) - 肌) 加m k 射熹。砉 ， 由假设( a s 3 ) 知艺当= 斗，( 3 8 ) 与厂( 五) ) 的有界性矛盾。定理得证。 t - ! 定理2 在假设条件( a s l ) 、( a s 2 ) 和( a s 3 ) t ，l i m 。l f d 。( x a g ( x a i = 0 。 证明：假定结论不成立，则存在 o 及无限指标集k s 使得 归1 以) g “) 忙2 占 0 , v k x 记i = 仁s l l e , 一1 ( t ) g ( t ) 0 s ) 对v 后k 一，由i s 及i 的定义，类似 于( 3 8 ) 的证明，有 删o 一) 现，熹忡，。妻i i j 别 i t o 。l s f 一；j ，y j 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法 三全局收敛性 ， a 。一目，屈，屈，4 ，瑗( o ，1 ) ，瓯 。转步1 。 文献【2 1 】提供的算法f k m 计算相应问题的结果列于表2 。 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法四数值实验 表2算法f k m 测试结果 问题 nmn i tn fr e s h $ 4 6 52565 3 e 0 1 0 h s 5 353l23 2 e 0 1 5 h s 5 6 74561 1 e - 0 1 2 h s 6 33 2562 0 e 0 0 9 h $ 7 7 52454 3 e 0 0 7 h $ 7 95 3341 4 e 0 0 7 h s 8 1533 0 83 1 59 9 e 一0 0 7 h $ 8 764异常4 4 刮- 0 0 3 h s l 0 7962 2 92 3 09 9 e - 0 0 7 h s l l l1 0 31 61 78 8 e 0 0 7 从数值实验中可以看出，新算法结构简单，每一步计算量小于算法 f k m ，且迭代次数也大多优于算法f k m 。 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法 五结论 第五章结论 本文提出一个新的仿射尺度内点信赖域算法求解带有简单界约束的 非线性方程组问题。我们的主要想法是在每一次迭代过程中，首先求解 通常的信赖域子问题，然后将迭代点通过投影收缩变为内点，再采用非 单调结构，放松接受尝试步的条件。在理论上我们证明了算法的强收敛 性，但收敛速度的分析有待于进一步的深入探讨，特别是调比矩阵的选 择对算法的影响要作更详细的讨论，如何适当选择调比矩阵，既保持收 敛性又具有较快的收敛速度，这一问题既具有重要的理论意义，也具有 重大的应用价值。 就数值试验而言，目前仅仅计算了文献 2 7 】上的若干问题，尤其是 对于非线性程度较高的问题，新算法的非单调结构的优越性没有显现出 来，因此，有必要进行更大更多规模的数值试验。 丝型型型业塑塑塑型l 一 丝鎏 参考文献 【1 】r 0 s e n 砜t h eg r a d i e n t p r o j e t t i o nm e t h o df o rn o n l i n e a r 跏g 栩m m i n g ， p a n1 ，l i n e a rc o n s t r a i n t s ，s i a mj o u r n a l o na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，1 9 6 0 ，8 1 8 1 2 1 7 【2 】r o s e nj b , t h eg r a d i e n tp r o j e c t i o nm e t h o df o r n o n l i n e ”p r o g r a m m i n g ， p a r t2 ，n o r d i n e a rc o n s t r a i n t s ，s i a m j o u r n a lo na p p l i e d m a t h e m a t i c s ，1 9 6 1 9 ，5 1 4 - 5 3 2 ， 3 a b a d i ej a n d c a r p e n t i e rj ，g e n e r a l i z a t i o no f t h ew o l f ei t e d u c e d g r a d i e n tm e t h o dt ot h ec a s eo f n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s ，i no p t i m i z a t j o n e d i t e db yr f l e t c h e r , a c a d e m i cp r e s s ，n e w y o r k ，1 9 6 8 ，3 7 - 4 7 ； 4 m i e l ea ，h u a n gh y a n dh e i d e m a n j c ，s e q u e n t i a lg r a d i e n t r e s t o r a t i o na l g o r i t h r n f o rt h em i n i m i z a t i o no f c o n s t r a i n e d f 吼c t i o n s 伽i i l a r ya n dc o n j u g a t eg r a d i e n tv e r s i o n , j o p t i m t h e o r y a n d a p p l ，19 6 9 。 4 ，2 1 3 - 2 4 6 翻m i e l ea ，l e v ya v a n dc r a g g e e ，m o d i f i c a t i o n s 锄de 灿e n s i o l l so f t h e c o n j u g a 舡蚴i e n tr e s t o r a t i 。na l g o r i t h mf o rm a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g p r o b l e m s , j 0 p t i l l l t h e o r ya n da p p l ，19 7 1 ，7 4 5 0 - 4 7 2 f 6 】r o mm a n d a v r i e lm ，p r o p e r t i e so f t h e s e q u e n t i a lg r a d i e m r e s t o r a t i 鲫a j g o r i t l l m ( s g r a ) ，p a r t1 ：i n t r o d u c t i o na n d c o m p a r i s o nw i t hr e l a t e dm e t l l o a s , j o p t i m t h e o r ya n da p p l ，1 9 8 9 ，6 2 ，7 7 9 8 7 】r o mm a n da v r i e lm ，p r o p e r t i e so f t h es e q u e n f i a jg r a d i e n t j 7 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法参考文献 r e s t o r a t i o na l g o r i t h m ( s g r a ) ，p a r t2 ：c o n v e r g e n c ea n a l y s i s ，j o p t i m t h e o r ya n da p p l ，1 9 8 9 ，6 2 ，9 9 1 2 6 【8 】m a r t m e zj m ，q u a s i - n e w t o nm e t h o d sf o rs o l v i n gu n d e r d e t e r m i n e d n o n l i n e a rs i m u l t a n e o u se q u a t i o n s ，j c o m p a n da p p l m a t h ，19 9 0 ，3 4 ， 1 7 1 1 9 0 【9 】m a r t m e zj m ，q u a s i - i n e x a c t - n e w t o nm e t h o d sw i t hg l o b a lc o n v e r g e n c e f o rs o l v i n gc o n s t r a i n e dn o n l i n e a rs y s t e m s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，19 9 7 ，3 0 ( 1 ) ， 1 7 【lo l m a r t l f l e zj m ，i n e x a c tr e s t o r a t i o nm e t h o dw i t hl a g r a n g i a nt a n g e n t d e c r e a s ea n dn e wm e r i tf u n c t i o nf o rn o n l i n e a rp r o g r a m m i n g j o p t i m t h e o r ya n da p p l ，2 0 0 1 ，111 ，3 9 5 8 【11 】m o r 7 ej m a n ds o r e n s e nd c ，c o m p u t i n gat r u s tr e g i o ns t e p ，s i a m u j o u r n a l0 1 1s c i e n t i f i cc o m p u t i n g ，1 9 8 3 ，4 ( 3 ) ，5 5 3 5 7 2 【1 2 】g a yd m ，c o m p u t i n go p t i m a ll o c a l l yc o n s t r a i n e ds t e p , s i a mj o u r n a lo n s c i e n t i f i cc o m p u t i n g ，1 9 8 1 ，2 ( 2 ) ，1 8 6 1 9 7 1 3 】c o r ma r ，g o u l dn i m a n dt o i n tp h l ，t r u s t r e g i o nm e t h o d s ， m p s s i a ms e r i e so no p t i m i z a t i o n ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a , 2 0 0 0 【1 4 】m a r t m e zj m a n dp i l o t t ae a ，i n e x a c tr e s t o r a t i o na l g o r i t h m sf o r c o n s t r m n e do p t i m i z a t i o n ，j o p t i m t h e o r ya n da p p l ，2 0 0 0 ，1 0 4 ，1 3 5 - 1 6 3 【1 5 】k o z a k e v i c hd n ，m a r t 7 m e zj m a n ds a n t o ss a ，s o l v i n gn o n l i n e a r s y s t e m so fe q u a t i o n sw i t hs i m p l eb o u n d s ，c o m p u t a t i o n a la n da p p l i e d 1 8 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法参考文献 m a t h e m a t i c s ，1 9 9 7 ，1 6 ，2 1 5 - 2 3 5 1 6 】n o c e d a lj a n dw r i s ts ，n u m e r i c a lo p t i m i z a t i o n ，s p r i n g e rs e r i e si n o p e r a t i o n sr e s e a r c h ，s p r i n g e rv e r l a g ，n e wy o r ki n e ，1 9 9 9 【1 7 】c o l e m a n t f a n dl iy ，o nt h ec o n v e r g e n c eo f i n t e r i o r - r e f l e c t i v e n e w t o nm e t h o d sf o rn o n l i n e a rm i n i m i z a t i o ns u b j e c tt ob o u n d s ，m a t h ，p r o g ， 1 9 9 4 ，6 7 , 1 8 9 - 2 2 4 18 】c o l e m a nt f a n dl iy ，a ni n t e r i o rt r u s tr e g i o na p p r o a c hf o rn o n l i n e a r m i n i m i z a t i o ns u b j e c tt ob o u n d s ，s i a mj o no p t i m ，1 9 9 6 ，6 ( 2 ) ，4 18 - 4 4 5 【1 9 b e l l a v i as ，m a c c o n im ，m o r i n ib ，a na f f i n es c a l i n gt r u s t - r e g i o n a p p r o a c ht ob o u n d - c o n s t r a i n e dn o n l i n e a rs y s t e m s ，a p p l n u m m e r m a t h ， 2 0 0 3 ，4 4 ( 3 ) ，2 5 7 - 2 8 0 【2 0 】b e l l a v i as ，m a c c o n im ，m o r i n ib ，as c a l e dt r u s t - r e g i o ns o l v e rf o p c o n s t r a i n e dn o n l i n e a re q u a t i o n s ，c o m p o p t i m a p p l ，2 0 0 4 ，2 8 ( 1 ) ，1 - 5 0 【2 1 f r a n s i c oj b ，k r e j i cn 。，m a r t i n e zj 。m ，a ni n t e r i o r - p o i n tm e t h o df o r s o l v i n gb o x - c o n s t r a i n e du n d e r d e t e r m i n e d n o n l i e a rs y s t e m s ，j c o m p a p p l m a t h ，2 0 0 5 ，1 7 7 ( 1 ) ，6 7 8 8 【2 2 d a nn ，y a m a s h i t ay ，f u k u s h i m am ，c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so f i n e x a c t l e v e n b e r g - m a r q u a r d t m e t h o du n d e rl o c a le r r o rb o u n d c o n d i t i o n s ，o p t i m m e t h o d ss o r w a r e ，2 0 0 2 ，17 ( 4 ) ，6 0 5 6 2 6 2 3 】f a n j ，y u a ny ，o nt h eq u a d r a t i cc o n v e r g e n c eo f t h el e v e n b e r g - m a r q u a r d tm e t h o dw i t h o u tn o n s i n g u l a r i t ya s s u m p t i o n ，c o m p u t i n g ，2 0 0 5 ， 1 9 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法 7 4 ( 1 ) ，2 3 3 9 【2 4 郭楠，凸约束非线性方程组的非单调投影l - m 方法，苏州大学学报， 2 0 0 6 ，2 2 ( 1 ) ，1 0 - 1 4 【2 5 h e i n k e n s c h l o s sm ，u l b r i c hm ，u l b r i c hs ，s u p e r l i n e a ra n dq u a d r a t i c c o n v e r g e n c eo f a f f i n es c a l i n gi n t e r i o r - p o i n tn e w t o nm e t h o d sf o rp r o b l e m w i t hs i m p l eb o u n d sw i t h o u ts t r i c tc o m p l e m e n t a r i t ya s s u m p t i o n m a t h p r o g ， 1 9 9 9 ，8 6 ( 3 ) ，6 1 5 - 6 3 5 【2 6 】刘静，王平，陈中文，简单界约束优化的仿射尺度内点信赖域算法 的收敛性，应用数学学报，2 0 0 5 ，2 8 ( 1 ) ，3 2 - 4 1 【2 7 】h o c kw a n ds e h i t t k o w s k ik ，t e s te x a m p l e sf o rn o n l i n e a r p r o g r a m m i n gc o d e s ，s p d n g e rs e r i e sl e c t u r e sn o t e si ne c o n o m i e s m a t h e m a t i c a ls y s t e m s ，1 9 8 1 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法附录一 附录一测试问题 测试问题如下： h s 4 6 ：目标函数 厂( = ( 而一x 2 ) 2 + ( 而一1 ) 2 + ( 毛一1 ) + ( 毛一1 ) 约束条件五2 + s i n ( x , 一t ) 一1 = 0 x l + x ：x ：一2 = 0 初值选取 = “+ u ) 2 上下界约束0 而2 5 ，i = 1 ，2 ，5 h s 5 3 ：目标函数，( 功= “一x 2 ) 2 + q + 而一2 ) 2 + 瓴一1 ) 2 + 如一1 ) 2 约束条件五+ 3 x 2 = 0 而+ x 4 2 而= 0 而一屯= 0 初值选取而= ，+ 一1 ) 4 上下界约束一1 0 而1 0 ，i = l ，2 , - - - , 5 h s 5 6 ：目标函数弛) = 一而而弓 约束条件 毛一4 2 s i n 2 毛= 0 而- 4 2 s i n 2 毛；0 毛- 4 2 s i n 2 x 6 = 0 五+ 2 x 2 + 2 玛- 7 2 s i n 2 而= 0 初值选取x 。= ( ，+ u ) 2 上下界约束0 五2 5 ，i = 1 ，2 ，7 h s 6 3 ：目标函数 八x ) = 1 0 0 0 一而2 2 x 2 2 一而2 一x l x 2 一五而 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域法 附录一 约束条件 8 而+ 1 4 x 2 + 7 而一5 6 = 0 x ? + x ：+ x ， - 2 5 = 0 初值选取 x 。= ( 1 + u ) 2 上下界约束0 x j 2 5 ，i = 1 , 2 ，3 h s 7 7 ：目标函数，( 砖= ( 五一1 ) 2 + ( 耳一而) 2 + ( 黾一1 ) 2 + ( 毛- 1 ) 4 + ( 毛一1 ) 6 约束条件五2 + s i n ( x 一) 一2 芝= 0 而+ x 3 4 x 4 2 8 - 压= 0 初值选取= ( ，+ u ) 2 上下界约束o _ x j 2 5 ，i = 1 ，2 ，5 h s 7 9 ：目标函数 ，( 力= ( 而一1 ) 2 + ( 而一屯) 2 + ( 而一而) 2 + ( 弓一心) 4 + ( _ 一毛) 4 约束条件而+ 毛2 + # 一2 - 3 压= 0 而一为2 + x 4 + 2 2 x 2 = o 毛墨一2 = 0 初值选取= ( 2 2 2 2 ，2 ) 上下界约束0 9 x , - 2 5 ，f = 1 , 2 ，5 h s 8 1 ：目标函数厂( 力= e x p ( x l x 2 x 3 x 。x ，) 一0 5 ( x 1 3 + x 2 3 + 1 ) 2 约束条件 x ：+ x ：+ x ；七x ：+ x ；一1 0 = 0 屯而一5 x 4 x 5 = 0 0 + # + 1 = 0 初值选取= ，+ 一0 4 墨丝壅! ! 丝丝查矍堡竺堕盟墨堡堕生堕塑堡些 堕墨二 上下界约束一2 3 蔓置s 2 3 ，i = 1 , 2 3 2 x ts 3 2 ，i = 3 , 4 ，5 h s 8 7 ：目标函数以d = z ( 力+ 五( x ) 聃，= 鼹踩 r 2 8 x 20 - - x 2 1 0 0 正( 力= 2 9 x 21 0 0 x 2 2 0 0 【3 0 x 2 2 0 0 而 1 0 0 0 约束条件3 0 0 一而一三而i c o 啪一) + 三如2 = 0 一x 2 一- - 1x 3 x 4 c 0 6 + x o + 三西屯2 = o 一一口 即+ 二= u 一墨一三张，s i n ( b + x 6 ) + 口。- e x 4 2 - o 一墨一二张，+口 刮 2 0 0 一三而_ s i n ( b x 6 ) + 三2 = o a = 1 3 1 0 7 8 b = 1 4 8 5 7 7 c = 0 9 0 7 9 8 d = c o s l 4 7 5 8 8 e = s i n l 4 7 5 8 8 初值选取x o = l + ( u - 1 ) 4 上下界约束0 s 而4 0 0 0 s x 2s 1 0 0 0 3 4 0 s 而s 4 2 0 3 4 0 x 4 4 2 0 - 1 0 0 0 毛1 0 0 0 0 0 蚝o 5 2 3 6 h s l 0 7 ：目标函数= 3 0 0 0 x _ l + 1 0 0 0 而3 + 2 0 0 0 x 2 + 6 6 6 6 6 7 x 2 3 界约束非线性方程组的仿射尺度内点信赖域j 杰 附录一 约束条件 o 4 一而+ 2 c x 5 2 一而( 幽+ c y 2 ) 一毛而( 也+ 吼) = 0 0 4 - x 2 + 2 c x 6 2 + x s x 6 ( d y i o ) + 黾而