（凝聚态物理专业论文）非对易空间相空间二维谐振子能谱及波函数的研究.pdf

摘要 非对易空间( 相空间) 二维谐振子能谱及波函数的研究 摘要 本论文分别采用算符形式和路径积分理论研究非对易平面上的二 维谐振子的本征值和本征函数的问题。主要内容如下： 1 、非对易空间( 岩j ，岩7 = i o 驴， 膏j ，e = 访形， e ，e = o ) 中二维 谐振子的能谱及波函数的研究。 我们首先介绍算符形式，将非对易空间映射到对易空间，在对易 空间求解二维谐振子的能量和波函数。然后，介绍路径积分理论，分 别在映射后的对易平面上构造传播子和直接在动量空间构造传播子， 从而求得谐振子的本征值和本征函数。 2 、非对易相空间( p ，殳1 = 汐驴， 岩，句 = 访嘭， a ，向 = 吗) 中： 维谐振子的能谱及波函数的研究。 针对由非对易相空间到普通相空间的映射的不唯一问题，我们找 到了一种和映射无关的方法研究了非对易相空间中的谐振子的能级。 我们采用路径积分理论，直接在非对易相空间中构造谐振子的传播子， 从而得出谐振子的能谱及波函数。我们的方法避免了因为映射不唯一 而引起的一些问题。 关键词：非对易空间；非对易相空间；路径积分；二维谐振子 北京化工大学硕士学位论文 s t u d i e so ft w o d i m e n s i o n a lh a r m o n i c o s c i l l a t o ri nn o n - c o m m u t a t i v e ( p h a s e ) s p a c e a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s et w od i f f e r e n tm e t h o d s ，n a m e l y , t h eo p e r a t o ra n d p a t hi n t e g r a lm e t h o d ，t oa n a l y z et h es p e c t r a a n dw a v ef u n c t i o n so ft h e n o n - c o m m u t a t i v et w o d i m e n s i o n a l ( 2 d ) h a r m o n i co s c i l l a t o r t h ec o n t e n t so f t h i st h e s i sa r et h ef o l l o w i n g ： 1 ) t h es p e c t r aa n dt h ew a v ef u n c t i o n so f2 dh a r m o n i co s c i l l a t o ri n n o n c o m m u t a t i v es p a c e f i r s t l y , t h en o n c o m m u t a t i v es p a c ei sm a p p e dt oa c o m m u t a t i v eo n ea n dt h e nt h eo p e r a t o rf o r mi su s e dt oo b t a i nt h ee i g e n v a l u e s a n dt h ew a v ef u n c t i o n s t h e n ，t h ep a t hi n t e g r a lf o r m u l a t i o ni se m p l o y e di n c o o r d i n a t es p a c ea n dm o m e n t u ms p a c e ，r e s p e c t i v e l y t h ep r o p a g a t o ri s c o m p u t e db o t hi nc o o r d i n a t es p a c ea n dm o m e n t u ms p a c e a tl a s t ，t h es p e c t r a a n dw a v ef u n c t i o n sa r er e a do f ff r o mi t 2 ) t h es p e c t r aa n dt h ew a v ef u n c t i o n so f2 dh a r m o n i co s c i l l a t o ri n n o n c o m m u t a t i v ep h a s es p a c e w ep r o p o s eam a p p i n g i n d e p e n d e n tm e t h o dt o s o l v et h es p e c t r aa n dw a v ef u n c t i o n so ft h e2 dh a r m o n i co s c i l l a t o r i n n o n c o m m u t a t i v ep h a s es p a c e t h ep a t hi n t e g r a lf o r m u l a t i o ni sa p p l i e da n d t h ep r o p a g a t o ri sc o n s t r u c t e ds t r a i g h t l yi nn o n - c o m m u t a t i v ep h a s es p a c e t h e s p e c t r a a r er e a do f fd i r e c t l yf r o mt h ep r o p a g a t o ra n dt h eq u e s t i o no f u 摘要 u n i q u e n e s so f t h eo p e r a t o rf o r mi sa n s w e r e d k e y w o r d s ：n o n c o m m u t a t i v es p a c e ；n o n c o m m u t a t i v ep h a s es p a c e ；p a t h i n t e g r a l ；2 dh a r m o n i co s c i l l a t o r 1 1 1 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 作者签名：蚴 日期：2 竺2 ：三：三里： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大 学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可 以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用本授 权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：翌缝组日期：丝翌：三! 三旦： 导师签名：生l 些 日期： 三：! ：主： 第一章引言 第一章引言 非对易量子场的发展经历了一个漫长的时期。1 9 3 0 年h e i s e n b e r g 注意到，如果 在坐标分量之间引入非对易关系( 即假设坐标存在测不准关系) ，就可能避免计算电 子自能时所出现的发散。后来，p e i e r l s 把这种思想用到l a n d a u 能级问题n 2 1 。1 9 4 7 年h a r t l a n ds n y d e r 发表了关于量子化的非对易空间的第一篇论文口1 。之后，杨振宁 把s n y d e r 的方法扩展到量子化的弯曲空间h 1 。1 9 4 8 年m o y a l 为研究量子力学的数学 结构利用w i g n e r 相空间分布函数，引入m o y a l 乘积的概念，把量子力学中算符的非 对易关系体现在表示量子态的相空间中函数的m o y a l 乘积上随1 。在研究非对易空间量 子理论时，m o y a l 乘积也成为主要的手段之一。 非对易量子场论的近期发展是从1 9 8 0 年c o n n e s 和他的同事所创立的非对易几何 开始。c o n n e s ，d o u g l a s 和s c h w a r t z 等，认识到弦理论和卜理论的某些低能极限可 以用非对易几何来进行很好的描述j 1 。超弦理论的研究引发了对非对易性研究的热潮 引，发现非对易场论是在n s n s 场背景下的d 膜的低能有效理论。因此，非对易性 和弦理论存在着紧密的联系。膜世界理论猜测，我们的空间有可能就是d 膜的世界体 n 5 1 。因此，我们所生存的时空有可能就是非对易的。在过去的几年中，研究非对易的 时空结构和由于非对易性而引起的对标准量子力学和量子场论的偏离是研究非对易 理论的重点u 引之一。 研究者们对于非对易量子场论的研究，分别从微扰和非微扰两个方面展开n 他1 。 在微扰论方面，n s e i b e r g 等人通过对非对易标量场的研究，给出了非对易量子场论 的费曼规则，揭示了理论的非定域性和u v i r 混合等现象。更为有趣的是，他们的研 究表明，当非对易参数趋于零时，非对易理论不存在连续的极限1 。随后，非对易量 子场论的重整化问题被解决，非对易空间中的标准模型也被构建了出来。非微扰方面 的研究始于a s t r o m i n g e r 等人。在文献中瞳4 1 ，a s t r o m i n g e r 等人对非对易标量场的 孤子问题进行了研究。他们发现在大的非对易参数的极限下存在孤子( 即g m s 孤子) 。 这种类型的孤子在与其对应的对易的标量场中是不会出现的。此后，非对易规范场中 的孤子问题也引起了人们的极大的研究兴趣，成为研究的热点问题之一瞄1 。 与非对易量子场论的研究相比，非对易量子力学的研究受到的关注程度稍低一 些。这个方面的主要研究集中在对一些精确可解的模型，如非对易平面上的谐振子、 非对易平面上的带电谐振子与电磁场的相互作用、氢原子等模型和和非对易量子力学 中的几何相位等问题的研究口卜驯。对于应用微扰论研究非精确可解的模型也有一些涉 北京化工大学硕士学位论文 及口。人们研究这些模型的目的：是希望通过对一些简单非对易量子体系的研究，考 察由于空间的非对易性引起的对标准量子力学的的偏离，从而对空间坐标的对易与否 以及非对易的数量级作出估计和判断。最近非对易空间中的超对称量子力学的研究也 有一些进展，但是这方面的研究目前仅仅限于谐振子和泡利模型在非对易空间中的推 广等特例，缺乏普遍意义上的研究口别。 就目前而言，关于非对易量子力学的研究b 3 嗡3 ，大多数的工作都是通过坐标变换 的形式，将非对易空间映射到对易空间，用算符形式求解。然而，对于相空间非对易 的情况，映射的方式不唯一呻3 ，从而导致能谱表达形式的多样性。那么，对于同一个 模型能否给出统一的表达便成为研究的一个焦点。于是，我们很自然的就会联想到， 除了用量子力学的正则量子化形式，还可以采用另一种形式，路径积分形式阱3 9 1 来研 究非对易问题h 叫引。 路径积分理论的核心是如何去构造量子力学中的传播子。传播子包含了量子体系 的全部信息。f e y n m a n 的路径积分理论把传播子直接与经典力学中的作用量( 作为粒 子坐标的函数) 联系起来。h e i s e n b e r g 的矩阵力学是正则形式下经典力学的量子对应 ( 把经典p o i s s o n 括号换为量子对易式) ，s c h r o d i n g e r 的波动力学则与经典力学中 h a m i l t o n - j a c o b i 方程有密切关系。概括起来，它们都与经典力学的h a m i l t o n 形式有 渊源关系。与此不同，f e y n m a n 的路径积分理论则与经典力学的l a g r a n g e 形式( 通过 作用量) 有密切的关系。其优点之一是易于从非相对论形式推广到相对论形式，因为 作用量是一个相对论性不变量。所以路径积分理论对于场量子化有其优越性。它的另 一个优点，把含时间问题和不含时间问题纳于同一个理论框架中来处理。另外，通过 f e y n m a n 的路径积分理论可以更形象地研究量子力学与经典力学的关系，并使人们对 于经典力学的基本规律( 例如最小作用原理) 有更深刻的理解。 本文主要采用路径积分的形式研究非对易二维谐振子的能谱和波函数。基本组织 如下： 第二章简要介绍路径积分理论，以一维谐振子为例，说明如何从传播子中求解 出谐振子的能谱和波函数。 第三章我们介绍了非对易空间中的二维谐振子的能谱及波函数。首先，将非对 易空间映射到对易空间中，用算符形式求解二维谐振子的能谱及波函数。然后，用路 径积分理论，在映射后的空间中构造传播子，求解二维谐振子。之后，又在动量空间 中构造传播子，求解二维谐振子的能谱与波函数。 第四章我们主要研究了非对易相空间中的二维谐振子。首先，我们介绍前人用 算符形式给出二维谐振子的能谱。因为相空间的映射不唯一，所以早先的工作者只选 了两组特解来研究，并说明两组解给出的能谱是等价的。然后，我们采用路径积方法 求解。我们通过直接在非对易相空间中构造合适的传播子，从而得到谐振子的能谱与 波函数。 2 第一章引言 第五章总结概括本论文及非对易量子力学的前景展望。 3 北京化工大学硕士学位论文 第二章路径积分理论 继2 0 年代中期h e i s e n b e r g 的矩阵力学和s c h r s d i n g e r 的波动力学提出之后， f e y n m a n 在4 0 年代提出了量子力学的另一种理论形式，称之为路径积分啪1 ( p a t h i n t e g r a l ) 。这个理论的核心是构造量子力学中的传播子。把传播子直接与经典力学 中的作用量联系起来，使其与s c h r s d i n g e r 波动方程具有等价性。应用路径积分理论 有两大优点，其一是易于从非相对论形式推广到相对论形式，其二是把含时间问题和 不含时间的纳入同一框架中处理。在此章中我们首先回顾一下s c h r s d i n g e r 理论形式 中的传播子( p r o p a g a t o r ) 概念，然后介绍路径积分的计算方法，并以一维谐振子为 例介绍如何求解传播子并得出其本征值和本征函数。 2 1 传播子概念和路径积分方法 按s c h r s d i n g e r 波动力学，一个量子体系状态i ( t ) ) 的演化由s c h r s d i n g e r 方程 给出： 历昙) ) = 日) ) ( 2 1 - 1 ) 日为体系的h a m i l t o n 量，以下假设日不含时间六按式( 2 卜1 ) ，体系在时刻他t 。的 状态l ( t 。) ) ，可由时刻，( 广) 的状态l ( f ) ) 如下定出： 如采用坐标表象，则 或表示成 其中 ( t 。) ) = e x p - i h ( t 一，) 肛 渺( t ) ) ( 2 1 2 ) ( 尹l ( t ) ) = ( ，i e x p 一滑( 广一f 7 ) 肛 i ( t ) ) = d 3 x ( 广i e x p 一i h ( t 。一f ) 壳 j 芦) ( 尹j ( ，) ) y ( t ”) = f d 3 批( 尹广，办杪( ) ( 2 卜3 ) k ( f t 。，办) = ( ，l e x p - i h ( t 。一f ，) h l v ) ( 2 卜4 ) 称为传播子。其物理意义：设粒子在初时刻t 处于空间芦处( 位置本征态) ，则 k ( 办，力) 表示在以后某时刻f 。( f ) 粒子处于空间尹点的概率波幅。量子力学中的 传播子与经典力学中的作用量有密切关系，并且与薛定谔方程具有等价性，可看成是 4 第二章路径积分理论 特殊的波函数。 其中 按f e y n m a n 的假定，传播子的表达 k ( 卅2 l 磊路唧p 尹( ，) j h ( 2 1 嘞 s 尹( ，) = 弘( 尹，声，rd t 是依赖于粒子轨道尹( f ) 的泛函。这里并不要求这些轨道使s 取极值，而是包括在给定 初终点 尹( ，) = 尹，尹( f ) = 广 下的一切可能的轨道。每一条轨道对传播子做等权贡献， 但各有不同的相位缸尹( f ) 。由于各种轨道是连续变化的，所以式( 2 卜5 ) 中的求 和应化为下列泛函积分： k ( x 。t 。，x y ) = l e x p i s 尹( t ) h ) p ( t ) ( 2 1 6 ) 这里p 尹( f ) 就是表示对给定初终点 尹( f ) = 尹，尹( f ) = 矿 下的一切连续变化的可能 轨道求积分。f e y n m a n 曾经提出一个多边折线道的简单计算方案，即把路径积分作为 多维空间r i e m a n n 积分的极限。将时间间隔( t w _ t 7 ) 做等分，令萨( i f - t ) a v , t o = ， ，乞，知一l ，知= t 一 0 0 一i = 占， j = 1 ，2 ，n 相应的粒子坐标弓= 尹( o ) ( j = 1 ，2 ，n - i ) 变化范围是( 一，+ a o ) ，而 尹( 气) = 尹( ，) = 芦，尹( 知) = 尹( 广) = ， 保持固定。是很大的正整数。此时作用量( 沿多边折线道) 可表示为 晶 = s 烈y = l 华，华) 亿h ， 晶酏) = s i 譬等，等，声l ( 2 1 - 7 ) o 而 d 尹( f ) 卜c 们d ，_ ( 2 1 - 8 ) g 应选择得使专o o ( 占专0 ) 时积分的极限存在。这样，传播子可表示为 峨( 办。，办) = c e x p 吾 尹( r ) 尊d 3 一( 2 1 - 9 ) 峨( 办。，v t ) = l i r a 。k ( 砘。，办) 5 北京化工大学硕士学位论文 2 2 位形空间和相空间的路径积分 f e y n m a n 最初所给出的路径积分，是位形空间中的。事实上，路径积分还可以采用 其他空间来表述旧1 。从s c h r s d i n g e r 波动力学形式来看，这相当于采用不同的表象， 也就是采用不同的完备基。 在此章中，我们首先介绍位形空间中的路径积分。为了数学表述简单起见，考虑 一维势场v ( x ) 中运动的粒子，h a m i l t o n 量表示为 h = p 2 2 m + v ( x ) ( 2 2 1 ) 下面来计算位形空间中的传播子 见式( 2 卜4 ) k ( x 。f 。，t ) = ( ，l e x p 一册( f ”- - t 7 ) i f l - ) ( 2 2 2 ) 把时间间隔( t - t 7 ) 作等分， 气= c ，乞，f ，一l ，知= ， t j 一0 一l = s ，( t - t ) = n 8 x ( 气) = x ( ，) = x ，x ( 知) = x ( f 。) = ， 显然， 矿嘶) = p 刮 ( 2 2 3 ) 而 e x p - i 6 酬= o x p 一堡h ，l 2 m 州x ) =r一矧唧降ic1。7s2)(22-4)exp j + o t = 一i 翥j 唧l 百p s 这里利用了p 舢口= 一矿p k 口】彪，此式成立的条件是【彳，b 】与a 和b 都对易。当s 专。时， o ( s 2 ) 项可略去。把式( 2 2 4 ) 代入( 2 2 3 ) ，并在n 个因式之间插入( - 1 ) 个单 位式 ，= e 吒i _ ) ( 一i ，j = l 州2 一，n 一1 ( 2 2 5 ) 于是传播子( 2 2 - 2 ) 可以表示为 碱州小h l 珥n - ! e 帅p - 嘉斗p 一和k ) ( 讪 6 第二章路径积分理论 式中 唧 一轰p 2 唧一cm 忙：) ( 确i 唧 一轰p 2 e x p 甲i cc 功m l e x p 一靠p 2e x p 一弘， i x 0 - - x t ) ( 2 2 - 6 ) ( 乃l e x p 一轰p 2e x p 一百i sm ，k ) = ( _ 畸轰p 2 批) e x p 一) =m 1 1 2 唧 掣 e x p 甲i 8c _ ) ( 2 2 - 7 ) 这里利用了自由粒子的传播子的计算公式 见式( 2 1 - 9 ) ，把式( 2 2 - 7 ) 代入式 ( 2 2 - 6 ) ，可得出 州以卜 彘 l ，2 尊( 纛) “2 吒 唧瞎掣甲1 6c 叫( 2 2 - 8 ) 当占专。时，( x j t 一。) 占戈，于是式( 2 3 8 ) 右边最后一个因式化为 唧隧i 61 吁2 川_ ，) 一酗鹕) ( 2 2 - 9 ) 因而传播子可表示为 式中 戤。咖= i o m ) 】唧 “螂一 ， f 。【x ( r ) 】= ：l i m 。( m _ _ ) 1 1 2j i n ，- i r 竹) 2d 巧( 2 2 - 1 0 ) 7 北京化工大学硕上学位论文 此即位形空间的路径积分。 下面我们介绍相位空间中的路径积分。按式( 2 2 1 ) ( 2 2 - 4 ) ，传播子 k ( x ”t w , t ) 可以写成如下形式： ( h “i 唧 意p 2 e x p 一百i 8 叫唧 淼p 2 e x p 一i i em ) 个因式子 i = z ) 在上式中相邻两个指数算符因式之间依次插入 ，= 卜嘭i _ ) ( t i ，j = l ，2 ，一1 ，= 胁i 乃) ( 马i ，j = l 2 一， ( 2 2 - 1 1 ) ( 2 2 - 1 2 ) l t ) 与i 乃) 分别是粒子坐标x 和动量p 的本征态，而( tl 鼽) = 砂即疡。此时，式 ( 2 2 - 1 1 ) 中每一个指数算符因式都作用在它的本征态上，可以很容易给出其表达式。 推广到一般情况，式( 2 2 一1 1 ) 可化为 k(xy力=(，xw互,tr、)。【p(州。k州e冲羔一轰巧+ii乃(_一_，)一鲁矿(一-i)j=l ( 一，) l l “ “ j j ( 2 2 - 1 4 ) 式中 篡哪忡】= ( 志) 圳肛，：nn 捌-11 f f i f i a , , , 出, d ) 】d 【酬= l 蔗l ， ( 一) v 厶儿 ，= l 七= 1 当n - - 争o o 时，一t _ 彭g ，因而，式( 2 2 - 1 4 ) 可化为 k ( ) = d 【p 】。【斗e x p ； f - 【砖川砌) 】d 0 = 川晰唧融地 例一维谐振子的传播子可以写成 kw t sx r t ) = ，o x e x p ( i s 壳) = ，d x e x p 云j ：d 圮( x ，j ) 第二章路径积分理论 l = 三( 孟) 是与哈密顿对应的拉氏量，其值为 ( 五j ) = 去积一i 2 m o ) ， m 和分别代表谐振子的质量和频率。我们定义 x = x d + 6 x 毛，b x 代衣v ，j 勺，j 网塥患乞1 日j 刚毪兴跆任及基于涨洛倔呙鄙万。田l z z l 石j 和( 2 2 - 1 9 ) 式得出 s = j ：。d 圮( 硝) = f d r 三朋( 屯+ 融) 2 一i 2m 国2 ( 劫+ 万x ) 2 = 弘( 圭嵋一五1 埘嘲) + 弘( 三m ( 嘲2 i 2 朋州蹦2 ) 小陋训一峨出耐而融 = s c t + s f ( 2 2 - 2 0 ) 髟代表经典部分作用量，是l a g r a n g e 量l 沿经典允许的轨道的时间积分。昂代表量 子涨落部分的作用量。由最小作用原理8 s = 0 ，导出运动方程 由“边界 条件 峨+ 胁缈2 = 0 t = t t ，x c t = 0 t = t 。，x d = 矿 因此，我们可以求得经典部分的解为： 霸( f ) = x s i n c o ( t 1 - t 五) + 万x s i nc o 一( t - t ) 式中t = t 。一t 。经典部分的作用量计算如下： 9 ( 2 2 - 2 1 ) 北京化工大学硕士学位论文 因为在“边界 处存在 所以， 定义 那么， 小1 , , i x 。1 27 1 如2 = 圭昙i ： = 2 h s 丝i n g o t ( + ，2 ) c o s 耐么吖 ( 2 2 - 2 4 ) l 、 ， j 8 x = 6 x 。= 0( 2 2 - 2 5 ) 量子涨落部分的作用量计算为 昂= ：d ， 三聊( 万戈) 2 一1 2m 0 2 ( 万x ) 2 = 扣却：7 1 ：d ，h 参耐h = 一三m j ：d f 万x ( 言多+ 仞2s x ( 2 2 - 2 6 ) 融= 军g 毛，一( 参) 8 x r s x = q g 取- - z q e 以 以是r 的本征值，即有， 一要吒彳矗：以吒 一矿吒一彩矗2 以吒 解( 2 2 - 2 7 ) 式，得到毛的通解为 根据d e t = 0 ，可得出 ( 2 2 - 2 7 ) 毛= a e o s 历+ 曰s i l l 厄n + ( - 0 2 t ( 2 2 _ 2 8 解出的量子涨落部分的作用量如下： 以= 等耐 品= 芝1 聊i ：d r 委q q 戤 1 0 ( 2 2 - 2 9 ) 第二章路径积分理论 则，传播子可以写为 - 【( ，c 一，。，】一，r ) = = j 7 ( r ，r ”) e x p ( 寺s c , ) ( 2 2 - 3 0 ) ( 2 2 - 3 1 ) 式中的f ( f ，t 。) 只依赖于两端点时间，与空间变数无关h 引，是由对融的路径积分而得， 我们称它为涨落因子。涨落因子，( f ，t ) 就等于 利用数学公式 即) = p 孤唧( 吾品) 毋舞唧( 砩壳) - j l j i 。n x l 厮d c e 砷晦；牝1 2 ) 咖x = 垧n = l ( - 一嘉) “ 则，由( 2 2 - 2 9 ) 式、( 2 2 - 3 2 ) 式和( 2 2 - 3 3 ) 式得到 f ( f ，t ) = 因此得出一维谐振子的传播子为 ( 2 2 3 2 ) ( 2 2 - 3 3 ) ( 2 2 - 3 4 ) 以 k 出 。 q f 死 q c q ， 喀 板 圾 水 f mm。 m m m m 1 2 ，一2 一2 1 2 一2 以 兀。 = 北京化工大学硕上学位论文 ( ，t k t 7 ) = 传播子还可以表示为 并且具有完备性 唧 盖 ( x 2 + x p 2 ) c o s 研- 2 x x ) ( 2 2 - 3 5 ) ( x ，广k t 7 ) = ( x 。i c x p - i h t h l x ) ”) ( 咒i = 1 ，、 此处h ) 为能量表象的基矢，h a m i l t o n 本征函数可表示为 膏l 胛) = e l 刀) 将( 2 2 - 3 3 ) 式代入到( 2 2 - 3 2 ) 式中，可以得到 ( 以书) = ；e x p ( 一z 鲁r ) ( x 俐，z 怍e x p ( 一，鲁丁卜) ( z ) 我们定义 并且 屯= 厚。，= 厚7 e - r o t ( 2 2 3 6 ) ( 2 2 - 3 7 ) ( 2 2 - 3 8 ) ( 2 2 - 3 9 ) ( 2 2 - 4 0 ) 南=志，爵1+a2=五1+e而-2u”r=器(22-4112 i ) 一= 一一= 一= = 一 j 一口2s i n 缈丁1 一口l p 叫埘。f s i n 缈r 则可以用厄米算符形式给出( 2 2 - 3 5 ) 表达式为 击唧 一南 ( 吲”引也 ) = 唧( - 萼一萼壤知( 吒川， 再与( 2 2 - 3 5 ) 式相比较，我们就可以得出谐振子的本征值和本征函数 其中 ( 2 2 - 4 2 ) e n = h a ，( 力+ 圭) ，眠( x ) = m a 一；p 一妄q ( 允) ( 2 2 - 4 3 ) 兄= ，也= ( 1 2 n ! 石) _ 1 2 ( 2 2 4 4 ) 第二章路径积分理论 以上即为用背景场方法求解一维谐振子的能级及波函数。 在本章中我们介绍了传播子的概念，以及位形空间中的路径积分和相空间中的路 径积分，并且以一维谐振子为例，说明了如何从传播子中得到一维线性谐振子的本征 值和本征函数。对于二维谐振子，我们也可以用背景场的方法，得出相应的本征值和 本征函数。 北京化工大学硕士学位论文 第三章非对易空间中的二维谐振子 在本章中，我们将研究非对易空间中的二维谐振子。首先，我们将用算符形式求 解非对易二维谐振子的本征值和本征函数。然后，我们将用路径积分理论，在坐标空 间和动量空间中分别求解二维谐振子，并得出其本征值和本征函数。 3 1 算符形式 非对易坐标平面定义为 l ，曼7l = i 0 扩，f ，= 1 ，2 ， ( 3 卜1 ) l 一 式中的是一个反对称张量，其矩阵维数为2 x 2 。在非对易空间中，算符可以记 为伊：阮驴，：f ，0 11 。非对易平面上的坐标和动量，动量和动量满足如下的对易 l - io j 关系： p ，砖 = 访彰 磊，房 = ol p i ，p j1 2 u ( 3 1 2 ) ( 3 i - 3 ) ( 3 i - i ) 式，除了表示非对易平面的对易关系，同时也表明了h e i s e n b e r g 不确定性 关系 缸1 缸2 一p( 3 1 4 ) 为了使计算简便，我们设谐振子的质量和频率均为1 。非对易平面上的二维谐振子的 哈密顿量为 日：芏+ y( 3 1 5 ) 2 求解非对易二维谐振子的一般思想方法是将非对易平面的算符映射到对易平面 中。也就是说，将非对易坐标做线性变换，用对易的坐标给出表示。如下： 一：x i _ i 0 乃 ( 3 1 6 ) a = 只 ( 3 卜7 ) 将( 3 1 - 1 ) ，( 3 卜2 ) ，( 3 1 _ 3 ) 映射到对易平面中满足的对易关系 1 4 第三章非对易空间中的二维谐振子 童，j 个o j f ，e = 访巧【- x ，e j 2 访哆 a ，色 = o ( 3 1 - 8 ) ( 3 1 - 9 ) 非对易平面上的哈密顿量h ( ，a ) 可以用对易平面情况下的哈密顿量替换，即 日( ，a ) 一日( j ，p ) 日( ，矗) = 日( j ，一去矿e j 鸯) 在对易平面中的势能表示为 矿= 引2 竽+ ( 坼竽+ ( x 2 ) 2 一心l l - 4 、7 4 、7 2 j 其中，t = x 1 昱一x 2 只是角动量。那么，二维谐振子在对易平面中的哈密顿量可以表 示如下 日：芏+ y 2 = 譬+ 竽+ ( 栌红 如果我们做如下的定义 2 壶 如k ) 彩：! m 幸觎2 ， 那么，哈密顿量就可以表示成 日= 赤班华矸一僦鲈置弓 1 ， il， h ( 3 1 1 4 ) 是二维各向同性谐振子势中的电子，在竖直磁场背景下的哈密顿量。因此，我们可以 直接给出能量本征值和本征函数h 6 1 如下： 北京化工大学硕士学位论文 肘蚴q 卜i 2 + 趔2 + 羞) 一叫名吼跏 。( 尹) = 丽1 k 。( ，e , - p 式中的体为径向量子数，m 是磁量子数，径向波函数凡，。( ，) 为 = 万( 竿) i唧( 一等，2 ) ( 竿对汜z m i ( 竿，2 ) 式中的改l 是拉盖尔多项式。 以上介绍了用算符法，将非对易平面映射到对易平面，在对易平面中得出谐振 子的能谱以及波函数。 3 2 路径积分形式 在( 3 卜1 ) ，( 3 卜2 ) ，( 3 1 - 3 ) 中已经给出量子非对易关系。根据( 3 卜4 ) h e i s e n b e r g 不确定关系，可知道，在坐标非对易空间中，波函数y ，t ) _ ( 一，f i y ) 失 去确切的意义。但是，如果将坐标进行线性变换，映射到对易空间( 如3 1 所介绍) ， 就可以在对易空间中写出s c h r s d i n g e r 方程，并给出波函数的确切解。 在此小节中，我们应用另一种方法一路径积分理论，来求解二维非对易谐振子 的能谱及波函数。首先，在3 2 1 中，我们将在对易空间中用路径积分方法的求解， 然后，在3 2 2 中，将在动量空间中用路径积分方法求解。 3 2 1 坐标空间的路径积分 质量和频率为1 的二维非对易谐振子的哈密顿量为 日：竽+ 1 2 ( x 了 2 2 、7 ( 3 1 1 ) ，( 3 卜2 ) ，( 3 卜3 ) 中的变量，b 满足下面的经典泊松括号： 一，x 7 = 珧驴， ( 3 2 2 ) b ，p j = o ， ( 3 2 3 ) 1 6 第三章非对易空间中的二维谐振子 ，p j 一- - 叶l ，j ，j = l ，2 ( 3 2 - 4 ) 因为，坐标非对易，对于变量，意味着不能直接通过( r i 兄乞) ( r = 一，i = l ，2 ) 在非对易平面上来定义传播子，通过( 3 1 - 5 ) ，( 3 1 - 6 ) 给出的线性变换 一：x ，一导e 扩e ，b ：，将非对易变量，易映射到经典对易平面中，让对易平面 的变量j ，p ，满足的泊松括号为 x 7 ，x 7 = o ( 3 2 5 ) 霉，e ) = o ， ( 3 2 6 ) x ，弓) = 彰 ( 3 2 7 ) 经典哈密顿量在( 3 卜1 6 ) 中已给出 h = 缶p + 竿一甜j 现在，我们可以在对易的平面上来构造传播子，用路径积分形式来分析此模型。 在做路径积分时，首先要构造传播子m 1 。在对易空间中我们构造出的传播子可 表示为 k ( 无，气；无，乞) - - - ( 焉，屯l 无，乞) = 廊似础唧馐e 出 曰穷一日( 一只) ) ( 3 2 - 8 ) 式中的尹= ，声1 ，2 ，日是( 3 1 - 1 6 ) 式给出的哈密顿量。利用高斯积分，积去关 于变量霉部分，我们得到下面结果 k ( 砒；瓦= 面嬲唧 ； j ：妣( 一曲 ( 3 2 - 9 ) 上式中的n 表示归一化因子，三= 三( x ，j ) 是与( 3 1 1 6 ) 的哈密度量对应的拉格 朗同量： l ( x ，j ) = l 2 m 宰癣+ m 乖彩e 驴五t 一三肘牛z ( 3 2 1 0 ) m + 和国在( 3 卜1 3 ) ，( 3 卜1 4 ) ，( 3 1 - 1 5 ) 中已给出表达，代入上式后，非对易参 量矽就相当于在对易平面上所加的垂直磁场h = o 。也就是说，( 3 2 1 0 ) 可看作带电 谐振子在有竖直磁场的平面上运动的拉氏量。 1 7 北京化工大学硕士学位论文 传播子在坐标表象中的表达为 m 砧弛) - ( 捆帅 上式中的丁= 乞一乞。将( 2 4 - 2 1 ) 式给出完备性关系i 刀) ( 以i = 1 插入上式，根据 ( 2 4 - 2 2 ) 式给出的能量本征值疗l 栉) = ei ，1 ) ，可以把( 2 - 1 1 ) 式写成 阮砧驰) = 军e 即( 专r ) ( 无m i 乏) = 军e x p ( 一鲁丁_ 埔) 因此，通过上面的传播子可以得出谐振子的本征值及本征函数。 现在，我们就用用背景场的方法来计算二维谐振子的传播子。设e 为给定初终 点( 乞，砭) 与( 气，磊) 之间的经典轨道，这条经典轨道对作用量s = e d 纪取极值。将x 表 示为经典部疋和偏离部分万x 两部分组成，即 x = e + 万x ( 3 2 1 3 ) 事实上，髟为经典运动方程的解，是通过式( 3 2 1 0 ) 使朗格朗日量极小化得出： m 宰髟一2 m 唯蜣扩髟+ m 毒冠= o ( 3 2 1 4 ) 其“边界 条件为 t = t 4 ，x l = x ： f = 乞，x 一- - a 6 i ( 3 2 - 1 5 ) 由( 3 2 - 1 4 ) 和( 3 2 - 1 5 ) 可以得到经典解 乃矿( f _ u z 口c o s q c ，+ 焉咖q c hc o t 觚；n 训 诤州t - i 口 乏c o s f 2 ( t - t + t o ) 磊s m 跳训一训觚m 跳训 i ，_ e 蛔。1 | i盎咖q ( 卜u 0 0 t 凹豳q 卜ol ( 3 2 1 6 ) ( 3 2 - 2 1)式中 z c ，= 鼍，1 + ，2 ，毛= 置，1 一峨2 在边界处有 z 口= z + 霹，乏= z 一孵，同理也可以得到z 6 和乏。 用品表示经典轨道作用量，即 1 8 第三章非对易窄问中的二维谐振子 兄= r d 圮( e ，髟) = e m 扣宰髟2 + m 奉蜣驴e 髟一三m 幸e 2 根据经典运动方程，可以写出经典部分的作用量 咒= 丢( 才+ 兹) 隆 将( 3 2 - 1 8 ) 式代入( 3 2 - 2 0 ) 式中，经典作用量可以得到确切值，结果如下 s c 一篇 ( z o 乏e - 御+ y o z be i 打) 一n l ( z ：o + 乏乏) ( 3 2 - 1 9 ) 将( 3 2 - 1 5 ) 式代入( 3 2 1 0 ) 式中，传播子可以写成 k ( 亏，乇；乏，乞) ：n e 扫f ( t o ，乇) 式中的咒已经在( 3 2 2 1 ) 式中给出，f ( 乞，气) 为涨落因子( 量子涨落) 。因为乏和五 分别表示初末时刻位置，因此在两端点处变分满足： 所以传播子f ( t o ，气) 可以表示成 6 x ( 乞) = 衍( 气) = o ，i = 1 ，2 ，纯= 血i = 1 。( 衍) 唧陉e 抛c 甜，8 x ) ( 3 2 - 2 2 ) 而且，( 3 2 1 0 ) 式中拉格朗日量具有时间平移不变性，涨落因子只取决于时间差 r = 气一乞，因此，可表示为 讹叫耻血i = l 。( 跗) e x p 寺e 蚓跗砧) ( 3 2 - 2 3 ) 式中的拉格朗日量为 三( 万x ，万j ) = 1 2 m 宰( 万墨) 2 + m 宰犹驴万霸蹦一圭m 木( 万置) 2 定义算符 1 9 北京化工大学硕士学位论文 铲一文著+ 靠卜e 扩昙( 3 2 - 2 5 ) 运用分部积分法，和相应的变分边界条件( 3 2 2 1 ) ，将( 3 2 - 2 5 ) 代入，就可以把 ( 3 2 2 3 ) 式写为 即) = 血i = l 口( 微小x p 百i m * p 删舻x 0 很显然，利用高斯积分，涨落因子部分可以得到如下形式 detaof(t)-deta t n n = l ( 爿1 辩等r 一一一兀i 等| 兀il 一舅l 一 月= li 7 i ( 3 2 - 2 7 ) 最右边式子的第一部分的因子不依赖q ，我们可以将它与其它因子式合起 来，化为一个常数。我们可以利用c 2 4 一- t ，给出的公式s i n x = x 垂( 一i x 2 ) 将第二 部分因式表示为主斋，所以涨落部分，( d 最终可化为 聊= c 盎 c 为常量不依赖于q 。将( 3 2 一1 ) 式量纲还原，取质量为膨，频率为，则c 可以 唯一确定。c 唯一确定的两种途径：一种方法是通过让参数力- - - - h0 来确定。彩在( 3 1 1 6 ) 已给出。但是，在这里我们要注意，此时( 3 1 1 6 ) 中的m + 和q 2 应为还 原量纲矾唧。2 砸m 删= ( + 半卜第二种方法是通过让 一0 ，即带电粒子在具有对称规范的竖直磁场背景下运动来确定。将确定的c 代 入质量和频率均设为l 的谐振子的传播子中，则可得到 k ( 亏，气；元，乞) = 盎 第三章非对易空间中的二维谐振子 唧 一篆豺( 乙毛e - i m t - 4 - c c ) 叫乞乏) ) ( 3 2 - 2 9 ) 式中的c c 代表复共轭。从式( 3 2 - 3 2 ) 可以求出谐振子本征值和本征函数“朝 蝴q 卜1 2 + i m a 2 + 署 ，一砒2 ，一咄尚( 3 2 - 3 0 ) ( 尹) = 击& ，。( ，e - p 彬是径向量子数，m 是磁量子数，& ，。( ，) 为径向波函数，其表达式为 疋。( 厂) = x 厅r ( 2 m * n h i 唧( 一等，2 ) ( 竿r 2 厂删( 竿，2 ) ( 3 2 - 3 2 ) 趔为拉盖尔多项式。上式与算符形式求得的结