（理论物理专业论文）h双重子的格点量子色动力学研究.pdf

论文题目： 专业： 硕士生： 指导老师： h 双重子的格点量子色动力学研究 理论物理 罗志环 罗向前教授 摘要 由n 个正夸克和m 个反夸克组成的粒子( q ”虿4 ) ，如果正负夸克的总数目 ( n + m ) 大于三，则这个粒子是多夸克态。多夸克态一直是粒子物理中最热门 最有意义的研究课题之一。众多的多夸克态中，一个成分为u u d d s s 的h 双重子 的六夸克态尤其引人瞩目。它的重子数( b a r y o nn u m b e r ) b = 2 ，同位旋( i s o s p i n ) i = 0 ，奇异数( s t r a n g e n e s s ) s - 2 ，自旋宇称( s p i n p a r i t y ) j t 0 + 。h 双重子 是稳定性最高，最有可能存在的带有s 夸克的六夸克束缚态，原因是它具有很 高的对称性。 我们试图通过数值模拟的方法，计算h 双重子的质量和研究它的稳定性。 我们采用精确的方法，如使用改进的s y m a n z i k 作用量和c l o v e r 费米场作用量， 使用s m e a r i n g 技术和t a d p o l e 改进方法等等，在各项异性格点上做蒙特卡罗模 拟计算。目前的研究结果表明，在小格点( 8 3 2 4 ) 下，h 粒子质量为 2 1 3 4 ( 1 0 0 ) m e v , k e 两个a 粒子要小9 7 ( 1 0 0 ) m e v ，但计算误差过大无法判断它是否 稳定束缚态；而在大格点( 1 6 3 4 8 ) t ，h 粒子质量为2 1 6 7 ( 5 9 ) m e v ，比两个a m 子要小6 4 ( 5 9 ) m e v ，这表明h 粒子以稳定束缚态存在。大小两个格点下的 m 一m h 分别为6 4 ( 5 9 ) m e v 和9 7 ( 1 0 0 ) m e v ，差别比较大，说明h 粒子的半径比 较大，具有明显的体积效应。 关键词：h 双重予：格点o c d ；各项异性：蒙特卡罗 t i t l e ： s t u d yh - d i b a r y o nf r o ml a t t i c eq c d m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s n a m e ：z f h u a nl u o s u p e r v i s o r ：p r o f x i a n g q i a nl u o a bs ，i r a c r m u l t i q u a r ks y s t e mw h i c hc o n s i s t so fnq u a r k sa n dma n t i - q u a r k sw i t hn + m 3 ， i so n eo ft h em o s ta c t i v ea n di n t e r e s t i n ga r e a si np a r t i c l ep h y s i c s t h es i xq u a r ks t a t e c a l l e dh - d i b a r y o n ( u u d d s s ) w i t hb a r y o nn u m b e r2 ，i s o p i n0 ，s t r a n g e n e s s 一2a n d s p i n - p a r i t yj 9 = 0 + ，a t t r a c t sal o to fa t t e n t i o n s i ti st h em o s tp o s s i b l es t a b l es t a t ei n t h esq u a r k sc a r r y i n gd m a r y o ns e c t o rb e c a u s eo fi t sh i g hs y m m e t r y t h es i m u l a t i o n sa r ep e r f o r m e do na n i s o t r o p i cl a t t i c e s w ec a l c u l a t et h em a s so f h - d i b a r y o na n ds t u d y i t s s t a b i l i t y , u s i n g t h er e f i n e dm e t h o d s ，w h i c hi n c l u d e i m p r o v e ds y m a n z i k a n dc l o v e r a c t i o n s ，s m e a r i n gt e c h n i q u e a n d t a d p o l e i m p r o v e m e n t p r e l i m i n a r yr e s u l t ss u g g e s tt h a t ，一2 1 3 4 0 0 0 ) m e v , 9 7 ( 1 0 0 ) m e v b e l o wt h ea at h r e s h o do n8 3 2 4 l a t t i c e ，w h i l e m t2 1 6 7 ( 5 9 ) m e v , 6 4 ( 5 9 ) m e vb e l o wt h e a at h r e s h o do n1 6 3x4 8l a t t i c e t h ee r r o ro n8 3 2 4 l a t t i c ei st o ol a r g ea n dw ec a n tc o n f i r mw h e t h e rt h eh - d m a r y o ni sas t a b l eb o u n d s t a t e b u tt h es i m u l a t i o nr e s u l t so n1 6 3x4 8l a t t i c ei n d i c a t et h a th d i b a r y o nd o e s e x i s ta ss t a b l ep a r t i c l e t h ev a l u e so fm a a - m ho ft w ol a t t i c es i z e sa r e v e r y d i f f e r e n t t h e ya r e6 4 ( 5 9 ) m e va n d9 7 ( 1 0 0 ) m e vr e s p e c t i v e l y t h a tm e a n st h er a d i u s o fh d i b a r y o ni sv e r yl a r g ea n dt h ef i n i t es i z ee f f e c ti sv e r yo b v i o u s k e yw o r d ：h d i b a r y o n ；l a t t i c eq c d ；a n i s o t r o p i c ；m o n t ec a r l o 第一章绪论 早在1 9 6 4 年，m u r r vg e l l m a n n 【1 】等人提出，夸克是组成所有参与强相 互作用的粒子( 即强子) 的最基本结构。经过多年的实验和理论验证，夸克的想 法被证实，并成为基本粒子和作用力标准模型( s t a n d a r dm o d e l ) 的一部分。标 准模型认为，世界上所有物质是由自旋为1 2 的六种夸克和六种轻子这些基本粒 子组成。六种夸克分别是u ( u p ) 、d ( d o w n ) 、s ( s t r a n g e ) 、c ( c h a r m ) 、b ( b o t t o m ) 、 t ( t o p ) 夸克，称之为六种味道，其相关性质见表1 - 1 。夸克还有三个颜色指标： r ( r e d ) 、g ( g r e e n ) ，b ( b l u e ) 。轻子则有e 、“、r 及它们的中微子，一共六种。 标准模型浇明了夸克和轻子的强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用，并可以 解释原子核束缚的形式及衰变。 表1 - i q u a r k bql1 3scbty u 1 3 2 31 21 20oo01 3 d1 31 31 21 2 000o 1 3 s1 31 3 oo100o2 3 c1 ，3 2 3 o 0 olo04 3 b 1 3- 1 3 0ooo- 102 3 t1 32 3 oo0oo 14 3 量子色动力学( q u a n t u mc h r o m od y n a m i c s ，简称q c d ) 则是用来描述强相 互作用的最合适的理论。q c d 具有两个特性：夸克禁闭和渐进自由。夸克禁闭 是指，来源于强子内部的色荷量子数的强相互作用，将夸克束缚在一起，造成在 物理真空中无法直接观测到自由的夸克和胶子。在极高温度和密度下，基本的强 子物质经过相变，转变成种没有束缚的夸克和胶子态，即所谓的夸克胶子等离 子态( q u a r kg h o np l a s m a ，q g p ) 。 严格来说，q c d 理论并没有规范束缚在强子内部的夸克和胶子数量。但到 目前为止，实验只观测到的介子和重子这两类粒子。传统介子( q _ ) 是由一个 f 夸克和一个反夸克组成的束缚态，而重子( q q q ) 是由三个正夸克组成的束缚 态。夸克模型的成功之处在于仅用q q 和q q q 就可以预测一般强子的质量谱，并 与实验值相吻合。 既然存在由两个、三个夸克组成的强子，那三个以上夸克组成的奇异强子是 否存在呢? 这就引起人们的兴趣了。事实上，至今为止，还没有任何理论限制强 子( 日“矿) 内部的夸克和反夸克数目，只要强子是色单重态或者n m 是3 的倍 数即可。为此，物理学家们提出了四夸克态t e t r a q u a r k s ( 钾丽) 、五夸克态 p e n t a q u a r k s ( 钾稠虿) 、六夸克态h e x a q u a r k s ( q 6o r 口口目丽虿) 的设想，并寻求 实验上验证这些粒子是否存在及其稳定性。世界上已经有九个实验组宣布找到 p e n t a q u a r k s ，也有一些团队声称发现六夸克态，同时也有一些实验得出截然相反 的结果，因此，这些多夸克态是否存在，目前还没有一个定论。 众多的多夸克态中，一个成分为u u d d s s 的h 双重子的六夸克态尤其引人瞩 目。从其组成成分可以看出，它的重子数( b a r y o nn u m b e r ) b = 2 ，同位旋( i s o s p i n ) i = 0 ，奇异数( s t r a n g e n e s s ) s - 2 ，自旋宇称( s p i n - p a r i t y ) j 7 = 0 + 。h 双重子是 最有可能存在的六夸克束缚态，原因是它具有很高的对称性。研究h 双重子有 重要意义，有助于进一步了解强子内部的夸克相互作用及夸克禁闭机制，验证完 善标准模型。另外，h 双重子有可能存在宇宙中的中子星，它的研究对天体物理 学的发展也有一定的促进作用。 研究h 双重子的手段主要有实验、理论计算以及后来发展起来的格点量子 色动力学( l a t t i c eq u a n t u mc h r o m od y n a m i c s 。简称u q c d ) 。在实验方面，f 如 上面所提到的，尽管有的实验组宣称找到h 粒子，但现在就下结论说该粒子是 存在的显得为时尚早。在理论计算方面，人们提出了很多模型去计算h 粒子的 质量和结构，得出的结果也各种各样的，十分分歧。格点量子色动力学是从第一 原理出发用来处理强相互作用非微扰问题的强有力工具【表1 2 1 。它的基本思想 是用分立的时空代替连续的时空，这个过程实质上是一种重整化过程中必须经历 的正规方案。当相邻格点的格距趋向于零的时候，它就回归到连续理沦，所有的 物理量也就得到重整化。l o c d 已经在介子和重子的质量谱计算中获得成功，它 也是研究多夸克态的最有效的方法之一。 表1 - 2 渐进自由禁闭 距离 l f m 夸克和胶子的世界强子和胶球的世界 微扰方法非微扰方法 本论文的内容安排如下： 第二章从传统理论、实验、格点数值模拟计算三个方面出发，介绍了h 双 重子的研究方法手段和背景，以及物理工作者已经取得的成果。第三章侧重于介 绍研究h 双重子的方法手段之一格点数值模拟计算，包括规范场、费米场在格 点上的表示和一些改进了的格点计算方法。接下来是讨论做格点数值模拟计算所 需要的一些算法细节以及数据处理方法，详见第四章。第五章是我们的研究工作 成果，这里我们在体积为8 3x 2 4 和1 6 3x 4 8 的各项异性格点上计算了包括h 粒子 在内的一些粒子的质量谱。第六章是我们的研究结论。 第二章h 双重子的研究手段及背景 本章主要介绍了研究h 双重子的方法途径，以及物理学者已经取得的成果a 研究h 双重子的方法有传统的理论计算、高能物理实验，以及新兴的格点q c d 数值模拟计算，我们将分别在第一节、第二节和第三节详细讨论。 1 1 理论背景 在理论方面，人们提出了很多种计算h 质量和结构的方法。比较流行的有 m i t 删( b a gm o d e l ) 、s k y m em o d e l 、q c ds u mr u l e 和非相对论夸克模型 ( n o n r e l a t i v i s t i cq u a r kc l u s t e rm o d e l ) 等等。 1 1 1m i t 袋模型 m i t 袋模型是由美国麻省理工大学的c h o d o s 【2 】和j a f f e 等人提出，它是 最早应用于摧述强子内部夸克禁闭，并成功地说明现有已知的强子质量谱的理论 之一。在此模型中，强子被看作是一个半径为r 的球，球内充满了夸克和胶子。 夸克都被束缚在球内，球外无法看到自由的夸克，而球内的夸克几乎是自由运动 的，它们仅受到微小的色荷胶子交换力和色磁作用力的影响。其中，色荷胶子交 换力强度正比于寺g 甓，色磁作用力强度正比于 g 镌吒，g 是耦合常数，镌是 色荷s u ( 3 ) 的八个生成元，吼是自旋s u ( 2 ) 的三个生成元。 m i t 袋模型主要理念是在l a g r a n g e 作用量中加入一项a o ( q 虿) ，袋内b o ( q q ) 的值为1 ，而袋外为o 。如此一来，夸克就被束缚在球内了。m i t 袋模型的l a g r a n g e 作用量可以表示为： 姗- ( 彻一口) 8 ( q 虿) ， ( 2 1 ) 式中的o c d 是标准q c d 的l a g r a n g e 密度。从式子( 2 1 ) 和一系列边界条件出发 4 可以推导出运动方程。其哈密顿量主要包含了球体能量、c a s i m i r 零点能、夸克 边界条件和单胶子交换，我们可以通过下面的式子束计算强子的质量： m ( i o e b + + + ， ( 2 2 ) 其中e 。是袋能量，是夸克的能量，而和e m 分别来自色电作用和色磁作用。 半径为r 的袋能量为 一詈z b r 3 一百z o ， ( 2 1 3 ) 式中b - ( 1 4 5 m e v ) 4 为真空压力，z 。t1 8 4 为零点能。夸克在袋内自由移动的总 能为： e q4 莩f 素， ( 2 4 ) 其中f 是在第i 个念的夸克数日，鼍是其本征能量。夸克间色电作用的能量和 色磁作用能量分别为 & 一百g r 、j 2 ；x - - , te ( 吼，+ e 僻b 等等) ， ( 2 5 ) 鲁善m ) “( a 。仃) r ( 口) ， ( 2 6 ) 盘。是胶子耦合常数，墨和盯；分别为s u ( 2 ) - - + 蝴s u ( 3 ) 三个生成元， m 僻) 。反映的是夸克间作用的强度。 1 9 7 5 年，t d e g r a n d 3 1 和j a f f e 等人，使用m i t 袋模型算出了一些强子 的质量，详细见表2 1 。 表2 1 p a r t i c l e m e x p ( g e v ) m w g ( g e v ) m 瓿p m b a g ( g e v ) p 0 9 3 80 9 3 80 o a 1 1 1 6 1 1 0 50 0 1 1 1 2 3 61 2 3 3o 0 0 3 1 d0 7 7 0 7 8 3 o 1 3 k0 4 9 50 4 9 70 0 0 2 表中只列出工d e g r a n d 等人计算的部分结果，更为详细的可参考文献。他们使 用的袋参数为： b 1 7 4 一o 1 4 5 g e v ，z o = 1 8 4 ，a 。；0 5 5 ，m ，t0 2 7 9 g e v 。 1 9 7 6 年，j a f f e 【4 】将m i t 袋模型应用于h 双重子的计算中，得出其质量 为2 1 5 0 m e v ，比两个人粒子的阀值低8 1 m e v 。 1 1 2 其它模型 除了袋模型外，研究h 双重子比较流行的理论手段有n o n - r e l a t i v i s t i cq u a r k c l u s t e rm o d e l ( 非相对论夸克模型) 、s k y r m e 模型、q c ds u mr u l e 等等。利用这些 模型算出的h 质量的质量范围很大，小的到1 1 g c v ，大的接近3 g e v ，但大多数 计算结果还是2 1 g e v 一2 2 5 g e v 。t s u t o m us a k a i1 5 1 对这些研究方法做了一个综 述，并详细讨论了如何使用n o n - r e l a t i v i s t i cq u a r kc l u s t e rm o d e l 研究h 粒子。 1 2 实验背景 早在1 9 7 2 年，b e i l l i e r e 6 1 等人，开始研究带有两个s 夸克的双重子共振 6 态。他们使用2 1 g e v c 的k 。束暴照重液态泡沫云雾室，经由k d k o a 反应， 结果在a a 不变质量谱2 3 7 0 m e v 处观测到一个共振峰。但三年之后，w i l q u e tt71 等人以更加精密的数据和更多的统计分析，重新做相同的实验，却没有得到相似 的共振峰。 1 9 7 6 年，h r i c h a r d g u g a 蠡o n 【8 】等人，在费米实验室以3 0 0 g e v c p + a 对 撞反应，寻找质量大于2 g e v c 2 和寿命大于1 0 4 s 的中性强子。这个和h 相关的 实验一共观测到1 4 个可能事件，但后柬证实都是来自背景的中子。 值得一提的是s h a h b a z i a n 小组和a l e k s e e v 小组，他们都宣称发现一些可能 的h 事件。1 9 8 8 年，b a s h a h b a z i a n 声称发现一个日一一p 的事件，质量为 2 1 7 3 g e v 9 1 。五年之后，也就是1 9 9 3 年，他们再度发现两个中性和两个带正 电的稳定的h 双重予【1 0 】。其中，两个中性的h 双重子的质量分别为 m 一2 4 0 8 94 - 1 1 2m e v c 2 ，m ht2 3 8 4 94 - 3 1 0 m e v c 2 ，而两个带正电的h 质量 为m h + 一2 3 7 5 8 9 3m e v c 2 ，m h + 一2 4 0 9 3 - - - 1 3 0m e v c 2 。两者的不变质量谱大 约为2 4 g e v ，均大于两倍的a 的质量。与s h a h b a z i a n 不同，a n a l e k s e e v 【1 1 】 等人利用h 一却石一反应，获得两个h 事件，质量为m h ，2 2 1 7 1 7 1 m e v c 2 和m 。t2 2 2 4 34 - 8 4 m e v c 2 。关于s h a h b a z i a n 和a l e k s e e v 两个f 面的实验，颇 具争议性，更加细致的背景分析和更多的实验支持是不可或缺的。 美国的b n l ( b r o o k h a v e nn a t i o n a ll a b o r m o r y ) 的a g s ( a l t e r n a t i n gg r a d i e n t s y n c h r o t r o n ) 、欧洲的c e r n 和k e k 等也相继做了一些与h 双重子相关的实验。 但到目前位置，是否存在这个一个态，还没有一个定论。 1 3 格点计算背景 格点量子色动力学( l a t t i c eq c d ) 是一种研究量子场论的非微扰方法，它结合 了理论推导和计算机数值模拟技术，试图通过格点重整化的方式，来做q c d 的 计算。基本原理是用不连续的时空坐标来非微扰处理q c d ，将q c d 转成数值上 可解的微分方程式。这个方程式描述了在一个很大的不连续的矩阵宅问上夸克的 7 相互作用，格点上的场也可由数值模拟计算出来。 到目前为止，已经有四个团队通过数值模拟的方法计算h 双重子的质量和 研究它的稳定性( 表2 - 2 ) 。最早是m a c h e n z i e 1 2 1 等人在1 9 8 5 年就使用格点q c d 研究h 双重子，格点的体积是6 x 6 x 1 2 x 1 8 ，他们的结果表明h 双重子并非束缚 态。出于h 双重子的成分是6 个夸克，m a c h e n z i e 的格点显得比较小a 三年后，1 w a s a k i 【1 3 等人在更大的格点( 1 6 3 x 4 8 ) d 二做模拟计算，得出结果 与m a c h e n z i e 刚好相反，即h 双重子以束缚态形式稳定存在。 而在1 9 9 9 年，n e g e l e 【1 4 1 等人试图重复前人的计算结果，在不同大小 的格点上做模拟计算。他们得出的结果比较有意思。在较小的体积1 6 3 x 3 2 下，h 双重子是一个束缚态；在更大的体积2 4 3 x 3 2 下，h 却不束缚。这个结果表明h 双重子可能体积效应比较明显。 上面提到的三组数值模拟计算，使用的都是w i l s o n 作用量( 详见第三章) ，误 差比较大。w e t z o r k e 【1 5 ，1 6 ，1 7 等人使用了改进的s y m a n z i k 作用量和c l o v e r 作用量，并利用s m e a r i n g 、f u z z i n g 技术和t a d p o l e 技术，算出了更加可靠的结果， 初步确认了n e g e l e 的计算，即h 粒子是不稳定的。 表2 2 作者格点体积 h 粒子是否束缚 m a c h e n z i e 6 x 6 x 1 2 x 1 8 否 1 w a s a k i 1 6 j x 4 8 是 n e g e l e 1 6 3 x 3 2 是 2 4 3 x 3 2 否 w e t z o r k e1 6 j x 3 0不确定 2 4 3 x 3 0否 8 第三章格点规范理论 第一节简单介绍量子色动力学非a b e l i a n 的s u ( 3 ) 规范理论的形式。第二、 三节分别介绍了规范场作用量和费米场作用量在各向同性格点的表示形式。接下 来把这两个作用量推广到各项异性的格点中，这将在第四节有详细的讨论。涂抹 技术可以获得更加宽阔的粒子有效质量平台，在第五节我们介绍了如何将涂抹技 术应用在格点数值模拟计算上。 3 1 量子色动力学 量子色动力学( q u a n t u mc h r o m od y n a m i c s ，q c d ) 是用来描述基本粒子强相互 作用的规范场理论。量子色动力学同时也是非a b e l i a n 的，它的规范不变拉格朗 日作用量密度工彻为： 屹c d o ) 一k o ) + l f ) k o ) i 一去珥0 ) f 0 ) ( 3 - 1 ) 。o ) 。篆影 ) ( f y “d 一卅，) 邮掣；o ) _ 式中l 。和k 分别是规范场和费米场的拉格朗日密度，n ，是味道数目。d ，是协 变导数，而只，0 ) 为规范场强： 乏：二嚣a 州删删 n z ， ，0 ) 一q 0 ) 一或” ) + 喀m ) ，4 ( x ) 、。 g 是耦合常数，a 。o ) 为规范场势。 3 2 规范场作用量 在1 9 7 4 年，w i l s o n 【1 8 提出了格点规范理论，其基本思想从第一原理出 9 发，用分立的时空代替连续的时空，当相邻格点的格距趋向于零，所有的物理量 得到重整化。格点规范理论是处理强相互作用非微扰的最有力的工具之一。 在格点里，我们定义一条链： ，。o ) 2e x p i gfd y ”爿。( y ) 】 ( 3 3 ) 及方块算符： 雎荟击r c t r 1 - u ，。) 帅+ 应联仁“) 吲瑚 ( 3 4 ) a 为格距，n 。是颜色数目，容易证明格点中规范场作用量： s 。一f i b ( 3 5 ) 卢是一个与耦合常数相关的参数，它的值为声= 百2 n r , 具体证明如下： j g = 8 p 一羔 1 一瓦1r e p 【- i g 穸f 4 ( x ) 吲) = 2 9 n 。篇x ? 1 z 1 一瓦1 r e n 1 一f g 手j 。) 西一丢呼j 。) 旋】2 + 酉i 9 3l y 一- ( x ) + 抵r ( 3 - 6 ) + 酉9 4 。y 一- - ) 面】4 一普呼j ( 石) 疵】5 一蔷哆j o ) - 西r + ) a 等磊a 一专n 1 - 丢呼j 。威】2 + 蔷【箩j 威卜等【爹j 面】6 ) ；磊n 去【于j o ) 疵】2 一案呼j ) 面】4 + 酉9 4l = r n - - 。) 旃】6 根据s t o k e s 定律 1 0 于爿o ) 。面 4l 缸。la x a o a ( x + x o ) 一a 。a 。( x + x o ) l 2 j 吨fa x v ，o + ) ( 3 7 ) a 2a 2 1 一f 出，r 瓯【已，o o ) + 吨a 。+ a ，) f ) + 击魄a ，+ a ，) 2 f ( x o ) 2 + d ( x 3 ) 】 - a za z 一 ；4 2 c v + - 去4 a 4 ( d ：+ d v 2 、f 2 ，十o ( a 6 ) 将( 3 7 ) 代入到式子( 3 6 ) 中，可以得出： s ；一言， 妒”o ) + o ( 2 ) ， ( 3 8 ) 式子( 3 8 ) 的s 。我们称之为方块作用量。 为了提高计算精度，k s y m a n z i k 【1 9 】通过加入长方形算符来改进这个作用 量。定义： 只l ，薹寿r e 酬1 - u ( x 炒一o + 露渺v + 2 砖矽：o + 矗+ 矿夥： + 舻) w o ) “3 - 9 ) 则容易得到： s 一卢焉j p 一击r ) + 4 ) ( 3 1 0 ) 3 3 费米场作用量 连续理论费米场的作用量为： s f ( 掣，l l ，) 一f d 4 x c g ( x ) ( i r 。d 。一 ，) l l ，( y ) - 将之格点离散化，可以得出n a i v ef e r m i o n 作用量： s ”- 死o ) k 。a ( n , m ) q s 口( m ) ， 其中， r 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) k 印2 善三( ) 印【以。i 一以，i 】+ 衍声。6 叩 ( 3 1 3 ) n ，棚为离散化后的坐标，有x n a ，y m a ，疳一m a 。由于n a i v ef e r m i o n 作用 量具有费米子加倍问题，w i l s o n 通过添) j h - 项来修改这个作用量： 2 一三；嘞a 妒( n ) ( 3 1 4 ) 这里r 是w i l s o n 参数，是四维格点拉普拉斯算符，同样我们可以得出w i l s o n f e r m i o n 作用量形式： s u f = 死( ，1 ) o ，m ) q j ，( 肌) ， ( 3 1 5 ) 嚣 而 k 印= ( 筋+ 4 ，) d 。d 卵一丢【( r k ) 卵屯，p + ( r + ) 印6 。，一二】 ( 3 1 6 ) 1 9 8 5 年，s h e i k h o l e s l a m i 2 0 1 和w o h l e r t 为了减少w i l s o nf e r m i o n 作用量的 计算误差，进一步改进了该作用量： s ”一万o ) 以。一柚_ ) 平( 所) 小屯【1 - 等善峨崩】( 3 1 7 ) z 删；( 1 一“) c ，o ) 6 。一l + ( 1 + k ) q o 一应) 瓯，t 】， 式中的格点场强张量只，o ) 定义为： ，。) ；去【g ， ) 一9 二v ) 】， ( 3 1 8 ) 其中， q ， ) t 三【u 。o ) 玑o + 应) u ：。+ 矿) w o ) + 玑0 ) u ：o 一西+ 矿) w o 一庙) 吼o 一詹) f 3 1 9 ) + u ? x 一矿) 【，o 一矿) u 。 + 西一矿) 【，：o ) + u ：( 工一应) u ? 一西一矿) u 。( z 一西一驴) 叽 一矿) 3 4 各项异性格点 各项异性格点是指空间上的格距口，与时j 司上的格距口。大小不一样，与各向 同性格点相比，它有很大的优势。在同样的体积下，它可以通过减少空间的体积， 增大时间方向的格点数目，来获得更加宽阔的平台，这意味着使用同样的计算资 源能得到更好的数值结果。 规范场作用量的各项异性形式【2 1 1 & 一卢t 妄鲁+ 誓击一去鲁一篝器卜 c ，卿 “，“，分别是重整化后空间和时间上的链的平均值。亭是空间和时问上的格距的 比值，有亭- 口，a ，。q ，q ，q 。，q 。含义如下： q ，；r e t r 1 一珥o ) ， + f ) w o + ，) u j o ) 】 q ，4 芝专r e a 【l e ，：( x ) 【，臼+ f ) 【，j o + t ) ，? ( z ) 】 ( 3 2 1 ) q 。= x 三3 r e t r 1 一玑o ) u i o + o u ， + 2 i ) u ? ( x + f + j ) 嵋 + j 炒；o ) 1 q 。一专r e t r 1 一u o ) u o + f ) u f o + 2 f ) u l + o + f + f ) 町o + f 所 ) 】 费米场c l o v e rf e r m i o n 作用量各项异性形式 2 2 ，2 3 ，2 4 s ，每。掣； 一k 【币，( 一n ) 矾。掣。+ c p ，( + ) 吒一。掣。】 一k 限( 1 一以夥，掣。+ 币，p ；。】 3 2 2 + i k , q 币，c , , i a x ) q , ，+ k c t 晕，最( x ) 平。， 式中k 。，k ，分别是空间和时间方向上的跳跃参数，他们有如下关系： a r m q o = 1 2 k , 一( 1 + 3 毒)( 3 2 3 ) 当= k k , ( 3 2 4 ) q ，e ，为c l o v e r 参数。如果作用量采用t a d p o l e 改进，则有： r 3 2 5 ) 墨一嵋 卜 墨 ， ， i k 一 卜 巳+ 。毒，t + 而c t t a d p o l e 改进后的毒”可以通过下面两条式子迭代求出【2 5 】： ( 3 2 6 ) 晚：a t m q o + 三一1 + ( 3 毒r ，) l - u , ， ( 3 2 7 ) “r群f托r 古= 毒t 焉焉e 磊磊一等导， z s ， 相应的c l o v e r 参数为： 誓专妒= 爵1 半 3 5 涂抹 s m e a r i n g 和f u z z i n g ) 技术 ( 3 2 9 ) 为了减少激发态的影响，提高基态贡献，我们可以通过适当增加夸克和夸克 之间的距离，即涂抹技术： 妒( x ，r ) - 罗【u + 一应) u + 0 一r 正渺0 一r 庳) 7 r 3 3 0 ) + u ( 石) u ( x + ( r 一1 ) 垂) l f ，x + 只矗 而涂抹规范场技术： 1 缸，p ) ab u ( 3 ) 【c o ，p ) + u 。q ，k ( v ) 】( 3 - 3 1 ) 采用涂抹技术有重要意义，它可以使得粒子的质量平台更宽，数据拟合效果 更好，结果更可靠。 1 4 第四章模拟算法及数据分析 第一节简单介绍蒙特卡罗数值模拟方法。第二节接着列举和描述了格点q c d 常用的蒙特卡罗抽样算法，如m e t r o p o l i s 算法、h e a t b a t h 算法和o v e r r e l a x a t i o n 算法，以及如何使用这些算法来产生组态。第三节介绍了适用于相互之间有关联 的数据的j a c k k n i f e 误差分析方法。在格点q c d 模拟计算里，往往遇到一些数据 是某个变量的函数，而参数未知，这就需要拟合这些数据得出我们需要的信息， 详见第四节的c h i s q u a r e 数据拟合方法。 4 1 蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 数值模拟 m o n t ec a r l o 方法的基本思想是，产生几率分布区间为 0 ，1 的均匀随机变 量，然后根据特定的概率分布需要，对这些随机变量进行变换或舍取，最后求出 观察量的期待值。随着计算机硬件设备及数值算法的飞速发展，m o n t ec a r l o 方 法作为一个重要的研究手段，越来越广泛地被应用在各行各业。 在格点q c d 数值计算中，产生的组态遵循b o l t z m a n n 分布： z p 阮。( 4 1 ) 则观察量的期待值可以通过下式求得： 一专d 旺) ( 4 3 ) 台 、7 组态的数目n 越大，求出的平均值越接近于真实值，误差和组态数n 有如下关系： 1 。舢心意， ( 4 4 ) 可以通过增加组态数来减少统计误差。 m o n t ec a r l 0 抽样方法很多，归纳起来不外乎简单抽样法和重点抽样法两种。 格点q c d 中比较流行的重点抽样法有m e t r o p o l i s 抽样、h e a t b a t h 算法、 o v e r r e l a x a t i o n 算法等。 设系统的一个微观状态在相空阳j 里表示为x ，相应的分布为d ( x 。) ，从状 态盖- 跃迁到状态z ，的几率为p ( x ，一x ，) 。当系统满足细致平衡条件时，有： d ( 鼍) p ( 墨+ x ) ad ( x ，) p 峭，一五) p ( x i j ，) d ( x )( 4 5 ) 瓦两2 瓦两+ 4 2m o n t ec a r l o 抽样算法 4 2 1b l e t r o p o l i s 算法 这个算法是m e t r o p o l i s 2 6 等人在1 9 5 3 年发明的，它从细致平衡条件( 4 5 ) 出发，令r 。 p ( x i x ，) d ( x ) p 暇，一墨) d ( x i ) 将r 与 o ，1 区间中的一个随机数宇做比较 以判断系统状态是否从x ，跃迁到x ，具体判据如下 r 亭， x 。一z ， 允许跃迁 ， 亭，x ；一x ， 不允许跃迂 m e t r o p o l i s 算法应用到b o l t z m a n n 分布，女f l ( 4 2 ) 式，有： d ) = f d l u e 一- s v ， 则 ，；! 坠= ! z ! ；：! 业。，一t s 【“，k m ” p ( u ，一u ) d ( u ) 这种算法特点是每次抽样所需时间较少，但从初态到平衡念的时问较长。 4 2 2h e a t b a t h 算法 1 6 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 1 9 8 0 年，m i c h a e lc r e u t z 【2 7 】首先将h e a t b a t h 应用在s u ( 2 ) 格点规范场 理论。s u ( 2 ) 生成元具有权重： ( u ) “e x p i - z s ) 】 任意一个s u ( 2 ) 群元可以写成如下形式： q 。口f 0 一荟q ， 盯，为p a u l i 矩阵，u ，的轭米共轭为 u f 对应的s t a p l e 为： s ，的行列式为： u ：j u i i a t o + i q i f o r s z 鼬。+ f q 3 七。荟 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 似1 2 ) 从( 4 8 ) 式易得， w ( v ，矽u ，“e x p 譬n ( u s ) m u ( 4 1 3 ) u 。s ，一般来说不属于s r d ( 2 ) 群，做如下变换： u z 墨i 七q u l 七u “2 七 。+ 蓍4 r q ) ， ( 4 1 4 ) 则u ，、v 0 1 、u 。f 都是s u ( 2 ) 矩阵。 a 。是随机产生得，满足分稚 口0 ；1 + 瓦1 l n o ) r ( 4 1 5 ) r 4 1 6 ) x 是平均分布的区间( e 辟，1 ) 中的随机数。如果因子4 1 - n 。2 大于( o ，1 ) 之间的随 机数叩，则链“将接受更新；否则保持不变。 得出a 。的值后，容易确定a r ( ，一1 , 2 ，3 ) 的值，也就是得出u 的值。由( 4 1 4 ) 可以 得出更新后的链u ，为： u ，一u ，u i l u o 一，= u ，。s i ( 4 1 7 ) 行 容易将h e a t b a t h 算法从s u ( 2 ) 推广到s u ( n ) 规范场，我们定义一个s u ( n ) 矩 阵： 1 1 1 。 c s u ( 2 ) ( 4 1 8 ) 则更新后的链u f 与更新前的链u ，有如下关系： u j a m a 。- 1 日1 u i ， 式中a 如何取值可以参考n c a b i b b o1 2 8 1 和e m a r i n a r i 的文章。 4 2 30 v e r r e l a x a ti o n 算法 ( 4 1 9 ) 另外一种有效的更新链的方法是o v e r r e l a x a t i o n 算法。在2 0 世纪八十年代， s t e p h e nl a d l e r 、m i c h a ec r e u t z 等人【2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 相继将改算法应用在格点 q c d 上。实践显示，o v e r r e l a x a t i o n 算法比传统的m e t r o p o l i s 方法更快达到平 衡态。 o v e r r e l a x a t i o n 算法的基本思想是：在原来的链的厄密共轭的左右乘一个 矩阵，得出的新矩阵作为一条新链替换原来的链，即： 叫= u o u t u 。= u o 町1 ，( 4 2 0 ) 其中u 。是s u ( n ) 矩阵。 4 3j a c k k n if e 误差分析方法 不管采用m e t r o p o l i s 算法、h e a t b a t h 算法，还是0 v e r r e l a x a t i o n 算法来 产生组态，组态之f l i j 都是有一定的关联。j a c k k n i f e 方法考虑了组态之间的关联， 因此它算出来的结果更加可靠。 假设一共有n ( z 。，i 1 2 ，n ) 个数据，把这n 个数据平均分为m 组，每组 有k 个数据，则第f 组数据对应一个平均值为： d f k 。夏置 ( 4 2 1 ) h f 糸 、 7 定义 ，z 。善皿一( 一0 d , ， ( 4 忽) 则x 。的平均值_ ，和平均值的j a c k k n i f e 误差口，为： “吉缸 z s ， m 臼。 、 q 2 4 4c h i s q u a r e 数据拟合方法 ( 4 2 4 ) 数据拟合方法的方法很多，比较常用的是c h i - s q u a r e 3 3 】。在格点计算 里，常常用到线性c h i s q u a r e 方法，如可以使用该方法求粒子质量的平台。假 设有一系列数据 ，y 。，q ) ，其中q 是y ，的标准误差，按照下面的函数拟合： y ( x ) 一c 1 0 ) + c ：，2 0 ) + + c 卅厂卅o ) ( 4 2 5 ) 根据c h i - s q u a r e 算法，我们有 1 9 孵 满足 办誊笋， 娑：o ，( k ：l ，2 ，m ) d c t 联立上面三条式子( 4 2 5 ) 、( 4 2