（理论物理专业论文）无规相近似下低维各向异性的量子海森堡模型.pdf

广州大学硕士学位论文 摘要 对物质的磁性现象的研究一直都在引起人们的广泛注意。人们为了研究其物理机 理，发展了许多不同的实验和理论方法。在众多的研究手段中，由于格林函数方法能 由低温到高温统一的解决问题，所得的结果与其它理论和实验结果符合的很好，因此 该方法是研究物质磁性一个较好的方法。在本文中，我们采用双时格林函数方法研究 了在单场或双场共存下低维空间各向异性的铁磁材料，这种材料可以用空间各向异性 的海森堡模型描述。 首先本文的第一章绪论介绍了本文的研究背景和研究内容及所采用方法。 第二章研究了在单场时，低维空间各向异性的铁磁海森堡模型。使用双时格林函 数方法，在无规相近似下，通过求解运动方程，得到该模型的磁化强度的自洽表达式。 通过研究发现，磁化强度、磁化率和横向关联函数是依赖空间各向异性的。同时我们 也观察到了在低温下各向异性的海森堡模型向】( 1 f 模型转变，并求得了其转变温度值。 这个温度值与实验和其它理论得到的结果符合的很好。在当磁化率取最大值时的温 度、磁化率最大值分别与磁场之间的幂指数规律的研究中，对于系统各向同性时，我 们的结果在强场时与其它理论处理的结果符合的很好。但是，对于各向异性系统，我 们的结论不支持朗道平均场理论给出的2 3 幂指数规律。尽管如此，这个2 3 的幂指 数规律仅仅在平均场朗道理论和三维情况中才满足。 在第三章中，我们研究了横向和纵向磁场共存时二维空间各向异性的铁磁海森堡 模型。同样使用双时格林函数方法，在无规相近似下，通过求解运动方程，得到该模 型的磁化强度分量珊，和小：的表达式。研究了磁化强度，磁化率与温度、横向磁场和 各向异性参数a 的性质结果显示，横向磁场对系统的磁性质有非常重要的影响。横 向磁场有使系统自旋方向发生偏转的作用，抑制它沿z 轴方向。同时系统的磁性质也 是依赖各向异性的。各向异性越强时，扰动越弱，磁化率的最大值越小，磁化强度随 温度和磁场变化越缓慢。对任意的温度t 0 和各向异性参数a 0a n da n i s o t r o p i cp a r a m e t e ra 的自旋波谱。这种近似被 s i u r a k s h i n a 等哂l 用来研究自旋s = 1 2 三维空间各向异性海森堡模型。然而，在一维 和二维情况下( 除了伊辛各向异性和一些长程相互作用) ，磁化强度岱：) 消失。为了使 双时格林函数方法1 2 7 】能运用到没有长程有序的情形，k o n d o 和y 撇j i l 2 s 】等人提出了 比无规相近似更高一阶的近似，简称l 【1 近似。运动方程的解依赖于两格点之间的关 联函数( ) ，( 懿 等，它们由一组自洽运动方程来决定。磁性系统的热动力学行 为可由上述方程的解得到i l 】。 k n a p p 和t e rh r 1 2 9 1 运用l ( 1 切断近似研究了三维海森堡模型的顺磁相。接着 s c a l e 和g e r s c h l 刈研究了一维、二维和三维的反铁磁海森堡模型。k o n d o 和y a m a j i l 绉 研究了一维自旋s = i 2 的各向同性铁磁和反铁磁模型。对于交换积分的正负两种情 况，他们的结果在整个温度范围内给出了一个合理的解释。一方面，在高温下，他们 的结果与高温展开的结果相一致；另一方面，在低温下，他们的结果与改进的自旋波 理论1 3 1 l 相一致，与其它方法得到的结果符合的很好。比如有限链的数值方法嘲。最 后，k o n d o 和y a m a j i p 3 1 运用k y 近似研究了二维铁磁海森堡模型。u c h i n a m i l u 等人 研究了自旋s = 1 2 的) 【1 f 模型。由u c h i n a m i 等人计算的一维情况下的最近邻关联函数 的值与由k a t s u r a 等1 3 5 1 人计算的精确值符合的非常好。为了获得自旋s = i 2 的二维反 铁磁海森堡模型的动力学自旋关联函数，w i n t e r f e l d 和i h l e l 3 6 l 扩展了s h i m a h a r a 和t a k a d a 的近似。b a o ( 3 7 l 等人归纳了一维反铁磁海森堡的k y 近似。k a w a b e 翔q 以及以 后的f u k u m o t o 、o g u c h i l 3 9 l 研究了平方格子自旋s = l 2 反铁磁】( ) ( z 模型。d o n g 和f e n g 4 0 l 研究了三角晶格的二维反铁磁海森堡模型自旋态，结果显示基态能与变化的蒙特卡罗 方法得到的结果是一致的。s o n g 等人1 4 1 】提出了改进的l ( 1 r 近似，并将其用于研究确定 温度下断带自旋s = 1 2 二维反铁磁海森堡模型。i h l e 等人【4 2 】联合了自旋旋转不变的 格林函数方法以及l a n c z o r s 对角化方法来研究自旋s - - i 2 的空间各向异性的反铁磁 4 广州大学硕士学位论文第一章绪论 海森堡模型的有序一无序转变【1 2 1 。 1 2 研究的内容 在以前的研究中，人们提出了不同的理论来解释铁磁性物质的各种行为【4 3 l 。比如， 在远高于o k 和临界点的范围里，分子场理论可以得到很好的结果【q 。在低温下，自 旋波理论m 取得了成功。为了讨论临界点附近的磁性行为，需要采用小口理论 4 5 1 和 高温展开等方法。此外，人们还发展了不同的方法，如蒙特卡罗方法、施温格一玻色 方法m 、重正化群方法m 、格林函数方法等来研究系统的磁性质【1 期。 近来，随着磁性材料的不断发展，新的实验事实的不断出现，各向异性的海森堡模 型引起了人们的兴趣。受v m a r k o v i c h 等人【鹪】的实验( k n 晚0 3 ) 影响，j s z n a j d 用实空间重正化群理论1 4 9 j 研究了一维各向异性的海森堡模型，理论值与实验结果符合 的非常好。接着，i j u n g e r 等人例用k y 近似研究一维和二维各向同性的海森堡模 型，得到的结果与实验和其它理论结果符合的很好。但是用格林函数的无规相近似来 研究各向异性现象还没有。同时，人们一般都只讨论单场时的情况，对于双场共存时 的情况，还研究的很不够。因此，在本文中，我们利用双时格林函数方法研究单场或 双场共存时的低维海森堡铁磁模型。 在本文的第二章中，我们运用双时格林函数技巧研究引入了各向异性相互作用 的低维海森堡铁磁模型。讨论了磁化强度和磁化率与温度之间的关系。我们发现磁化 强度随着温度的增加而平滑的下降。在低温时，各向异性对磁化强度影响非常明显。 但在高温时，各向异性的影响很弱，尤其是对维。一维和二维的磁化率具有相同的 变化规律，都是从零开始增加到一个最大值，然后开始下降，且随着温度的升高趋于 一个常数。同时，随着各向异性的减小( 或者是外磁场的增加) ，磁化率曲线变窄( 或 变宽) ，且达到最大值所需的温度也变低。与各向同性比较，各向异性对沿y 轴方向 的关联有一个抑制作用，但是对沿x 轴方向的关联有一个增强的影响。同时我们也讨 论了由各向异性的海森堡模型向x y 模型转变，并求得了其转变温度值。这个值与实 验和其它理论得到的结果符合的很好。我们也计算了磁化率最大值及此时的温度与外 5 广州大学硬士学位论文 第一章绪论 磁场之间的幂指数关系。在各向同性时，我们的结果在一个强场范围内与实验和其它 理论所的到值符合的非常好但是，对于各向异性系统，我们的结论不支持朗道平均 场理论给出的2 3 幂指数规律。尽管如此，正如在文献 5 0 中所指出的那样，这个2 3 的幂指数规律仅仅在平均场朗道理论和三维情况中才满足。 在本文的第三章中，我们用双时格林函数方法，采用无规相近似研究了在双磁 场体系中的二维各向异性的海森堡铁磁模型。通过研究发现，横向磁场对系统的磁性 质有非常重要的影响。它有使系统自旋方向发生偏转的作用，抑制它沿z 轴方向。同 时系统的磁性质也是依赖各向异性的。各向异性越强时，扰动越弱，磁化率的最大值 越小，磁化强度随温度和磁场变化越缓慢。对任意的温度t 0 和各向异性参a l ，各 向异性有抑制沿z 轴方向的波动作用。 1 3 研究使用的方法 格林函数方法主要有三种：d y s o n 方法哆n 、费曼图方法、双时格林函数方法【2 5 】。 本论文采用双时格林函数方法来做近似计算。它不同于利用图形技术的费曼图方法， 它的要点是从格林函数的运动方程出发，利用场算符的运动方程( 海森堡运动方程) 来 计算粒子格林函数的时间导数，就得到它的运动方程，其中含有双粒子的格林函数。 再求双粒子的格林函数，又得到了更高阶的格林函数运动方程。如此下去，就导致格 林函数的运动方程链。现在，如果到一定的阶段，把高阶格林函数分解成较低的格林 函数，则运动方程链就被切断而闭合起来。从而通过一定的数学步骤，就可解出所需 的格林函数。这个切断近似的好处是无论对于零温或有限温度都可直接处理格林函 数。在有限的温度下，直接处理格林函数，毋需间接的通过松原函数来计算。它的缺 点是切断近似的物理实质不像应用图形技术那样明确【“3 2 1 。 双时格林函数方法的简介如下l l2 5 舯问： 对于两个算符彳( f ) ，曰( f ) ，定义推迟格林函数为 ( 玩o - t ) 一( f ) ；口( f 。) 6 广州大学硕士学位论文第一章绪论 定义超前格林函数为 一- i o ( t t ) q a ( o , b q 娅( 1 1 ) ( f 盈u tj 。月u ) ；占u 】 - i o ( t 一f ) ( 口o ) ，口( f 播( 1 2 ) 其中算符彳o ) - e 雠4 e ，f ) _ 什q 硝，) 打 棚) ，这里卢一古，b 是玻尔兹曼常 量，t 是热力学温度，o q t ) 为阶跃函数。定义时间关联函数为算符4 ( f ) ，口o ) 乘 积的系综平均值，即 f - 。( f 一t ) - ( e q m ( f ) ) ( 1 3 ) q - t ) 一( a ( 0 8 0 ) ) ( 1 4 ) 关联函数f 0 ( f 一t ) 和j 0 0 t ) 之间的关系为 j 0 ( f 。一f ) - ，柚( t - t 一j 卢) ( 1 5 ) 推迟和超前格林函数可改写为 ( f t ) - 瑚p t ) 【o t 。) 一( f 1 一f ) 】( 1 固 l 眵：| o t ) i o ( t 一f ) 【e 。( f t ) 一j ；0 0 一t ) l ( 1 7 ) 经过时间傅立叶变换后，对于推迟格林函数有 ( f ) 一c ! 孓( e 弘“一 ( 1 固 瓯但) 一l f j ( o ) ) ( 1 - e - 加 ) d 脚 ( 1 9 ) 对于超前格林函数有 卜j 二缸俾弘砌q ) ( 1 1 0 ) 吒( e ) 。荔1j f 。j e ( w x n ，l - 一e j - o + # ) d n ， ( 1 1 1 ) 7 广州大学硕士学位论文 第一章绪论 ，为展开系数，称为谱强度。联合以上四式，可定义格林函数 但) - _ j 1 。- ( a , 瓦x l - 了e - * 喇 ) 棚 其中已将e 看成复数，故g 和g 可以从实轴延拓到e 的复平面上去。谱定理 给出了格林函数和关联函数的关系 - 瓤型掣等娑型e - “o - ； ( 1 1 3 ) 对于推迟格林函数两边求导可得到格林函数的运动方程 f 兰i ? 么。一f ) 6 0 f ) ( m o ) ，口( f ) d f 疗( f f x m ( f ) ，月】口e ) ) ( 1 1 4 ) 4 f 具体的做法是：根据问题的需要选择算符彳o ) 口o ) ，由运动方程( 1 1 4 ) 求解格林 函数g o o t 。) ，做傅立叶变换求格林函数但) ，再由( 1 1 3 ) 得到关联函数( f f ) ， 从而最后求得相应物理量的系综平均值【l 】。 广州大学硕士学位论文第二章单磁场备向异性的海森堡铁磁体 第二章单磁场各向异性的海森堡铁磁体 3 1引言 近年来，低维各向异性的铁磁量子系统引起了人们的兴趣【5 3 l 。许多理论技巧都被 应运去研究这个海森堡铁磁模型。像双时格林函数方法保用无规相近似，c a l l ，s 近似， k y 近似) 瞄邓5 矧、施温克玻色方法【5 7 捌和蒙特卡罗方法i s s , 5 9 1 。并且磁化强度 s s ，j 7 - 巩绷和自旋晶格松弛率1 5 7 ，跏已经被这些方法研究，并取得了成功。 在2 0 0 0 年，m a r k o v i c h 等人的实验显示：在零场和一定的外力作用下，化合物 如。砌。d 3 的电阻率p c i 将有最大值，这种最大值( 及此时的温度) 随着外磁场的增 大而变宽( 更高) ，并且和外磁场h 有一个2 3 的幂指数关系【删。我们知道，由于自旋 的散射，电阻率的最大值对应磁化率的最大值。也就是说，磁化率z 仃) 与外磁场h 也有和上面同样的幂指数规律。他们使用朗道平均场理论对局域磁化率的温度砰0 ) 进行了研究【鹄l ，发现温度磁* h 2 胆的规律，并且与实验符合的很好。随后l ：i u n g e r 等人网用k y 近似进行了研究。发现不仅温度有这样的规律，磁化率也有这样的规律 z 伍j ) z 脚。j s 盈唧d 1 4 9 j 使用实空间重正化群的方法研究了一维的各向异性的海森 堡模型，发现了这个指数规律是依赖各向异性参数。 对于自旋s = 1 2 的准一维的各向异性铁磁体( 此时c = 1 ，d = 0 9 5 ) ，在温度达到一 定时，有由各向异性的海森堡模型向x y 模型的转变的行为归l ，这种现象引起了研究 者的兴趣。首先是eb o e r s m 等人1 6 2 j 采用转换矩阵的计算方法，从理论上探讨了这种 转变行为，并求得了转变温度为3 k 。接着i ck o p i n g a 等人【6 3 1 在实验 ( ( c 6 d n d s ) c u b r s ) 中证实了这种转变行为，并测得转变温度为4 k 。随后有人用数 值模拟得到其转变温度为4 5 脚重正化群方法得到的转变温度为t ci o k 嘲。但是 这些方法都不能解释这种转变行为到底是怎样依赖交换积分常数j 和各向异性参数d 的。在2 0 0 5 年，陈渊等人酬用格林函数方法具体研究了这种依赖关系，并给出了其 转变温度t 7 4 3 k 。我们在此基础上给出其数值模拟的给果，得到其转变温度为 5 5 k ，与其它的研究方法比较，结果有很大的改进。 9 广州大学硕士学位论文第二章单磁场备向异性的海森堡铁磁体 在这一章中，我们在无规相近似下，运用双时格林函数方法去研究一维和二维自 旋为1 2 的各向异性的海森堡铁磁模型的磁性质。我们发现，磁化强度、磁化率和横 向关联函数是依赖各向异性。并且当归1 时，各向异性参数d 将抑制沿y 轴方向的关 联，增强沿x 轴方向的关联。同时我们也讨论了由各向异性的海森堡模型向) 【1 f 模型 转变，并求得了其转变温度值。这个值与实验和其它理论得到的结果符合的很好。在 对磁化率最大值及此时的温度与外磁场h 的幂指数规律的研究中，我们的结果在一个 高场时与实验和其它理论所得到值符合的非常好。但是，对于各向异性系统，我们的 结论不支持朗道平均场理论给出的2 3 幂指数规律。尽管如此，正如在文献 5 0 中所 指出的那样，这个2 3 的幂指数规律仅仅在平均场朗道理论和三维情况中才满足。在 一般情况下，这种幂指数规律的表达式可以写为 譬一毛- a h 7 x 孵、- b h o 这里的瓦是在零场极限下最大磁化率时的温度。我们的结果发现，在各向异性下，幂 指数y ，声是依赖各向异性参数。对于各向同性，我们得到的，卢值与k y 近似和 精确对角化的结果一致例。 接下来，我们将运用格林函数方法，采用无规相近似，具体地讨论各向异性参数 对磁性质的影响。 2 2 理论推导 描述一维和二维自旋s = 1 2 的铁磁海森堡模型： h - - ；j t s ：s ；+ 叫s ；+ 倒s f 卜i i ( 2 1 ) y l 这里的求和遍及最近邻格点。j 是相邻格点问的交换积分常数。霹”是自旋算符沿x ， y ，z 轴三个方向的分量。c ，d 为各向异性参数，其取值范围分别是0 c 1 和0 d 对所有的格点 都是相同的。对任意格点i ，有( 并) = m 。对方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 进行空间和时间的傅 立叶变换，得到一个与变换后的格林函数簖( 砷有关的代数方程 ；- 璧专；矿掣d 卜“露。) ( 2 7 ) 露( 功的解可以表示为： 爵( - 2 m 和+ 点；+ i i ) 2 一) ( 2 8 ) 酝( 回- 2 i ，i 易( 埘2 一露)( 2 9 ) 这里 q 一【伪+ e 3 2 一霹】l 胆( 2 i o ) 毛一朋，【2 龟一( c + d ) 】( 2 1 1 ) 易- m j ( c - d ) r ,亿1 2 ) 这里吃- e e 幻，对于一维单原子链，r 0 = 2 丰 r t - 2 c o s k ；对于二维平方格子，r e - - 4 和珞- 2 ( c o s t , + c o s t , ) 。由谱定理御得，关联函数 ，这里的口工，) ，令t = o ，得： 广州大学硕士学位论文第二章单磁场各向异性的海森堡铁磁体 蝌) - 专；芦j k 钱砌譬 ( 2 1 0 啉) 。百1 毒y ) m 磋产砷譬 ( 2 1 7 ) 在方程( 2 1 5 ) 中，当i = j ，t = o ，并且考虑如下的关系 岱；s ；) - i 1 一岱a 偿1 碲 我们最后得到一个关于磁化强度的自洽方程 丢。丢业c o t h 盟 (219)2 2 肼争 、 磁化率z 被定义为z - 罢，对于 一o ，磁化率z p ) 在温度为譬将有一个最大值。 m 我们令在零场极限下最大磁化率的温度为五。正如在文献 4 9 中所描述的那样，在顺 磁相中，温度军和磁化率z 伍j ) 与外磁场h 有一个幂指数关系。其数学表达式为； 譬一毛- a h 7 ( 2 2 0 ) “了? ) 。b = 。( 2 2 1 ) 2 3 结果与讨论 在这一节中，我们将使用格林函数的结果去讨论铁磁海森堡模型的磁性质。 首先我们讨论磁化强度与温度的关系。在各向异性参数c = 1 ，o d 的关系僭9 2 - 3a n dr 9 2 - 4 ：t b ea u i s o m o p i cp a r a n ”t e rd ( c = 1 ) d e p e n d e n c eo ft h et r a l v e l $ ec o r r e l a t i o nf u n c t i o n s 。s ) o f1 da n d2 1 ) f e r r o m a g n e tf o rh = 0 a a n dh = 0 , 5a tt e m p e r a t u r e2 - - 0 1 ，0 5 ，1 , r e s p e c t i v e l y ) 广，i i 丈学硕士学位论文 第二章 单磁场备向异性的海森堡铁磁体 圈2 咱和图2 喝：在磁场h = 0 1 ，0 5 和温度等于0 1 ，0 5 ，1 时，一维和二维的各向异性参数 d ( 这里c = d 与横向关联函数岱7 s 7 ) 的关系。( f i 9 2 - 5a n d f i 9 2 - 6 ：t h e a n i s o t r o p i c p a r a m e t e r d d e p e n d e n c eo ft h et r a n b - v g r ； c o r r e l a t i o na m a i o n ( s s 7 ) o f1 da n d2 1 ) f e n o m a g n e tf o rh = 0 1a n d h 娟5a t t e m p e r a t u r e t = 0 1 9 5 。i , n m p e c t l v e l y ) 化越来越不明显。 其次，我们同样考虑在各向异性参数弘1 ，0 ) 都将随着温度t 的增大( 减小 而增大c 0 1 , i , ) 。但是在一维低场时， 岱馏。 ( 岱，) ) 将随着温度t 的增大( 减小) 而开始增大( 减小) ，然后又减小( 增大) ； 对于强场时，一维和二维却有相同的变化规律。对于各向异性参数d 0 时，总有岱s 。冷岱，s ，) ，原因是，各向异性对沿y 轴的关联起抑制作用，对沿x 轴 方向却有一个增强的作用。最后我们注意到，对于确定的温度和磁场，一维 嘏酱。 ( 岱，s ，) ) 的值总是大于二维秘馏。) ( 岱，j ) ) 的值。我们的解释是，当维数增加 时，自旋扰动被抑制。这个现象在图2 7 和图2 8 也被观测到。 亡丛盔堂堡主堂垡鲨塞苎三!兰堡堑墨塑墨丝堕塑查堡墼壁箜 图2 - 7 ：在磁场h = 0 5 和各向异性参数c = d = 0 1 ，0 5 ，0 9 时，一维和二维的磁化 率与温度的关系。( f i g2 - 7 ：t h es u s c e p t i b i l i t yd e p e n d e n c eo ft h et e m p e r a t u r ef o rt h c a n i s o t r o p yp a r a m e t e rc = d ；0 & 0 & 0 9a t t h ee x t e r n a lf i e l dh - - 0 5i n1 da n d2 d f e r r o m a g n e t t 图2 - 8 ：在各向异性参数c = d = 0 9 和磁场h = 0 3 ，0 5 ，0 8 时，一维和二维的磁化率与 温度的关系。( f i g2 - 8 ：t h et e m p e r a t u r ed e p e n d e n c eo ft h es u s c e p t i b i l i t yf o rt h ee x t e r n a lf i e l d s h = 0 3 0 5 。0 8a tt h ea n i s o l r o v vo a r a m e t e rc = d = 0 9i n1 da n d2 df e r r o m a g n e t ) 1 6 广州大学硕士学位论文 第二章 单磁场备向异性的海森堡铁磁体 图2 7 和图2 - 8 显示了在各向异性参数0 c = d l 时，磁化率与温度的关系。对于 非零场( 或是各向异性) 的一维和二维模型，它们的磁化率随温度的变化规律是相同 的。都是开始从零增大到最大值，并且这种最大值随着各向异性参数的减小( 或外磁 场的增大) 而变小，变化曲线变窄，此时的温度也随之变高，最后随着温度的不断升 高而趋于某一个常数。这个结果与实空间重正化群处理的结果眇1 l 和在对氧化物 功。肋l 。d 3 的实验嗍中所观测的现象是一致的。同时我们注意到，对于相同条件下， 一维的磁化率的最大值总是比二维的大。原因同样是空间维数的增加抑制了自旋扰 动，这与前面的结果是一致。 在图2 啕中，我们给出了在各向异性参数e = l ，d = 0 。9 5 时，沿x 轴和y 轴方向的 关联长度和与温度1 j 之间的关系。发现关联长度随着温度的升高而变大， 关联长度k 在高温时也是随着温度的升高而增大但是在低温( t j 墨o 1 ) 时，关联长 度誓，却是一个常数行为。并且我们发现在温度t j = 0 1 时，关联长度r ，m i o a 。, 。这说 明在温度1 3 - - - 0 1 时，发生了由各向异性的海森堡模型向x y 模型的转变。由交换积 分常数j = f s k ，我们可以得到此时的转变温度为5 5 k 。这个值与实验的4 k 符合的很 好嘲，与其它理论值( 转换矩阵计算方法为3 k 1 6 2 和数值模拟的结果4 5 k “i ) 也符合的 很好，比重正化群方法( t i o k ) l 明和此方法得到的解析解结果( t 7 4 3 k ) 削改进 了许多。 最后，我们将讨论系统的磁化率的最大值z ( e ) 及此时的温度e 与外磁场h 之 间的幂指数关系。 首先，图2 一l o 给各向异性参数c = d _ o ( 伊辛模型) ，各向异性参数e = d = l ( 各向同 性的海森堡模型) ，各向异性参数e = 0 ，d - - 1 ( x y 模型) 时，l n e 和l a b 之间的关系。 图2 - 1 0 显示了温度和外磁场之间存在一个幂指数关系e - 动，。我们结果与其它理 论处理的结果相比较，我们得到的各向同性y 值与k y 近似例和精确对角化 卯1 处理的 结果相一致，可以和实空间重正化群的结果相比拟嗍，但是偏离b e t h e - a n s a t z l 5 8 1 处理 的结果( y = 0 5 7 6 ) 。在表2 1 中，我们给出了各向同性时，不同技巧处理所的到的a 和y 的值以及伊辛模型和x y 模型时的a 和y 的值。同样图2 一1 1 ，也给出了磁化率 最大 1 7 广州大学碗士学位论文第二章单磁场各向异性的海森堡铁磁体 1 c y 1 c x 圈2 - 9 ：在各向异性参数c = 1 ，d ；o 9 5 时，一维关联长度与温度的关系。( f 缝2 - 矿i h e 搬叩c 咖坤 d e p e n d e n c e o f t h e i n v e r s ec o r r e l a t i o n l e n g t h s a n do i n l d f o r d ：= 0 9 5 ，r e s p e c t i v e l y ) 图2 - 1 0 ：一维和二维时的伊辛模型，x y 模型 和各向同性的海森堡模型的温度与磁场的关 系( f i g2 - 1 1 ：l o g - l o gp l o to ft h ef i e l d d e p e n d e n c e o ft h e m m p e m t u m ( t h e s u s c e p t i b i l i t ym a x i m u m ) l o c a t i o ni n1 da n d2 d f o ri s i n gm o d e l ，x ym o d e la n di s o f f o p y h e i s e n b e r gm o d e l r e s p e c t i v e l y ) 图2 - 1 1 ：一维和二维时的伊辛模型，x y 模型 和各向同性的海森堡模型的磁化率与磁场的 关系。( r l g2 1 0 ：l o g - l o gp l o to ft h ef i e l d d e p e n d e n c eo ft h e s u s c e p t i b i l i t y l o c a t i o ni n 1 da n d2 df o ri s i n gm o d e l ，x ym o d e la n d i s o t r o p y h e s e n b e r g m o d e l , r e s p e c t i v e l y ) 广州大学硕士学位论文第二章单磁场备向异性的海森堡铁磁体 表2 - 1 ：不同理论处理所得到的a 和y 值( t a b l e 2 - - 1 ：v a l u e s o f a a n dyo b t a i n e d b y 倒啪眦 t h e o r e t i c a lt e c h n i q u e sf o rc 1 - - 1 ) e db e t h e - a u s i a zk y融 l s i n g x y a ， a，a， ay a ， a， 1 d 1 m 1o 7 6 50 7 6 5o 5 7 61 脚 0 埘1 2 5 50 7 5 90 7 柏0 9 4 91 2 3 7o 7 6 9 2 d l 。4 6 00 6 4 31 铝6o 6 2 01 8 4 1o 6 5 90 舢n 9 凹1 9 4 0o 6 3 4 表2 - 2 ：不同理论处理所得到的b 和p 值( t a b l e 2 2 ：v a l u e so f ba n dpo b t a i n e db yd i f f e r e n t t h e o r e t i c a l 钯c l m i q u c sf o r c = d = 1 ) e db c t h e - a n s t a zk yr 队 i s i n g x y b 卢 b 卢 b 芦 b 卢 b 卢 b 芦 1 d o 2 0 60 9 6 4n 瑚o 璺5 2o 矩o 蛄10 1 9 2n 9 4 2o 1 断o 9 2 6】2 5 5o 7 5 8 2 d 0 1 9 10 9 3 50 1 8 50 - 9 1 4o 1 7 50 9 1 8o 1 7 20 9 1 01 8 4 10 6 5 9 值与外磁场之间的幂指数关系z 佤j ) - b h ，我们的结果基本上与k y 近似刚和精确 对角化例和b e t h e - a n s a t z 5 町处理的结果相一致。同样我们在表2 2 中，给出了各向同 性时，不同技巧处理所得到的b 和声的值以及伊辛模型和x y 模型时的b 和芦的值。 其次，在图2 - 1 2 和图2 - 1 3 中分别讨论了各向异性参数( c = d = o 1 ，o 4 , 0 7 ) 对a 和r ， b 和声的影响。从图中显示了，磁化率的最大值及此时的温度和外磁场存在着一个 幂指数关系，对于各向异性，这种关系的数学表达式扩展为1 4 9 ： 瑶一瓦- a h 7 z 仃) - b k 在表2 3 中，我们同样给出了在各向异性参数取不同值时的a 和r ，b 和卢的 值。结果- g 示, r 值随着各向异性参数的取值增大而见减小，卢的值随着各向异性参数 的取值增大而增大。并且都严重偏离了朗道平均场理论处理的2 3 结果。在这里我们 1 9 丝查堂堡主堂垡丝奎 苎三兰苎壁堑查塑墨丝塑堂壅堡堡壁苎 认为，对于各向异性的海森堡模型，其，和声的值不遵守2 3 的幂指数规律。 表2 3 ：在各向异性参数c = d 取不同值时，一维和二维的8 和y ，b 和，的值。( t a b l e 2 3 v a l u e s 0 fa ，r ，b ，a n d ，w e r eo b m i n e df o rc = d 卸1 , o 4 , 0 3 o 8 0 9 , o 9 9 i n1 da n d2 d ) c = d = o 1 c = d = o 4弘d = 0 7 ayb 移 a ，b 声 arb 1 d o 7 4 0 4o 螂o 1 犯6o 9 2 6 2o 7 3 8 3o 9 5 1 4o 1 8 6 50 9 2 8 4 o 7 6 6 6o 9 3 8 lo 珊0 3 3 2 d 0 8 博o 9 ： 钟o 1 6 9 4o 蝴o 8 0 4 70 9 2 3 4 0 1 7 o 螂9o 8 2 4 4o 9 1 6 3o 1 7 1 70 咖哼b c = d = 0 8芦d = o 9c = d = 0 9 9 a yb 卢 ayb ayb 卢 1 d o 碰鹚o 8 8 醪 o 1 晰0 9 4 1 00 9 7 2 00 8 5 6 50 1 9 1 6o 9 , * 3 31 1 3 8 30 8 9o 1 9 2 60 9 4 5 7 2 d o 9 2 3 8o 8 豁s0 1 7 2 40 9 1 1 71 m 4 0o 船no 1 7 3 4o 9 1 4 01 2 3 6 1o 7 8 7 2 o 1 7 4 40 9 1 6 4 图2 - 1 2 ：在各向异性参数c = d - - o i ，0 4 ，0 7 ，一维和二维的温度与磁场的关系。 g2 - 1 2 ：l o g - l o gp l o t o ft h ef i e l d d e p e n d e n c e o ft h et e m p e r a t u r e ( t h e s u s c e p t i b j l i t ym a x i m u m ) l o c a t i o n i n1 da n d2 df o rc = d = 0 1 , o 4 , o 7 ，r e s p e c t i v e l y ) 广州大学硕士学位论文第二章单磁场各向异性的海森堡铁磁体 吾 、， 譬 图2 - 1 3 ：在各向异性参数c = d 砘1 。o 4 ，0 7 ，一维和二维的磁化率与磁场的 关系。( f g2 - 1 3 ：l o g - l o gp l o to ft h ef i e l dd e p e n d e n c eo ft h es u s c e p t i b i l i t y m 缸i m m i l l l d a n d 2 1 3 f o r c = d = 0 1 o 4 o 7 r e s o e c t i v e l v ) 从上面的分析来看，在各向同性时，我们的理论技巧能够很好的描述磁化率的最 大值及此时的温度与外磁场之间的幂指数关系。但是这样的结果必须在磁场 h 急3 ( 4 4 ) ( 分别对应1 d ( 2 d ) ) 的高场时才能成立。对于低场h 0 1 ，b c t h e - a n s a t z 处理 的方法i 删最可靠；在磁场0 1 o 2 ( o 6 x 分别对应1 d ( 2 d ) ) 时，在k y 近似下刚的格林函数也给出了一个非 常好的幂指数关系。 如果铁磁体的各向异性很弱，外磁场又相对来说很强，这时用朗道平均场理论 处理所得到的r 值【鹕l 能够很好的解释实验如。， 知唧d 3 所得到的2 ，3 的幂指数规律。 我们的结果在强场和弱的各向异性时，温度和外磁场基本上满足2 3 的幂指数规律。 但是，对于各向异性系统，我们的结论不支持朗道平均场理论给出的2 3 幂指数规律。 尽管如此，正如在文献 5 0 中所指出的那样，这个2 3 的幂指数规律仅仅在朗道平均 场理论和三维情况中才满足。 广州大学碗士学位论文第二章单磁场各向异性的海森堡铁磁体 2 3 本章小结 在这一章中，我们用双时格林函数技巧研究引入了各向异性相互作用的低维海森 堡铁磁模型，讨论了磁化强度和磁化率与温度之间的关系。我们发现磁化强度随着温 度的增加而平滑的下降。在低温时，各向异性对磁化强度影响非常明显；但在高温时 各向异性影响很弱，尤其是对一维。一维和二维的磁化率具有相同的变化规律，都是 从零开始增加到一个最大值，然后又开始下降，且随着温度的升高而趋于一个常数。 同时，随着各向异性的减小( 或者是外磁场的增加) ，磁化曲线变窄( 或变宽) ，达到最 大值所需的温度也变低。和各向同性比较，各向异性对沿y 轴方向的关联有一个抑制 作用，对沿x 轴方向的关联有一个增强的影响。 我们也讨论了由各向异性的海森堡模型向x y 模型转变，并求得了其转变温度值。 这个值与实验和其它理论得到的结果符合的很好。最后，我们计算并讨论了磁化率的 最大值及此时的温度与外磁场之间的幂指数关系。我们的结果在一个高场时与实验和 其它理论所得到值符合的非常好。但是，对于各向异性系统，我们的结论不支持朗道 平均场理论给出的2 3 幂指数规律。尽管如此，正如在文献 5 0 中所指出的那样，这 个2 3 的指数规律仅仅在平均场朗道理论和三维情况中才满足。 在这一章中，我们运用无规相近似，对各向同性的铁磁体提供了一个足够简单 的方法去得到一个磁化率和温度与外磁场之间的幂指数值，且与实验和其它理论符合 的很好。这个模型还可以用来研究在各向异性参数e = l ，o d l 的各向异性系统中， 磁场对薄膜磁晶体的影响。 广州大学硕士学位论文第三章横向和纵向磁场共存下的= 维各向异性的海森堡铁磁体 第三章横向和纵向磁场共存下的二维各向 异性海森堡铁磁体 3 1引言 用量子海森堡模型来描述低维铁磁体已经引起了人们的兴趣。一些理论已经被用 运研究这个系统的铁磁性质，像高温展开i 捌、自旋波理论| 7 4 , 7 s l 、蒙特卡罗方法1 7 6 1 、 重正化群【7 研、统一场理论例、格林函数方法f 5 0 鬟脚1 l 和施温格玻色一费米方法f 8 n 。 但是，在这些方法中，双时格林函数方法是研究磁性的一种标准方法f 1 2 5 刎。通过该 方法可以得到个非线型的微分方程。即格林函数的运动方程，在该方程中同时出现 了格林函数的高阶项和低阶项，求解高阶方程将得到更高阶的格林函数。如此下去， 将得到各阶格林函数组成的运动方程链。为了求解方程链，可以采用切断近似方法。 二维磁性系统的磁性质的许多结果都可以采用简单的切断近似，即无规相近似嗍。该 近似给出了一个足够简单的处理，而由此得到的结果与其它方法得到的结果在一个广 泛的温度范围内是一致的。当然也可以采用其它的切断近似，如c a l l c n s 近似，k y 近似。最近，k y 近似已被广泛的用来研究铁磁系统的磁性质 现在，许多理论和实验都在讨论在零场条件下或在单一纵磁场条件下或在各向同 性交换作用下或是在横向和纵向磁场共存下的单粒子各向异性系统的磁性质 1 4 9 , 5 0 a s , s o , 8 2 , s 3 , s 4 , s s , s 6 | 。因此，在本章中，我们将采用无规相近似，研究在横向和纵向磁 场共存下自旋s = - 1 2 的海森堡铁磁模型。主要讨论在有限温度下，各向异性和横向 磁场对系统的磁性质的影响。 3 2 理论推导 在横向和纵向磁场共存下的二维各向异性海森堡铁磁模型的哈密顿可以写为： h 。薯j 岱即4 喊s 科s j m h = ；s m ；s ： q 广州大学硕士学位论文第三章横向和级向磁场共存下的二维各向异性的海森堡铁磁体 这里的求和遍及所有最近邻格点。譬，掣和群是i 格点在三个不同方向的自旋。j 是交换积分常数。4 是各向异性参数，取值范围是o a g g + s ，g 苫 ( 3 刀 广州大学硕士学位论文第三章 横向和纵向磁场共存下的二维各向异性的海森堡铁磁体 这里的f - 七，口，卢- + ，一，z ，假设( 筇) 不依赖于格点i ，我们令对任意格点有( 昂) 一， o 和各向异性 参数a l ，各向异性有抑制沿z 轴方向的波动作用。 广州大学硕士学位论文第四章总结 第四章总结 在以前的研究中，人们提出了不同的理论来解释铁磁性物质的各种行为嗍。 比如，在远高于o k 和临界点的范围里，分子场理论可以得到很好的结果【吼。在 低温下，自旋波理论取得了成功。为了讨论临界点附近的磁性行为，需要采 用小口理论【4 5 l 和高温展开等方法。此外，人们还发展了不同的方法，如蒙特卡 罗方法，施温格一玻色方法嗍，重正化群方法m ，格林函数方法等来研究磁性质。 在众多的研究手段中，由于格林函数方法能由低温到高温统一的解决问题，能反 映出磁性系统的物理本质。因此，该方法是研究物质磁性一个较好的方法。 本文正是采用双