（理论物理专业论文）半导体对称双量子阱中等离激元性质的研究.pdf

中文摘要 摘要：由于在揭示电子一电子相互作用机制方面的重要性，半导体低维结构( 超晶 格、量子阱、量子线和量子点等) 中集体激发性质的研究成为目前凝聚态物理十分 前沿的研究领域之一，受到了广泛和持续的关注。近年来对半导体低维系统集体 激发的研究主要集中在介电匹配的情形下。本文系统研究了由于介电失配产生的 镜像势对对称半导体双量子阱系统中等离激元性质的影响，并比较了介电匹配与 失配下等离激元频率谱的差异。 我们在单电子哈密顿量的本征矢空间中得到了对称半导体双量子阱系统基于 无规相近似下的介电函数，并在二子带模型下推导了确定对称双量子阱系统中子 带内与子带间等离激元的方程。应用镜像法求出了系统镜像电荷的大小及位置， 得出了包含镜像力势的相互作用势的表达式。 研究中发现在介电匹配与失配两种情况下均存在两支集体激发模，能量较高 的一支代表子带间的集体激发，能量较低的一支代表子带内的集体激发，两者相 互独立。与介电匹配时相比，由于镜像势的存在，子带内与子带间等离激元模均 发生变化，带间等离激元模变化尤其显著，在g 较大时，子带间的集体激发甚至衰 减为单粒子激发。 关键词：等离激元；对称双量子阱；集体激发；单粒子激发；二子带模型 分类号：0 4 7 2 a bs t r a c t a b s t r a c t ：d u et oi t si m p o r t a n c ei nr e v e a l i n gt h ee l e c t r o n - e l e c t r o ni n t e r a c t i o n m e c h a n i s m s ，p r o p e r t i e so fc o l l e c t i v e e x c i t a t i o n i nl o w - d i m e n s i o n a ls e m i c o n d u c t o r s t r u c t u r e ss u c ha ss u p e r l a t t i c e s ，q u a n t u mw e l l s ，q u a n t u mw i r e s ，a n dq u a n t u md o t sh a v e b e c o m eo n eo ft h ef r o n t i e rr e s e a r c hf i e l d si nc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c sa n dr e c e i v e d d u r a b l ea t t e n t i o nn o w i nr e c e n ty e a r s ，t h er e s e a r c ho nc o l l e c t i v ee x c i t a t i o ni n l o w - d i m e n s i o n a ls e m i c o n d u c t o rs y s t e mm o s t l yf o c u s e do nt h em a t c hd i e l e c t r i cs y s t e m s i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t e dt h ei n f l u e n c eo ft h ei m a g ep o t e n t i a lw h i c hw a sc a u s e db y d i e l e c t r i cm i s m a t c ho nt h ef e a t u r e so ft h ep l a s m o nm o d e si ns e m i c o n d u c t o rs y m m e t r i c d o u b l eq u a n t u mw e l l s a n dw ec o m p a r e dt h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h er e s u l t so b t a i n e di n t h ec a s e so fd i e l e c t r i cm a t c ha n dm i s m a t c ho fm a t e r i a l s i ns i n g l e p a r t i c l eh a m i l t o ne i g e n v e c t o rs p a c e ，w ed e r i v e dd i e l e c t r i cf u n c t i o no f s e m i c o n d u c t o rs y m m e t r i cd o u b l eq u a n t u mw e l l sb a s e do nr a n d o m p h a s ea p p r o x i m a t i o n ( r p a ) f r a m e w o r k i nt h et w o - s u b b a n dm o d e l ，w eg o ts o m ef o r m u l a sw h i c hc a n d e t e r m i n et h ei n t r a s u b b a n da n di n t e r s u b b a n dp l a s m o nm o d e s w ea d o p ti m a g ep o t e n t i a l m e t h o dt oc a l c u l a t et h ep o s i t i o n sa n dv a l u eo ft h ei m a g ec h a r g e ，a n do b t a i n e dt h e f o r m u l ao fi n t e r a c t i o np o t e n t i a lw h i c hc o n t a i n e di m a g ep o t e n t i a l s w ec a l c u l a t e dt w oc o l l e c t i v ee x c i t a t i o ns p e c t r u m sb o t hd i e l e c t r i cm a t c ha n d m i s m a t c hm a t e r i a ls y s t e m s ，t h eh i g h e rb r a n c hr e p r e s e n t e dt h ei n t e r s u b b a n dc o l l e c t i v e e x c i t a t i o n , w h i l et h el o w e rb r a n c hr e p r e s e n t e dt h ei n t r a s u b b a n dc o l l e c t i v ee x c i t a t i o n 1 1 1 et w ob r a n c h e sw e r ei n d e p e n d e n te a c ho t h e r c o m p a r e dw i t ht h ec a s eo fd i e l e c t r i c m a t c h ，a sar e s u l to ft h ei m a g ep o t e n t i a le f f e c t s ，b o t ht h ei n t r a s u b b a n da n di n t e r s u b b a n d p l a s m o nm o d e sh a db e e nc h a n g e d t h ec h a n g eo fi n t e r s u b b a n dp l a s m o nm o d e sw a s n o t a b l ew i t ht h ei n c r e a s eo fq ，a st h eqw a sl a r g e rt h a nac r i t i c a lv a l u e ，t h e i n t e r s u b b a n dc o l l e c t i v ee x c i t a t i o n sd e c a y e di n t os i n g l e - p a r t i c l ee x c i t a t i o nr e g i o n k e y w o r d s ：p l a s m o n s ；s y m m e t r i cd o u b l eq u a n t u mw e l l s ；c o l l e c t i v ee x c i t a t i o n ； s i n g l e - - p a r t i c l ee x c i t a t i o n ；t w o - s u b b a n dm o d e l c l a s s n o ：0 4 7 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名： 签字只期： 年 月 日 签字同期：年月 日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 4 3 致谢 本论文的工作是在我的导师吕燕伍教授的悉心指导下完成的，从选题到论文 撰写的每一个环节都渗透着老师的心血。吕燕伍教授严谨的治学态度、深厚的学 术造诣和科学的工作方法使我受益匪浅。在此谨向吕老师表示衷心的感谢，感谢 老师两年来对我的严格要求、谆谆教诲和精心培养。 在课题研究和论文撰写期间，余家新、赵明明、王倩霞等同学给予了热情的 帮助，在此也向他们表示衷心的感谢。 另外也要感谢我的家人多年来对我的理解、鼓励和支持，感谢我的朋友对我 的鼓励和帮助。 在本论文完成之际，特向以上老师和同学以及所有曾经关心和帮助过我的老 师和朋友们表示最衷心的感谢! 感谢对本论文进行评审、提出宝贵意见的各位老师! e三!窒塑厶堂亟：兰位诠塞里!壹 1 引言 半导体材料的发现与大规模应用引发了卜世纪轰轰烈烈的电子j l ：业革命，由 此开始，半导体材料成为了现代信息社会的基石，它的出现对同常牛活以及现代 科学技术等各个领域都产生了革命性影响，大规模集成电路、计算机、信息高速 公路等等这些都是由半导体带来的。从某种意义上流，我们现在所处的时代就是 半导体时代。几乎所有半导体器件的研究都是围绕如何利崩和控制电子的运动， 电子在其中起到了决定性的作用。随着分子束外延( m b e ) 等超薄生长技术的发展和 完善，人们己经能够制备出区别于天然半导体的崭新的人工材料，如半导体异质 结、超晶格、量子阱、量子线和量子点等。由丁二低维量子结构巾的受限电子呈现 出许多与体材料结构中十分不同的、物理内涵十分丰富的新的性质和现象 1 l ，如量 子约束效应、共振隧穿效应、超品格微带效应、声子约束效应以及二维电子气效 应等，这就为利用新原理的电子、光电了器件的发展提供了新机遇。因此，以半 导体超品格、量子阱、量子线和量子点等为代表的对半导体低维结构的物理性质 研究成为f 1 前十分前沿的研究领域之。体材料、量子阱、最子线和量子点的结 构如图1 1 所示 t h r e 丁w 00 n e 夕移褫 一。 2 c ca 圈1 1 体材料以及低维结构不蒽图。 f i g 1 1s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o no f3 - d ，2 - d ，l d ，0 ds t r u c t u r e 【直i 体材料由大量的粒子( 如电了、离子) 组成，粒子之| 、u j 存在着很强的相互作用， 是一个复杂的多体系统。粒予之n 1 j 的相瓦作用机制足个基本而重要的物理问题， 决定着吲体材料的基本性质。山于库仑作用的长程性及价电了易动的巡游性，将 导致互作用的电子气系统中的元激发除了电子在单电子态之j j 1 跃迁时形成的单粒 子激发( s i n g l e p a r t i c l ee x c i t a t i o n ，s p e ) 外，还存在着电子的集体激发，其中最重要的 是电荷密度激发即等离激元( p l a s m o n s ) 。因此半导体低维结构中等离激元的研究 成为当今研究的热点。同时由于各种生长技术，金属有机化学气相沉积( m e t a l o r g a n i cc h e m i c a lv a p o rd e p o s i t i o n ，m o c v d ) ，m b e 等的飞速发展，半导体材料的 生长日趋完美，已经能够生长出低缺陷、高迁移率的超晶格结构，这为研究低维 电子气系统的物理性质提供了合适的材料，使得低维系统的集体激发研究在实验 和理论上都得到了很大的发展。 1 1 等离激元的概念 我们以金属中的电子为例来说明等离激元的概念。价电子在离子的正电抵消 背景上运动，系统在宏观尺度上保持着电中性，在微观尺度上存在着电子密度的 起伏。价电子易动，而且由于电子间的相互作用为库仑作用且库仑作用具有长程 性，所以哪怕局域的密度起伏也会产生电子关联的运动，这是一种集体效应。人 们常采用系统中电子密度的傅里叶分量p 。作为集体坐标来描述这种关联。与晶格 振动问题中的集体坐标相类似，在这里p 。将以波动的形式出现，它是系统中电子 密度起伏相对于正电背景的振荡，称为等离子区集体振荡。波矢为g 频率为彩。的 等离子区集体振荡量子壳国。，在固体物理中叫做等离激元【2 】。 等离激元是电子气体的集体震荡，它和组成系统的粒子毫无相似之处，是系 统的集体模式型准粒子，与单粒子激发一起构成电子气系统元激发的两个重要组 成部分。 1 2 低维系统中等离激元的特性 与三维电子气系统相比，电子在低维系统中的运动被分别限制在二维平面( 二 维电子气，2 d e g ) 、一维方向上( 一维电子气，1 d e g ) ，对于量子点( 零维电子气， 0 d e g ) ，在经典意义上，它的平动自由度为零。由于电子的运动受到了限制，因 而低维结构中等离激元的性质明显不同于三维系统。长波限下，纯的三维、二维、 一维等离激元的频率分别为【3 】： 国? = ( 4 7 r n e 2 f m ) “2( 1 1 ) 彩2 。d = ( 2 翮e 2 q e m + ) 2( 1 2 ) 缈。i d = ( 2 n e 2 占m ) “2ql l n ( q a ) l “2 ( 1 3 ) 上述各式中m 为电子的有效质量，占为介电常数，刀为电子密度，q 为相应维 度集体激发的波数，( 1 3 ) 式中的a 为一维结构的有效横向限制宽度。 从以上三式可以看出，在g 趋于零时，三维系统中等离激元的能量有一个不为 零的能隙，而在二维和一维系统中，等离激元的能量则为零，这就使得后者更容 易被激发【3 】。由于系统的维度降低了，诱导的电荷密度的维度也随之降低，但电子 2 之间的相互作用仍保持三维系统的形式吲，因而电子之间的相互作用和多体效应显 得更为重要，使得低维系统成为研究电子电子相互作用机制和多体效应的理想对 象。各种低维结构中的集体激发一等离激元，其性质的研究对解释低维系统中的 物理现象有着非常重要的作用。 1 3 等离激元的研究意义 由于等离激元是由电子之间相互作用的长程部分激发的，因而系统中等离激 元的性质可以揭示出电子一电子相互作用的机制以及多体效应。而电子之间的相互 作用对系统的许多性质有决定性的影响，如系统的基态能、分数量子霍尔效应 ( f r a c t i o n a lq u a n t u mh a l le f f e c t ) 、维格纳晶化( w i g n e rc r y s t a l l i z a t i o n ) 、莫特转变( m o t t t r a n s i t i o n ) 及输运性质【5 】等。高温超导体的超导机制也被发现与等离激元有关【6 ，7 】。 对低维电子气系统的集体激发进行深入的研究有助于提高人们对多电子库仑作用 体系基本性质的认识，同时也有助于基于低微半导体结构半导体器件的研究与开 发。因此，对等离激元方面的研究具有非常重要的意义。 1 4 等离激元的研究现状 过去对低维系统等离激元的研究主要集中在金属或液氦的表面以及金属一绝 缘体一半导体( m i s ) 结构中。1 9 5 8 年f e r r e l l 第一次对金属表面等离激元进行了理论 计算【8 】。1 9 7 6 年g r i m e s 和a d a m s 第一次在液氦表面证实了等离激元的存在【9 1 ，紧 接着在1 9 7 7 年j r a l l e n 等人【1 0 】和t h e i s 等人【i l 】在研的反型层中也发现了等离激元 的存在。p i n c z u k 等人【1 2 】在调制掺杂的g a a s g a ，_ x a l j a s 超晶格中首次观察到了多层 二维电子气体( 2 d e g ) 子带间的激发，确定了子带间的能级间距。1 9 8 0 年，p i n c z u k 等人f l3 】首次在第一类超晶格中观测并估计了与2 d e g 子带间跃迁有关的退极化效 应，激发了人们研究二维系统中多体效应的广泛兴趣。p i n c z u k 等人【1 4 】报道了 g a a s g a ，_ x a l x a s ( x = 0 2 ) 多量子阱的r a m a n 散射( r s ) 实验结果，令人惊奇的是， 他们发现光激发并未改变能级结构，表明当浓度高达3 1 0 n c m 2 时电子和空穴在空 间上仍未分离开来。由于不同阱内的激发之间的耦合以及与l 0 声子的耦合，他们 测得的集体激发表现出复杂的行为。在g a a s g a ，x a l x a s 的多量子阱结构中，o l e g o 等人【4 】分别测量了参数为a = 2 6 2 a ，b = 6 2 8a ，x = 0 2 0 ，l = 7 3x1 0 c m - 2 ，周期数 为2 0 和a = 2 4 5 a ，b = 2 5 8 a ，x = 0 1 1 ，刀= 5 5 x 1 0 c m 之，周期数为1 5 的多量子 阱结构中的集体激发谱。1 9 8 5 年，s o o r y a k u m a r 等人【”】在由3 0 个周期的 g a a s - a 1 9 2 3 g a o 7 7 a s 量子阱超晶格中首次同时获得了子带内的集体激发与子带间的 3 集体激发的散射谱。 最早考虑双层电子气系统中等离激元的是e g u i l u z 等人【l6 1 ，他们研究了m i s 系统中与反型层有关的界面激发，认为这些激发是二维电子气体的等离激元和金 属绝缘体界面的表面等离激元之间的耦合模。d a ss a r m a 等人【l7 】研究了双量子阱 ( d o u b l eq u a n t u mw e l l s ，d q w ) 结构中的等离激元，理论上预测当两层电子气体之间 的距离超过某一临界值时，声学等离激元模将移出单粒子激发区而与光学等离激 元模共存。s a n t o r o 等人【1 8 】研究了d q w 结构中的声学等离激元，发现当两层电子 气体完全相同时，声学等离激元模在任意层间距离下都存在。g u m b s 等人【l 卅考虑 了两层电子气体间存在弱耦合的情形，根据微扰理论导出了d q w 系统中光学和声 学等离激元色散关系的近似的解析表达式，他们也发现声学等离激元的存在不受 层间距离的限制。d a ss a r m a 等人【2 0 】研究了存在隧穿耦合双层结构中的等离激元。 在以往对等离激元的研究中，人们往往假定量子阱内外背景材料的介电常数 相同，忽略了由于介电失配而产生的镜像势，并认为这是一个影响等离激元色散 谱的微小量。在介电匹配情形下，人们对单量子阱中的带内和带间等离激元模进 行了深入的研究。介电匹配模型的出发点在于：由于实际的异质结结构中两种材 料的介电常数差别不大，因而认为量子阱内、外的背景材料的介电常数的这种微 小差别对系统电子基态属性影响很小。也有很多作者研究了半导体界面和异质结 中的介电常数差别产生的镜像势，并认为这种镜像势对半导体子带跃迁带来的影 响是相当重要的1 2 卜2 5 1 。 1 5 本文的研究内容与研究方法 1 5 1 研究内容 以往对半导体低维系统等离激元的研究几乎都是在介电匹配的框架下完成 的。上面提到，由于介电失配而产生的镜像势对半导体子带带间跃迁有很重要的 影响，以前的研究工作大多忽视了镜像势对等离激元性质的影响。本文就以下几 个方面对对称双量子阱系统等离激元的性质进行理论研究。 一，给出半导体对称双量子阱的理论模型，并在r p a 近似下应用介电函数张 量理论，在二子带模型下通过理论推导给出系统子带内与子带间的集体激发理论 的一般表达式。 二，研究介电匹配条件下半导体双量子阱系统子带带内与带问的等离激元的 色散关系。 三，考虑由于阱和垒材料介电常数不同所产生的镜像势，以及它对半导体双 4 量子阱中子带带内与带间等离激元激发性质带来的影响即介电失配下系统的等离 激元模。 1 5 2 研究方法 本论文运用的研究方法主要有无规相近似( r p a ) 、线性响应理论、介电函数张 量理论以及镜像法。 ( 1 ) 无规相近似 对于g a a s - a i g a a s 材料而言，无规相近似( r a n d o m - p h a s ea p p r o x i m a t i o n ，r p a ) 在通常材料的电子密度下是相当精确的，所以一般的低维半导体结构和超晶格的 元激发理论均是基于r p a 近似之上的【3 】。 电子密度p ( r ) 的傅里叶分量为 岛= e 呐。( 1 4 ) j 由于( 1 4 ) 式是指数项之和，而这些指数的相位因子又由，决定，对于高密度电 子系统，电子的位置在空间的分布是杂乱无规的，这时成( q 0 ) 代表相位无规变 化的指数项之和，对于平移不变的系统其平均值为零，所以两个密度起伏的乘积 对于运动方程仅仅是微小的修正，作为一级近似可略去，这样的近似称为无规相 近似。 这里无规相的含义正在于成是无规相位的指数相加，而p 0 = n 是各项的相干 叠加，两者在高密度条件下相差很大，所以在求解过程中两个不同密度起伏模见，和 岛叫之间的耦合项相对于n p q 是小量，可以略去。 ( 2 ) 线性响应理论 为了知道给定物理系统的特性，必须以某种方式扰动系统( 如加外场) ，然后 观察因外加扰动所引起的系统的物理量改变响应。通过扰动与响应的关系来 得知系统元激发的信息。 若外场以频率缈震荡，则外场作用于系统时的附加哈密顿量为h ，( f ) ，可设为 h 。( f ) = b e x p ( 一f 研+ 彬) ( 1 5 ) 为使响应绝热追随扰动，往往考虑外场缓慢加上，即要求h 。( f 专) = 0 ；以( f ) 中引入的比例因子e 珥、，7 为小正量，计算完成后取刁专+ 0 极限。通过物理量彳观 5 察系统对外场的响应，鲋就是响应。在线性响应近似范围内可得出 a 4 = g r ( c o ) e x p ( - i 甜+ 咿)( 1 6 ) 其中g ，( c o ) 为推迟格林函数。 由( 1 5 ) ( 1 6 ) 式可得出：在线性响应近似范围内，系统物理量彳因交变外部作用 日。( f ) 导致相对其平衡值的偏离鲋( f ) 也将是交变的，并且与交变外部作用具有相 同的频率。 ( 3 ) 介电函数张量理论 介电函数张量理论：在r p a 方法下，通过求解系统的动态介电函数，来研究 电子气系统集体激发的色散关系。系统集体激发由介电函数张量的零点确定。 外场势能的傅罩叶分量为 ( q ，f ) = 吃( q ) e x p ( 一i o t + 矿)( 1 7 ) 应用线性响应理论，可得出总势能的傅里叶分量v c q ，t ) 满足r p a 的响应方程。 引入介电函数 s ( q ，t ) = 吃( q ) y ( q )( 1 8 ) 当外扰动吃( q ，f ) 寸0 时，吃( q ) = y ( q ) 一吃( q ) = 矿( q ) ，无规相近似的介电函 数响应方程( 1 8 ) 变为 6 ( q ，f ) ( q ，t ) - - 0 ( 1 9 ) 其中圪( q ，t ) 有非零解代表系统有自激产生，对应于系统的元激发，因此元激 发必须满足占( q ，缈) = 0 的条件。 当s ( q ，缈) 实部为零，虚部不为零时，对应互作用电子系统的个别激发，这种 震荡是衰减的，所以相互作用电子气中的个别电子空穴对激发寿命短暂，不能持 续存在。 当g ( q ，彩) 实部为零，虚部也为零时，对应互作用电子系统的集体激发，这种 震荡是无阻尼的。 由上述可知，介电函数张量的零点代表系统的集体激发即等离激元。 ( 4 ) 镜像法 点电荷q 附近有一介质，在点电荷的电场的作用下，介质表面出现感应电荷。 引入像电荷代替介质表面的感应电荷，在引入像电荷的同时将求解区域外的介质 换成求解区域内相同的介质。模型中不再存在感应电荷，而仅存在给定的点电荷 6 和像电荷。根据边界条件可求出像电荷的大小和位置，从而可写出满足边界条件 的势。做这种代换时，求解区域内仍然只有一个点电荷q ，并不影响泊松方程， 因而引入的像电荷可以用来代替介质面上的感应电荷分布。 7 2 半导体对称双量子阱 2 1 理论模型 考虑到双量子阱结构在生长上要求材料具有较小的晶格失配，在本论文中我 们选用i i i 一族化合物半导体材料g a a s 和a l x g a j 卅s 两种材料构成对称双量子阱。 两种材料间隔排列，其生长方向为z 方向，如图2 - 1 ( a ) 。由于两种材料的禁带宽度 不同所形成的对称双量子阱结构示意图如图2 1 ( b ) 。 气 a l x g a l x a s 岛 g a a s a l x g a l _ x a s 占t g a a s 气 a l x g a l _ x a s jl jr _ 一k 山一巧一山- 一z 0 - - 一1 图2 1 对称双量子阱理论模型：( a ) 生长结构；( b ) 阱结构。 f i g 2 1t h et h e o r ym o d e lo fs y m m e t r i cd o u b l eq u a n t u mw e l i ( s d q w ) - ( a ) l a y e r ds t r u c t u r e ； ( b ) p r o f i l eo fs d q w 1 5 ( 2 1 ) 中l w ，l b 分别表示阱宽和垒宽，q ，f ，分别为a l x g a v x a s 、g a a s 两种 材料的介电常数。 应用有效质量近似理论( e m a ) 电子的有效质量m = 0 0 6 7 m o ，m o 为电子的 静止质量。 当x 0 4 5 时，导带偏移量圪由a l x g a ，一j 中云= 0 的值决定【2 6 】 v o = 0 6 a e r ( z ) ( 2 1 ) 丝。f 为a l x g a j 卅s 、g a a s 两种材料在r 方向的带隙差，由下式给出 丝：( 石) = 1 5 5 5 x + 0 3 7 x 2 ( e v )( 2 2 ) 毛，占2 由下面两式给出【2 7 】 8 l = 1 3 1 e o 岛= 【1 3 1 ( 1 一z ) + 1 0 1 x 8 0 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 在本文中取x = 0 3 9 ，此时根据公式( 2 1 ) 与( 2 2 ) 可得r o = 0 4 e v 。由( 2 4 ) 可得 乞= 11 9 岛，s o 为真空介电常数。 2 2 子带结构 当半导体对称双量子阱系统阱宽l , = 1 0 0 a 时，系统束缚态的个数为6 ，为了 深入了解系统子带能级与波函数的性质，现在考虑子带能级与波函数随垒宽的变 化情况。 ( a ) 一_ p j ； “| j ，j ，一一一： 。 。，。 一 vj 7 、 ，- 、 、 。、 一 l、 ， “ 、k， ，厂 ， ，蔓? 、一，。声 ：一 h ， 、- ， 0 4 0 ，茹 瑰3 o ，葛 a ，2 - v o 够 0 i o 循 o 由 ( a ) 。 ， 佃) # 、 、 | ， ， | 穴j ， 、八，、噜 ? ，龟￥ ，、。二j夕 弋 ，、。一，。厂一 ，飞p 、| l 气 。k - - 一 7 、 、一，7o 一、八 。 、 ， 9 - ( a ) 盘 0 董 吐3 0 石 一0 2 k v o 饱 盘t o 鹏 o 旬腰 ， ( c ) ， ”：八a 一p p 。、 7 j ? 。8 一 。，、j n l ”、厂、 一一， 、 ， 、 ，i， 一、 、 一 、 、 ( a ) ( d ) 八 ， 一。卜 、 一一 、h n 一， 。、? ? 7。 ，多“、 户、，人， “7 一 、 弋，广、e厂q k 一、 7 l ， 。一、 、 、 ，7 飞、飞、 。一、。，一 ， 、 ( a ) 。 图2 2 对称双量子阱能级和波函数的示意图：( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 分别对应厶为5 a 、 4 0 a 、7 0 a 、1 0 0 a 。 f i g 2 2s c h e m a t i co f e n e r g yl e v e l sa n dw 。a v ef u n c t i o no f s y m m e t r i cd 。o u b l eq u a n t u mw e l l ：( a ) l b = 5 a ，( b ) l b = 4 0 a ，( c ) l b = 7 0 a ，( d ) l b = 1 0 0 a 随着厶的变化，阱内电子的状态也随之变化，但束缚念的个数恒为6 个。系 统子带能级及波函数示意图如图2 2 所示。 由图2 2 可看出，由于两阱的耦合效应，子带能级表现为成对出现的双态。 六个最低子带的能量随厶的变化规律如图2 3 所示。 l o ：曼 昭 蚴 嘶 。 瞄 k u v 图2 3f 随厶的变化规律：( a ) 、( b ) 、( c ) 分别表示历和厶易和历、易和历 随厶的变化情况。 f i g 2 3e a saf u n c t i o no f l b ：( 啦，a n d 局，( b ) e 3 a n de 4 ， e 5 a n d e 6 从图2 2 ，图2 3 可看出随着垒宽的增大，e ，逐渐增大，历逐渐减小，两者相 互靠近，历和毋、历和尾也遵循相同的变化规律。当厶增大到6 0 a 时，历、局 的大小几乎不再发生变化。 两量子阱间的耦合效应随着垒宽厶的增大而变小，双阱中的基态和第一激发 态是由于耦合效应而产生的子带能级分裂的结果( 两个单阱相耦合形成双阱，单 阱中的基态能级分裂成双阱中的基态和第一激发态) 。两个能态间距的大小与耦合 的强弱有关，垒越宽，两阱的相互耦合就越小，当垒相当宽时，基态和第一激发 念合二为一。 从图中可以看出，当垒宽与阱宽均为1 0 0 a 时，即本论文所要研究的对称半导 体双量子阱系统，此时基态与第一激发态合二为一，可将两态看作双阱基态分裂 的结果。阱中束缚态的能级分别为：0 0 3 8 2 e v , 0 0 3 8 2 e v 、0 1 4 9 1 e v 、0 1 4 9 2 e v 、 0 3 1 4 8 e 玖0 3 1 6 3 e 玑 2 3 本章小结 由g a a s a l x g a 抽材料构成的对称半导体双量子阱，由于两阱间的耦合效应 子带能级成对出现，随着垒宽的逐渐增大，耦合效应逐渐减小，成对出现的子带 能级的间距随之缩短，当垒宽与阱宽均为1 0 0 a 时，最低的两个子带合二为一，可 将两态看作双阱基态劈裂的结果。 1 2 3 对称双量子阱系统中等离激元的理论推导 本章我们在单电子哈密顿量的本征矢空间中应用r p a 方法推导对称双量子阱 系统等离激元介电函数张量理论的一般表达式，在二子带模型下推导确定对称双 量子阱系统中子带内与子带间等离激元的方程。并且讨论子带内与子带间单粒子 激发的情形。 3 1 双量子阱系统介电函数张量理论的一般表达式 设量子阱沿z 方向生长，z 方向的有效限制势为矿( z ) ，则无微扰时单电子的哈 密顿量为 日o = 一；v 2 + y ( z ) ( 3 1 ) 设h o 的本征值和本征态分别为幺和纯( 简记为i 口) ) ，即在有效质量理论的 框架下，电子的运动满足方程 日o l 口) = e = i a ) ， ( 3 2 ) 在平行于界面的x y 平面内，电子的运动是自由的，因此电子在z 方向运动的 波函数弘t ( z ) 和能量蜀满足 l 一嘉善2 圳z 帜加 b 3 ， 下面我们用r p a 近似方法和线性响应理论来研究双量子阱系统对外界微扰的 响应。假设在原点处引入一个试探电荷，它在r 处产生的势场为v “( r ) 。在这个势 场的作用下，电子气的密度起伏8 n ( r ) 产生的诱导屏蔽势能为矿加( r ) ，因此外界微 扰引起的总势能为 v ( r ) = v “( r ) + v ”( r )( 3 4 ) 微扰下的单电子的哈密顿量可写为h = h o + y ( r ) ，其中h o 为无微扰时单电子的哈 密顿量，它满足 h o = 一o v 2 + v o ( r ) ( 3 5 ) 其中m 为电子的有效质量，t o ( r ) 为限制势。 假设微扰下的单电子的密度矩阵算符p 和电子密度n ( r ) 可以写为 p 2 p o + p l n ( r ) = n o + 锄( r ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 其中p 。是无微扰时的密度矩阵算符，p 。是微扰引起的密度矩阵算符，8 n ( r ) 为电 子的密度起伏。 为了得到由于试探电荷的引入而导致的电子密度的起0 眨8 n ( r ) ，我们考虑单电 子的“o u v i l l 方程 2 8 1 访警= 阿，p 】 ( 3 8 ) h ：矾+ 矿是微扰下的总的哈密顿量，在上式取一阶近似即忽略矿刍。项可得【2 9 】 琥昙二。= h 。，二。 + l 二。 c 3 9 ， 因此， 访去 = i 日。，二。 l 口) + 。3 。， = ( e a - e , , ( i , o “。l 口) + ( 厶一厶) ( l 矿l 口) 厶为f 锄i 分布。根据线性响应理论有 历昙 i 二1 口) = 壳c 缈+ z 刁，( l 二i 口) c 3 ， r 为趋于零的无限小正数，由上面两式可得 ( i 二。i 口) = 鼍( l y l 口) c 3 2 ， 如( r ) = 办 万( r 一) 二， = 丢戎( ，) 鳓( ，) a ，l | 口) 诱导产生的势与诱导电子密度之间满足关系式 矿( r ，f ) = p ( r r ) 加( r ，f ) 打 其中u ( r ，r ) 分别是位于r 和r 处的两个电子之间的库仑相互作用。 的矩阵元，可得 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 求态i 口) 和l ) ( 口川) 2 丢( 口m r ，r 州) 丽赫( y ( 3 1 5 ) 对于准二维电子气，电子的波函数可写为( r ) = 仍( z ) p m ，其中_ i 和k 分别 是石y 平面内的二维位置矢量和二维波矢，是子带指标。 作z y 平面内的f o u r i e r 变换，可得 眩( q ) = ，。，( q ) i i 。一( q ，国) ，( q ) ( 3 1 6 ) 瑶( q ) = ，( q ) 一叨( q ) = ( 既4 k ，一肭，( q ) l - i 。( q ，功) ) ，( q ) ( 3 1 7 ) 1 4 有关的矩阵元定义如下 ， 舢，( q ) = 肿( z 溉，( z ) u ( q ，z ，z ) 伊：( z ) 伊( z ) d z d z i - i m m 沁咖2 军面案案鬻 式中的因子2 源于电子的自旋简并。 在二维系统中( 3 1 9 ) 式的积分结果可写为 兀删相纠蔷p 针 一卜皈k + 等i + ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 【j 2 0 ) 推导过程见附录a 。 根据二维系统电子体密度公式【3 1 】 心，= 渺刮2 m 槲 l _ r 血 1 + e 砷( 学) b 2 - ， 对上式在量子阱中做积分，可得二维系统的电子面密度，在本论文所研究的 系统中量子阱中束缚态的个数为6 ，在一个量子阱中对( 3 2 1 ) 式求积分 匏删2 等h 卜p ( 学肛 2 2 ， 我们取二维电子面密度为5 0 x l o 儿c m 。2 ，系统的束缚态的能级局与波函数已 知，即可求出4 = j ：l y ，( z ) 1 2 d z 的值，代入( 3 2 2 ) 式，可得系统的费米能级 耳= 0 1 5 6 7 e v 。 ( 3 18 ) 式中的u ( q ，z ，z 3 为u ( p p ，z z ) 的二维f o 嘶e r 变换，p 、p 为石y 平面 内的二维矢量。在双量子阱系中【3 2 】 u p p 7 ，z z 7 2 ；：；了磊i 三；e 丐亍i 丽 3 2 3 ) 4 刀苫( p p ) 2 + ( z z ) 2 用傅里叶展开 u ( p - p ，z z ) = ( 2 x l ) 2 j u ( p p , z - z ) e x p 一q ( p p ，) 】幽 ( 3 2 4 ) 傅里叶分量为 u ( q ，z ，z ) = j v p - p , , z z ) e x p i q ( p - p ) d ( p - p ) ( 3 2 5 ) 将( 3 2 3 ) 式代入，并取z 轴通过z 点，于是 叭舭，z ，) - 石e 2 培尝争 ( 3 2 6 ) 1 5 积分时选取q 为极轴，d p = p d p d 矽，用公式 c x p ( i q p ) = p 幻p c o s = ( f ) 4 l ( q p ) e 加 ( g p ) 是刀阶第一类贝赛尔函数，于是， u ( q z ) 2 万e 2j 万丽1 尹 ( g 纠p 一生蛀型竺 一一 2 占g r ( 1 2 ) x k m ( q l z - z i ) 其中：k ( q z - z 7 i ) 是1 2 阶第二类变型贝塞尔函数， k m ( q l z - z 7 i ) = 一qj z - z 1 由上可得 一2 u ( q ，z ，z ) = 士e 1 忙1 1 么9 5 ( 3 3 0 ) 式即为不考虑镜像势作用下系统相互作用势的傅里叶变换， 的情况将在第四章讨论。 在子带表象中矿甜( q ) = ( q ) v ( q )