（理论物理专业论文）双阱中玻色爱因斯坦凝聚体的三体相互作用.pdf

摘要 对玻色一爱阂斯坦凝聚体( b e c ) 的理论和实验研究正受到学术 爨懿广泛美注，平翅场理论力b e c 的疆究提供了一个奏题戆基磁。 通常，人们只考虑在两体相互作用下系统的特征。也有人分析单势 阱澄禁的b e c 中三体攘互作燃对系统的影噙本文剥着重研究在双 势阱中的凝聚体所受到的三体褶互作用，对弹性碰撞( 实的) 和非弹 性碰撞( 虚的) 三体系数分别进孑亍了讨论。其中，我们讨论了双势阱 中两玻色一爱因斯嬗凝聚体系统在三体相互作用下的稳定性，宏x 霓 量子自囚以及混沌特性。同时对实的三体系数，我们还分析了在s 波散射长发厨期变纯酶情况下，系统运动酶混淹行为；对虚酶三体 系数，我们研究了三体复合损失对系统运动的影响 本文共包括了圈章。第一章简单介绍了双模近似及玻像爱因斯 爆凝聚领域中有关三体相互作用的研究历史和现状。第二章研究了 实的三体系数的情况酋先，我餐研究了系统的稳定性掰线瞧稳 定性定理分析了相对粒子数布居的定态解的稳定性其结果表明当 物理参数取菜些 羟界值隧，定态攘对粒子数枣屠将出瑰不稳定酶情 况系统还存在定态的宏观量子自囚最后，我们研究了在含时的 s 一渡散射长度鲻期变化憋薅况下系绒鹃混涟行为。通过计舞系统魄 m e l n i k o v 溺数，我们得到使系统运动处于混沌的参数区域 第三意研究了系统农三捧笺合摄灸 即虚麓三镕系数) 懿馋孀下 的运动特征。在吸引的相互作用下，考虑非弹性三体复合损失和凝 聚体纷郝缒热云粒子孝 充源对系统的影响，采用双摸近似，我们发 现，系统的总粒子数是不守恒。通过分析定态解的稳定性，我们发 现系统的稳定区域随着三体复合损失项或者隧穿系数增大颟增大。 在数值计算中，通过控稍不同的s 一波散射长度来谲节三体损失，我 们发现了繇统许多特征，其中包括，非定态的宏观量子自因现象和 稳定酶极限环 最后，我们农第四章中对本文做了简要的总结，并对该领域前景 俸了一点麓望本文审，作者鲍研究工作集中在第二章乖珏第三章 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚，三体相互作用，稳定性，混沌， 宏观量子自囚 a b s t r a c t 7 t h eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e c ) h a sb e e na na t t r a c t i v er e s e a r c hs u b j e c tf o rm a n yt h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a ls t u d i e s a n dt h em e a n f i e l dt h e o r y p r o v i d e sap r a c t i c a lf r a m e w o r kf o rt h ei n v e s t i g a t i o no fb e c h o w e v e r m o s t p r e v i o u ss t u d i e so f t h eb e c s y s t e mo n l y c o n s i d e r e dt h e t w o - b o d yi n t e r a c t i o n i n t h es y s t e m ，a n dt h et h r e e - b o d yi n t e r a c t i o nw a no n l yt a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o ni n a s i n g l et r a p f o ra n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h et h r e e - b o d yi n t e r a c t i o ni nd o u b l e - w e l lt r a p p e db o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s t h ee l a s t i ca n di n e l a s t i cc o l l i s i o n s t h a ti s t h er e a la n d i m a g i n a r yp a r t so ft h r e e - b o d yi n t e r a c t i o nc o e f f i c i e n t sa r ed i s c u s s e d w ei n v e s - t i g a t et h es t a b i l i t y , m a c r o s c o p i cq u a n t u ms e l f - t r a p p i n g ( m q s t ) a n dc h a o t i c b e h a v i o r so ft w ob o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e b ( b e c s ) i nad o u b l e - w a l lp o t e n t i a l w i t ht h r e e - b o d yi n t e r a c t i o n s f n r t h e r m o r e ，w h e nt h et h r e e - b o d yi n t e r a c t i o n i sr e a l 、w ea l s oa n a l y z et h ec h a o t i cb e h a v i o ro ft h es y s t e mm o v e m e n tw i t ha p e r i o d i c a l l yt i m e - v a r y i n ga t o m i cs c a t t e r i n gl e n g t h ：w h e nt h et h r e e b o d 3 ，i n t e r a c t i o ni si m a g i n a r y , t h ee f f e c t so ft h et h r e e - b o d yr e c o m b i n a t i o nl o s s e so nt h e e o n d e n s a t e sa r es t u d i e d t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h et w o m o d ea p p r o x i m a t i o n ，a n dt h eh i s t o r y t h ec u r r e n ts t a t eo fa r t o fr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o n so ft h r e e - b o d yi n t e r a c t i o n si nt h eb e c t h es e e o n dc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h er e a lt h r e e - b o d yi n t e r a c t i o nc o e f f i c i e n t s ，ef i r s t d i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h i ss y s t e m t h es t a b i l i t i e so ft h es t a t i o n a r ys t a t es o l u t i o n sa x es t u d i e dw i t hal i n e a rs t a b i l i t yt h e o r e m t h er e s u l td e m o n s t r a t e st h a t t h es t a t i o n a r ys t a t er e l a t i v ep o p u l a t i o nw i l ls h o wi n s t a b i l i t yw h e nt h ep h y s i c a l p a r a m e t e r sa r ea d j u s t e dt os o m e c r i t i c a lv a l u e s m o r e o v e r 。t h es t a t i o n s r vs t a t e m a c r o s c o p i cq u a n t u ms e l f - t r a p p i n gi s a l s of o u n d a t , t h ee n do ft h ec h a p t e r ， w e a n a l y z et h ec h a o t i cb e h a v i o ro f t h es y s t e mw i t hap e r i o d i c a l l yt i m e v a r y i n g a t o m i cs c a t t e r i n gl e n g t h b yc a l c u l a t i n gt h ew e l l - k n o w nm e l n i k o vf u n c t i o no f t h i ss y s t e m ，w eo b t a i nt h ec h a o t i cr e g i o n si nt h ep a r a m e t e rs p a c e t h et h i r dc h a p t e rs t u d i e st h ef e a t u r e so ft h es y s t e mm o v e m e n tw i t ht h e i i i t h r e e - b o d yr e c o m b i n a t i o nl o s s e s ，t h a ti s ，t h ei m a g i n a r yt h r e e b o d yi n t e r a c z i o n i nt h ec a s eo ft i l ea t t r a c t i v ei n t e r a t o r n i ci n t e r a c t i o n t h ee f f e c t so ft h e t h r e e b o d yr e c o m b i n a t i o nl o s s e so ft h ei n e l a s t i cc o l l i s i o n sa n dt h ef e e d i n go f t h ec o n d e n s a t e sf r o mt h et h e r m a lc l o u dg l ee x p l o r e du s i n gat w o - m o d e a p p r o x i m a r i o n i nt h i sc a s e ，t h et o t a ln u m b e ro fa t o m si sn o tac o n s t a n t i ti ss h o w n t h a i t h es t a b i l i t yr e g i o no ft h ep a r a m e t e rs p a c ec o u l db ee n l a r g e dt h r o u g h i n c r e a s i n gt h e3 - b o d yl o s s e s o rt h et u n n e l l i n gc o e f f i c i e n tw ea d j u s tt h e3 一 b o d yl o s s e sb yc h a n g i n g | s - - w a w es c a t t e r i n gl e n g t h t h e n u m e r i c a lr e s u l t sa l s o r e v e a ls o m ei n t e r e s t i n gm o t i o nd l a r a c t e r i s t i c so ft h eb e c sf o rt h ed i f f e r e n t 8 - - w a v es c a t t e r i n gl e n g t h ，i n c l u d i n gt h em a c r o s c o p i cq u a n t u ms e l f - t r a p p i n g o fn o n s t a t i o n a r ys t a t eb e c s ，a n dt h ep e r i o d i co s c i l l a t i o no ft h ep o p u l a t i o n w h o s ep h a s eo r b i tt e n d st ob eas t a b l el i m i tc y c l e h 台b r i e f l ys u m m a r i z eo u rc o n t r i b u t i o n sa n dd i s c u s sf u t u r ew o r ki n t h e l a s tc h a p t e r h e r e 、o u rm a i nw o r k sa r ei n v o l v e di nc h a p t e r st w oa n dt h r e e k e y w o r d s ：b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，t h r e e - b o d yi n t e r a c t i o n ，s t a b i l i t y ， c h a o s ，m a c r o s c o p i cq u a n t u ms e l f - t r a p p i n g 第一章绪论 1 1引言 在1 9 9 5 年，三个小组分别利用8 7 r b ，n a ，l i 气体原子实现r 玻 色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，缩写为b e c ) 1 卜【3 。 玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 理论是1 9 2 4 年由b o s e 提出来的f 4 】。随 后，e i n s t e i n 将b o s e 的论文译成德文发表所谓玻色一爱因斯坦凝 聚是指，在b o s e 子构成的系统中，容许不止一个粒子占有同一量子 态基态，因而在t = 0 时，所有粒子将会趋向于占有最低动量态，亦 为最低能量态，这样就形成了动量( 或波失) 空间的凝聚体。理想 b o s e 气体在降温过程中达到一临界温度时，宏观数量的粒子将占有 基态，即发生了b e c 而处于这种新状态的物质被称为玻色一爱因 斯坦凝聚体( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，缩写为b e c ) b e c 的独特性 质开拓了许多研究领域，如原子激光卧【6 】，j o s e p h s o n 效应的宏观 量子现象【7 1 ，量子计算【8 ，量子信息f 9 】和量子逻辑操作 1 0 等的 研究它们的研究已经成为人们广泛关注的课题人们发现对于这 个多体宏观量子系统，当原子间相互作用的s 一波散射长度远小于 原子间的平均距离，并且凝聚原子足够多时，平均场方法是一类有 效而又方便的方法 1 1 】对于稀薄气体b e c ，可以用已有的理论来 很好的描述它，这就是早年由g i n s b u r g 和l a n d a u 在分析超导时推导 出来的后来被g r o s s 和p i t a e v s k f i 推广的方程，该方程被称为g p 方 程。利用该方程可以分析b e c 的特性并预言b e c 的许多新特征在 二次量子化方法中，只考虑两体相互作用时，n 个玻色原子系统的 h a m i l t o n i a n 能够表示为， ，方2 h = d 勋+ ( 而卜云v 2 + k ，。p ( 而】妒( ) j c 5 7 1 t + ii d 确莉+ ( 力矿( 一) v ( f 一谰嘲刁， ( 1 1 ) 其中矿( 雨和西分别表示产生和湮灭场算符。它们满足b o s e 对易 】 关系 【乒+ ( 力，多( 力 = a ( r t r ) ，( 1 2 ) 。( 而是外场囚禁势。v ( f 一，= ；) 是两体相互作用势1 9 4 7 年，b o g o l i u b o v 提出了稀薄玻色气体的平均场理论，其后被b e l i a e v 推广，其关键思 想是西( 而分离为凝聚和非凝聚部分 妒( 力= ( 妒( 而) + 母7 ( 而 其中 似( f ) 兰皿( ) ， ( 1 3 ) ( 1 4 ) 这里皿( 力为玻色子宏观波函数，即是场算符的期待值。当系统的温 度极低时，移( 力是小量，即非凝聚部分非常少，这时我们就可以把 毒，( 而看成微扰将多体h a m i l t o n i a n ( 1 1 ) 代入h e i s e n b e r g 方程，得场 算符妒t ) 满足的方程 n t 2 危瓦c j 妒 ( t z ) = 澎( t 砷，日j = 一三2 m v 2 + k 御( 砷】每( f ) + d 。母+ ( r 7 ，) y ( r 7 而妒( r 7 ，t ) 妒p ，t ) ( 1 5 ) j 在实现b e c 的条件中，原子闻的相互作用起很重要的作用虽然原 子间的相互作用很复杂，但是通过赝势法，将相互作用转变为有效 作用势，可简化到只用低能楣移参数来表示在量子力学中，低能 散射相移与势的形状无关，而只依赖于一个参数a ，称为散射波长。 用刚球模型处理稀薄气体原子，y ( 一竹可以用一个有效作用势来 表示 v ( 尹一力= 9 d ( p 一而，( 1 6 ) 这里g 为耦合常数，与s 一波散射长度a 相关理论表明，s 一波散 射长度和作用于原子的磁场有关，在一定的磁场条件下，a 可以为 正也可以为负，为正时表示两体作用相互排斥，为负时表示两体作 用相互吸引。的大小和符号可用f e s h b a c h 共振技术调节 1 2 j 1 3 】 g ：地， ( 1 7 ) g2 ， l i “j m 这里m 是原子质量。在温度为零的条件下，将( 1 6 ) 代入( 1 5 ) 可以 2 得到宏观波函数皿( 即满足的方程f 1 4 】 疗方2 i 素( 尹t ) = 卜岳= v 2 + k ，( 刁+ g i 皿( ct ) 1 2 】皿( tt ) ( 1 8 ) l ， ，r b 这就是著名的g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程1 9 6 1 年，g r o s s 和p i c a e v s k i i 分别独立完成其推导。这也是用平均场理论处理b o s e e i n s t e i n 凝聚 系统的基本方程。在平均场理论框架下，系统动力学行为可以方便 地由g p 方程描述当系统处于绝对零度时，非凝聚部分巧，( 即- 二0 ， 此时的g p 方程是严格有效的实践已经证明了平均场理论是一种 较为成功的方法绝大多数研究b o s e - e i n s t e i n 凝聚的工作都是在上 述基本方程的基础上展开的本文的工作也是从g p 方程出发的， 考虑了三体相互作用对系统的影响 1 2t w o - m o d e 近似 玻色一爱因斯坦凝聚体是一种以罕见的新物态存在的物质，并且 这种包含宏观数量原子的系统可以用一个单粒子相干波函数描述， 这就为实验和理论物理学家提供了一个独一无二的新介质同时，也 为研究宏观尺度的量子现象提供了可能性对玻色爱因斯坦凝聚 体的研究中，在理论上人们对g p 方程进行研究，解释了许多实验现 象，也提出了许多特征有待实验进一步地观察对于g p 方程的研究 方法有很多近年来，两空间分离的弱耦合b e c s 之间的j o s e p h s o n 效应的宏观量子特性成为研究的热点。为了研究相对位相和相对粒 子数布居的非线性动力学，s m e r z i 等人使用平均场理论研究了一个 新的宏观量子现象，宏观量子自囚效应【15 】在s m e r z i 之前，m i b u r n 等人已经使用全量子的方法讨论过宏观量子自囚效应，但是他们的 结果局限于小振幅的情况【1 6 】2 0 0 0 年，l m k u a n g 等人给出了 宏观量子自囚效应的全量子结果 1 7 】虽然s m e r z i 等人使用了平均 场近似，但是在这种近似下可以得到既简单又分析上可解的非线性 t w o m o d e 方程同时，可以很容易推广到势阱含时的情况在这一节 中，我们简要地介绍下s m e r z i 等人对两空间分离的弱耦合b e c s 所 采用的t w o - m o d e 近似方法双势阱模型和单势阱两态模型，虽然两 者的物理背景不同，但在t w o - m o d e 近似下，却得到相似的动力学方 3 程。在这里，我们采用双势阱模型，其结果也适用于单势阱两态模 型。在实验上，a n d r e w s 等人在双势阱观察到两个凝聚体间的干涉 1 8 人们也在不断地改进双势阱 1 9 一 2 0 由于双势阱申的凝聚体在空间上是近似分离的，对于含时的g p 方程( 1 8 ) ，我们可以寻找到以下形式的解【1 5 ，f 2 1 - 2 9 m ( f t ) 一妒l ( t ) 垂l ( 囝+ 妒2 ( ) 西2 ( ( 1 9 ) 这里蛾( f ) 为局域于势阱i 0 = 1 ，2 ) 的解，咖( t ) = v 俩兀西e x p i o t ( t ) 】， 总的原子数= ，+ 2 是一个常量我们假设势垒足够高，在隧穿 区域，波函数的重叠非常少，可以忽略，即两个势阱是弱耦合的 通过m 。( 司，我们可以构造系统的对称和反对称解 啦：生兽，圣一：堕挚( 1 1 0 ) x 2、2 设西。( 而满足如下正交归一条件 d 砷l 圣2 = 0 ，d f i 西1 2 1 2 = 1 ( 1 1 1 ) 联合( 1 8 ) 和( 1 9 ) 一( 1 1 1 ) 式，我们得到非线性t w o - m o d e 方程【1 5 】【2 1 】_ f 2 9 i 危。未妒1 = ( e 1 + g 1 9 1 ) 妒1 一j f 妒2 ， ( 1 1 2 ) 。疗云锄= ( 岛+ u 2 2 ) 如一k 妒1 ( 1 1 3 ) 其中 蜀：d y 罴| v 扑蚶 ( m 4 ) 以= 池1 4 ，( 1 1 5 ) k 一d ， 蒹l v 叩岍州叫( 1 1 6 ) 这里e l 代表零点能，阢腿正比自相互作用能，k 描述凝聚体之间 的隧穿幅度( 系数) 同时，我们已经忽略了有限温度效应和阻尼。 引入一个描述粒子数目布居的变量 2 ) 一，( ) 一i 咖1 2 一i 妒，1 2 。丙一 4 ( 11 7 ) 和相对位相 咖( t ) 兰0 1 ( ) 一如( ) ， ( 1 i s ) 联合( 1 1 2 ) 一( 1 1 3 ) 和( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ，我们得到如下方程 署= ，( z ，咖，) 一一v r i - _ z 2 s i n | ( p ， ( 1 1 9 ) 面d e = 夕，t ) = a e + a z + 万与c o s 妒 ( 1 2 0 ) 其中，我们已经把时间标度换成2 k t t 和 a e = = 警+ 可( g l - u 2 ) n ，a = 学 ( 【2 1 ) 如果，我们把。( ) 和( t ) 看作一对正则变量，其系统的守恒能蛰为 何= 会、再c 。s 妒+ e 名，( 12 2 ) 这样方程( 1 ，1 9 ) 和( 1 2 0 ) 可以改写为如下的正则形式 o h a h 。一否石，妒。否i 。 ( - 2 a ) 利用】+ 2 = n 和觑= 一觑，可以得到势阱之间的j o s e p h s o n 隧穿 流为 j = 瓢= t n 2 - g l ：学萼：航护一n 2 ( 】2 4 ) 1 2 2 “ “ 在理论上，2 , t j j 研究了势阱之间的j o s e p h s o n 隧穿流，讨论系统的宏 观量子自囚现象在2 0 0 4 年，a l b l e z 等人在对囚禁在双势阱中的两 个弱耦合的玻色爱因斯坦凝聚体进行实验研究，发现在一个单一 的玻色j o s e p h s o n 结中的非线性自囚现象 3 0 。这为理论研究提供了 实验支持 在s m e r z i 等人所讨论的情况中，凝聚体的总粒子数n 是守恒量 而我们将会讨论系统还受到来自凝聚体外部的热云粒子补充源和三 体复合损失项的影响，不再是一个守恒量，丽是随时间变化。正 是由于两虚数项的存在，使得系统的运动有了新的特征接下来我 们将讨论三体相互作用的研究历史和现状 5 l 。3b e c 中的三体相互作用 自从在实验上观测到囚禁碱金属原子气的玻色爱因斯坦凝聚 以来，这一新物质形式引起许多理论工作者和实验工作者的广泛关 注近来，在实验中研究了磁场囚禁弱相互作用原子f 3 1 _ 3 4 。文献 中指出在一个圆柱形对称的磁阱中可形成约有2 0 0 0 个自旋极化 8 7 r 6 原子的凝聚体。大家都知道，在低的温度和密度下，原子间距 离远大于原子与原子间的相互作用距离尺度这时两体相互作用处 于一种简单形式，并且三体相互作用可以被忽略在这个情况下， 只有两体8 一波散射是很重要的在足够低的温度下，散射长度n 的 数量级远小于对应的热德布罗意波长，并且两原子间相互作用的具 体形式已不重要 实验中实现了在磁场中囚禁弱相互作用原子的b e c 3 1 一1 3 4 】，这 为理论上研究玻色凝聚体提供了大量支持原子与原子间相互作用 对凝聚态的稳定性有着决定性作用：对于正的s 一波散射长度，两体 赝势是排斥势；丽对于一个负的s 一波散射长度，赝势是吸引势具 有排斥相互作用的超冷原子经历了一个相变到一个稳定的玻色凝聚 态。如8 7 r 6 【1 ，：3 n af 2 ，3 2 】和1 h 3 4 等多个实验中都发现了这个情 况。而对于一个负的8 一波散射长度原子形成的凝聚态往往是不稳定 的( 如7 勘f 3 ，3 1 】) ，除非原子的数日足够小，以致于由在阱中的谐 约束提供的稳定力超过吸引相互作用，如文献( 3 5 ，3 7 这在7 血气体 f 3 中确实可以观测到这时，s 一波散射长度为a = 一1 4 5 士o 4 a 而处于玻色凝聚态所允许的原子数存在一个最大值这个最大值在 6 5 0 1 3 0 0 之间这与平均场理论所预言的相一致 因此，对于吸引的两体相互作用，人们广泛认为 3 5 _ f n 8 】，当凝聚 原子数大于临界原子数c 时，凝聚体是不稳定的。而在文献【3 9 ，4 0 由三体相互作用引起的排斥势的增加可以使原子数临界值c 增大 甚至对于一个很弱的三体力，凝聚体的稳定区域也会大大增加。通 过考虑可能有效的相互作用，不管s 一原子波散射长度的符号，一个 足够稀薄和冷的玻色气体都表现如相似的三体动力学 4 1 这暗示 着对于大数量的玻色子，三体排斥超越两体吸引，并在阱中将出现 一个稳定的凝聚体 4 2 如果一个原子系统表现出既有有效的吸引 6 两体相互作用又有排斥的三体相互作用的特征，对于它的稳定性就 有两种机制：( 1 ) 在低密度时，动能起作用；( 2 ) 在高密度时，排斥 的弱三体力有效这些机制表明，对于同样数目的原子，如果三体力 足够弱而不能主导有效相互作用，就能发现低密度相和高密度相。 在实验中【1 2 ，4 3 】，散射长度可以从排斥区域调节到吸引区域， 而凝聚体最终变成不稳定的，并趋于塌缩 4 4 】 4 6 】。如在文献 4 6 ，4 7 】 的情况下，具有负的8 一波散射长度的原子凝聚体是距稳定的。文 献吼 4 8 】_ 5 0 】讨论了三体复合率。人们在g p 方程中引入虚的五次方 项来描述三体复合损失f 4 6 ，【5 1 】- 【57 考虑非弹性三体复合损失和凝 聚体外部的热云粒子补充源对系统的影响，系统会出现塌缩生长 过程当两体相互作用为吸引势时，磁阱中的b e c 仍会发生凝聚现 象在这种情况下，凝聚体处于亚稳定状态，基态原子数存在一个最 大的临界值c 一邑原子数目达到c ，原子间相互吸引作用致使 凝聚体中心的密度变大，以至于非弹性碰撞占主导作用，凝聚体塌 缩，直到原子数目减少到c 以下。随着大量来凝聚的热云原子对损 失的凝聚体进行补充，使得凝聚体原子数目再增加因此，人们可观 察到凝聚体的塌缩一生长的循环过程k a g a n 等人详细讨论原子的 塌缩一生长过程f 3 8 p c o u l l e t 等人讨论了两耦合凝聚体中的l o r e n z 混沌和混沌自囚的性质【2 9 除了对两态或双阱系统的研究外，人们 还研究了三耦合凝聚体动力学中的混沌隧穿，混沌自囚，动力学不 稳定性等性质【5 2 ， 5 3 】f f l h o 等人的数值结果显示，适当改变补充 项参数导致系统进入混沌 5 4 】在激光脉冲的作用下，m u r u g m m n d a n 等人发现，系统存在长期的混沌振动f 5 5 】也有一些工作采用变分 法进行定态解的稳定性分析，得到与补充项和损失项相关的稳定性 区域 57 】然而以上的多数工作都基予数值方法，而本文将着重采 用分析方法研究三体复合对系统的影响凝聚体的损失主要是因原 子密度稠密区域的非弹性碰撞引起的，我们可以假定由于非弹性碰 撞而从磁光阱中逃逸出来的原子对凝聚体没有直接影响实际系统 存在两体重组和三体复合产生的非弹性碰撞，二者对凝聚体的作用 效果相近在本文的分析中，我们只考虑三体复合的作用，即原子的 损失主要来自非弹性三体复合一三个原子碰撞形成一个分子束缚态 和另一个原子，粒子末态的动能使得它们从磁阱中逃逸出去郾 。 从而，凝聚体的粒子数减少通常，这种非弹性三体复合损失导致 在g p 方程中包含与虚系数相乘的五次方项在本文的第二章，我 们将先考虑在双势阱中两个隧穿耦合的b e c s 受到实的三体项的影 响在s c h r s d i n g e r 方程( n l s e ) 中的非线性项( 立方，五次方等等) 都是有效相互作用在平均场近似下得到的 5 9 。原子的数目对稳定 性有很大的影响文献【6 0 1 讨论了在多种具体情况下，即使原子数 还没有达到临界值，最大的初始线性调频脉冲也能导致一个稳定的 凝聚体塌缩而我们将考虑在三体相互作用下，系统存在的混沌现 象。在第三章中，我将讨论虚的三体项，即三体复合损失 1 4 本文的主要内容 随着激光技术在玻色一爱因斯坦凝聚的研究中的广泛运用，它 已成为研究b e c 中宏观量子自囚【1 7 】，【6 1 1 、混沌 2 1 - 【2 9 】、塌缩【4 6 等有趣的现象的有用工具 在本文中，我们主要讨论b o s e e i n s t e i n 凝聚体中原子间的三体相 互作用。我们研究了双势阱中两玻色一爱因斯坦凝聚体系统在三体 相互作用下的稳定性，宏观量子自囚以及混沌特性本文共包括了 四章第一章作为绪论，简单介绍了我们对相关课题的调研情况。第 二章研究实的三体系数的情况首先，我们用线性稳定性定理分析 了相对粒子数布居的定态解的稳定性其结果表明当物理参数取某 些临界值时，定态相对粒子数布居将出现不稳定情况。并且发现系 统存在定态的宏观量子自囚最后，我们研究了在s 一波散射长度周 期变化的情况下系统的混沌行为通过计算系统的m e l n i k o v 函数， 我们得到使系统运动处于混沌的参数区域第三章研究了系统在三 体复合损失( 即虚的三体系数) 的作用下的运动特征。在吸引的相 互作用下，考虑非弹性三体复合损失和凝聚体外部的热云粒子补充 源对系统的影响，采用双模近似，我们发现，系统的稳定区域随着 三体复合损失项或者隧穿系数增大而增大通过数值计算，利用不 同的s 一波散射长度来控制，我们发现了系统许多特征，其中包括， 非定态的宏观量子自囚现象和稳定的极限环最后，我们在第四章 中对本文做了简要的总结，并对该领域前景作了些展望 8 第二章b e c s 在三体相互作用下的稳定性和混沌隧穿 2 1引言 不管是在实验上，还是在理论上，在双势阱中的两个隧穿耦合的 b e c s 都倍受关注在文献 1 5 】中，s m e r z i 等人研究了在双阱中两个 凝聚体间的量子隧穿考虑通过振动激光的位置和调节激光的强度 1 5 ，6 1 】，旋加一个含时外势项，可以让零点能b 和隧穿系数k 两个物 理量中只有一个含有时间变量近来，使用m e l n i k o v 方法，a b d u l l a e v 和k r a e n k e l 讨论了随时间变化的隧穿系数k 对系统j o s e p h s o n 效应 的影响，给出了系统出现混沌的条件如果考虑势阱不对称度e 是 含时的，运用直接微扰方法，h a i 等人揭示了系统几率密度的不可计 算性，通过数值模拟给出了非常有趣的内爆现象f 6 2 ，6 3 】。同样，运 用f e s h b a c h 共振技术，s 一波散射长度可以调节成周期变化f 6 4 ，6 5 1 。 有人研究了在s 一波散射与时间有关时凝聚体的孤子行为和稳定性 6 6 ，6 7 文献【6 8 】讨论了具有周期变化的s 一波散射长度的耦合b e c s 的宏观量子隧穿，并研究了相对粒子数布居的混沌振动考虑到两 体和三体相互作用都与s 一波散射有关f 6 9 】，三体系数也将呈周期变 化我们通过t w o - m o d e 近似来处理含三体项的g p 方程，以此为基 础来分析定态解的稳定性在第四节，我们讨论三体系数周期变化 时系统的混沌特性 2 2含三体项的t w o m o d e 方程 我们考虑在双势阱中凝聚体受到两体和三体相互作用，这时g p 方程中将有立方和五次方项6 0 ，7 0 1 ， k 2、 i 忍a 皿( t t ) = ( 一去：v 2 + k 。( t ) ) 雪( t ) + ( 9 2 i 皿( t t ) 1 2 + 9 3 i m ( f t ) 1 4 ) m ( f t ) ( 2 1 ) 这里g 。= 4 丌，l z a m 是两体相互作用强度，其中n 和m 分别表示原子 散射长度和质量三体相互作用强度g 。可以是虚的也可以是实的， 9 它与8 一波散射长度有关a 6 9 j 。在这一章中，我们只考虑实的三体相 互作用强度囚禁势。t ) 是双阱势，其中包括了谐振子项 1 6 。 为了研究双阱中b e c s 的动力学，我们寻求方程( 2 1 ) 如下形式的 解 1 5 ，【2 1 1 一 2 9 ： m ( f t ) 一妒1 ( ) 垂1 ( 力+ 锄( t ) 中2 ( 力 ( 2 2 ) 当两个凝聚体是弱耦合时，t w o - m o d e 近似很有效这就意味着空间 分布函数圣，( 砷和圣。( 砷都居于各自的阱中，它们之间的重叠部分很 少这时它们就满足正交归一化条件， 西：( 力圣j ( 习d s r = ，且t ，= 1 ，2 ( 2 3 ) 在实验上，两个阱间的势垒越高、阱中的原子数越少，t w o , m o d e 近 似就越有效将方程( 2 2 ) 代入( 2 1 ) 中，利用方程( 2 3 ) ，经过积分， 我们得到一对非线性方程， 。i h o t 妒1 = ( e 1 + 巩1 妒1 1 2 + u ； 妒1 4 ) 妒1 一k ，2 ，( 2 4 ) i h o t 妒2 = ( 易+ 巩i 咖2 1 2 + 暖l 饥| 4 ) 妒2 一k 饥，( 2 5 ) 其中置，阢， ，和职，且i = l ，2 可以表示成重叠积分形式， 甄= 蒹l v 啦1 2 + 附t h ( 2 6 ) 仉一9 2 i 吼1 4d 3 r ，( 2 7 ) = 荔元f v 圣l 审西2 i + 西l k z 西2 d 3 r ， ( 2 - 8 ) 职= 9 3 | 吼1 6 d 3 r ( 2 9 ) j 因此，当势阱k 。只与空间坐标有关时，它们是常数假定在双势 阱中，我们就能构造g a u s s i a n 波包吼( 而，并可以计算毋，u ， 和职这里局和岛表示每个凝聚体的零点能；仉和巩正比于自 相互作用能；描述凝聚体之间的隧穿系数；叫和啦指三体相互 作用能，它们正比于9 。 我们将时间重标度为【k l t h ，其中【k 】指耳的单位，这样下面 的方程( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 就是无量纲的设魄( t ) 一钥丽e x p i 0 。( ) 其 1 0 中i = 1 ，2 ，这样t 。和9 。z 就包括了与时间相关的波函数皿( f ) ， 其中i ( ) 是第i 个阱中的粒子数，o ；( t ) 是处于第i 个阱中的凝聚体 宏观量子波函数的相位。归一化条件m + = ，其中，常数a t 是 两个凝聚体总的粒子数 引入两个新的变量，相对粒子数布居z = ( 一n z ) n 和相对相 位妒= 吼一8 。，并将它们应用到方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 我们得到一组方 程， j = 一2 ( 、压二s i n 妒 岳= q + 筹堋彬) z + 譬z 2 + 2 k 志c o s 庐 2 1 0 ) 2 1 1 ) 这里，我们定义参数a ，乜，序和口为o = e 2 一e 。+ ( 巩一仉) n 2 ， 卢= ( + u i ) g 2 ，a 7 = ( 暖一叫) 2 1 2 ，和卢7 = = ( 呸+ 职) n 2 2 。在这 种情况下，总粒子数是常数值得注意的是，如果是在对称势阱 中，我们就有n 一= 0 ，该情形非零的三体参数卢7 和对应的两体 参数卢处于同等地位，这时，方程( 2 1 0 ) 一( 2 1 1 ) 就和以前s m e r z i 等人 所得到的没有三体项的方程相似了【1 5 1 然而，对于非对称势阱， 三体参数a 就是非零的，这增加了系统的复杂性和混沌特性在下 一节中，我们将研究对称势阱和非对称势阱中系统的定态解的稳定 性。 2 3系统定态解的稳定性分析 在这一节中，我们讨论定态解的稳定性系统的稳定性是应用 中对系统的一个基本要求，人们对定态的稳定性非常感兴趣。一般 来说，有两种方法研究非线性系统的稳定性：线性稳定性定理7 1 1 和l y a p u n o v 直接分析法本文中我们采用第一种方法研究系统的稳 定性。当方程( 2