（概率论与数理统计专业论文）正交小波和多分辨分析.pdf

1 前言 多分辨分析是由某个函数通过平移和伸缩生成的一列嵌套闭子空间，满足一定 的条件. 多分辨分析提供了 一种l 2 ( r ) 空间的近似方法: 任何s e l 2 ( r ) 可以用t 在这列闭子空间上的投影任意逼近. 正交小波则提供了一种l 2 ( r ) 空间的离散化 方 法: 有了 正交小波， 就有了l 2 ( r ) 空间的一组形式简单的正交基， 因此可以生成l 2 ( r ) 空间的一个正交和分解.多分辨分析和正交小波有很密切的关系:从任意多分辫分 析( v i 1 0出 发， 总 可以 构 造出 一 个 正交 小 波0( 参考 冈 ) . 这一 方法 是1 9 8 6 年 前 后由m a l l a t 和m e y e r 共同 创造的 这种方法提供了 一种理解和计算小波正交基的 途 径， 现代小波基的 构造大都 遵循这种方法. 考虑这个问 题的反面， 是否所有的正交小 波都可以通过多分辨分析得到呢? 或者说是否可以由多分辨分析构造出所有的正交 小波呢? 答案是否定的.j o u r n e ( 参考 【5 , p . 1 3 6 ) 就给出了一个不能通过多分辨分析 得到的正交小波的例子.那么正交小波满足什么条件时可以由多分辨分析或框架多 分辨分析得到， 可以 通过多 分辨分析或框架多分辨分析得到的正交小波又有什么 特 征呢? 本文以平移不变空间理论为基础研究了以上问题 本文第二节介绍多分辨分 析、 框架多分辨分析、 正交小波、s 一 基本小波、平移不变空间的概念和性质;第 三 节是主要结论， 包括( 1 ) 通 过某个函数的平移和伸缩构成的l 2 ( r ) 的r i e s z 基存在 类 似结构的双正交列的充 要条件;( 2 ) 正交小波， 特别是s 一 基本小波与多分辨分析 或 框架多 分辨分析相联系的充 要条件. 最后一节是将第三节的结论应用于两个例子. 2 预备知识 下面介绍本文中将要用到的概念和一些已有结论. 2 . 1 框架和r i e s z 基 框架概念是由d u ff i n 和s c h a e ff e r ( 1 9 5 2 ) 在研究非调和f o u r i e r 级数时引入的: 参 考 7 ) .y o u n g ( 1 9 8 0 ) 对 框 架作了 进一步研究( 参考 2 6 ) .8 0 年 代末， 由于框 架 在 小 波 理论中 的 作 用 ， 人们 再 次 对框 架产 生了 研究 兴 趣( 参 考 4 , 5 , 6 ) . 在 信号 分 解中， 当 存在过度采样、 不规则采样、 冗余或要求健壮性时， 框架提供了有用的分析 模 型( 参 考文 献 4 , 5 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 ) . 定义2 . 1 . 1可 分h i l b e r t 空问h中 的一组向量 g n : n e z 称为一个框架， 如果存在 正常数 a, b，使对任何 f gh， 下面的式子成立 a llf 112 又 l ( f , g n ) i 2 b jjf jj2 ( 2 . 1 ) 日lj，.， n e z a , b 分别称为 框架下界和框架上界. 如果a =b， 称 9 n 为紧 框架; 如果去掉序列中 任一元素后它不再是h的 框架， 称 9 . 为恰当 框架. 9 。 是h的框架，定义框架算子s如下: s : h。h: f 。又( f 。 。 ) 。 。 下面介绍框架的基本性质， 包括 h中函数关于框架的重构公式 ( 证明见文献 7 , 1 4 ) - 命题2 . 1 . 2 1 . a m s b i d ，其中a, b是框架界， 2 . s是可逆的，且b - i d s - 兰a - i d . 3 . s - g n 也是h的 框果， 框架 界为b - 和a - . 称为 9 n 的对偶框架. 4 . d f h， f = f- (f , s - 1 9 n )9 n = 艺(f , 9 n ) s - 19 n 。 h . . e z n e z 标准正交基是h i l b e r t 空间很重要的一类基， 通过标准正交基的拓扑同构映射得 到新基是获得新基的一种简便常见的方法是 这类基称为r i e s : 基， 他们构成了已知 基中 最大也是最吸引 人的 一类 基 ( 参 考文 献 2 6 , c h a p t e r l ) . 定义2 . 1 .3 b a n a c h 空j司x中的一列向童 x n : n e z 称为一组s c h a u d e r 基 ( 简称 基 ) ， 如果对任何x g x， 存在 唯一的复 数列 c n : n e z ，使得x 二l , c n x n ，右 ncz 端级数在范数意义下收敛. 序列 9 n : n e z ch称为h的r i e s z 基， 如果存在h的一组标准正交基和一 个拓扑同构葬子t: h一h使得t 9 n =h n h n e z 下面的引理介绍了框架和 r i e s : 基之间的区别和联系. 命题2 . 1 .4( 参考文献 夕 ， 2 6 , 2 刀) x n : 7 e e 科是h的 恰当 框果 g x n : 。 e j 是h的r i e s z 塞 q x n : n e j ) 既是h的框架又是h的s c h a u d e r q x 。 月既是框架又是。 一独立的，即等式 基 登c x 。 一 。 成 立 当 且 仅 当 n- 1 c“0 ( n=1 , 2 , 3 , 双正交列也是本文中将要用到的一个重要概念. 定义2 . 1 . 5双正交列: 称h i l b e r t 空间h中的两个序列 二 。 : n e j ) 和 y: n c j 为双正交列， 如果( x . , y . ) = b 7n ,n , v m , n e j . 任何h中的元x 可 被唯一的表示成 二 一 f(x , y i ) x i j =t = 艺( 二 ， x i ) y i j =1 ( 2 . 2 ) 可 见， 当 找到h i l b e r t 空间 的 一 对双正交列时， 就找到了 这个空间中 元素的 一种 简 单的表矛方法。 下面的命题告诉我们什么 样的序列存在双正交列 命 题2 . 1 . 6( 参考 文 献 阳 刃) 对 给 定的 序列 x . ) , i x . 存在双正交列 ， 。 的 充 分必 要条 件是 x , 是极小的， 即x k v -p a- - x , : 。 笋k ，h k e z 且如果 x . i 是极小且 完 备的 ，那么 y . 存在且唯一 因此h i lb e r t 空间的r i e s z 基存在唯一的双正交列. 通过某个函数的平移和伸缩张成的r i e s z 基和框架是小波理论研究的主要对象. 命题2 . 1 . 7 ，2 . 1 .8 给出这样的框架和r ie s z 基的一般性质. 命 题2 . 1 .7渗考 文 献 ( 3 , 2 7 1 ) (v)1.k : 7 , k e z ) 是l 2 ( r ) 的r i e s : 基a v) j ,k : j , k e z 的线性张成在护( r ) 中稠密，且存在正常数a , b , 0 a兰b o o ，使 a ll c j ,k ii, 0 ， 使得q j ( s ) 有正浏度， 称s 是半规则的 命 题2 . 3 . 6 s c l 2 ( r ) , s c s , s , s 都 是s / 空间 . 令s 11 为s , 在s中 的 正交 补， 那么了 也是 si 空问，且 匀 !、 一 易 、 + 毓，a .e . w 。 0 , 2 7r 本文中研究的平移不变空间主要是p s i 空间，列出p s i 空间的性质如下 命题2 . 3 . 7 0 e l 2 ( r ) ，s是由价 生成的p s i 空间，s 二s ( ) ，有下面结论: ，s ( 0 ) :一 f : f 。 s = ( r e l 2 ( r ) 2 . 如果劝 s ( (a 那么s m =s m ， . 0 n “ 成 s 勺 匡 架 ” 历 和 i 在 (0 . 1 构 成 s ” r ie s : 基 ” 子 和 岩 : 是 2 7周期的 当 且仅当s v ,p p ( 哟 c s u p p ( v) ) - a ( s ) 上 本 质 有 界淇中历 一 , j z i 在!0 , 2 司土本质有界. 伸 。 构 成s 的紧 框架。子 在s u p p ( 初上几 乎 处处 是常 数 饰, : n e2 是s的标准正交基骨o p) 0 , 2 7 r 二1 。 二 .。e 0 , 2 7r = s u p p ( ) . -4 - f- s u p p ( ) = 那么 s是规则的.否则是半规则的. nu门 续才一一 苗.份冶甲 爪甲-从wo 4 . c ( s m) .5 . 了!少、1、 一一 、.，r 田 l 口 9 :=( 0 广。r 11 伪 ( x 一 。 ) j - e z 是s 峥 ) 的紧 框架. 因 此任何p s i 空间都有通过一个函数的整平移构成的框架;任何规则的p s i 空 间都有通过一个函数的整平移构成的标准正交基. 2 . 4 正交小波和s 基本小波 定义2 . 4 . 1 v, e l 2 ( r ) ， 么k := 2 2 0i圈x 一 的 , j , k z ,( 2 . 4 ) 如果 呜 ,k : j , k c z 是l 2 ( r ) 的 标准 正交 基， 称0为正交 小波 函数 如果 也 ，* : j , k c- z 是l 2 ( r ) 的r i e s z 塞， 称v)为r -函数. s - 基本小波是一类特殊的正交小波，它的f o u r i e : 变换是特征函数 下面给出8 - 基本小波的定义和性质( 参考 2 4 ) 定 义2 .4 .2 称 可 j ,1 集e c r 为 小 波 集 ， 如 果六x e 是 一 个 小 波 函 数 的f o u r ie r 变 换.相应的这个小波函数称为。 一 基本小波. 命题2 . 4 . 3 e是小波集一e既是r的伸缩尺度为r 的一个分割的的生成元，又是 r的平移单位为2 7 r 的一个分刻的生成元，也即 e+2 k 7 r : k c z 和 2 0 e: nez ) 都是 r的分别. 3 主要结论 邻. 1 用平移不变空间理论研究框架和r i e s z 基的性质 0 e l 2 ( r ) 是r - 函 数， 那么由 命题2 . 1 .6 , 呜 ，、 在l 2 ( r ) 中 必然存在唯一的双 正交列 7 y ,k ) 、 任意函数f w l 2 ( r ) 有下面的级数展开，且展开系数唯一 f w一 又 (f , l ,k ) o j ,k ( x ) = 艺 ( f , o j ,k ) / ,k ( x ) j , k 二一 co j , k =- o o 如 果v1 3 ,* 在l 2 ( r ) 中 的 双 正 交 列 也 可 以 由 某 个函 数子 的 伸 缩 和 平 移 得 到， 也 即 存 在 研 ， 使 得云k = n j ,k ， 那 么 上 式 简 化为 f w一 l . ( f , j ,k ) 0 j , . ( y 3 为 。 了 是( t 7 ) j e j 的对偶框架. 证明: 由 命 题2 . 1 .4 , ( x j ) j e j 是h 的r i e s z 基， 那么 它既是h的 基， 又 是h 的 框架. 因为( x j ) j e j 是h的 基，由 命题2 . 1 .6 ， 它在h中 存在唯一的 双正交列， 记为 它也是 h的基. 任何f e h可被唯一地表示成: f 一 艺( f , 动x , j 任 j 因 为( x j ) j e j 是h 的 框架， 由 命题2 . 1 .2 , ( x j )j e ， 在h中 存 在对 偶框 架， 记为 ，它也是h的框架. 任何f h可被表示成: ，翻角 、.j xx r1 f 一 又( f , 动x 3 因 此( f , 毛 ) =( f , 几 ) 因 此i j 既是h的 基 再由f 的任意性， 可得2 j 又是h的框架，再由命题 = x j 2 . 1 .4 ，元是h的r ie s z 基. 通过一个函数的平移生成的框架、r i e s : 基的性质在命题2 . 1 . 7 , 2 . 1 .8 中已 有所体 现. 既然平移是这样的框架和r ie s : 基的一个基本特征、 考察它们与平移不变空间的 关系， 得到引理3 . 1 .3 、3 . 1 .4 . 引 理3 . 1 .3 如 果 呜 ，* : j , k e z 是l 2 ( r ) 的r i e s : 基 ， 令w o := sp a n 钟 。 ，、 : k g z ) ， 毗 := f e l 2 ( r ) : f ( 2 - j t ) w o ) ， 那么 o o ,k k z ) 是w e 的r i e s z 塞， 呜 ，* : k z ) 是毗 的r i e s z 塞. 证明: 对任 何 c k ) e 1 2 ( z ) ， 令c 3 ,k = c k b ( 7 , 0 ) 因 为呜 ，* 是护( 州的r ie s z 基，由 命题2 . 1 .7 ， 对所有 二重双无限平方可 和序 列 c , ,k ) ，存在常数a , b , 0 ab00，使 a ii ( c , ,k ) 1112 ! 11 又 艺 c i ,k o , ,k ll2 : b il f c j ,k l lll2 j =一 叨 k =一 co 从而 a ll ( c k ) 11异 - 11 艺 c * 劝 。 ，、 112k v ) o ,k 2 b ii c k ) ll界 又由w o 的定义， 0 0 ,k : k e z 的线性张成在 w o 中稠密.由 命题2 . 1 .7， f o o ,k : k e z 是w o 的r ie s z 基. 由 命 题2 . 1 .8 , v) j ,k : k e z ) 是毗 的 框架 又因 为 v j ,k : j , k e z ) 是l 2 ( r ) 的 r ie s z 基 ， 因 此 0 , ,k : j , k e z ) 是。 一 独 立的，自 然 b j ,k : k g z 是。 一 独 立 的. 由 命 题2 . 1 .4 ， 鸣 ，* : k z 是哄 的r ie s z 基.口 下面引理则表明:如果一个空间有这种函数的整平移生成的框架，那么它必然 是p s i 空间. 引 理3 . 1 . 4 v o 是l 2 ( r ) 的闭子空间， 如果存在一个函数功 v o 使得仲。 : 。 z 构 成u o 的框架，则u o 是p s i , u o 二s m. 其中0 . : = 0 二 一 司. 证明令t为框架算子t f = l ( f , 0 n ) ,k， 则由 命题 2 . 1 . 2 , a l d 0 ， 当n 2 n 1 n时， n2一nt ! 艺c . o j 2 ， ( 3 . 9 ) 如 果 正交 小 波v,与 - j分辫 分 析相 联系 ， 那么马 ,1 , i t,l 一 j,p j ,t 12 = 0 . 证明: 由 引 理3 .2 .3 , v o = s ( d ( 刹, j = 1 , 2 , 二 )， 如果劝 与一个多 分辨分析相联系， 由 定理3 .2 .4 ， v o 是规则的p s i 空间， o, ( v o ) = 0 , 2 1 r . 由 命题2 . 3 .4 ， 对。 .e . l e ns w o 0 , 2 1 r , =1 = e s s s u p d i m v o ll, : 。 0 , 2 7r 1 , 硫 11. 。 一 s p a n 硒 ( 2 w ) il o ) j -71 1 ) 所 以切 (2 1 w )ilw o ，杯 (2 w ) pp 。 线 性 相 关 ， j , i ip j j - ip t ,i 一 t i ,护= 0 因此 定义3 . 2 . 6一个函数如果在一个有界闭区间外处处为。 ，你这个函数有紧丈撑 夕 合l x : a x ) 0 0 称为这个函数的支撑，记为s u p p ( f ) . l e m a r i e ( 1 9 9 1 )( 参考文献 !5 ， p 1 6 4 ) 证明了 : 如果砂 ( x ) 是有紧支撑的正交小 波， 那么叻 与一个 多 分辨 分析( 巧 ， 润相联系 . 将上面的结果 应用 于有紧支 撑的 正交 小波，有下面的结论: 推论 3. 2 . 7如果劝 ( x)是有紧支撑的正交小波，那么 州刹， 。 全1 都 是vo的 生成元 : . 州丝是 几 乎 处 处 不 为。 的 2 二 周 期 函 数 . 劝 ( 2 、 ) m艺 、 ( 竺 兰 竺 上 些 、 ， 劝 ( 三 ) 、 、 ( 竺二 竺 竺劝 、 劝 ( 三 、卜 2“ 2 “ 、4” 、 4 k艺 + n 刀 =一 k， 刀 异0 几 =一m， n 荞0 . ， x一( 2 。十1 )x 、.， 气 节l ) ， 劝 万少 夕 ! 乙任 证明: (l) 因为叻与一个多分辨分析 vo二s( 哟 .任 意固 定7 全1 ， 例会 ) 2 众 7 但 ) ，州 去 ) 也 是vo的 生 成 元，j 全 ( vj ， 哟联系， 所以 vo且 s u p 刀 ( 喇去 ” 1 . vo是规则的p sl r5 1 之 尸 刀 ( 哟. 空间， 由命题 (z)喇晋 ) 是vo的 生 成 元 ，喇 奇 ) vo ， 由 命 题2 念 7 (l)知， 劝 ( 4 。 ) = 9 ( 。 ) 叻 ( 2 。 )9 ( 。 ) 是2 二 周期函数 州 引有 紧 支 撑 ， 因 此硒 (。 ) 尹 。氏 已 ， 所 以贝 。 ) 尹 。氏 已 ( 3 ) 令 a ( 。 ):=2 访 ( 2 。 ) ， 2 葫 ( 2 口 ) ; 刀 (。 ):二4 杯 (; 。 ) ， 4 访 ( 4 。 ) ; (。 )= 12 杯 ( 加) ， 4 杯 ( 4 。 ) . 由 命题2 t 3 .2 ，a ( 。 ) 二艺a ， e n 田，其中 n2 二( 劝 ( 宁 ) ， 劝 ( 眷 ) ， a 一 。=( 劝 ( 宁 ) ， 功 ( 查 ) 卜 ( 功 ( 看 ) ， 叻 ( 旱 ) ) 二 而. a z 、= ( 劝 ( 兰 子 丝 ) ， 叻 ( 舌 ) ) = 2 (砂 ( x 一 、 ) ， 劝 ( x ) ) = 2 。 ( 、 ， 0 ) 注 ( 山 ) 又劝 ( x)有紧支撑，故只有有限多个a 。 尹0 . 令k为使a 二 笋。 的最大整数，则 一 愈 劝 祥 粤 土 卫 )，、 (畜 )一 睿 而 票亘 1碑 介 一 同理 。 (。 ) 一 ; +j。 一 ， 。 一 (， (- 4 y ) n =- j , n 护0 (。 ) 一 宁c n e in . ， 其 中 c 。 一 神 ( x - 71( ) 1 0 ) ) ，c 2 k - 日 . . . 口任 由推论3 .2 .5 , a ( w ) - b ( w ) 一c ( - ) l 特别的。a ( w ) - b ( w ) 的常数项二c ( w ) 12 的常数项， 所以 s +m n =一k, n 尹0 (,b ( -x 丝 2 n 旦2 、 . 功 ( 三 1 ) (,b ( 一 兰( 2 n 土 卫 、 . 叻 ( 兰 、 卜 2一 2 “ 4” 4 n 二一 m, n 56 0 1(,b ( x - (2 n + 业 ) 76 ( 三 2 4 日 z a lik ( 参 考 1 6 ) 给出 了 通 过 正交 小 波7p的f o u r ie r 变 换判 断它 是 否与 多 分辨 分析 相联系的充分条件. 下面用不同与z a l i k 的方法证明这一结论， 并同时给出正交小波 0与框架多分辨分析相联系的充分条件. 定理3 . 2 . 8功是正交小波， r ( w ):= 1 o ( 2 w ) , 0 ( 2 w ) l l k c 2 l ( 2 w 1 z +4 k 7 r ) 1 2 如果存在 2 7 r 周期函数9 ( 叫 ，使得 劝 ( 4 w ) =9 ( w ) 叻 ( 2 w ) a x( 3 . 1 0 ) 那么 如果r ( w ) 0 a . e . w e 10 , 2 司，则0与一个多分辫分析相联系 . ( 0 ( - - k ) ) m e z是这个多分辨分析的u 0 的标准正交基.否则v)与一个框架多分辫分析相联 系 、( 叫 二 一 k ) ) k e z是这个框架多分辫分析的u o 的框架， 其中 的q5 = ( 初 v , 0 ( - ) r ( u) ) 尹0 : ( 。 ) =0 山一习 乱一田 产势-了 证 明:毗， v i 定 义 如 式( 3 .7 ) , ( 3 .8 ) 如 果访 ( 4 w ) 二 ， (。 ) 访 ( 2 w ) ， 由 命 题2 .3 .7 ( 1 ) ， v) 蜡 ) 。 s 神 ( 香 ) ， 因 此s ( v) ( 奇 ) ) c s 忡 ( 香 ) . 又w _ 2 s ( v) ( 釜 ) ) ， 所以w - 2 c s ( v) ( 麦 ) ) 由 式( 3 .1 0 ) ， 当， 3 时 ， 访 ( 2 c.; ) 一 。 ( 2 i - 2 w ) v) ( 2 ， 一 。 ) ， ， 9 ( 2 i - 2 w ) 是务 (， 3 ) 周期函数，自然是2 二 周期函数与上面类似有， w _ i s ( (2 3 ) 二 s (v) (病)， c 二 s (?p (毒 )， : 3 而v o = 过 _ - w 。因 此 v o : s (v) ( 香 )， 又由 引理3 .2 .3 , v o 是si空间， 且喇丢 ) e v o ， 所以 s m要 ) ) v o . 乙 因此 v o =s 帅( 晋 ) ) s u p p ( r ( w ) ) =0 , 2 7 r 时， 系;当 u p p ( r ( 。 ) ) 是0 , 析( v i , o ) 相 联系. v o 是p s i 空 间 .例香 ) 是生 产 元 由 命 题2 .3 .7 可 知， 当 i o n 构 成v o 的 标 准正 交基 ，vg 与 多 分辨 分 析( 巧 ， 0 ) 相 联 2 司的子集时， o n 构成v o 的紧框架，v)与框架多分辨分 用平移不变空间理论研究 s 一 基本小波与 框架) 多分辨分析相联系的充要条 件 3 . 3 . 1 v)是 、 一 基本小波， u o 如式 ( 3 . 8 ) 定义 3里 3l 价bj二气1 (s1lj , (w ) :一 又i ( 2 1 (w + 2 k , ) ) 1 侧 o , : =s i 1p p ( ,d i ) , 1 =1 , 2 , u o 是p s ! 空间的充分必要条 件是o , 互不相交，i 证明 :先证必要条件. 用反证法. 由引理3 .2 .3 使 得v j , 门 a j 2 的 测 度 不为。 因此存在无 。 ， 使得 ， 例 剔， ， 一 i , 2 , 是v o 的 生 成 元 如 果 存 在7 1 , 7 2 ， ， 那么对于。 o e ( 0 o , f l 0 7 2 ) j , ( w o ) 0 , id j z ( w o ) 0 杯 ( 2 n ( w o + 2 k 。 二 ) ) 一了 泛 牙 疥 ( 2 r , w o + 2 j 2 k 。 二 ) ) 一、 27r + w是， 一 基 本 小 波 ， 由 命 题2 .4 .3 , (w ) 的 支 撑e 与0 , 2 1rl 模 2 二 同 余 ， 因 此 v, ( 2w o +2 k 7 r ) ) 二0 , k 7 2 k o ， 从而 v) ( 2 1 , ( w o + 2 k 7 r ) ) =o , k j k o 所以 中 j , ( w o ) = 同理 。 ， 2 ( 。 。 ) = 又由 命 题2 .4 .3 , e 的以2 为 尺 度的 伸 缩是r的 分 割 ， 所以杯 ( 2 ( w o + 2 k i r ”和 疥 ( 2 -72 ( w o + 2 * 二 ) ) 不 同 时 不 为 零 ， 有硒 ( 2(w o + 2 、 二 ) ) 硒 ( 2 3 2 (w o + 2 、 二 ) ) = 0 ， 因 此 o 笋 o 山 .口. 0 ( 2 山 ) ， ( 2 j s w ) , ( 2 j , w ) ) ( 2 j , w ) ) 砂 ( 2 w ) , 劝 ( 2 7 2 w ) ) v) ( 2 1 z w ) , 势 ( 2 1 2 w ) ) 所 以硒 ( 2 3 , w ) 11. 。 和访 ( 2 3 z w ) p 。 线 性 无 关 由 命题2 .3 .4 , l e n ( v o ) = e s s s u p d i m ( 角lw ) ? 2 , v o 不 是p s i 空 间 ，v o 不 能由 单个函数的平移和伸缩张成， 所以v) 不可能与m r a或f m r a相联系. 下面证明充分条件. 由 上 面 的 证 明 可 知 ， 如 果o j , j 1 互 不 相 交 ， 那 么l e u ( v p ) 一 。 s s s u p d i m函。 ) - 1 ，因此 巧是 p s i . 日 由引理3 .3 . 1 ， 容易得到s 一 基本小波与多分辨分析或框架多分辨分析相联系的充 分必要条件. . . . . . . . . . . . . . 定理3 . 3 . 2喇幻是s - 塞本小波，w o , v o 定义如式留 . 刀 ， 降司，。 ， ( 叫， a i 定义知式 ( 3 . 1 习 ， 归 . 1 到，砂 与f m r a 相联来 的充 分 必要条 件是o j , j = 1 , 2 , - - - 互不 相交 ;叻与 m r a 相 联系 的充 分 必 要条 件是a j , j = 1 , 2 , 互 不 相交 ， 且u j - 1 a j = 0 , 2 朴 证明先证充分条件. 如果a j , 7 二 1 , 2 , 互 不相交， 由 引 理3 .3 . 1 , v o 是p s i 空间. 由 命题2 .3 .7 ， 任 何p s i 都存 在紧 框架神 。 . 因 此v) 与框 架多分辨分析( 巧 ， 哟相联系. 又由 引 理3 .2 .3 , 识奋 ) , j = 1 , 2 , . . . 是v o 的 生 成元 ， 所以 此平 移 不 变 空 间 的 频 谱 v ( v o ) 一日s u p p ( d j (w ) ) =u - j i 全1 i 之1 如果 题 2 . 3 . 7 ， 百 。 。( 。 ; (。 ” 一 口 , 2 7r , r 1 a ( v o ) 一 扣 2 1rl , v o 是 规 则 的 p s ， 空 间 由 命 夕 =1 v o 存在标准正交基伸。 .这时v) 与多分辨分析( v i , (p ) 相联系 下面证明必要条件. 如果劝与框架多分辨分析， 则由定理3 . 2 .4 , v o 是p s i 空间， 再由引理 3 u p p ( m, 9 规则的p s i = 1 , 2 , 互不相交.如果劝与多分辨分析相联系，由定理 3 .2 .4 空 间 ， 即a ( v o ) = o , 2 7r . 从充 分条 件的 证明 可知铸 1 a j 二 a ( v o ) 3 . 3 . 1 知 v o 是 4 例子 一 h a r r 小 波lp = x fo , 盖 ) 一 x 告 ， 1 ) - v) ( - ) 有紧 支撑 ， 且o , ,* 是l 2 ( r ) 的 标 准 正交 基， 因 此v) 与 一 个多 分辨 分析( 姚初相 联系. 其中巧二 sp a n 呜 、* : k e z , o = 双 0 , 1 1 由 推 论3 .2 .7 的( 1 ) v) ( 晋 ) , vg ( 奇 ) ， 都 是u 0 的 生 成 元 下面验证推论3 .2 . 7 的( 2 ) ( 3 ) (2 )v) (. ) 一it ew _ 2 e t4 . 2 = ( z -v , ) 2 e , z w一, - , au 是几乎处处不为。 的2 二周期函数 ( 3 ) 0 ( 2 - ) , v) ( 2 - ) f =2 一 e 一 。 一 ， 研 ( 4 w ) , 疥 ( 4 w ) = 4 + e -一 e 2 一 e 3 w + ( e - “一 。 一 2 ,., 一 e - 0 w ) . (2 w ) , ( 4 w ) = 2 e - 一 。 i3 u 一 。 一 ，、 . 访 ( 2 w ) , 研 ( 2 w ) 疥 ( 4 w ) , 访 ( ; 。 ) 一 杯 ( 2 w ) , 疥 ( 4 w ) 12 = 0 . 二.j o u r n e 参 考 5 , p . 1 3 6 ) 给出 了 一个不与多分辨 分析相联系的正 交小波的 例 子.下面用本文第三节的结论考察这个例子 (w ) 一 六x e , e 一 卜271 ， - 4 7r ) u 一 ” ， 一 47 ) u !7 - , - ) u 4 - , 32- 1 ) . 这4 段区间分别记为e l , 场， 场， 凡， e=u 尽 因 为e l u 4 e 2 u 4 e 3 u e 4 = !一 竿， 一 粤) u 粤， 竿) ， 因 此e 是r 0 的 伸 缩 尺 度为2 的一个分割的的生成元; 又 因为 e i 十 6 7 r , 场十 2 7 r , 凡， 凡一 4 1 r i 是0 , 2 7 r ) 的一个分割， 因 此e是r的 平 移单位为2 二的一个分割的生成元. 由 命题2 .4 .3 , e 是小波集，叻 是。 一 基本小波. e k 访 ( 。 + 2 、 二 ) (， 0 = 。 = 0 , 2 7 r ) . e , (w + 4 k ir) 12 0 = ;. w 一 27 , 4 ,r ) u 3 ,r , 4 * ) u 4, , ) u 0 , a7 ) . o ， 一 s u p p ( d i ) 一 、 : 、 i (2 w + 4 k v ) i2 0 ) = f , 2 1r ) u f2 , 攀) u f 夸 , 2 ) u0, 2; ) - e k 1 ( - + 8 “ 二 ) 12 0 = - w = 粤, 4 - ) u (7 7r , 粤) u 11 7 - ， 二 ) u 4 7r , 粤) . u 2 一 s v pp ( n ) = 。 : * j (4 w + 8 k 7r) 12 0 ) = f， 二 ) o f警 ， 平) u f; , 4 ) u 二 ， 8= )7 。 ; u c 2 二 夸 ， 平) u f ; , 4 ) 54 m . 由 定 理3 . 3 .2 , ip不可能由多 分辨分析或框架多分辨分析得到. 参考文献 1 y . m e y e r , w a v e l e t s : a l g o r i t h m s a n d a p p l i c a t i o n s , ( t r a n s l a t e d a n d r e v i s e d b y r o b e r t d . r y a n ) , s i a m, p h i l a d e l p h i a , 1 9 9 3 . 2 s . m a l l a t , m u l t i r e s o l u t i o n a p p r o x i m a t i o n a n d w a v e l e t s , t r a n s . a m e r . m a t h . s o c . , 3 1 5 ( 1 9 8 9 ) , p p . 6 7 - 8 9 . 3 c . k . c h u i , a n i n t r o d u c t i o n t o w a v e l e t s , a c a d e m i c p r e s s , b o s t o n , 1 9 9 2 . 4 i .d a u b e c h i e s , t h e w a v e l e t t r a n s f o r m , t i m e - f r e q u r e n c y l o c al i z a t i o n a n d s i g n al a n al y s i s , i e e e t r a n s . 1 1 小 二. t h e o r y . , 3 6 ( 5 ) ( 1 9 9 0 ) , p p .9 6 1 - 1 0 0 5 . 5 i .d a u b e c h i e s , t e n l e c t u r e s o n w a v e l e t s , s i a m, p h i a l d e l p h i a , 1 9 9 2 . 6 i . d a u b e c h i e s , a .g r o s s m a n n , a n d y . m e y e r , p a i n l e s s n o n o r t h o g o n al e x p a n s i o n s , j . ma t h . p h y s . , 2 7 ( 5 ) ( 1 9 8 6 ) , p p . 1 2 7 1 - 1 2 8 3 . 7 r .j . d u ff i n a n d a . c . s c h a e ff e r , a c l a s s o f n o n h a r m o n i c f o u r i e r s e r i e s , t r a n s . a m e r . m a t h . s o c 7 2 ( 1 9 5 2 ) , p p .3 4 1 - 3 6 6 . 8 c .d e b o o r , r .a .d e v o r e , a n d a .r o n , o n t h e c o n s t r u c t io n o f m u lt iv a r i a t e ( p r e ) w a v e le t s , c o n s t r . a p p r o x . , 9 ( 1 9 9 3 ) , p p . 1 2 3 - 1 6 6 . 9 c .d e b o o r , r .a .d e v o r e , a n d a .r o n , a p p r o x im a t io n f r o m s h i ft - in v a r ia n t s u b s p a c e s o f l 2 ( r 0 ) , t r a n s . a m e r . m a t h . s o c . , 3 4 1 ( 1 9 9 4 ) , p p . 7 8 7 - 8 0 6 . 1 0 c .d e b o o