（理论物理专业论文）chernsimons理论的分数自旋和分数统计性质研究.pdf

摘要 含c h e m s i m o n s ( c s ) 项的系统一直是人们研究地兴趣，特别是( 2 + 1 ) 维的c s 理论提 供一个描述分数自旋和分数统计性质的理论，在分数量子霍尔效应乃至高温超导中有着重 要的应用。本文首先简要的介绍了约束h a m i l t o n 系统基本理论和约束h a m i l t o n 系统的几 种量子化方案，并着重介绍f a d d c e v s c n j a n o v i c 量子化方法。其次，介绍了该系统在相空 间中的正则对称性，给出了高阶微商奇异l a g r a n g e 量系统的经典和量子正则对称性，得 出量子n o e t h e r 定理，给出高阶微商系统的量子守恒荷。最后，研究c h e m s i m o n s 理论的 分数自旋和分数统计性质，通过前面的介绍的预备知识，讨论含c h c m s i m o n s 项的 j a c k i w - j o h n s o n 模型的分数自旋和分数统计性质，着重研究了高阶微商系统中 c h e m s i m o n s 理论在量子水平下的分数自旋和分数统计性质，采用f a d d c c v s e n j a n o v i c 路 径积分量子化方法对高阶微商系统中含有h o p f 项和m a x w e l i - c h e m s i m o n s 项的( 2 + 1 ) 维仪3 ) 非线性盯模型进行量子化，讨论量子对称性。由量子n e o t h e r 定理给出量子守恒角 动量，严格在量子水平下说明该模型具有分数自旋和分数统计性质，并讨论了高阶微商项 的影响。 关键词：约束h a m i l t o n 系统，f s 路径积分量子化，高阶微商理论，c h e m s i m o n s 理 论，分数自旋 a b s t r a c t t h e r ei sa l li n t e r e s ti ns e a r c h i n gf o rd y n a m i c a ls y s t e mw i t hc h e m s i m o n st e r m ，e s p e c i a l l y , ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lg a u g et h e o r i e sw i t hc h e m - s i m o n s ( c s ) t e r m sl e a dt ot h eo c c l l 玎c n c eo f f r a c t i o n a ls p i na n ds t a t i s t i c s i ts h o w si m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ew h i l ee x p l a i n i n gt h eq u a n t u mh a l l e f f e c ta n dh i g h 一石s u p e r c o n d u c t i v i t y i nt h i sp a p e rw ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n s t r a i n e dh a m i l t o n s y s t e m sb r i e f l y , a n dg i v es e v e r a lk i n d so f t h eq u a n t i z a t i o ns c h e m e ，w ee x a m i n ei nd e t a i lt h er u l e o ff a d d e e v s e n j a n o v i cp a t hi n t e g r a lq u a n t i z a t i o n s e c o n d , t h es y m m e t r i e so ft h ec o n s t r a i n e d h a m i l t o ns y s t e ma r cf u r t h e ri n t r o d u c e d , n o e t h e rt h e o r e ma r ep r e s e n t e d w ed i s c u s st h ec l a s s i c a l a n dq u a t u mc a n o n i c a ls y m m e t r i e sf o ras y s t e mw i t hh i g h e r - o r d e rd e r i v a t i v e s , n e o t h e rt h e o r e m a n dt h eq u a n t a lc o n s e r v e dc h a r g ea r eo b t a i n e d f i n a l l y , w es t u d yt h ep r o p e r t yo ff a c t i o n a ls p i n a n df r a c t i o n a ls t a t i s t i c sf o rt h ec o n s w a i n e dh a m i l t o ns y s t e mw i t hc st e r m f o l l o w i n gt h e f u n d a m e n t a lt h e o r i e so fc o n s t r a i n e ds y s t e m , t h ep r o p e r t yo ff r a c t i o n a ls p i no fj a c k i w - j o h n s o n m o d e lw i t hc st e r mi n 维d ( 3 ) 非线性o r 模型进行量子化，讨论量子对称性。由量子n o e t h e r 定理给出量子守恒角 动量严格在量子水平下说明该模型具有分数自旋和分数统计性质，并讨论了高阶微商项 的影响。 6 第二章约束h a m i l t o n 系统理论 用奇异l a g r a n g e 量描述的系统( 奇异系统) ，在相空间描述时，其正则变量间必存在固 有约束，为约束h a m i l t o n 系统。所有的规范理论，包括描述自然界四种相互作用的量子 电动力学( q e d ) 、量子昧动力学( q f d ) 、量子色动力学( q c d ) 引力理论( g r ) 等，均为约束 h a m i l t o n 系统。约束h a m i l t o n 系统的基本理论，在理论物理中，特别是现代量子场论中 占有重要地位。众多的物理系统在相空问描述时，其正则变量间存在约束，例如，相对论 性粒子满足。质壳”条件。电磁学和杨m i l l s 场论中的g a u s s 约束、广义相对论中的超 h a m i l t o n 量和超动量约束、弦理论中的v i r a s o r 条件等。动力学系统的量子理论( 无论是正 则量子化还是路径积分量子化) ，均是通过相空间中的正则变量来实现的。当正则变量问 存在约束时，量子理论中出现的新问题，一直为国内外研究者所关注，特别是非a b e l 规 范理论的发展，处理其中的约束，己成为规范理论的核心问题之一。 本章系统地介绍了约束h a m i l t o n 系统的基本理论，对d i r a c 猜想和规范的生成元进行 了简要的介绍。 2 1 约束h a m i l t o n 系统 本节简单阐述了约束h a m i l t o n 系统的d i r a c 理论，阐明了初级约束，次级约束，第一 类约束和第二类约束和d i r a c 括号的意义。 设描述场的l a g r a n g e 量密度为髟( 矿，线) o = ( f ，j ) ，口= i ，2 ，3 ，功来描述，矿( 功为 描写场运动的场量，口为场量矿( 工) 的分量指标。平坦时空度规为岛，= d i a g ( ! ，一i 一l ，一1 ) ， 其中虻= 丸矿= 刍缈4 。场的舯g e 量为 三( 矿，痧。) = p ( 矿，蝾) ( 2 1 ) 场量矿( 曲相对应的正则共轭动量 6 la 舅 乃2 矿5 万 ( 2 2 ) 正则h a m i l t o n 量 毽( 矿，) = j 矿彬= j d 3 x l n ( x ) o , ( x ) 一影( 列i ( 2 3 ) rr 由最小作用原理，可得场的e u l a r - l a g r a n g e 方程 7 等咆( a - 砌t 歹) = 。 c 4 ) 引入h e s s 矩阵的矩阵元 = 丽8 2 l = 岳 ( 2 5 ) 则e u l a r - l a g r a n g e 方程又可写为 碥= 孑一南妃一杀彰 ( 2 6 ) 重复指标代表求和，希腊字母从。到3 ，拉丁字母从1 到3 。当d e t l i o 时，h e 嚣矩阵 是非退化的，能解出所有的磕作为( 矿，妃，钙) 的函数，此时l a g r a n g e 量是正规的。由正 规l a 舯n g c 量描述的系统简称为正规系统。当d 叫l - o 时，h e s s 矩阵是退化的。由( 2 6 ) 式不能解出所有的编作为矿，蟛和的函数。此时l a g r a n g e 量是奇异的，所描述的系 统简称奇异系统。在相空间描述，对奇异l a g r a n g e 量由( 2 2 ) 式不能解出所有矿作为矿和 的函数。此时相空间中正则变量旷和之间不独立，它们之间存在约束。由奇异 l a g r a n g e 量描述的系统称为约束h a m i l t o n 系统。 h e s s 矩阵为n 阶矩阵，设它的秩为r ，那么正则变量间存在n r 个约束条件，即 记( 矿，) o ( 口= l ，2 3 ，n - r )( 2 7 ) 并称这些约束为初级约束。其中“”表示d i r a c 理论中的“弱等”，代表等式在约束超曲 面上成立 考虑在正则作用量矿( 曲和( 工) 变分下，正则h a m i l t o n 量( 2 3 ) 的变更和 e u l a r - l a g r a n g e 方程( 2 4 ) 式，有： 。 胁( 产薏) 纯+ ( 吒+ 却1 = 。 ( 2 8 ) 对于奇异l a g r a n g c 量系统，在相空间存在约束关系( 2 7 ) 式，因而正则变量的变分彼此不独 立而有 筹瓴+ 筹砂。 ( 2 9 ) o a 。o 节 引入l a g r a n g c 乘子名。( ，i ) ，利用乘子法则，r h ( 2 8 ) 和( 2 9 ) 式，可得约束h a m i l t o n 系统的 正则方程 矿：譬：辟) 魄 ( 2 1 0 ) 吃：一磐：k ，r ， 2 ( 2 1 1 ) 一铲2 忆 ， 其中坼= p 3 “+ 五4 刃) 为总h a m i l t o n ， ， 代表p o i s s o n 括号 f ，g ；= d 3 ， j ；丽& f j 丽6 g j ；j & 丽f j ；丽s g ( 2 i2 ) f h ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 式，相空间的函数以矿，) 随时间的演化为 瓢 f = 只珥 ( 2 1 3 ) 对于奇异系统，系统的运动应始终保持在由约束决定的相空间中的超曲面m 上，描述系 统的h a m i l t o n 正则方程和e l 方程的等价性要求约束随时间的演化是稳定的( 自洽性条 件) 匐= 钟，珥 - - 0( 2 1 4 ) 将初级约束和运动方程c 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 式结合，由初级约束的自洽性条件可给出新的次级约 束 尤( g ，内= 刃，珥) o ( 2 1 5 ) 次级约束同样满足自洽性条件，重复上面步骤，逐次求得的次级约束记为 衫( g ，力= 露，珥 o 。( 七= l ，2 ，3 ，肌)( 2 1 6 ) 直至卯适合 疗“= 艿，珥 = 哎群( 七m )( 2 1 7 ) 为止。这就是求奇异l a g r a n g e 量系统约束的d i r a c b e r g m a n n 的算法。将全部独立的约束 ( 包括初级约束彰和次级约束彬) 记为 叱( 9 4 ，) 0 ( 口= l ，2 ，3 ，) ( 2 1 8 ) 按照d i r a c 的处理，可定义第一类量和第二类量。一个与所有约束构成的p o i s s o n 括号都 弱等于0 的量称为第一类的，否则为第二类的。这样可将约束d ) o 分为两类，如果它既是 一个约束又是第一类量的就称为第一类约束，记为a 。， l a 。，q 口 0 2 1 9 ， 否则，称为第二类约束。第二类约束谚满足 d e t 0 , ，q l o ( 2 2 0 ) 将约束分为第一类约束和第二类约束，可把力学量随时问的演化( 2 1 3 ) 式化为另外的形式， 亦可将系统的运动方程写为另一种形式。通过d i r a c 括号把约束h a m i l t o n 系统的经典运动 方程表达的更简洁。在系统的量子化中，d i r a c 括号占有重要地位。对该系统从经典理论 过渡到量子理论是通过d i r a c 括号来实现的。 相空间正则变量的函数f 随时间的演化方程( 2 1 3 ) f i t 写为 警 ，珥) = 只皿+ l 扩以4 尤0 ) f ，4 + 工扩n 6 f , a b + 工d 3 以 只够 ( 2 - 2 1 ) 按约束的自洽性条件分别用于第一类约束和第二类约束，就有 百d a o h a o ( 2 2 2 ) 丝d t 修，皿 + id 3 x 2 q ，嘭 o ( 2 2 3 ) ( 2 2 2 ) 式中不含与初级第一类约束相联系的l a g r a n g e 乘子矿( f ) ，这表明此乘子是不确定 的。未确定的乘子数目等于初级第一类约束的数目。 定义矩阵元 勺( ，j ，夕) = 包( 工) ，哆( j ，) ) j o ：， ( 2 2 4 ) 则( 2 2 3 ) 式变为 色，h a + d 3 x c # ( t ，j ，力五7 0 ，夕) o ( 2 2 5 ) 由方程( 2 2 5 ) 式求解五( 对= 五( f ，贾) 的问题归结为求矩阵c = 【】的逆矩阵c 一，设c _ 的矩阵 元为巧( f ，j ，夕) ，则 p 3 嘞( f ，i ，乏巧1 ( f ，三，7 ) = 岛联j y ) ( 2 2 6 ) 利用c 的逆矩阵也可定义场论中的d i r a c 括号。设f ( f ，i )g ( t ，i ) 是由矿( f ，i ) 、o ，j ) 及 其空间微商构成的泛函，它们之间的d i r a c 括号定义为 f ( ，i ) ，g ( t ，j ) ) 。= f ( f ，i ) ，g ( t ，f ) ) 一d y d 3 z f ( t ，i ) ，2 ( ，夕) ) g 1 ( f ，只乏) 已( ，乞) g ( ，即l ( 2 2 7 ) 式中 ， 代表p o i s s o n 括号。由( 2 2 5 ) 得 f ( f ，j ) q ( ，f ) ) d = o ( 2 2 8 ) 郾在d i r a c 括号下可以把第二类约束条件视为强方程。当f 是第一类量时，f 和g 之间的 d i r a c 括号弱等于通常的p o i s s o n 括号。 2 2d i r a c 猜想 约束系统的d i r a c 理论在现代场论中占重要地位应用此理论，规范场和引力场等非 线性场论量子化中出现的中心问题已基本解决。这个理论不仅适用于c 一数系统( b o s e 场) ， 而且还可以推广到g r a s s m a n n 数系统( f e r m i 场) 。然而，尽管约束系统的d i r a c 理论有了相 当发展，但是这个理论中的若干基本问题至今仍在不断地讨论，其中之一就是d i r a c 猜想。 d i r a c 猜想是1 9 6 4 年d i r a c 在纽约y e s h i v a 大学傲演讲时提出的，其基本思想为所有 第一类( 初级和次级) 约束均可作为正则规范变换的生成元，它们生成的变换不影响物理态。 其推导过程如下： 首先考虑约束的自洽性方程对l a g r a n g e 乘子的限制。设系统的初级约束为 啦( 办g ) o ( o r = 1 ，2 ，3 ，n - r ) ，次级约束为巾p ( ，g ) o ( p = l 2 ，3 ，聊。所有约束一 起记为 = ( ：，巾：) ，( g ，p ) o ( ，= l ，2 ，3 ，刀一足+ 忉。由约束的自洽性条件有 甲j ，虬 + 矿p v j , 中： = o ( 2 2 9 ) 上式中指标歹取那些不至于使( 2 ，2 9 ) 式恰为约束方程的情形，这样( 2 2 9 ) 式就是一组系数五4 应满足的方程，此方程组可看作是关于r 的非齐次方程组，其通解为 a 。= x 。( g ，p ) + 毒o ) 巧( 口，p ) ( 2 3 0 ) 其中石8 ( g ，p ) 是q 3 0 ) 式的特解，p ( 鼋，p ) 是( 2 3 0 ) 式所对应的齐次方程的通解，即 鬈( 甲，啦) = o 。将( 2 3 0 ) 式代入总h a m i l t o nih r ，则 h r = 已+ 3 a q ) ：= h + f 。m 。， ( 2 3 1 ) 其中 h = h c + 石4 啦 西。= 巧啦 可以证明，h 和中一均为第一类，并且。为初级第一类约束的线性组合。这样总h a m i l t o n l l 量就由第一类h a m i l t o n 量日和第一类约束一给出。 设任意力学量h g ，p ) 在，= g e 时初值为e ，经过时间研后到f 时刻，其值为 ，( f ) = r + p a t = y o + ( 凡h ) + 孝4 。 只一，) ( 2 3 2 ) 式中毒矿完全任意，孝一值的不同取值，可得到不同的户( ，) ，两者之差为 f p ) = 巧f ( 孝曩一尹) f ，面一 = 一 f ，m 一 ( 2 3 3 ) 其中s 。= 厨侍。一尹) ，即是说，选取不同的手。，相对于f ( f ) 和乒( ，) 之间进行了一个无穷 小正则变换。由此可见，初级第一类约束m 。是无穷小正则变换的生成元，它们导致了正 则变量譬和p 的改变，但这种改变不影响物理态。 考虑相继进行两个正则变换，现做一个生成元占一9 。，的正则变换，然后再做一个生成 元吒二的正则变换，最后得到 乒= 只+ 占一 f ，钆 + 口口， 届+ g 一 f ， ，巾， + 伙，) + o ( p 2 ) ( 2 3 4 ) 现将上式两个生成元的变换次序反过来，则可得到 乒= 磊+ 伊，叱 + e 一 瓦+ f ，吣 ，辔口， + 伙2 ) + d ( 国2 ) ( 2 3 5 ) 由( 2 3 4 ) ，( 2 3 5 ) 式之差，并利用p o i s , s o n 括号的j a e o b i 恒等式，可得 f = 占f 国， f ，( 西一，q 。 ) ( 2 3 6 ) 可见， ，中，也可作为无穷小正则变换的生成元，它所生成的变换不影响物理态。约 束吼是第一类的，而两个第一类量的p o i s s o n 括号也为第一类量。因此， 妒，巾矿) 为第 一类约束，此第一类约束不仅可以是初级第一类约束，也可以是次级第一类约束。a ( 2 3 6 ) 式可以推测，所有第一类( 初级和次级) 约束均可作为正则变换的生成元，它们生成的变换 不影响物理态，这就是著名的d i r a c 猜想。当系统不含第二类约束时，可以证明，所有第 一类约束( 初级和次级) 均为正则( 规范) 变换独立的生成元，它们既不改变系统的状态，也 不影响规范不变的量。如果d i r a c 猜想成立，那么个具有初级第一类约束畔0 ( 七= l ，2 3 ，k ) 和次级第一类约束厶o ( m = l ，2 3 ，m ) 系统，其运动方程应由扩展 h a m i l t o n 量h ，导出， 1 2 h e = h c + 对畦+ 矿z | ( 2 3 7 ) 式中和。分别为l a g r a n g e 乘子。 自d i r a c 猜想提出以来，对约束h a m i l t o n 系统的研究已经取得了重大进展，尤其在应 用方面。基于d i r a c 猜想，人们提出了f a d d e e v s e n j a n o v i c ，b f v 等量子化方案，所有这些， 都是基于d i r a c 猜想正确的基础上的。尽管如此，长期以来对d i r a c 猜想一直有争议，一 些反例也己给出。其中一些人指出，正确区分运动方程解的规范变换和相空间中点的规范 变换，有可能澄清d i r a c 猜想的有效性。所有这些争议均是基于考察由以导出的运动方 程不严格等价于对应的l a g r a n g e 方程。近来，对已给出的若干反例，重新做了讨论，并 指出c a w l c y 等人的反例不是真正的反例，因为他们采用了将约束线性化的步骤，从而导 致了强等和弱等概念的混淆。因为z = 0 必有z 2 0 ，故z 2 o 不能简单地认为z = 0 。 基于约束h a m i l t o n 系统在相空间中的对称性质，并考察由扩展h a m i l t o n 量经由正则 形式的n o e t h e r 第一定理导致的守恒量是否等价于l a g r a n g e 体制下经由位形空间中 n o e t h e r 第一定理导致的守恒量，己给出了新的反例。说明d i r a c 猜想失效，而此时并未将 约束线性化。 对d i r a c 猜想的讨论，也可以从约束h a m i l t o n 系统的p o i n c a r 6 - c a r t a n ( p c ) 积分不变量 着手。已经证明，对约束h a m i l t o n 系统，存在p c 积分不变量与d i r a c 猜想有效，两者是 等价的。因此，对约束h a m i l t o n 系统，p c 积分不变量是否存在并且所有由日，决定的正 则方程能否由p c 积分不变量导出，可以作为d i r a c 猜想是否有效的一个判别准则。如果 在给定情形中，p c 积分不变量不存在，或者该不变量虽然存在，但由日，确定的所有正则 方程不毹完全由该p c 积分不变量导出，那么在此情形下中d i r a c 猜想失效。 2 3 规范变换的生成元 当约束h a m i l t o n 系统的所有第一类约束给出后，按d i m c 的处理，这些第一类约束的 线性组合可构成系统规范变换的生成元，将其应用于杨一m i l l s 理论，需要人为地调整线性 组合的系数，使其与l a g r a n g e 形式的杨一m i l l s 势的规范变换一致，这表明：出现在由第一 类约束线性组合而得到的规范生成元中的组合系数不能是任意的。此后，c a s t e l l a n i ，c o s t a , s a i t o , g a i v a o 和b o e c h a t 等都分别对此问题进行了讨论，但g a l v a o 和b o e c h a t 的讨论是欠 充分的 1 3 从规范生成元所产生的规范变换后的“轨线”与变换前的“轨线”适合同样的运动方 程出发，可以德到规范生成元应满足的一个充要条件，从而可求出系统规变换的生成元。 有限自由度奇异l a g r a n g e 量的动力学系统，在相空间中的演化用正则变量 仃，死) o = l 2 ，3 ，以) 来描述。由于l a g r a n g e 量的奇异性，在相空间描述该系统时正刚 变量问存在约束。假设所有约束均为第一类约束，系统的动力学方程由( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 式给出。 设无穷小规范变换为 彳8 ( ，) = 允“o ) + 研4 0 ) 矿( f ) = q j ( f ) + 两( f ) 历4 ( f ) = 只( f ) 十融( f ) ( 2 3 8 ) 假设变换前的“轨线”与变换后的“轨线”均满足同样的正则方程( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 式。对变 换后的“轨线”方程关于小量却1 ，两。，艿b ，艿a 和觑。展开，并利用方程( 2 i o ) ，( 2 1 1 ) 式准确到一级小量，得 班蔫矾器峨仲删， 咖一籍弘器啊( m 删) 譬州+ 譬豫：o ( m o d 噼) 叼。吼 其中啦= o ( m o d ：) 代表在初级约束所确定的超曲面上，等式啦= o 成立。( 2 3 9 ) 式给 出了变换后“轨线”满足规范不变的充要条件。 在规范场论中，规范变换含任意函数及其微商。考虑到正则变量的变更是由生成元 g ( q i , 尼) 产生，所以g 的一般形式为 g = 占q = ( 占肛 ( 2 4 0 ) 式中：d ：要，占( t ：) 占( f ) ，其中“，) 为任意函数。生成元g 产生的矿( f ) 和b ( f ) 的变 班 换为 _ 却= 一g ) ： k = oi 葺。 如= m 见，g = i 神 k = o 1 4 ( 2 4 1 ) 堕氟崛一划 ” m 小 d 将( 2 40 式代入( 2 3 9 ) 式，由于占( f ) 的任意性可得 吾( g i ，珥 + g t - 1 ) i 。( m o d q , d 导( g i ，珥 + q - i ) = 。( m o d 畔) g t ，啦 = o ( r o o d 畔) ( 2 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) ( 2 粥) 由于考虑到正则变量变分后的“轨线”仍保持在约束所确定的超曲面上，在( 2 4 4 ) 中，对 所有次级约束应满足 q ，嘭) = o ，其中嘭是d i r a r r b e r g m a n n 算法得出的所有次级约束。 因此，q 可取为第一类约束，又因假设系统仅含第一类约束，在( 2 4 2 ) ，( 2 4 3 ) 式q a 珥可 用皿代替，于是得到的递推关系式为 g o ，皿 = o ( r o o d 噼)( 2 4 5 ) q i + g ，皿 = o ( m o d 噼)( 2 4 6 ) g 一= o ( m o d 哦) ( 2 4 7 ) 递推关系( 2 4 6 ) 也可从下述考虑得到，即规范变换保持约束系统的正则方程不变，规 范变换的生成元g 应是守恒的，即 。= 等= 署+ g ，珥) = 0 ，删哟 ( 2 4 8 ) 将( 2 4 0 ) 式代入( 2 4 8 ) 式， 可得 ( t x g 一。+ g i ，珥 ) = o ( 2 4 9 ) i = 司 式中珥可用以代替。由于( ，) 的任意性，f 1 3 ( 2 4 9 ) 式可直接得到递推关系( 2 4 6 ) 式。 综上所述，可见所有g 均为第一类约束，g j 一。由q 按递推关系( 2 4 6 ) 式导出，并且g _ 必为初级第一类约束。从每一个初级第一类约束出发，由递推关系( 2 4 6 ) 式可得到一连串 的g ，直到g 0 为止。也就是说，直到由这个递推关系所产生的约束，与皿的p o i s s o n 括 号在初级约束所确定的超曲面上等于0 为止。对每一个初级第一类约束都按上述步骤求完 了所有的g i 链，技( 2 钧) 式就可得到系统的规范生成元。不过，在这个链中不包含所谓 矿= o 线性化为z o 的情况。 1 5 第三章约束h a m i l t o n 系统的量子化 所谓某个系统的量子化就是将系统的经典理论过渡到量子理论。将系统的经典理论过 渡到量子理论，量子化方法主要有算符形式正则量子化和路径积分( 泛函积分) 量子化等。 在量子力学中，这两种形式的量子化结果是等价的。 对于约束h a m i l t o n 系统，由于存在约束。在初等量子力学中对系统作量子化的方法 不能直接用于该系统。约束h a m i l t o n 系统量子化问题的关键是处理约束，其中最直接的 方法就是解约束方程，分离真正的独立正则变量( 约化相空间) ：然后再对独立的物理自 由度量子化。此方法原则上可行，但是对于实际的约束系统，特别是非a b e l 规范理论和 引力理论，在处理上常常是困难的。因此，这种约化相空间的量子化方法只适用于极少数 奇异系统。 另一种量子化方法是量子化所有动力学变量，用约束条件挑选出物理态。这种对约束 系统的h a m i l t o n 形式量子化的基础是d i r a c 首先奠定的。建立在d i r a c 约束理论基础上的 主要量子化方法都属于第二种情况如算符形式正则量子化方法。相对论协变形式的b f v 正则量子化方法，h a m i l t o n 形式的f s 路径积分量子化，b v 路径积分量子化等。 此外，还有不同于d i r a c 量子化的f a d d e c v - j a c k i w ( f j ) 量子化，l a g r a n g e 形式的 f a d d e e v - p o p o v ( f p ) 量子化等。 本章简单介绍约束h a m i l t o n 系统的几种量子化方法，并着重介绍了 f a d d e e v s e n j a n o v i c ( f s ) 量子化方法。 3 1 正则量子化方法 将正则量子化方法推广到约束h a m i l t o n 系统是d i r a c 等人完成的。为了实现约束条件 挑选出物理态，并引入d i r a c 括号。步骤一般是：首先用d i r a c b e r g m a n n 算法求出第一类 和第二类约束：其次，选择一定的规范条件，使第一类约束全部转化为第二类约束：最后， 由d i r a c 括号来代替p o i s s o n 括号就实现了量子化。 该方法的关键在如何恰当的选择出规范条件，规范条件一般满足条件是：规范条件必 须固定；与系统的运动方程不相矛盾：为系统动力学演化所保持：是可达到的：适合 d 烈l q 。，人。 i 0 等等。其中a 。为系统所含的第一类约束，q 。为每一个第一类约束所相 应的规范条件。 1 6 3 2 路径积分量子化 路径积分( 或称泛函积分) 形式的表述起源于d i r a c 的最初思想。他的论文 l a g r a n g e 力学在量子理论中的角色成了f c y n m a n n 工作的基础。1 9 3 4 年，f e y n m a n n 开始建立这 个新的量子力学公式。在约束h a m i l t o n 系统的量子化中，用路径积分形式有突出的优点， 传播函数或转换矩阵元中已不再出现算符( q 数) ，出现在路径积分中的量均是经典的数( c 数) 。这不仅为分析量子对称性质带来了方便，也为f a d d e e v - p o p o v 的直观理论提供了依据。 3 2 1f a d d e e v p o p o v ( f p ) 路径积分量子化方法 f p 量子化是在位形空间中表述的，是非a b e l 规范场最简单的量子化方法。因为它以 最简单的方式考虑了相对性原理，积分不是对所有的场位形进行，而是对规范等效的类进 行。f p 方法在量子化电磁场以及杨一m i l l s 场时和用严格量子化方法得到的结果相同。但 对一般动量可积的约束系统，用f p 方法得到的结果是否仍然和其它方法一致需分别研究。 f p 量子化方法通过考虑系统的规范不变性，固定规范条件，用对超曲面的积分代替对整 个函数空间的积分，人为地丢掉了无穷大积分，是不严格的，但它是处理规范理论的比较 直观的一种量子化方法。 3 2 2f a d d e , e v s e n j a n o v i c ( f s ) 路径积分量子化 f s 量子化方法是以d i r a c 约束理论为基础，由f a d d e e v 和s e n j a n o v i c 逐步发展起来的。 1 9 7 0 年由f a d d e e v 首先提出仅含第一类约束系统的量子化；1 9 7 6 年s c n j a n o v i c 解决了同 时含有第一类约束和第二类约束系统的路径积分量子化，简称为f s 路径积分量子化。f s 路径积分量子化方法是固定规范条件的量子化方法，比f p 量子化方法严格，所以是目前 使用最广泛的方法。但是量子化后有效l a g r a n g e 量中增添了规范固定性和鬼场项，f s 量子化非协变。 3 2 3b f v 量子化方法 1 9 7 4 年，b e c c h i 、r o u e t 和s t o r a 发现虽然有效l a g r a n g e 量不再有规范不变性，但是 有效l a g r a n g e 量有种新的不变性，即b r s ( 目前逐渐为其性质相近的 b r s t ( b e c c h i r o u e t s t o r a - t y u t i n ) 规范不变性所代替) 不变性。b r s 变换就是将对易量和反 1 7 对易量相互联系起来的某种超对称变换，是变换参数为反对易数的特殊的变换，是非线性 变换。1 9 7 7 年b a t a l i n 、f r a d k i n 和v i l k o v s k y 在b r s t ( 或b r s 变换) 对称变换基础上， 基于h a m i l t o n 形式建立了一种相对论协变性量子化方案，简称为b f v 量子化( 包括算符 形式和路径积分形式量子化) 这是一种不约化相空间，而是通过增添g r a s s m a n n 数扩展 相空问，在扩展相空间中的b f v 路径积分相应于一个没有约束的h a m i l t o n 系统。所以b f v 量子化方法是比上面介绍的f p 和f s 路径积分量子化方法更普遍、更基本的量子化方法。 f p 和f s 路径积分量子化方法只是b f v 方法中规范选取不同得到的结果。 3 2 4b v 路径积分量子化 b f v 量子化方法为h a m i l t o n 形式的b r s t 量子化方法，建立在l a g r a n g e 形式的b r s t 路径积分量子化方法，即b v 量子化。我们知道，规范理论的量子化一般都包含鬼场，鬼 场用来补偿纯规范自由度的效应，以保证么正性。f s 方法中将鬼场解释为量子泛函积分 测度效应。由于b r s t 对称和鬼场在规范理论的协变量子化中有重要意义，因此，需要一 个理论一开始就自动包含鬼场和b r s t 对称性，b v 量子化方法即具有这一特点。b v 量 子化几乎是和b f v 量子化方法同时发展的，与b f v 量子化方法是微扰等价的。 3 3 其他量子化方法f a d d e e v - j a c k i w 量子化 1 9 8 8 年f a d d c c v 和j a c k i w 提出了一种与传统方法不同的约束系统的量子化方案- f ， 量子化方法( l d f a d d c c v 等，1 6 9 2 ) ，在这种方案中避免了将约束化分为初级和次级以及第 一类和第二类。在一些模型中将这种量子化方法与d i r a c 方法的结果进行了比较研究，并 在许多系统中得到了验证，但它的适用性仍受到了一定的限制。 综上所述，f s 路径积分量子化方法是目前实际使用最广泛的方法。在约束h a m i l t o n 系统的量子化中，用路径积分形式有突出的优点，出现在路径积分中的量均是c 数，这 不仅为分析系统的量子对称性质带来了方便，也为f a d d e c v p o p o v 的直观理论提供了依据。 因此，本论文主要采用f s 路径积分量子化方法来分析具体问题。 3 4f s 路径积分量子化方案 为了简单起见，讨论有限自由度的c 数系统，推广到场论是直接的。假设系统所含 约束人。0 ( 口= 1 , 2 , 3 , - - - , 历) 均为系统的第一类约束，则系统的正则h a m i l t o n 量皿也是第 1 8 一类的，即 皿，人。 = k a b ( 口= l ，乙3 ，册) ( 3 1 ) 。，a = 圪人。( 口，6 = l ，2 ，3 ，m ) ( 3 ，2 ) 由于系统含有珊个第一类约束，在对系统进行路径积分量子化时需要选取m 个规范条件 秽( g ，p ) = o ( 口= l ，2 ，3 ，掰)【3 3 ) 使他们在约束超曲面人。= o 和饼= o 上，满足条件 d e t j a 。，q 6 ) i o ( 3 4 ) 掰，甜 = o( 3 5 ) 设正则量q 和p 所张成的相空间为r 加，此时扩展h a m i l t o n 量h e = f + r 人。( p ，g ) 所决 定的系统随时问的演化等价于n 一坍个自由度系统的寻常h a m i l t o n 量日在相空间中 r 2 一的演化。相空间r 2 一中由 人。( q ，p ) = 0 ，群( g ，p ) = 0 ( a = l ，2 ，3 ，m ) ( 3 6 ) 条件所决定的子空问就是r 气州。r 2 ”。中的正则变量g 和p 。, - - 愀( q ，p ) 到( g 。，) 的正则变换来得到。选取相空间中的广义坐标为 g = ( q 4 ，q 。) = ( q ，q ”，q ”，q 一) ( 3 7 ) 相应的广义动量 p = ( p a ，p ) = ( a ，“，硝，屯) ( 3 8 ) 又 姒l a d 群，i = d e t 酬。 n 9 ， 从约束方程 人。( 蟹，p ) = 0 ( 3 1 0 ) 可解出p o ，这样子空间r 屯一可由 q 4 ( g ，力三9 4 = o ，p o = 儿( 口，p ) ( 口= l ，2 ，3 ，册)( 3 1 i ) 方程确定，且q 和p 是正则变量。此系统的h a m i l t o n 量 h 幸幻 ，p 幸) - - h , ( q ，p ) l 脚q 。 ( 3 1 2 ) 系统的运动在相空间r 和r 是等价的。正则变量( g ，p ) 是相空间中真正的独立变量。附 加的规范条件的选取等价于子空间中的正则变换因而对物理结果没有影响。系统的量子 化用独立变量q 。和p 表达时，其量子跃迁幅( 即转化矩阵元) z o ：z 【o 】= l i r aj - ，i d q ，鲁e x p ，p 胁“一蛐娜 3 ) 上瓦口j 呼间为 z o = z 【o 】= 协d p c x p i l d t p ；( 1 - h 。( q ，p ) 】 0 1 4 ) 式中 脚2 磐早由“，印，l i m - 广 d 2 p 万； 然而在实际问题中，很难分离出真正的独立变量，利用万一函数的变换性质 舭户謦e 姒饥叭) ( 3 1 5 ) 孵十脚o o , ) l j 斡， b 。 以及正则变换下相空间不变，可将( 3 1 4 ) 式化为非独立坐标表达的路径积分，即 z o = z 【。】= ，l i m j - ，i d q 鲁卓以人。渺( 钟) d e t l a q l e x p f p 【见一以( g p ) d = ，d q d p i 万( a 。芦他4 ) d e t l a ，f l c x p ij d t t p , 4 一皿心，p ) 】 ( 3 i d 若在( 3 1 4 ) 式中对矿补上外源z 就得到相空间g r e e n 函数的生成泛函，即 刁川= 呐n 万( 。妙( q 4 ) d e t l a ，n l c x p i d t p l h a q ，p ) + 以g 1 ( 3 1 8 ) s e n j a n o v i c 将f a d d c c v 的结果推广到同时含有第一类和第二类约束的情况。设动力学系统 由奇异l a g r a n g e 量三( 矿，吒) 描述，人。( 口= l ，2 ，3 ，用) 为系统的第一类约束， a , q = l 2 , 3 ，2 七) 为系统的第二类约束。系统含有册个第一类约束，在对系统进行路径积 分量子化时需要选取m 个规范条件饼( 口= 1 2 ，3 ，m ) 。规范条件满足 2 0 第二类约束满足 d e t a 。，q 6 壮o 甜，群) = 0 d e t l o ，e j o 则则系统路径积分形式量子化跃迁振幅为： ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 0 刁0 1 = 却4 d 拥rd e t ( a 。，群) i 兀万( 人。f ( q 。) n 2 k 万 嗣e t i e ，吃 | 】j e x p 巾k ( 矿一彤) -i ( 3 2 2 ) x 4 场l q , 4 引入的外源也可得相空间g r e e n 函数的生成泛函写为 z j l ：矽z 境，d 既i ( 九，群) i 疗烈人口状饼) a 粥) 【d d | 6 ：，哆) | 】2 le 印 ，p 缸死矿一髫十以矿) ( 3 2 3 ) 量子场论中生成函数占基本地位，量子场的性质可由它出发来研究，如f