（应用数学专业论文）需求信息更新的报童模型订货策略选择.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 捅要 在经典报童问题中，销售是一次性的，未销售的商品以远低于成本的残价被处理掉， 这导致商家不敢多订购货物，而缺货是有损失的，为解决这个矛盾，我们提出了追加订购 方案，即根据市场的需求量先少量订购，当不够卖时，再次进行订购，由于目前市场的充 足率基本饱和，追加订购时厂家还按第一次订购的价格卖给商家假设销售有一个相对较长 的时间间隔，商品作为使用价值存在一定的时间限制，尤其是季节性的单周期销售商品， 如果在定时间内第一次订购量不足，应进行追加订购，在一定时期内没有卖掉的商品应 进行降价销售，最后没有销售掉的商品，则按残价处理 本文主要研究关于短生命周期产品的供应链契约中的协调订货问题，在不同订货策略 情况下提出相应的协调策略，并对协调策略的有效性展开讨论。最后，建立一个带有竞争性 的供应链网络平衡问题，并对模型的求解算法进行讨论 关键词：易逝品；报章模型；信息更新；追加订购 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ec l a s s i c a ln e w s b o y p r o b l e m t h es a l e sa r eao n e o f fn o tf a rb e l o wt h ec o s to fg o o d s s o l dh a v eb e e nd i s p o s e do fr e s i d u a lv a l u e ，w h i c hl c a d st ob u s i n e s s e sd i dn o td a r et oo r d e rt h e g o o d s ，b u tt h e r ei sas h o r t a g eo fl o s s ，i no r d e rt os o l v et h i sc o n t r a d i c t i o n ，w eh a v ep r o p o s e d a d d i t i o n a lo r d e r i n gp r o g r a m ，t h a ti s ，a c c o r d i n gt om a r k e td e m a n df o rt h ef i r s tf e wo r d e r s ，w h e n n o ts e l l i n g ，t h eo r d e ra g a i n ，d u et ot h ea d e q u a c yo ft h ec u r r e n tm a r k e tr a t ei sb a s i c a l l ys a t u r a t e d ， 觚a d d i t i o n a lo r d e rf o rt h ef i r s tt i m ew h e nt h ef a c t o r yw a sa l s oo r d e r e db yt h ep r i c eo fs o l d b u s i n e s s e s s u p p o s et h e r ei sar e l a t i v e l yl o n gs a l e st i m ei n t e r v a l ，a st h ev a l u eo fg o o d st h e r ei sa c e r t a i nt i m el i m i t ，p a r t i c u l a r l yi ns i n g l e c y c l es a l e so fs e a s o n a lg o o d s ，i fac e r t a i n p e r i o do ft i m e l e s st h a nt h ef i r s to r d e rq u a n t i t y , s h o u l db ea na d d i t i o n a lo r d e r , i nt h ec e r t a i np e r i o do ft i m e w i t h o u ts e l l i n gas a l eo fg o o d ss h o u l db ec a r r i e do u ta n df i n a l l yd i dn o ts e l lo u to fg o o d s ， a c c o r d i n gt or e s i d u a lv a l u ep r o c e s s i n g ， h 1t h i sp a p e r , s t u d yo nt h es h o r tl i f ec y c l eo fp r o d u c t si nt h ec o o r d i n a t i o no fs u p p l yc h a i n c o n t r a c to r d e r i n gp r o b l e m s ，p r o p o s ea p p r o p r i a t eu n d e rd i f f e r e n tc i r c u m s t a n c e sac o o r d i n a t e d s t r a t e g y , a n dd i s c u s st h ee f f e c t i v e n e s so ft h ec o o r d i n a t i o no fs t r a t e g i e s f i n a l l y , w i t ht h e e s t a b l i s h m e n to fac o m p e t i t i v es u p p l yc h a i nn e t w o r kb a l a n c e ，a n dt h em o d e la l g o r i t h m d i s c u s s e d k e y w o r d ：p e r i s h a b l eg o o d s ；n e w s b o ym o d e l ；s u p p l yc o n t r a c t 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：日期： 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行 检索和对外服务。 论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章引言 1 1 综述 最开始的报鼋问题，由于报童订购报纸的份数只能取整数，每日售出报纸份数，是离 散变量，所以其数学模型是随机离散的，报童每日售报数量是一个随机变量报童每出售一 份报纸赚k 元，如果报纸未能售出，每份赔偿h 元，每日售出报纸份数q 的概率p ( q ) 根据 以往的经验是已知的，要我们求出报童每天应该准备多少份报纸赚钱最多，即利润最大? 反言之，如何适当的选择g 值，使因不能售出报纸的损失及因缺货的失去销售机会的损失， 两者期望值之和最小 后来一些学者把离散的报童模型扩展到需求是连续的随机变量报童模型，也不再指定 订购的货物就一定是报纸，而是扩展到一类相似的商品假设货物单位成本为c ，货物单位 销售价格为p ，单位存储费为c 1 ，需求量x 是连续的随机变量，密度函数为厂( 功，( x ) 出 4 表示随机变量在x 与x + 出之间的概率，其分布函数f ( x ) = 驴( 工) 出( 口 0 ) ，订购的数量 - 0 为q ，要确定g 的数值，是盈利的期望值最大 以上是两个基本的的报章模型，都是解决的一个阶段的问题，即单周期随机库存模型 对于报童问题实际上每目订货策略问题也因该认为解决了但模型中有一个严重的问题，即 第二天的订货与前一天完全没有联系，每一次订货看做独立的订货 对报奄问题的研究，到现在已经慢慢的扩展到一大类商品的研究，这些商品的共性就 是季节性很强，到了一定的时点之后，商品的价值就会打折扣，如果不尽快的处理，就会 因为储存费用、过期等问题带来成本和利润的缩减 在经典的报童问题里不考虑供应商、零售商决策之间的相互影响，也不考虑商品的销 售时间长短，自然也就不存在第二次订购的问题，或者说根本来不及第二次订购，商品就 已经过时随着市场的变革，报童模型的各种扩展模型自然也就应运而生商品的范围已经 扩展到季节性的商品；供应商与零售商也不再作为单一的个体各自营生，而是作为一个系 统的相互制约的经济实体去研究；那么这时候的报童模型，就必须针对顾客的需求、供应 商和零售商之间的层次协调关系及其供货策略选择进行考虑后来有人提出了具有二层规 划的报童问题来研究商品市场上的供应与存储及销售的问题；y a n g 等呻1 则考虑了单个供应 商和不同零售商同时订货时的情形，在有竞争的情况下供应商该如何定价，零售商该如何 确定订购量以达到整个市场的最优，同时个人获利最大；再后来有学者将模型扩展到信息 不确定时的订货策略，市场的不断丰富，让供应商和零售商都有多方选择，这个时候需求 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 信息的影响对供应商和零售商都很大这些具有实际使用价值而又成功的扩展模型使得报 童问题发展为库存论中一个很重大的问题随着经济社会的不断发展，商品市场的规模日益 增大，整个供应链的环节也会更加复杂，越来越多的应用问题开始凸显；这对报童模型的 不断扩展和完善也提出了更大难度的挑战；在后来的研究中也就相应的出现了很多尚未解 决的问题因此对这个问题的探讨不仅具有重大的理论意义，更具有现实需要的使用价值， 是值得研究储存、动态规划、随机性存储、排队论，电子计算机库存管理等领域的学者， 进一步研究和总结的 1 2 研究现状 1 9 8 5 年，p a s t e r n a c k 眵1 第一次研究了具有二层结构的报童问题，首次考虑了供应商与 零售商的决策选择对双方利润的影响；在此基础上，y a n g 阻1 考虑了单个供应商和不同零售 商的分配决策问题，分析了零售商之间的竞争行为对生产市场以及消费者市场的影响 l a un 伽则考虑了供需信息不确定的报童模型，以及多供应商和多零售商的决策选择问题； 后来又进一步扩展到了在信息不确定的条件下，供应商与零售商之间的联合决策与最优控 制的研究最近几年来，针对商品市场的极大发展，需求信息是模糊变量的报童问题，j i 等n 5 3 建立了比较完善的上下层决策者在约束条件下各自优化其目标函数的二层报章问题 上层的决策者能够影响到下层，但不可能完全的控制下层的决策；同时下层通过目标函数 的的最优值，将信息反馈给上层决策者，从而影响上层的下一步决策 现在，已有一些学者开始研究有多个零售商的竞争报童问题，这时因为市场已经完全 开放，不管是对零售商还是对最终的用户( 顾客) 来说，选择已经非常的广泛了；在这个 基础上进行的订购策略与需求分析策略都有很大的不确定性，要来分析这种需求关系之间 的规律，就需要定义更多的约束条件来建立更新的报童模型即便如此，在整个生产、分销、 销售的过程中，也还是有很多环节值得注意，这样就产生了效益最大化、风险最低化的研 究，而这一点也是整个供应链各环节中每个人都非常关心的问题如何使前往效益最大化同 时很好的回避风险，正是一些学者想解决的问题p a r 等整合最大化期望效益与最低化风 险达到一个目标函数的概率模型，分析了报童问题在这种目标函数下的定货策略 近年来，许多学者从不同的角度，研究了报童问题的不同情况，综合起来包括这几个方面 针对需求预测的分析，产生了预测偏差的问题，因此也产生了一些预测短生命周期的模型； 以及利用f o u r i e r 级数频谱分析，自回归模型的叠加建立了一类销售量的预测模型；对随 机的季节性需求的产品多阶段生产问题，及最优的定价和季后返还的策略等进行研究 等 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 1 , 3 本论文的研究内容 本文先介绍经典的报童模型，作为存储论中的一个分支，介绍了他们之间的关系紧 接着在单周期的报童模型中，介绍了面对需求信息的不断收集和更新，以及订货过程中综 合考虑供应商提供的不同订货成本，零售商可以选择是一次订货，还是先少量订货，到信 息更确切以后再分别订货的订货策略，以获得最大的期望利润的问题；在此基础上确定销 售季节开始以后的决策问题，主要是如何确定销售策略，什么时候该进行缺货、补货、促 销、打折等活动，最后没有销售掉的产品的残价处理，并建立数学模型进行验证， 1 4 研究目标 基于报童问题模型与二层规划的基本思想以及某些实际问题，建立有关报章问题的几 种扩展模型，设计构造出相应的求解算法及其数值模拟计算本论文旨在将已有结论进行进 一步推广，将所获结论用于解决一些具有实际意义的商业贸易中，最终为解决实际应用问 题提供理论依据，目前的报童模型或多或少和现实有定差距，模型中的条件太理想化， 为了使模型更切合实际能应用到商业贸易中，要不断从实际情况出发，找出更实际的模型， 使其能够有更广泛的应用 1 5 本论文的创新之处 本课题是一个交叉学科的研究项目，也是存储论中的基础研究内容，而且还是一个既 富有活力又极为重要的研究课题主要创新之处在于： ( 1 ) 报童问题的后段销售过程中如何及时的处理缺货、补货、残货处理等问题 ( 2 ) 对销售过程中的问题建立数学模型予以解答 ( 3 ) 对相关系数与最优订货量的相互影响关系进行分析 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 第二章需求信息更新的订货策略 2 1 基本概念 2 。1 1 储存论 人们在生产和日常生活活动中往往将所需的物资、用品、和食物暂时的储存起来，以 便将来使用和消费这种存储物品的现象是为了解决供应( 生产) 与需求( 消费) 之间的不 协调的一种措施，这种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时间与需求时间的不一 致性，出现供不应求和供过于求人们在供应与需求这两环节之间加入储存这一环节，能起 到缓解供应与需求之间的不协调，以此为研究对象，利用运筹学的方法去解决最合理、最 经济的储存问题 比如水电站在雨季到来之前，水库应蓄水多少? 这个问题就存在一个矛盾假设只考虑 安全因素，可提前把水库放空；但当雨季降雨量小时，就会造成水库存水量不足，使发电 量减少因此，合理的调节水库的存水量对国民经济有重大意义再比如在商店里若存储商 品数量不足，就会发生缺货现象，失去销售机会而减少利润；如果存量过多，一是售不出 去，会造成商品积压，占用流动资金过多而周转不开，这样也会给商家造成经济损失当然， 顾客购买何种商品以及购买多少，都带有随机性，在这种情况下商店的管理人员就应该研 究商品的存储量 诸如此类，与存储量有关的问题，需要人们做出抉择，在长期实践中人们摸索到一些 规律，也积累了一些经验专门研究这类有关存储问题的科学，构成运筹学的一个分支，叫 做存储轮( in v e n t o r y ) ，也成库存论 存储论中存在着需求、补充、费用( 存储费、订货费、生产费、缺货费) 、存储策略等 因素在确定存储策略时，首先把实际问题抽象为数学模型；在形成模型过程中，对一些复 杂的条件尽量加以简化，只要膜性能反映问题的本质就可以了然后对模型用数学的方法加 以研究，得出数量的结论这些结论是否正确，还要加到实践中加以验证如结论与实际不 符，则要对模型重新加以研究和修改存储问题经长期研究已得出一些行之有效的模型从 存储模型来看大体上可分为两类：一类叫做确定性模型，即模型中的数据皆为确定的数值； 另一类叫做随机性模型，即模型中含有随机变量，而不是确定的数值 2 1 2 经典报童模型 报童模型便是存储论中的有名的随机性模型，是指易逝品经销商面对的市场需求不确 定性较大，在销售期之前，零售商必须决定易逝品的订购量由于易逝品生产提前期较长， 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 在销售期内，经销商一般不再次订货、补充库存易逝品零售商为了获得最大利益，必须确 定最优的订购量适当的订购量可以满足顾客需求，获得利润：但过量的订货销，会出现供 过于求的现象，使售期末销售价值大为降低，或者干脆一残价处理掉，造成一定的损失 因此产生了最优的订购量的概念，要求经销商在库存过量和库存短缺之间平衡选择，获得 最大利益用数学模型表示如下： 假设对易逝品经销商而言，单位采购成本为c ，销售价格为p ，期末未售出产品残值 为j 经销商面对的随机需求工，随机变量x 的概率分布函数和概率密度函数分别为f ( x ) 和 ( 功则经销商订购量为g 时的期望利润为： 万( g ) 2 p f x s ( x ) d x + p q f f ( x ) d x + s f ( g x ) ( x ) d x c q ( 1 ) 对( 1 ) 式求一阶导数得： 万( g ) = p c - - ( p s ) f ( q ) 对( 1 ) 式求二阶导数得： 0 j 2 x _ ( ：广q ) ：一( p s ) ( g ) 0 叼 二阶导数小于o ，所以经销商期望利润万( g ) 在q = q 时存在最大值，g 由一阶导数为0 时得出： q + = ，一1 ( 型) 2 ，【一j 报童模型就是季节性商品零售商面对随机需求时决定的最优订购量的存储模型清华 大学出版社出版的运筹学( 第三版) p 3 6 0 - p 3 6 5 对报童模型有详尽的分析报童模型是 库存论的重要组成部分报童问题源于1 9 世纪8 0 年代的银行业，直到2 0 世纪5 0 年代受二 次世界大战的影响，库存论得到了长足的发展，报童问题引起关注并形成报童模型报童模 型本身并不复杂，原理也容易掌握，应用这些原理可以从一个方面改善企业的经营理念， 已达到节约资金，获得更多利润的目的；但它是处理易逝品随机需求的有效方法，之后出 现了大量基于报童模型的随机需求模型 2 1 3 易逝品 易逝品也称易变质产品、时效品、时令品、时尚品或季节性产品等，是指由于商品自 身的特性和消费者的喜好等，使该类产品具有生产提前期长、销售周期短、期末未售出的 产品残值低、需求不确定性大等明显特征随着公众环保意识的加强，部分未售出易逝品甚 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 至需要处理成本易逝品的例子很多，如图书报纸杂志、待飞班机上的舱位、医院的病床、 球赛的门票易腐物品( 如牛奶、面包、月饼、生鲜产品和鲜花等) 、时装、元旦贺卡、圣诞 礼物、玩具、高科技产品( 半导体和数码通信等消费类电子产品) 以及顾客化定制的特殊零 部件( 如模具) 等同时，随着人民生活水平的提高，消费者需求愈加突出个性化和多样化， 以及科学技术迅猛发展，促使传统产品的更新换代越来越快，产品生命周期越来越短，具 有一定的易逝品特性可以毫不夸张地说现实生活中易逝品十分常见国内学者周永务教授 把易逝品形象的归纳为n e w s b o y 型商品 由此产生的报童模型( n e w s b o ym o d e l ) 是库存管理与供应链管理中最重要的经济数学 模型之一，其研究的对象都有一个需求期和需求转移的低潮期但是在需求期的订购是随机 的且有竞争的，在库存的过程中会发生各种各样的问题、以及季节来临的时候如何安排销 售，如何做出最优决策报童问题已经在经济管理、生产、服务和金融等诸多领域成功地取 得了广泛的应用 2 1 4 报童模型与易逝品 对于食品等具有报童模型特征的产品来说，如果零售商订货时间提前，意味着供应商 交货周期更长，则零售商订货时点离产品的销售时间也就相应的增长，这时零售商获取市 场信息的准确度就越有限，订购量也就不准确；因此带来的存货成本也会大大提高，而且 还将面临缺货、产品性能对客户的吸引力不大而带来的压货、性价比更高的相似新产品的 问世等风险另一方面，如果不合理的压缩交货期，又会增加供应商的运作成本和订货价格， 由于各方面利益的影响，无疑会增加最后的销售价格，最终损害的是消费者的利益因此， 易逝品交货期的长短、订货机会的多寡、其批发价格的高低、销售季节的长短等等因素， 都会成为报童模型的研究对象此外，随着经济的发展，社会产品的不断丰富，可供选择的 供应商越来越多，零售商不断增加，为供需策略选择提供了多目标决策，为报童模型拓展 的分支提供了充分的现实依据 2 2 信息不确定时的策略思路： 2 2 1 策略选择 本章假定零售商的订货选择可以自由决定，在开始信息不太确定的情形下，为了获得 先机，可以依以往的经验选择订购一部分的货物( 至于此种货物是来自一个供应商，还是 多个供应商在这里暂不作考虑) ；待到离销售季节比较近的时点，根据比较确切的需要，再 决定是否改变订货数量、商品种类以及供应商零售商还可以在销售季节开始之前选择只订 购一次货物 这里我们确定两种定货模式第种有两次订货机会，第一次订货机会是在距离销售季 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 节正时间的t ，时刻，零售商根据以往的经验和当前可以获得的部分信息对顾客需求进行不 确定的预测，并根据预测的结果，按照一定的批发价格向交货模式膨订货，第二次订货模 式是在距离销售季节正时间的f ：时刻，零售商根据时刻到乙时刻之间收集到的市场信息， 对需求进行比较准确的预测，再根据更新后的需求信息，做出更新的订货策略，以此向交 货模式发出订货第二种就是针对需求波动不稳定，为了稳妥起见，零售商可以在销售 季节开始之前，对消费市场做充分的研究工作，一般来说，离销售时点越近我们得到的需 求预测信息会越准确，订购的成本也会相应提高；但是可以减少多次订购带来的不利影响 下面的研究便是在这两种订货策略条件下的相关模型研究 2 2 2 问题的假设与符号 1 在第一种订货模式中，商品订购分两次，第一次订购依靠对市场需求的预测分析以 及以往的经验总结，其结果是不确定的；第二次订购选择来源于最新市场的变化分析，所 有的需求在追加订购时被比较全面的了解；如果第一次订购量过大，大于正常需求量，那 么第二次订购就不会存在，也就是订购量为0 总之，所有的商品在销售季节开始时全部到 齐，不管多少不会有更多的订购计划 2 商品销售只有一次，即只确定一个销售价格，在销售期不会做更多的变动，最后没 有销售掉的商品以残价处理 3 对于第一次订购，根据对需求量的预测选择订购数量q ，我们选择订购数量函数r l 作为需求变量x 和原有商品数量g 。的一个函数，信息更新后第二次订购量为g ，作为需求变 量j 和总商品数量q ( q = q 。+ q 2 ) 的一个函数 4 需求变量x 是连续的随机变量，并服从于某一个累积分布函数f ( 石) ，其概率密度函 数为厂( x ) 符号： 需求变量x 的数学期望值 c 。第一次订购单位商品的批发价格 c ，第二次订购单位商品的批发价格 p 零售商确定的单位商品的零售价 ，零售商确定的最后没有销售掉的单位商品的残价 假设所有的参数关系满足0 1 ， q c 2 p ，供应商有足够的生产能力来满足零售商 的订货需求，实际需求量x 是连续的随机变量，其概率密度函数和分布函数均是可微和可 逆的，销售季节开始以后零售商不再订货零售商的期望利润只与q 、c ：、p 、1 ，等有关，其 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 他因素不在考虑范围内 2 3 模型建立与求解 2 3 1 订货策略一的模型求解 首先在t ，时点，零售商根据初步的预测结果，确定顾客的需求量，获得的收入函数为： 万l ( g l ，q ，c 2 ，曲：p c , q i ”l 叫：吼 ( 2 1 ) 【乞q l c i 譬l ，x2q i 则平均收益函数为 e ( 乃( q i ，c l ，c 2 ，工) ) = l 万。( 鸟i ，c l ，c 2 ，x ) f ( x ) d x ( 2 2 ) 定理2 1 - 收入函数为乃( g 。，c l ，c 2 ，j ) 定义如( 2 1 ) ，那么设平均收入函数为g ( q 。，c i ，c 2 ) 则，g ( q l ，c l ，c 2 ) = ( 岛- r ) i 一q , ) f ( x ) d x + q l ( c 2 - q ) 证明：利用l = j 厂( x ) 出+ f 厂( x 得： g ( 吼，q ，c 2 ) ：m 巴工一c l g 。+ ，( g 。一石) 】厂( z ) 出+ 了( c j q 。厂( x ) 出 0 q l q 吼 钆 0 = c 2 jx f ( x ) a x q q l ，f ( x ) d x + r q tjf ( x ) d x 吖i x f ( x ) c l x + c 2 q tjf ( x ) d x q q ijf ( x ) d x 0000 铂吼 = c 乞一，q 。lf ( x ) d x 一： f ( x ) d x 0 一q 劬= ( 乞一， l1 一， 一c l9 1 ooil 2 ( c 2 一，) l ( x 一级) 厂( x ) 出+ q l ( c 2 - g ) 得证 为1 r 求得零售闶最大的别望利稠，对上式求导数，得到： 望鱼羔掣：一( c 2 - r ) f ( 吼) + ( 乞一q ) 丝嗡翘：一( c 2 - r ) 几。) 8 q ： “。 c 3 g ( q l q c 2 ) ：0 ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) 武汉科技大学硕士学位论文 第9 页 得到在t 。时刻订货，获得最大的期望利润的订货量g ：满足： f ( q 3 = 生鱼 ( 2 5 ) c 2 一， 则最优订货量g ：为： g f 一( c 2 - - c i ) ( 2 6 ) c 2 一， 将式( 2 6 ) 代入公式( 2 1 ) ，得至l jt t 时刻零售商获取的最大期望利润为： e ( 死) = 一( 已一，) f f ( x ) 出+ ( 乞一c l l ( 2 7 ) 6 其次，在t ，时刻零售根据更新后的需求信息确定整个销售季节的订货量 q ( g = g 。+ g ：) ，那么根据更新后的顾客需求订货，零售商获得的收入函数为： 死( g ，c i ，乞，曲= 彤一c p l g q i 一- q c 吼2 ( q 一- 岛q ( 1 9 ) + 一吼r ( ) q x 二三三 ( 2 8 ) 则平均收益函数为e ( 7 r 2 ( q ，c l ，c 2 ，x ) ) = l 乃( g ，q ，c 2 ，x ) f ( x ) d x 定理2 2 ：收入函数为j r 2 ( q ，c ，c 2 ，工) 定义如上式，那么设平均收入函数为 g 2 ( g ，c i ，c 2 ) 则： g z ( q ，c i ，c 2 ) = ( p r ) - - g ) 厂( x ) 出+ ( 乞一c i ) g l + ( p - c 2 ) q ( 2 9 ) 口 证明：利用1 = f 厂( 工) 出+ i ( x 渺得： 0g 口w g z ( q ，c l ，c 2 ) = f ( p x - c ! q l - c 2 q + c 2 q l + r q r x ) f ( x ) d x + j ( p g q q c 2 q + c z q l ) 厂( x ) a x ：( p 一，) k ( x ) 出+ 叼砂( x ) 出+ p q 1 一砂( x ) 出】一c 。吼+ c ：g 。一c ：鼋 q 碍 = ( 夕一，) ，x f ( x ) d x + ( 厂一p ) q ，f ( x ) d x + p q q g - 一c 2 q - i - c 2 q - 彳 = ( p 一，_ ) ( x - q ) f ( x ) d x + ( c 2 一q ) g l + ( p c z ) q o 得证 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 为获得最大阴岑售同期望利凋，对上瓦求导数： c 3 g 2 ( q i , q _ , c 一2 ) ：一( p 一，) ，( g ) + ( p - c 2 ) o q 0 2 g 2 _ ( f q j , c , , 一c 2 ) ：一( p 一，) 厂( g ) 2 “ “”7 因为有- ( p - r ) f ( q ) g 。，则零售商在乞时刻需要进行补订，且最优补货量为q 2 * = g 一q l ； 若g q l ，则零售商在f 2 时刻不补货，即q 2 = o 将公式( 2 1 3 ) 代入公式( 2 9 ) ，得到t ：时刻零售商根据更新后的需求预测订货的最 大的期望利润为： q e ( ) = 一( p 一，) ，f ( 功出+ ( p 一岛) g + + ( c 2 - c 1 ) q l ( 2 1 4 ) 2 3 2 订货模式二的模型求解 在订货策略二下，零售商只订货一次，在交货期厶时刻根据更新后的需求信息向交货 模式s 2 订货，订货量为g 那么根据更新后的顾客需求订货，零售商获得的收入函数为： 嘲。，c l ) = p x - c 2 q 羔q 鼍叫工i f o q ( 2 1 5 ) 一乞 则平均收益函数为e ( z c ( q 。，c l ，c 2 ，x ) ) = 防( 窖。，q ，q ，x ) 厂( x ) c t x ( 2 1 6 ) 定理2 3 - 收入函数为x ( q ，q ，乞，功定义如上式，那么设平均收入函数为g ( q ，q ，乞) 则， 口 g ( g 。，c l ，乞) = ( p 一，) 且x g ) 厂( x ) d x + q ( p q ) ( 2 1 7 ) o 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 证明：利用1 ：q 少( x ) 出+ 砂( 础奴得， o q g ( g ，c l ，c 2 ) 2 _ p x - c 2 q + ，( q 一x ) y ( x ) 出+ s ( p q - - c 2 q 。) 厂( x ) 出 qg 口叮 = p f x f ( x ) d j 【- - c 2 9 p ( x ) 出+ 叼( x ) 出一，( x ) d x + p q 厂( x ) 出一c 2 9 。p ( x ) 出 = c p 一厂，q ，b 0 矿c x ，出+ w + 0 c x ，出+ p 可 一p c x ，出 一巳g = ( p 一厂) j 矿( x ) 出+ w + 砂( x ) 出+ 朋i1 一p ( x ) 出l 一巳g l0l = ( p 一，) f 矿( 工) 出+ ( ，一p ) b 厂( x ) 出+ ( p c 2 ) 9 q口 = ( p 一，) f ( z q ) 厂( 力出+ ( p 一岛) g 。 得证 为获得最大的零售两的期望利润，对上式求导： 掣：- - ( p 一，) f ( g ) + ( p c 2 ) ( 2 1 8 ) 0 _ = 2 e - ( 百z 一) ：( p 一，) 厂( q ) ( 2 1 9 ) 锄2 u 叫八 ” 因为- ( p - r ) f ( q 。) e ( 万) 零售商应该选择订货策略一，因为在此情形下零售商在t 。时刻 的订货没有增加供应过量的风险，却降低了零售商的采购订货成本 ( 2 ) 若q i i q 一时： 如果采用订货策略一，则零售商在f ：时刻不会补货，即q 2 * = 0 此时有： d e ( 万) = ( p 一厂) f ( 工一g “) f ( x ) d x + ( p c 2 ) g ( 2 2 3 ) 6 此时零售商若采用策略一会面临订货过量的风险 2 5 小结 1 在顾客需求波动程度比较小的情况下，零售商应当选择先在订货成本比较小但需求 预测不是很准确地开始时刻订货当顾客需求的波动程度处于较高水平时，零售商应该选择 在距离销售季节很近但订货成本较高的订货时点订货 2 在顾客需求波动程度不变的情况下，第一订货时点的批发价格越高，零售商选择订 货策略一获得的期望利润在减小选择订货策略二的期望利润不变 3 在顾客需求波动程度不变的情况下，第二订货时点的批发价格上升，两种订货策略 下的期望利润都在减小，订货策略二的减小幅度要远高于订货策略一 在这里我们只讨论了不同的订货策略情况下，销售商的最优选择，以及何时获得最大 利润的问题下一章将引入损失函数的问题，包括商品从生产、运输、销售等流通过程中的 损失；因季节过季等问题引起的在季末进行的打折促销活动的损失：最后的存货退回厂商 或者当做残货处理的损失 武汉科技大学硕士学位论文 第1 3 页 第三章季节性销售的报童问题 3 1 引入 上一章我们讨论了需求信息不确定时，供应商与经销商之间如何确定订货策略，利用 经典的报童模型这个经销商面对随机需求时决定最优订购量的数学模型，可以初步确定经 销商的最优订购量及订货次数但是在分销过程中，商品是否能完全销售出去，经销商是自 己全部销售，还是再转销给下一级的经销商；快要过季的时候该做何促销措施以及如何再 次定价，或是残价处理，都没有明确的说明在这一章节里面将解决这些问题 经典的报童模型由于具有简单的结构、清晰的特性和较强的实用性，这一问题已成为 随机库存理论的重要内容之一，被大量应用于供应链管理的研究中在这个基础上很多学 者做了许多扩展模型，将这些扩展模型进行归类，大概可以分为l l 类本部分研究的是其 中的一种扩展模型定价和订货联合决策的报童模型该模型研究的是：报童如何对 产品的价格和订货量进行决策，最后没有销售掉的产品该如何处理 在经典报童问题中，订购和销售都是一次性的，过季后没有销售的商品以远远低于成 本的残价被处理掉，对一些更新换代比较快、回收利用价值不大的产品，甚至需要大量的 资金来处理它带来的影响，这些都将导致商家一次不敢订购太多的货物；而缺货同样是有 经济损失的，为解决这个矛盾，就需要小批量、多次数的进行追加订购即在商品大量销售 之前作为储备只订购一部分，当不够卖时，再次进行订购由于目前市场的充足率基本饱和， 基本不存在厂家生产不足的问题，追加订购时厂家还按第一次订购的价格卖给商家假设销 售有一个相对较长的时间间隔，商品作为使用价值存在一定的时间限制，尤其是季节性商 品，在一定时期内没有卖掉自然就会贬值，最后没有销售掉的商品，则按残价处理 3 2 问题的假设与符号： 3 2 1 问题假设 1 1 商品订购分两次，第一次订购在销售季节开始之前，追加订购基于市场的真实 需求量，所有的需求在销售季节开始后会被全面了解，若第一次订购量已经充足，就不存 在追加订购，否则就会增加订购 1 2 商品销售视情况确定，如果存货少于需求量，不存在打折销售的问题；如果多 货，根据真实情况，进行二次降价销售第二次销售的最大量为，其价格要比第一次销 售价格低，最后没有销售掉的商品以残价处理由于需要支付搬运费和额外储存费，二次降 价销售对容量有相应的费用 1 3 对于第一次订购，根据对需求量的预测选择订购数量g ，在追加订购时我们选 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 择订购数量函数墨作为需求变量x 和原有商品数量g 的一个函数，降价销售时二次销售量 坞作为需求变量石和原商品数量g 的一个函数 1 4 需求变量) f 是连续的随机变量，并服从于某一个累积分布函数f ( x ) ，其概率密 度函数为f ( x ) 3 2 2 符号选择 1 t 需求变量x 的数学期望值 c 单位商品的成本价( 假设两次订购商品的成本价一样) p 单位商品的销售价 p 。第二次销售时单位商品的销售价 1 ，最后没有销售掉的单位商品的残价 j 第二次订购后缺货单位商品的罚金( 等于单位收益加上单位损失信誉的罚金) m 第二次订购商品的最大数量 第二次销售商品的最大数量 确定降价出售商品的最大容量n 的单位费用 条件l 、l ：假设s p c p l ，o - p o ( p 1 一c ) p o ( p l 一1 ，) ，其中属= 旦? 兰 c ，所以尽可能的采用满足要求的订购量，即对于g 和x ，第 二次最优订购数量为： l0 ，x - - q 0 r l ( g ，力= x - q ，0 x - - q ，所以尽量采取最大限度的销售，即对于g 和x ，第二次 最优的销售数量为： f o q x 0 r 2 ( 鸟，力= g 一毛0 q - - x q + m g 工 g + 膨 ( 3 3 ) q n x 。，p i 一， 。，知0 a 2 ( g g ( ，m q , m ，, ) n 。) 的所有主子式不大于0 ， 即为负定矩阵所以g ( q ，m ，加是凹函数 推论2 ：设g o ( g ) 为古典报童问题的平均收入，g l ( q ) 为可追加订购的报童问题的平均 收入，g ：( g ) 为可二次降价销售的报童问题的平均收入，那么： ( 1 ) g o ( q ) 2 g ( q ，0 ，o ) ，其中g ( g ，0 ，o ) 2 ( p 一，) 一( c - v ) q 一( p + s - - v ) 几x g ) ( 工) 出 ( 2 ) g l ( g ) = g ( q ，m ，0 ) ，其中 g ( q ，m ，o ) 2 ( p c ) j u 一( p + s c ) ，( x - g m ) f ( x ) d x + d 一 ，) ( x g ) 厂o ) a x q + m0 ( 3 ) g 2 ( 垡) = g ( 留，0 ，川，其中 g ( q ，0 ，册 = ( p p 。) 一( c p 。) g 一( p + s p ，) r x - q ) f ( x ) 出+ ( p 。一，) 且工+ 一p ) 厂( x ) 出一 证明：( 1 ) 当m = n = 0 时， 利用s ( x 目) 厂o ) d x = z - q - r x g ) 厂( x ) 出得 0 口 g ( q ，0 ，o ) = ( p c ) 一( p + s c ) j ( 工一q ) f ( x ) d x + ( c p i ) i ( 石一q ) f ( x ) d x + ( p l 一1 ，) ( x - q ) f ( x ) d x ；二 2 ( p 一功一( c - v ) q 一( p + s - v ) ，( x g ) 厂( 石) 出 ( 2 ) 由定理3 1 及n = 0 ，有 g ( q ，m ，0 ) = ( p o 一( p + s c ) j ( 石一q m ) f ( x ) d x + ( c p 1 ) i ( x q ) f ( x ) d x + ( p l v ) f ( x - q ) f ( x ) d x 鼋 武汉科技大学硕士学位论文第1 7 页 q = ( p - c ) j u 一( p + s - c ) j ( x - q - m ) f ( x ) 出+ ( c - v ) f ( x - q ) f ( x ) 出 q + m 0 ( 3 ) 当m = 0 时， q 利用( x - q ) f ( x ) d x = z g 一( x - q ) f ( 石) d x ， 0 g g ( q ，o ，忉2 ( p - c ) g - ( p + s c ) i ( x - q ) f ( x ) d x + ( c p ，) ( x - q ) f ( x ) d x g 0 口一 ， + ( p 。一v ) ( x + n - q ) f ( x ) 出一斛 q j 、， = ( p - p 1 ) 一( c p 1 ) g 一( p + s p 。) ，( x - q ) f ( x ) d x + ( p l 一，) ( x + 一p ) f ( x ) d x - f l n q 0 结论成立 推论3 ：若条件1 1 成立，那么当m o ，n 0 时 g ( q ，m ，) g ( q ，m ，0 ) g ( q ，0 ，o ) ( 3 4 ) g ( q ，m ，m g ( q ，0 ，) g ( q ，0 ，o ) ( 3 5 ) 证明：由推论l 知，g u ( q ，m ，n