（应用数学专业论文）广义强非线性混合似变分不等式解的存在性和算法.pdf

辽宁师范大学硕士学位论文 丫lliiillllllllillltlllllltllll79 4 7 60 ly 摘要 本文在自反的b a n a c h 空间中介绍和研究了一类新的广义强非线性混合似变分不等 式， ( 1 v ( r ，a u ，c - u ) ，7 ( 1 ，“) ) + 6 ( g 弘，v ) - b ( g u ，甜) + 口( 甜，v - - u ) 0 为了证明上述广义强非线性混合似变分不等式有解，构造了下面的辅助问题， ( ( z ，w 么w ，g ) ，r ( v , w ) ) + 6 ( ，v ) 一6 ( ，w ) + 4 ( w ，v w ) 2 0 ， 利用删理论及不动点理论，证明了此类广义强非线性混合似变分不等式解的存在性 在此基础上，利用辅助原理技术构建了下面2 个迭代算法来解广义强非线性混合似变分 不等式 ( j i l7 ( 材舯。) 一 7u n ) ，v 一“n + 1 ) 一p ( ( 死。，a u ng 饥) ，7 7 ( v , u n + 1 ) ) 一加( 。，v ) + p b ( g u 。，“川) 一p au n + lv - - u n + 1 ) ， ( 办u n + 1 ) 一无u n ) ，r l ( v , u n + 1 ) ) 一p ( ( 死。，a u ng u 。) ，7 7 ( v ，u n + 1 ) ) 一p b ( g u 。+ l ，v ) + p 6 ( g u 。+ l ，甜。+ 1 ) 一p a ( u 。+ l ，y 一“ + 1 ) 上述2 个算法引入了一个可导函数h ，分别利用这个可导函数的强凸性和叩强凸性及 k k m 理论证明了2 个迭代算法解的存在性和唯一性最后在适当的假设条件之下，利用 数学分析中的单调有界原理讨论了由迭代算法产生的迭代序列的收敛性文中得到的解 的存在性结论涉及了松弛上强制映射，强单调映射，上强制映射，偏松弛单调等映射 本文所得到的结论改进并推广了近期文献中的相应结果 关键词：强非线性混合似变分不等式；k k _ m 理论；不动点理论；辅助原理技术 广义强非线性混合似变分不等式解的存在性和算法 e x i s t e n c ea n da l g o r i t h m so fs o l u t i o n sf o rg e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o l l l i n e a r m i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e s a b s tr a c t i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c ea n ds t u d yac l a s so fg e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e d v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e si nr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s ( ( 死，a u ，g 钮) ，7 ( v ，“) ) + 6 ( g ，v ) 一b ( g u ，铭) + 口( “，v - - u ) 0 w ec o n s t r u c tt h ef o l l o w i n ga u x i l i a r yp r o b l e mt op r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h e g e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t y ( n ( r w , a w , g w ) ，7 7 ( ，w ) ) + 6 ( ，v ) 一b ( g u ，w ) + a ( w , v - w ) 0 b yt h ek k mt h e o r ya n df i x e dp o i n tt h e o r y , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h e g e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t y a p p l y i n gt h ea u x i l i a r y p r i n c i p l et e c h n i q u e ，w es u g g e s tt h ef o l l o w i n gi t e r a t i v ea l g o r i t h m s ， ( ( “斛。) - h u n ) ，v - - u 。+ 。) 一p ( ( 死。，么，g u 。) ，( v ，u n + 1 ) ) 一加( 。，v ) + 加( 画。，u n + 。) - p a ( u 州，1 ) - - u n + 1 ) ， 。 ( h ( u n + 1 ) 一j j l 7u n ) ，7 ( ，u n + 1 ) ) - p n t u n 么g u 。) ，r ( v ，u n + i ) ) 一加( 肛州，1 ，) + 加( g u 。+ i ，“川) - p a ( u 州，v - - u n + lj ， t h ea l g o r i t h m si n t r o d u c ead i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o nh i n v o l v i n gt h es t r o n g l yc o n v e x i t ya n d ，7 一s t r o n g l yc o n v e x i t y u s i n gt h ep r o p e r t i e so fhr e s p e c t i v e l ya n dt h ek k mt h e o r y , w eg e t t h a tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rt h ea l g o r i t h m s u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ， a p p l y i n gt h em o n o t o n y - b o u n dp r i n c i p l e ，w ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e g e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m s s e v e r a l e x i s t e n c er e s u l t so fs o l u t i o n si n v o l v i n gr e l a x e d c o c o e r c i v em a p p i n g ，s t r o n g l ym o n o t o n em a p p i n g ，c o c o e r c i v em a p p i n ga n dp a r t i a l l yr e l a x e d m o n o t o n em a p p i n g s t h e s er e s u l t si m p r o v ea n dg e n e r a l i z em a n yk n o w nr e s u l t si nr e c e n t l i t e r a t u r e s 、 k e yw o r d s ：s t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s ； k k m t h e o r y ； f i x e d p o i n tt h e o r y ； a u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i j l ；l言】【 l 预备知识2 2 解的存在性和唯一性定理6 3 算法与收敛性11 参考文献2 l 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 3 致谢2 4 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 变分不等式理论是当前数学方法中的有效工具它在微分方程、力学、物理、经济 学、控制论、优化理论等学科有着广泛应用h 删而似变分不等式作为变分不等式的一种 有效推广，在优化理论n l 墙1 和经济学3 中的作用尤为突出此外，在变分不等式的研究 中，最有趣且最重要的问题之一是发展有效的求逼近解的迭代算法众所周知，投影方 法未能应用于一般的混合型变分不等式因此，许多学者通过发展辅助原理技术来研究 各种变分不等式解的存在性和算法d i n g j 3 在自反的b a n a c h 空间中研究了几类非线 性似变分不等式f a n ga n dh u a n g 四1 ，l i u ，u m ea n dk a n g 1 讨论了几类涉及单调映射的 似变分不等式h u a n g 和d e n g n 们在h i l b e r t 空间中利用辅助原理技术研究了一类广义强 非线性混合似变分不等式最近，l i u ，c h e n ，k a n g ，u m en 2 1 在自反的b a n a c h 空间中通 过扩展辅助原理技术研究了一类混合似变分不等式l i u ，c h e n ，u m e ，k a n gn 3 1 在h i l b e r t 空间中引入和研究了一类似变分不等式，其中涉及了强单调映射，松弛l i p s c h i t z 映射， 上强制映射，松弛上强制映射，广义伪压缩等映射 受上述工作的启发，本文在自反的b a n a c h 空间中介绍和研究了一类广义强非线性 混合似变分不等式我们同样使用辅助原理技术来研究这类广义强非线性混合似变分不 等式( 1 1 ) 首先我们应用k k m 理论，证明了问题( 1 1 ) 解的存在性其次分别论证 了辅助问题( 3 1 ) 、( 3 2 ) 解的存在性和唯一性，并构建了2 个迭代算法来解问题( 1 1 ) 最后在已得结论的基础上，我们证明了由所构建算法产生的迭代序列的收敛性，并获得 了几个广义强非线性混合似变分不等式( 1 1 ) 解的存在性结果，其中涉及了强单调映 射，偏松弛单调映射，上强制映射，松弛上强制等映射本文改进和推广了近期文献的 相应结果 广义强非线性混合似变分不等式解的存在性和算法 1 预备知识 全文中，设召是一个b 口忍口砌空间并赋予范数i | i i ，曰是b 的拓补对偶空间，( “，v ) 表 示偶对，其中“b * ，l peb 且r = ( 娟，佃) d 是b 的非空闭凸子集口d x d 一( 一0 0 ，+ o d 是强制连续连续双线性函数使得存在常数c ，d 0 满足 似1 ) a ( v ，1 ，) - e l l l ，1 1 2 ，v v e d ； 似2 ) i a ( u ，力l - 0 使得 1 6 ( “，v ) i _ 0 ，满足 ( n ( t u ，工，y ) - n ( t v ，x ，y ) ，卵( “，1 ，) ) 一，i i ( z k ，x ，y ) 一( 乃，x ，y ) 0 2 ，v u ，1 ，d ，x ，y b ； ( 4 ) n 在第二变元关于z 是7 7 强单调，若存在常数， 0 ，满足 ( ( 石，t u ，y ) - n ( x ，t v ，y ) ，r l ( u ，v ) ) ，0 “一v i i 2 ，v u ，ve d ，x ，y b ； ( 5 ) n 在第一变元关于丁是刁偏松弛单调，若存在常数尸 0 ，满足 ( n ( t u ，z ，y ) 一n ( t v ，x ，y ) ，刀( w ，1 ，) ) 一r0 w u l l 2 ，v u ，1 ，w d ，x ，y b ； ( 6 ) n 在第三变元关于丁是，7 上强制，若存在常数， 0 ，满足 ( n ( x ，y ，死) 一n ( x ，y ，n ) ，r t ( u ，v ) ) ，i | ( x ，y ，死) 一n ( x ，y ，乃) n v u ，v d ，x ，y b ； ( 7 ) r 是l i p s c h i t z 连续的，若存在常数， 0 ，满足 0 r l ( u ，v ) l 0 ，满足 i i n ( u ，x ，力一n ( v ，x , y ) l j r l l u - v l l ，v u ，v , x , y b 类似地，我们可以定义在第二变元关于丁是叩松弛上强制性，在第三变元关于 丁是7 7 强单调性，关于第二、三变元的l i p s c h i t z 连续性 定义1 2 设d 是b 的非空闭凸子集，f ：d r u + 0 0 1 是泛函 ( c 1 ) f 是凸的，若f ( t x + ( 卜f ) y ) s 矿( 工) + ( 1 一f ) 厂( y ) ，v x ，y d ，v t o ，1 】； ( c 2 ) 若一厂是凸的，则厂是凹的； ( c 3 ) 若v f ru 佃) ，集厶 xed ：f ( x ) f 在d 上是闭的，则在d 上是下半连续 的； ( c 4 ) 若一厂在d 上是下半连续的，则厂在d 是上半连续的 定义1 3 设d 是召的非空闭凸子集丁，彳，g ：d b 。，n ：b + 矿曰一b + ，町：d x d b 是映射，函数，r ，a ，g ，7 7 在d 上有o - 对角凹关系，即：d x d _ r u + 0 0 1 在第一元有 0 一对角凹关系，其中 ( ，“) = ( ( 砌，a u ，a u ) ，叩 ，d ) ，v u ，1 ，d ， 即对任意给定的集合 v l ，吃，) d 和任意的“= ：。“，o 且三。= 1 ， ( v f ，“) o t = 1 定义1 4 n 3 设d 是曰的非空闭凸子集， 是可导函数，则h 被称为 ( d 1 ) r 凸，若 j j l ( 功一h ( u ) ( 五( “) ，叩p ，“) ) ，“，1 ，d ； ( d 2 ) 7 7 强凸，若存在一个常数 0 满足 五( v ) 一 ( “) 一( 五( “) ，叩( v ，“) ) 等l i u - - v i l 2 ，“，ve d 特别地，若对所有的“，1 ，d ，刁( “，1 ，) = u v ，则称h 是强凸的 假设1 1 设h 是可导函数，映射丁，a ，g ：d b ，n ：b x b + b 一b ，r l ：d x d b 满 足下列条件： ( m 1 ) r ( x ，y ) = 叩( x ，z ) + r l ( z ，y ) ，v x ，y ，z d ； ( m 2 ) 对任意给定的x ，u d ，映射1 ，h ( n ( t x ，a x ，g x ) ，叩( “，1 ，) ) 在d 上是凹的，且 上半连续的 辽宁师范大学硕士学位论文 注记1 2 由( m 1 ) 和( m 2 ) 知， ( m 3 ) u ( u ，“) = 0 ，v u d ； ( m 4 ) r ( v ，”) = ，7 ( “，功，v u ，v d ； ( m 5 ) 对任意给定的工，d ，映射“h ( n ( t x ，a x ，o x ) ，u ( u ，v ) ) 在d 上是凸$ j j l 是 下半连续的 注记1 3 易证若v u d ，刁( “，“) = o ，映射1 ，h ( n ( t x ，a x ，o x ) ，u ( u ，v ) ) 是凹的，则函数 ，l 彳，g ，7 在d 上有0 一对角凹关系 命题1 1 n 1 设d 是曰的非空闭凸子集，若厂：d r 是下半连续且凸的，则厂是弱下半连 续的 命题1 1 说明若厂：d r 是上半连续且凹的，则厂是弱上半连续的 引理1 1 吲设d 是拓扑向量空间的一个非空凸子集，映射 dx dj r u + 0 0 1 满足下面 的条件： ( i ) 对每个z d ，矽( 石，) 在d 上是下半连续的； ( f f ) 对每个非空有限集 五，而，) c _ d ，对每个y = ：。鼍，o ，二= l ， m i n l 姚。矽( 而，y ) o ； ( f f f ) 存在d 的一个非空紧凸子集x 和一个非空紧子集k ，使得对每一个y d k ， 都有一个石e o ( x u y ) 满足( 石，y ) 0 则存在一个u k 满足矽( x ，“) 0 ，v x d 引理1 2 眵1 设x 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 的非空闭凸子集，映射矽，缈：x x r 满 足下面的条件： o ) y ( 工，y ) 矽( x ，y ) ，v x ，y x ，且y ( 工，x ) 0 ，v x x ； ( f f ) 对每个x x ，矽( x ，) 在x 上是上半连续的； ( 脚) 对每个y x ，集合 石x ：y ( z ，y ) o ； ) 对每一个固定的v d ，r ( - , 1 ，) 是连续的从弱拓扑到弱拓扑，叩是l i p s c h i t z 连续的 关于常数f 0 ，且对所有的“，v d ，r ( u ，v ) = 叩( v ，“) ； ( i i i ) t ，a ，g ，7 7 在d 上有o 对角凹关系； o d 口满足( 彳1 ) f f 【i ( a 2 ) ，b 满足( 么3 ) 一( 彳6 ) ，且，善 o ，i = i ，2 ，腕 则 善( ( 巩彳w ，g w ) ，叩( v f ) ) + b ( g u ，w ) 一 。由于b 是凸的在第二元，我们有 善z ： ( ( 巩彳w , g w ) ，刁( 嵋坼) ) 喜 t ，b ( g u ，m ) 一口( w ，w w ) o i - - - i t ，b ( g u ，u ) 一6 ( ，w ) 0 ， 出现矛盾耳目矽满足引理1 1 的条件( i i ) 设u 是d 中的任一元素， 令x = “) 】，= w z ) ：l l w - u l | m ) ， 其中m = 1 + ( 名+ c ) 。1 f i i n ( r u ，彳“，c - u ) l l + ，i l g u l l + a l l “j | 容易验证】，和彳都是d 的弱紧凸 子集由( f ) - ( 押) 可知对任意的w d 一】，存在“c d ( x u 叫) 满足 ( “，w ) = ( n ( t w , a w , g w ) ，7 7 ( w ，“) ) + 6 ( ，w - b ( g u ，“) - a ( w ，甜一w ) 0 ，n 在第二变元关于彳是，7 松弛上强制，并 具有常数层 0 ，n 在第三变元关于g 是，7 强单调，并具有常数艿 0 ，n 关于第一、二、 三变元是l i p s c h i t z 连续的，分别具有常数所，p ，q 0 ，t ，a ，g 是l i p s c h i t z 连续的，并分别 具有常数s ，i ，歹 o ； ( f f ) 对每一个固定的1 ，d ，7 7 ( ，1 ，) 是连续的从弱拓扑到弱拓扑，7 是l i p s c h i t z 连续的 关于常数f 0 ，且对所有的“，y d ，r l ( u ，1 ，) = 一叩( 1 ，“) ； ( 饼) ，丁，a ，g ，7 7 在d 上有o 对角凹关系； ( 砷a 满足( a 1 ) 希1 ：i ( a 2 ) ，b 满足( 么3 ) 一( 彳6 ) ，且，孝 一f 嬲i l w 一“| 1 2 - f ln ( t u ，a w ，g w ) 一n ( r u ，a u , g w ) 1 1 2 + 万j 1 w u l l 2 一f 娜? ，a u , c 乏) 。j w 一“0 _ g n u ! 卜卅c | 1 w - “卜d 卜圳“， 2 一“| i ( c + 万一f m s - , a p 2 f 2 ) l l w 一甜卜 n ( t u , a u , 觎) 忙跏1 1 - d 咖1 o 由引理1 1 知存在某个w d 满足辅助问题( 2 1 ) 假设，是辅助问题( 2 1 ) 的任意 2 个解分别满足( 2 3 ) 和( 2 4 ) 分别在( 2 - 3 ) 和( 2 4 ) 中取v = w 2 ，和1 ，= ，然后将得 广义强非线性混合似变分不等式解的存在性和算法 到的不等式相加，则有 ( ( 川，彳w ，眺) 一( 巩，么w 2 ，g w 2 ) ，叩( w 2 ，m ) ) + 口( m w 2 ，w 2 一) o 由( 1 ) ，( 4 ) 和叩( ，叱) = 叩( ，) ，我们有 坚x 激列1 ) 叫巩挑，g w 2 ) 州) )( ( 川，么，眺) 一( 巩，彳心，叩( w l ，w 2 ) ) + 口( w l 一心，一w 2 ) 0 从而，我们得知w l = w 2 即w 是辅助问题( 2 1 ) 的唯一解存在一个映射厂：d d 满足对 每一个甜d ，厂( “) 是辅助问题( 2 1 ) 的唯一解往证厂是一个压缩映射事实上对任意的 u 1 ) “：d ，存在= 厂( “) ，= 厂( “2 ) 分别满足( 2 5 ) 和( 2 6 ) 分别在( 2 5 ) 中取1 ，= ， ( 2 4 ) 中去取1 ，= w 1 ，然后将得到的不等式相加，则有 ( 艿_ f 脚一p 2 i 2 + c ) 慨) 一厂( 训2 ( ( 矽( “) ，a s ( “。) ，矽( ) ) 一( 可( “：) ，( ) ，可( “。) ) ，7 7 ( 厂( 坼) ，厂( “：) ) ) + ( ( 可( “：) ，( “。) ，够( “。) ) 一( 矽( “：) ，矽( “：) ，盯( “。) ) ，7 ( 厂( ) ，厂( “：) ) ) + ( ( 巧( “：) ，( “：) ，盯( “。) ) 一( 巧( “：) ，( “：) ，g f ( u 2 ) ) ，7 7 ( 厂( ) ，厂( “：) ) ) 切( ( “。) 一厂( “：) ，厂( “。) 一厂( u 2 ) ) r 孝l l u 。一“：州厂( “。) 一厂( “7 ) 1 1 ， 因此 帜“- ) 一厂( “z ) 忙5 - r m s 3 p 2 f 2 + c 1 1 u 1 - - u 2 1 由( i v ) ，知厂在d 上是一个压缩映射因此有唯一不动点余下的证明过程和定理2 1 相似 证毕 辽宁师范大学硕士学位论文 3 算法和收敛性 算法3 1 ( 1 ) 赋初值u o d ； ( 2 ) 在辅助问题( 3 1 ) 中，计算 ) 脚c _ d ，u n + 。d 表示辅助问题( 3 1 ) 的解， 即 ( 竺p 1 ) b 山( 9 7 u ：劣二；出u ：仁p 巩a ( u n 竺? 掣键) ) d ， ( 3 1 ) 一 ，1 ，) + p 6 ( g ，肘1 ) 一+ l ，1 ，一甜肿1 ) ， v v ， 、。“7 其中p 0 是常数； ( 3 ) 任给占 o ，若恢+ 。一吒0 - p ( ( 死。，a u n , g u 。) ，7 ( 1 , ，u n + 1 ) ) f 39 、 一p b ( 州，v ) + 加( 西州，u n + 1 ) - p a i u 川，1 ，一“川) ，v v 白 一7 其中p 0 是常数； ( 3 ) 任给占 0 ，若i i 吒+ ，- x 1 l 0 口，b ：d x d 一( 一0 0 ，佃】 满足( 么1 ) 一( a 6 ) ，且，善 o ； ( f f f ) 在第一变元关于r 是叩松弛上强制，具有存在常数口 0 ，n 在第二变元关于 彳是刁强单调，具有存在常数 0 ，n 在第三变元关于g 是刁上强制，具有存在常数 万 0 ，n 分别在第一、二变元是l i p s c h i t z 连续的，各自具有常数p ，q 0 ，t ，a 是l i p s c h i t z 连续的，分别具有常数i ，j o ，其中 r 善+ a p 2 f 2 ； ( i v ) h ：d 专r 是强凸的，具有常数 0 ，且h 是连续的从弱拓扑到强拓扑； 广义强非线性混合似变分不等式解的存在性和算法 我们有以下结论： ( ，) 问题( 1 1 ) 有唯一解“d ； ( 口) 对每个( 脚) d ，存在一个唯一解“川d 满足辅助问题( 3 1 ) ； c 嘴脚丽考紫褊， 3 ， 贝0 由算法( 3 1 ) 产生的迭代序列 “。j 收敛到i 司题( 1 1 ) 的唯一解“d 证明：首先我们断定问题( 1 1 ) 解的存在性和唯一性事实上，由( i i i ) 可导出 ( ( 死，a u , 仇) 一( n ，a v , g v ) ，叩( “，1 ，) ) = ( ( 死，a u , ) - n ( r v ，a u , 渤) ，7 7 ( “，1 ，) ) + ( ( n ，a u , 觎) 一( 乃，a v , 觎) ，叩( “，v ) ) + ( ( n ，a v , g 钮) 一( n ，a v , g v ) ，刁( “，1 ，) ) 一a p 2 f 2 i l u v 6 2 + f l u v 8 2 + 刮( n ，a v ，觎) 一( 乃，a v ， ) i 1 2 _ ( f l - a p 2 i 2 ) i l u 一1 ，1 1 2 v u ，y d 即关于丁，a ，g 是刁强单调的，且具有常数旯= 一a p 2 i 2 0 由假设1 1 知注记1 3 中 的( m 3 ) ，( m 4 ) 成立，从而引理2 1 的条件全部满足，由定理2 1 知问题( j 1 ) 有唯一 解“d 下证对任给的u n d ，辅助问题( 3 1 ) 中的解存在且唯一我们简写( 3 1 ) 如下： 求z d 使得 ( p b ( g u 譬絮盈翥5 1 p ( 砜a ( z 警摹”弛d 主) ( 3 4 ) + 。，z ) 一户6 ( 。，v ) 一，1 ，一z ) ，v 1 ， ”。 对任给的“。d ，定义映射，y ：d x d r ， 矽( v ，z ) = ( 办p ) 一h ( ) ，v - ：z ) + e ( n ( r u 。，么g u 。) ，叩( y ：z ) ) 二p 6 ( g u 。，z ) + p 6 ( 剁。，) + 户口【z ，v z ) ， v ，z e d ， v ( v ，z ) = ( 办( z ) 一办7 ( “。) ，v - - z ) + 户( ( 死。，么“。，g u 。) ，叩( v ，z ) ) 二户- 6 ( 罟砧。，z ) + 户，6 ( g 以，1 ，) 阜p 口( z ，1 ，一z ) ，v 1 ，z d 往证矽，y 在弱拓扑中满足引理1 2 中的所有条件对任给的v ，z d 矽( v ，z ) - v , ( v ，z ) = ( 办：( v ) 一j j l 7 ( z ) ? v z ) = 二( 矗7 ( 1 ，) ，z 一1 ，) 一( ? ( z ) ，1 ，一z ) 1 2 辽宁师范大学硕士学位论文 j i l ( v ) 一无! ：z ) + 等o v z 1 1 2 + h ( z ) 一j i l ( v ) + 詈i i v z u 2 - 1 l v - = 1 1 2 0 ， 且沙【v ，1 ，) 0 由于b 在第二变元是凸的，a 是强制连续的，又f h 注记1 1 和假设1 1 ，知 对每一个1 ，d ，妒( v ，) 在d 上是弱上半连续的易证对每一个固定的z d ，集合 v d v ( v ，z ) - p c l l z , - 哪o ， 这意味着五= 乞从而辅助问题( 3 4 ) 在d 上有唯一解令u n + 。= z ，则“川满足( 3 4 ) 最后我们证明由算法3 1 产生的迭代序列 “。) 脚在条件( 3 3 ) 下是收敛的 定义函数 c ：d 一( o 。，悯) ， c ( v ) = h ( u ) - h ( v ) - ( h ( v ) ，”- v ) ，d 由h 的强凸性，( m 1 ) 及在( 3 1 ) 中取，= u ，则 c ( u 。) 一c ( u 川) = ( “槲) - h u 。 = u 。t ) - h u 。 = 五u 斛1 ) - h u 。黪 ( u 。 ( ( u 。 “ “ “ 铷。鸭i | 2 p ( n ( t u 。，么g u 。) ，叩( “，) ) 埘g u n , u n + 1 ) 一加( 。，“) 一p 口( 。，“一。) 等0 “州一0 2 一p ( ( 巩，彳，g ) 一( 砌，么“，g z f ) ，叩( “，+ ) ) - p ( n ( 刀u ，么“，m + ) ，刁( “+ ，+ 。) ) + 加( 。，。) 一加( 。，u ) 一p 彳( u n + 1 ，u * 一u n + 1 ) 在( 1 1 ) 中取“= u ，v - u 川，有 ( 3 9 ) 1 4 “ 0 一“ 一 、，、厂卜 + n 心 一 “办 口 - 。以卜 m i (一+ 、7，吖州 “ “ 一 一 一 1 、l，、i，、l， 辽宁师范大学硕士学位论文 等l l u n + , - - u n l l 2 + 户( ( 死。，彳”。，g “。) 一( 死，彳“，g “) ，叩( “。“，“) ) + p b ( g u ) 一加( 蹦，1 ) 一膨( “，l 一“) ( 3 1 0 ) + 加( 。，“州) 一加( 。，“) 一艘( 小“一甜州) p 2 u + l - w 堆0 u n + 1 - - u * | 1 2 + q ， 兵中， q = p ( n ( t u ，a u n , 觎。) 一( 死，么”+ ，g u ) ，刀( “。+ 。，“+ ) ) + 加( “，“) 一矽( 材，u n + 。) + 矽( ，+ 。) 一胪( u n ) 誓j ) = p ( n i 死。，a u n ) 。) 一( 死，么“，g u ) ，叩( “) ) + p ( ( 死。，, d u n , g u 。) 一( 死。，彳“，g u ) ，刁( + 1 ) u n ) ) + 矽( “，“) 一p b ( u ，。) + 矽( u n ) u n + 1 ) 一加( “) =p(死。，auc五)-n(tu，au，gua,7(un ，“) ) + 1 0 n ( t u ，彳，g ) 一( 死，彳“。，g 吆) ，7 7 ( ，“) ) + p ，n ( t u 。，彳“+ ，g u 。) 一( 死，么“，g u ) ，叩( 甜+ ) ) + p , ：n ( t u 。，a u n , g u 。) 一( 死，a u n , g u a 7 ( u n + 1 ，u n ) ) + p , n ( t u ，a u n ，g u 。) 一( 砌，彳“，g u a l 7 ( u n + 1 ) ) + p ( ( 死，彳“，g u 。) 一( 死。，彳“，g u ) ，1 7 ( u n + 1 ，u n ) ) 一 加( 。一。，“) + 加( 影g u n ，。) 一p b ( g u 一西。，) 一p b ( g u 。一) u n ) 一p 口i l ( 死。，么“。，g “。) 一( 死，么“。，g ) | | 2 + 筇l l u 一“l j 2 + ( 死+ ，么“+ ，g u 。) 一( 砌，么甜+ ，觎硝 一p l ；v ( t u 。，彳，g u 。) 一( 砌。，彳， 。) | | |