（应用数学专业论文）一类拟线性椭圆方程解的存在性问题.pdf

摘要 本文主要考虑拟线性椭圆方程z 摘要 ( 1 i ) 的非平凡解的存在性问题其中k 0 是常数，4 p o ，使得1 i my ( z ) = ，y ) k ； l z 卜_ t o o ( k ) 存在正的常数c ，7 n ，使得 m ) 一k 南，l z i 吼 本文共分为四章 第一章，介绍临界点理论的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明 第二章，运用n e h a r i 方法讨论方程( 1 1 ) ，并得到一个非平凡正解的存在性结 果； 第三章，讨论了方程( 1 1 ) 在满足、( 比) 、( ) 的条件下，变号解的存在性 结果 第四章，讨论在群g 作用下不变的椭圆方程 r 蚪时七a 扎( 倒u 2 ) u ( = f l 蜒则 解的存在性情况其中，( z ，) 是超线性和次临界函数，且在群g 作用下不变， 即，厂( 9 e ，f ，) 一，( 上，t 正) ，v g g ，z 毫n 关键词；拟线性椭圆方程；变分法；非甲凡解；正解；变号解 r蜒 一 r u 砖q 以f l i 动畎 勺 双卜 u 哪 ，j、 中文文摘 中文文摘 在数学、物理学，生物学、医学和控制论等诸多科学领域中出现了各种各样的 非线性问题，且在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了现代分析中一个非常 重要的分支一非线性泛函分析它主要包括变分法，不动点方法和拓扑度方法等内 容，为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤 其在处理应用科学提出的各种非线性问题中发挥着不可替代的作用目前实际问题 中不断涌现出大量的非线性微分方程问题，需要人们深入研究，在这一过程的非线 性分析中，变分法已经一次又一次地被证明是解决微分方程初值问题的强有力的工 具之一微分方程中的变分法是把微分方程边值问题化为变分问题，以便运用分析 的方法考虑方程解的存在性、解的个数及求其近似解的方法。即将研究方程的解转 化为该微分方程所对应的能世泛函( e u l e r o l a g r a n g e 泛函) 的临界点，其中微分方 程的弱解就是其临界点，于是寻找泛函的临界点成为解决问题关键所在迄今为止 经过许多数学工作者长期努力的研究，这种分析方法逐渐形成了一个解决非线性问 题的数学方法一变分法 本文正是运用这种变分法考虑一类拟线性椭圆方程非平凡正解、变号解的存在 性问题我们的方法和技巧主要是受文【1 ，2 ，9 ，1 1 】的启发 本文主要考虑拟线性椭圆方程： f 一“+ + k ( u 2 ) u = y ( z ) i u i p 一2 u ，名r 【 1 1 1 ( r ) ，让( z ) 一0 ，m _ o 。 ( 1 1 ) 的非甲凡解的存在性问题其中k 0 是常数，4 p 0 ，使得 i l nv ( x ) = k ，v ( x ) v o ； l 罩i o ( ) 存在正的常数g ，m ，使得 “斋，川 本文共分为四章 第一章，一些预备知识，通过介绍临界点理论的一些基本知识，基本引理以及 蝗记号说叨，以便后面各啦节的应用 i i i 福建师范大学李文明硕士学位论文 第二章，这一章主要是运用n e h a r i 方法讨论方程( 1 1 ) ，并得到一个非平凡正 解的存在性结果这个方程的困难主要有两点t ( 1 ) 涉及到二阶空间导数的非线性项在变分法中，导致这种困难的就是下面 的4 阶齐次且非凸的非线性泛函 圣( 牡) = i 1 2 让2 ( 2 ) 缺乏紧性问题，因为我们常常在整个无界区域，如酞n 上考虑问题的 不过，我们给出了条件( k ) 、( k ) 以及一些引理，克服了上述两点困难，得到如下 结论： 定理2 1 1 假设v ( x ) 满足条件( m ) 、( k ) ，七是个大于0 的常数，4 p 。o 则问题( 1 1 ) 至少存在个正解 第三章，我们研究的是方程( 1 1 ) 在满足( ) 、( ) 、( ) 的条件下，变号解的 存在性结果我们先定义函数 必归l 牟裳瑚喇， l - o ， 如果乱= 0 和集合 丙= 仳胃1 ( r ) 1 1 q ( u 士) 一1 i 两c ，l z i r o t h ct h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n c ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g eo fc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n d s o m eb a s i cl e m m a s i na d d i t i o n ，w eg i v es o m en o t a t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w ea d o p tt h en e h a x im e t h o df o rp r o b l e m ( 1 1 ) t oo b t a i na n o n t r i v i a lp o s i t i v es o l u t i o n 1 1 , c h a p t e rt h r e e ，u n d e rt h ec o n d i t i o no f ( ) 、( k ) 、( k ) ，w eo t a i nap a i ro f s i g n c h a n g i n gs o l u t i o n so fp r o b l e m ( 1 1 ) i nc h a p t c rf o u r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rag - i n v a r i a n te l l i p t i c e q u a t i o n r - - a u + t + k ( u 2 ) = ，( 。，u ) ，z r n 【t 上1 ( r n ) w h e r e ，( z ，牡) i sas u p e r l i n e a r i t ya n ds u b c r i t i c a lf u n c t i o n ，a n ds y m m e t r yw i t hr e s p e c t t oag l o u pg ，t h a ti s ，l ( g x ， i t ) = ，( z ，廿) ，v 夕g ，z r n k e y w o r d s ：q u a s i l i n c a re l l i p t i ce q u a t i o n ；v a r i a t i o n a lm e t h o d s ；n o n t r i v i a l s o l u t i o n s ：p o s i t i v es o l u t i o n ；s i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n s i i 福建师范大学学位论文使用授权声明 本人( 姓名)李妻咀学号2 q q 昼q 鱼墅专业廛旦塾堂所呈交 的论文( 论文题目：一类拟线性椭圆方程解的存在性问题) 是本人在导师指 导下，独立进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除论文中已 特别标明引用和致谢的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的研究成果对本论文的研究工作做出贡献的个人或集体， 均已在论文中作了明确说明并表示谢意，由此产生的一切法律结果均由 本人承担 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：福 建师范大学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被查阅 和借阅；本人授权福建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，并按国家有关 规定，向有关部门或机构( 如国家图书馆、中国科学技术信息研究所等) 送交学位论文( 含纸质版和电子版) ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名：查文硝 签名日期2 叫年6 月卯 指导教师签名 獬嗍。7 钟 0 1 研究背景及已有结果 绪论 变分法是人们理解数学及其在自然科学领域的应用的重要工具之一其根本原 因在于变分法不仅可以用来解决许多重要的具体问题，更重要的是变分法所蕴含的 原理一变分原理，是非常普遍的自然法则，来自物理、生物、经济、工程等不同分 支的许多自然现象都服从这一法则 描述来自不同背景的自然现象，可以归结为许多非线性微分方程的求解问题 而这毪方程的求解从抽象的观点去考察，可以归结为求解如下形式的非线性算子方 程 a ( x ) = o( o 1 1 ) 这里a ：x 一 姓一个映射，x 和y 是两个b a n a c h 空间当这个非线性问题具 有变分结构时，即存在可微非线性泛函j ：x _ r ，使得 ( 他垆v u ) ，归溉坐塑竽型，y u ，口x ( 0 1 2 ) 这时空间y 相应地是x 的对偶空间x ，那么求方程( 0 1 1 ) 的解等价于求 j 7 ( 乱) = 0( o 1 3 ) 的解? ，x ，即 t l 满足 ( j 7 ( u ) ，u ) = 0 ，x( o 1 4 ) 我们称满足( 0 1 3 ) 的函数u 是泛函- ，的临界点，因此求解具有变分结构的非线性 问题的解等价于求其能量泛函的临界点寻找泛函临界点所形成的数学理论称之为 临界点理论 一个简单的事实是如果一个可微泛函j 在某个钍点处达到极值，则根据f e r m a t 原理，7 2 必然满足( 0 1 3 ) ，即u 是泛函，的临界点如果泛函是下方有界的，在泛 函具有下确界通过极小化原理，我们可以研究泛函是否可以达到它的下确界经 典的临界点理论主要是讨论泛函的极值和极值点的存在性对于强不定泛函，经典 理论不再适用如鞍点型临界点，是不可能用极小化方法找出来的 现代变分法对非线性问题的研究起始于1 9 1 7 年在有限维情形下，b i r k h o f f 建立了极大极小方法，从寻找泛函的临界点值入手，研究临界点的存在性随后 1 福建师范大学李文明硕士学位论文 m o r s e 建立了著名的m o r s e 理论一m o r s e 不等式，揭示了非退化函数临界点的个数 及类型( m o r s e 指标) 与函数定义域的拓扑结构之间的深刻关系，其后不久b i r k h o f f 证明了m o r s e 不等式实际上来源于他的极大极小方法与此同时，l j u s t e r n i k 和 s c h i n r e l m a n n 发展了这一思想，用来研究亏格为0 的紧曲面上闭轨线的存在性这 些方法和结果标志了大范围分析的开端 有限维情形和无穷维情形的最大本质的区别是紧性2 0 世纪6 0 年代，p a l a i s 和s m a l e 对泛函引入了著名的p a l a i s - s m a l e 紧性条件，克服了无穷维流形没有紧性 的缺陷，把m o r s e 理论推广到无穷维情形，使得无穷维情形下的大范围分析作为工 具在偏微分方程理论研究中得以应用 2 0 世纪7 0 年代，a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z1 9 7 3 年建立了著名的山路引理，并 且应用于半线性微分方程的多解存在性的研究这是现代极大极小方法的开端，完 全改变了研究具有变分结构的非线性问题的方法，随后r a b i n o w i t z 建立了著名的 鞍点定理，通过整体环绕建立极大极小型临界点 那么什么是极大极小方法? 极大极小方法就是把泛函，的临界值刻划为泛函在 一个适当的集合类上的极大极小值的方法t 即这个值可以形式地表达为 c = i n fs u p1 ( u ) ( 0 1 5 ) 孑u e a c 是否能够成为一个泛函的临界值，取决于以下几个因素t ( 1 ) 泛函，要满足某种紧性； ( 2 ) 选择合适的集合类孑； ( 3 ) c 有意义 紧性涉及泛函本身及其定义空间x 的整体性质集合类孑是x 子集族，一个 合适的集合类应当在拓扑上具有某种共性空间x 的一个对称闭子集的亏格是一 种指标，娃拓扑不变量，利用对称闭集的亏格来构造集合类，进而建立极大极小值 这一思想是极大极小理论的重要组成部分，属于临界点理论一个重要分支一指标理 论 2 0 世纪8 0 年代，张恭庆建立和发展了孤立临界点的无穷维m o r s e 理论，把几 种不同的临界点定理纳入了一个新的统一的理论框架 极大极小方法和m o r s e 理论一成为现代临界点理论的重要组成部分从直观上 来看，这两种方法在寻找临界点的切入点不同，极大极小方法利用环绕建立极大极 小值，通过找到临界值而得到临界点的存在性，无穷维m o r s e 理论通过比较泛函临 界点局部拓扑类型与泛函的定义域的拓扑结构之间的关系寻找临界点；本质上讲， 2 这两种方法寻找临界点的思想相同，都要刻划泛函水平集的拓扑变化形变 今年来临界点理论与应用得到了重大发展，人们尝试把无穷维m o r s e 理论、极 大极小方法和其他非线性分析方法结合起来研究变分问题，在对非线性问题研究中 取得了丰富的成果拟线性椭圆型微分方程就是临界点理论应用的重要模型之一 本文将应用变分法研究一类具有非线性项的拟线性椭圆方程解的存在性 方程 i a , z = - a z + y ( z ) z f ( i z l 2 ) z k a h c i z l 2 ) h ( i z l 2 ) z( o 1 6 ) 主要来源于些物理现象的模型其中v = y ( 髫) ，o r n ，是个给定的函数，七是 实常数， h 都是实函数当k = 0 时，方程( 0 1 6 ) 就是半线性椭圆方程，这种情形已 被广泛地研究过( 如，b e r e s t y c k i 和l i o n s 4 1 ，1 9 8 3 ；f o e r 和w e i r s t e i n 4 2 ，1 9 8 6 ；f 乙扣 b i n o w i t z 2 1 ，1 9 9 2 ；s t r a u s s 2 5 ，1 9 7 7 ) 形如( o 1 6 ) 的方程在数学物理中经常出现 当函数h 发生变化时，方程可以表示某些物理现象，如，若k 0 ，h ( s ) = s ，则可 得到方程 i a t z = - a z + y ( z ) z l ( i z l 2 ) 名一k ( a l z l 2 ) z( o 1 7 ) 这个方程就是等离子物理中的超流体薄膜方程若h ( s ) = ( 1 + s ) 砉，方程( o 1 6 ) 是 物质中高功率超短波激光的自沟道效应模型方程( 0 1 6 ) 在等离子物理和流体力 学、海森堡铁磁体和磁子理论、消耗量子力学和冷凝物质理论中都有应用现在的 数学文献中很少出现与方程( o 1 6 ) 和( o 1 7 ) 有关的成果2 0 0 2 年，m p o p p e n b e r g 等【9 】运用变分法证明了形如( o 1 6 ) 和( 0 1 7 ) 的方程驻定波动解的存在性令 z ( t ) 皇e 叩( 一i a t ) “( z ) ，使得相应的椭圆方程具有变分结构作者主要研究了如下椭 圆方程 - a u + y ( z ) u k ( a l , , 1 2u = 0 1 , , , i p - 1 u( 0 1 8 ) 此方程是由方程( o 1 6 ) 令 ( s ) = s ，i ( 8 ) = 口s 孕，p 1 得到的文章主要证明了 对0 任意大的值，方程都至少存在一个正解解决方程( 0 1 6 ) 、( 0 1 7 ) 和( o 1 8 ) 这类问题的困难主要有两个t ( 1 ) 涉及到二阶空闯导数的非线性项在变分法中，导致这种困难的就是下面 的4 阶齐次且非凸的非线性泛函 蜘) = z 衅u 2 ( 2 ) 缺乏紧性问题，因为我们常常在整个无界区域，如r n 上考虑问题的 m p o p p c n b c r g 等【9 】通过运用b r d z i s - l i e b 引理 1 4 】和l i o n s 集中紧原理【1 8 ，1 9 】解 3 福建师范大学李文明硕士学位论文 ( 2 ) 缺乏紧性问题，因为我们常常在整个无界区域，如r n 上考虑问题的 m p o p l m n i m r g 等1 9 j 通过运用b r 叠z i s - l i e b 引理【1 4 】和l i o n s 集中紧原理【1 8 ，1 9 】解 决了这些问题，并获得相应方程正解存在性的结论以一维方程为例，0 酞 一t t 十y ( 搿) “一( u 2 ) 礼= e l , , i p 一1 仳，玎：r( o 1 9 ) 作者把y ( z ) 的条件分成3 类 ( 1 j ) v ，”( r ) ：l 7 是j 嗣期函数； ( i 乞) v 厂，”( r ) ，y ( ) _ j i y l k 一，l z l 一。o ，p 之3 ； ( k ) y ( 卫) 一。c ，_ 。，p 1 ； 并分别证明方程( 0 1 9 ) 在以上三种条件下正解的存在性 对于一维的情形，2 0 0 3 年a m b r o s e t t i 等【l i 也做了相关工作，他们用n e h a r i 方法证明了方程 卜+ v ( x ) u 一七( 2 ) 钍= u p ( 0 1 1 0 ) iu 日1 ( r ) ，“ 0 7 存在正解同样对y ( z ) 满足上面的( k ) ，( k ) 、( k ) 进行相关的分类讨论 2 0 ( 1 4 年刘嘉荃等1 7 j 对如下拟线性椭圆问题进行了研究 - a 7 ：j ，二关) 一 ( ( i 牡1 2 ) ) 仳= a i 牡i p 一1 u ，z r n ( o 1 1 1 ) l 符1 ( r n ) 、 7 其中4 p + 1 0 ，且v = y ( z ) ，z r n ，满足 ( i ) v o ( r n ，酞) ，0 v o ：= i n 。f 。v ( x ) 比 o 。 口h ( i i ) 存在正的常数m ：a 和n ，使得对m 4 y ( z ) 亿一再访 作者主要得出如下两个结论： ( j ) 4 z j + 1 两4 n ，若( i ) 成立，则方程( o 1 1 1 ) 至少存在一个正解 ( 2 ) 4 p + 1 0 是常数，4 p 0 ，是有界的且在r 上h s l d e r 连续函数 ( i 乞) 存在，使得1 。i mv ( x ) = v o ，且v ( x ) 首先，本文运用n c h a r i 方法讨论一类拟线性椭圆方程( 0 2 1 ) 在条件( m ) 一( ) 的情形下存在非下凡正解接下来，我们继续讨论方程( o 2 1 ) 在条件( ) 一( k ) 以及 ( k ) 存在正常数u ，7 7 1 , ，凰，使得当r 0 p y ( z ) 一i = 一 r l m l 一。- 的情况下存在变号解在解决这类缺乏紧性问题时，我们一般都需要假设条件( k ) 成立，但如果不假设y ( z ) 在_ o o 时存在极限，而在一中设v ( x ) 在某个无 限群a 作用下不变时，这时我们知道驴是紧嵌入到s o b o l e v 空问的，从而可以得 到相应方程正解的存在性，本文将在最后给予陈述 本文共分为四章 第一章，介绍一些临界点理论的基本知识，基本引理以及一些记号说明 第二章，运用n e h a r i 方法讨论方程( 0 2 1 ) ，并得到一个非甲凡正解的存在性 第三章，证明方程( 0 2 1 ) 在( ) 一( ) 条件下存在变号解 第四章，讨论方程 - a u + ，：七( ( 钍2 ) ) 锃= y ( z ) f 钍 p 一2 缸，茹r n ( o 2 3 ) i “h 1 ( r n ) 一一7 在某个无限群g 作用下不变，正解的存在性 5 福建师范大学李文明硕士学位论文 第1 章预备知识 首先，我们给出一些记号 整篇文章中，b a n a c h 空间e 的对偶空问用e - 1 表示硪( r ) ，驴( r ) 都是标准 的s o b o l e v 空问，范数分别用”l ，f p 表示除非另有说明，c ，g ，c ，c ，d ，d i 表示 不同的正常数符号”_ ”表示强收敛，符号”一”表示弱收敛 接着，将介绍临界点理论中的一些定义，引理等， 定义1 0 1 ( ( p s ) 条件) ，设f r e 是一个b a n a c h 空问，且i c 1 ( e ，r ) 我们 说，满足( r n ) ，条件，蒋对e 中任意满足，( ? 。) 一r ：开1 i ，协“。) | i e t _ ( ) 的序列7 t ，。 都有一收敛子列。若对任意c r ，( p s ) 。条件都满足，我们说歹满足( p s ) 条件 定义1 【) 2 ( ( p s ) ：条件) ，没c r e 是一个b a n a c h 空间，且i c ? 1 ( e ，r ) 我 们说，满足( e s ) ：条件，若对e 中任意满足i ( u n ，) 一c 且i l ，i t ( ，t 。，) _ 0 ( 当 ? ，一x 川m v 。) 的序列1 n 都有一收敛子列 引理1 0 1 ( s o b o l c v 嵌入定理) 下面的嵌入映射都是连续的： 1 ( r n ) cl p ( r n ) ，2 p o o ，n = l ，2 阿1 ( r n ) cm ( r n ) ，2sp 2 + ，n 3 d 1 ，2 ( r n ) ) cl 2 ( r n ) ，n 3 引理1 0 2 ( r c l l i c h 嵌入定理) 若i q i o o ，则下面的嵌入映射是紧的： 础( q ) c 扩( q ) ，l p 0 ，使得，( 乱) a ，| f u l l = p ； 6 预备知识 ( i i ) 存在e e b p ( o ) ，使得z ( e ) 0 令r 足e 中连接0 和c 的道路的集合，即 r = 7 g ( 【o ，1 】，e ) ：- r ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = t = ：) 则r 化，且若，满足( p s ) 条件，那么c 是，的临界值 引理1 o 5 ( e k l a n d 变分原理【8 1 ) 设e 是一个b a n a c h 空间，泛函i e 1 ( e ，r ) 且 下有界，f ，e 和s ，l ： 0 若 伽) i n e f ，+ e 则存在1 t e ，使得 ，( “) si n e f + 2 e ，l it ( u ) 1 1 了8 6i l u 一训2 6 也 。 最后，我们给出偏微分方程理论中的一些不等式 h s l d e r 不等式：设qc 则是一个可测集，p 1 ，q 1 ，且石1 十号若，l p ( q ) ，9 l ”( q ) ，贝，口l 1 ( q ) ，且 ：1) l d ( ! i ，( z ) i 。，石( fg 。d f ( x ) g ( x ) l d x p 1 i g ( x ) lz ) - l( i 厂( z ) i 。，石( 。z ) ，n，n，n 基本不等式：任意的mb r ，7 n l ，有 l n 十b 1 ”之1 0 l m + l b l m d ( 1 0 l m - 1 l b l + l a l i b i m 一1 ) 成立 c a f f a r e l l i k o h n - n i r e n b e r g 不等式l ( 一印p 如) ；q 6 砌l 似1 2 d x j r n ，r 其中n 3 一o 。 n 盟产暑bso + 1 ，p = 丙= 磊2 再n 碉。 7 、l ，d“ 2 吾叫 m 州 f r m 垤 = c 记再 福建师范大学李文明硕士学位论文 第2 章一类拟线性椭圆方程正解的存在性 2 1 引言及主要结果 这一章我们将考虑如下拟线性椭圆方程的正弱解的存在性： f 叫”蜘一k ( u 2 ) 札= v ( z ) l “l p - 2 “，z r( 2 工1 ) lt 1 ( r ) ， u ( z ) 叶0 ，l z l 一0 3 ， z r 、 其中k 是正的常数，4 p ( 1 ：使得1 i mv ( x ) = v o ，y ( 。) v o 近几年来，很多学者研究过类似的问题，如，后= 0 时，朱熹甲【1 1 】考虑了 r ( n 芝3 ) 上半线性椭圆方程 f 一仳+ u = q ( x ) l u l 一2 乱，z r n i “1 ( r n ) 其中1 0 a e 作者考虑了如下二种不同情形下 v 7 l “( 酞) ：v 足周期函数。p 3 ； v l 0 。( r ) v ( x ) _ i l y 0 l * ，l z i _ 。o ，p 3 ； v ( 卫) _ _ 。，p l 方程正解的存在性 第2 章一类拟线性椭圆方程正解的存在性 除此之外，丁伟岳等【3 】，a m b r o s e t t i 等【1 】以及刘嘉荃等【7 】也对类似问题正 解的存在性作了很多有意义的工作 这一章，我们将采用变分法来研究方程( 2 1 。1 ) 在e = 明( r ) 下的弱正解的存 在性其中川( r ) 姓通常的s o b o l c v 空间，其范数定义为 1 2 = ( 1 1 2 + u 2 ) 如 函数仳e 称为方程( 2 1 1 ) 的弱解，如果对所有的妒卵，有 丘u 7 + 仳+ 4 七上t $ 2 u l t 多i = 上v ( z ) l 训p 一2 u 在e 上定义e u l e r - l a g r a n g e 泛函， ，( 札) ：丢上( i u l 2 + i 1 2 ) d x + 七上i 似1 2 d x 一三上y ( z ) i u i p d x ( 2 1 2 ) 由m p o p p e n b e r g 9 j 和s o b o l e v 嵌入定理知我们的问题具有变分结构，给定钍e 和咖( 铲，沿方向在t 上的n 导数用( j 7 ( u ) ，) 表示，定义为( ，7 ( 札) ，) = l i m 业型掣容易算得 ( ，( u ) ，妒) ： + u + 4 七 铲牡，一 y ( z ) l u i p - - 2 , ，r- ，rt ，r 因此“是问题( 2 1 1 ) 的一个弱解当且仅当泛函，沿任何方向c 铲在u 上的导 数为零由此可知泛函r ( u ) 的临界点就是问题( 2 1 1 ) 的弱解 本章的主要结论如下； 定理2 1 1 设v c z ) 满足条件( v ) ，且k 0 是常数，4 p 0 ，且岛一0 ( n o o ) 由c 0 的定义可知，存在 。 ，仗得 厂( ) c + s ： 由e k e l a n d 变分原理，存在扣，jca i 对任意的w j 7 i ，满足 因此 ，( t “。) l ( u 。+ ) + e 。l 住。一l 口i l，7()ll=；lim。su。p，。!竺22掣 证毕 引理2 2 2 在，厂1 ( r ) 上仳，。j 仳，设协。= 嘶。一u 则 岛_ 0 l i mi n f1 1 t n - 1 ；l i mi n f1 1 1 l ；+ m 睦 证明：m p o p p c n b c r g 等【9 】已经给出了该弓l 理的证明，为了完整，这里我们 给出其简要证明过程 因为“二= 吒+ t z 7 和“。= 1 n + ，我们得到 ( t ：。) z ( ) 2 = ( 心) 2 2 + ( u ，) 2 让2 + ( ) 2 牡2 + ( u ，) 2 砖+ 2 ( 以) 2 + 2 ( “，) 2 鲰乱+ 4 u + 2 乱7 2 + 2 7 铲 上式右边第3 、4 项是非负的，因此我们只需证明当礼_ o o 时，第5 - 9 项趋于0 即 可。先考虑第5 项，因为对任意的钍( z ) h 1 ( r ) ，有让( z ) _ o o ，川_ 0 0 ，所以必 存在f ，使得l u ( z ) lse ，蚓r 因此 p， r r l ( ) 2 “l ( ( 疋) 2j 嘞l + ( 吒) 2j l l i 1 0 第2 章一类拟线性椭圆方程正解的存在性 得到 ，y ( ) ，y ( 霞n ) = 0 由引理2 2 3 ，存在以f 0 ，1 】，使得缸n m ，由引理2 2 5 有i c 他) j ( u ) ，所以 c o ，( o n 讧。) ，( 巩。e k ) ，( 吗。) = j + o ( 1 ) 因此，当，t 足够大时，有 f 柚 j 我们说，0 ，否则在1 ( r ) 上2 l 。一o 讹。) 一，( 钆。) = ；1 ( v o y ( z ) ) i u n i p 如 因为1 i r ay ( 求) = k ， j ：i l i r a ，( ) = l i mi ( u 。) = 国 t l 0 0l r l _ 0 0 i - - j 样，我们有 0 = ，y ( 惕；) 一，y ( n ) + o ( 1 ) 由引理2 2 3 ，存在n 使得t n u n m ，则7 ( n u n ) = 0 因为0 札nl i 是有界的， 易知t 。也是有界的，因此我们有 ，o 。( 。 z n ) = r c t n u n ) + o ( 1 ) = 又因为0 0 ，由l i r a i n f 3 , ( t k ) + ，y ( 钍) 0 知l i 。m ，y ( 2 k ) j r ( 以 1 1 2 p n ：l 羌i i 二象廷詈：芝纛，i 靠尸。如 k2 + 簖p ( 砉一砉) 上y ( z ) i 靠i p 如 矛盾：因为靠f h j r 所以由c a s e1 和c a s c2 ，知道7 ( “) = 0 且u m 现在我们证明当1 , 一。c 时 i im 。一，圳_ 0 ，在，1 ( r ) 反证没f 。= i , ，l l l 且当1 , _ 啼o 。时 i l1 hi i = 1 iu 。一让0 _ n 0 因为i i , 。 ， 7 ( f z ，。) = i l 。1 1 2 + 4 后1 1 ? z 。i ；一y ( z ) i ，尸d z = 0 ，r 】4 眦叭 u r rm 厂厶 ，f、_) 以一| p 八产r l p 巾 一 屯 j q 卜 + 叫 第2 章一类拟线性椭圆方程正解的存在性 得到 则 孙，k 层= 五1 上y ) 1 - i p 如一互1 ot | ，li | 2 i l n f n u n 雾1 矬麓i i i i 小冲”d x y ( z ) i l p ( b 一主2 一言厶y ( ：e ) l f h l p “喇计如 一 ，( 钉。三轰：，：彗l 芝ll 酽l , , + l l 。2 丢+ 一( 丢三- ，上三) y f , 。v ，i ( x ) i p l v d , z , i p + d z 。+ 1 ，( 三一言) 上y ( 。) j 扎r 如+ 。( 1 ) 即c o ，( u ) ，矛盾，因为缸m 因此当佗叶o 。时，在日1 ( r ) 上i l 一u0 叶0 所以t 是方程( 2 1 1 ) 的解现在 需要证明1 1 , 0 ，可参见文献f 1 ，9 】注意到方程( 3 1 1 ) 可以写出如下形式 - ( 1 + 2 k u 2 ) 仳= ( y ( z ) i i p 一2 1 + 2 七( ) 2 ) u 若存在_ 0 ，使得t t ( ：r o ) = 0 ，因为0 ，则有仳( z o ) = 0 因此在z o 附近，有 , 1 , n = 0 由强最大值原理知，在x 0 附近t i = 0 矛盾，因为缸m 因此t l , 0 完成定理 的证明 1 5 讣一14。呵 + + + 2 2 2 l一2l一214 = = | l 、i ， lt f ，i ， 福建师范大学李文明硕士学位论文 第3 章一类拟线性椭圆方程变号解的存在性 3 1引言 这章我们主要考虑一类拟线性椭圆方程变号解的存在性问题 j ，一乱+ u 一七( t 1 2 ) u = v ( z ) l u l p - - 2 u ，茹r( 3 1 1 ) l l t h 1 ( r ) ，u ( z ) 一0 ，i x i _ 。o 、。 其中k ( 】是常数，4 p 。o ，y ( z ) 满足第三章中条件( v ) 我们说i t 是椭圆方程的一个变号解，当且仅当让+ 0 ，“一0 ，其中i t + = m a , x t u ，o ，u 一= m a x 一u ，o 椭圆方程的变号解的存在性也被广泛的研究过 朱熹平f 11 1 考虑了半线性椭圆方程 f 一t + “= q ( z ) i t 上1 1 1 札，。r 【 仳h 1 ( r ) ，缸0 在r n ( 5 ) 上存在变号解其中1 ，y 业( n 丝- 2 ) ，q ( z ) 是正的，有界的，h s l d e r 连 续函数，且1 i mq ( z ) = 虿，以及存在正常数c ，m ，r o ，使得当r o 有，q ( z ) 一 ( 7 南 刘嘉苓等【7 】考虑了如下问题 一钍+ y ( z ) 札一去( ( i 训2 ) ) u = 入l u l p - 1 u ，z r n 其中4 p + 1 0 ，v = y ( z ) ，z r n 满足：v c ( r n ，r ) ，0 ：= i 刚n fy ( ) 比。i 州l i n k1 ( ，：) 0 是常数，4 p 0( 3 2 3 ) 事实上，由9 和丙的定义以及y ( z ) 是有界的，我们有 1 m ) - 矗篙 币c l j r l u 矿士j p d z 篱：i i i i 卿 互 ( “士) 21 i _ i 兰 f j i 五蕊 j 旷胬2 cu 士p 一2 因此( 3 2 3 ) 成立 c 1 = i n f i ( u ) l u 丽，( 3 2 4 ) 福建师范大学李文明硕士学位论文 引理3 2 1 存在一个序列 札n ) c 丙，使得当几_ 。，有 1 0 t 。) _ c 1 ，( f 。) _ o 该引理可参见| 4 1 1 1 ，且可得到 在( 日1 ( r ) ) - 1 l i md i s t ( , u 。 r ) ：0 l) j ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 引理3 2 2 假设序列扣。) c 丙满足( 3 2 5 ) ，且c 1 c o 十3 0 0 ，则f u 。) 在 ，( r ) 上有强收敛子列 证明：由引理2 2 4 知，f 。) 在阿1 ( r ) 上是有界的，当佗_ 。， 刘i “，川