（应用数学专业论文）非线性方程组边值问题的解及其应用(1).pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性方程组边值问题的解及其应用 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然 界中的各种各榉的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注其中，非线 性边值问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活 跃的领域之一本文利用锥理论，不动点理论，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理等研 究了几类微分方程奇异边值问题解的情况，得到了一些新成果 根据内容本文分为以下四章： 第一章在b a n ”h 空间中，证明了不连续非线性二阶常微分方程组边值问 题 f 一“”= ，( t ， ) ，o t l ， 一u ”= 9 ( t ，) ，o t 一 帅 帅 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 日3 ) ：存在非负常数三，m ，且l m 一 一 t 如 伽 曲卑师范大学硕士学位论文 注2 3 2 上述结果可以推广到二阶四阶混合的方程组边值问题 i u ( 4 ) = ，( t ， ) ，o t 1 ，l u ”= ，( t ， ) ，o t l ， j 一 ”= g ( ) ，o t 1 ，女i 一 ( 4 = 9 ( t ，u ) ，o 1 ， i u ( o ) = ( 1 ) = u ”( o ) = 让”( 1 ) = o ，l ( o ) = ( 1 ) = ”( o ) = ”( 1 ) = o ， i ( o ) = 却( 1 ) = o i ( o ) = 扎( 1 ) = o 第二章通过建立特殊的锥，利用不动点理论研究了三阶常微分方程组边 值问题 f 一札”= ( t ，u ， ，札， ，) jo t l ， 一口”= ，2 ( t ，“，u ，“7 ，口，) ，o t l ，( 211 ) l u ( o ) = ( 1 ) = ( o ) = w ，( 1 ) = o 在，丘非负和，- 非负，2 允许变号两种情况下解的存在性和多解 我们先列出 ，2 所满足的两种情况： ( a ) g v r + r + r + r + ，r + 1 ，i = 1 ，2 ( b ) ，1 g 【，r + r r + r ，r + 】，2 g j r + r 兄+ r ，r 我们得到了如下结果： 定理2 3 1 设e = e ，嗣，f = ( z ，y ) e e ，l 。p ，g 目) ，p 为b a n a c h 空间e 中的锥，记t ：t u ( t ) = 露u ( s ) d s ，v w p 若函数 ( i = 1 2 ) 满足( a ) 和下列条件： 一 ( 驯小砌l 牌思等蹁秽 8 关于川喊仲，) | i - 0 l | i z ，可川 蜘即瞅勰等篙产s + 。关于嘎 则方程组( 2l1 ) 至少有一个正解 定理2 3 2e ，f ，t 同定理23 1 ，若函数 0 = 1 ，2 ) 满足( a ) 和下列条件： ( 加舶s i l 黼氅等高产 8 关于川嘎i l ( o ，”) j f _ + o 。 l li z ，可川 ( 酬础) - 11 瞅啬。等篙产s + 。关于川嘎 则方程组( 2 11 ) 至少有一个正解 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 3 3p ，e ，t 同上定义，若函数， ( i = 1 ，2 ) 满足( b ) 和下列条件： ( 日f ) ，2 ( t ，z ，叭t 。，t ) o ，z 尸 e ，存在两个常数m ，且o 彳l ，使得一，l ( t ，z ，可，t z ，t y ) s ，2 ( t ，z ，可，t z ，t 掣) 且彳厂l ( t z ，可，t 茁，t 可) ，v ( z ，) _ 尸e ，： ( 驯刚) p 蝎眯i 恕褊铎篙拶 s 关孤，嘎i i ( $ ，y ) l 1 0 0 | | z 掣川 ( 瞒m p 竭1 6 ( 蜥咙坐群+ o 。关于一 致5 则方程组( 2 1 1 ) 至少有一个解 定理2 3 4 设p ，e ，i 司定理2 - 3 l ，看函数 ( 21 ，2 ) 满足( a ) 和f 列条 件： ( 小f1 牌思等器产关于一致 且 s u p 涎，o o ( t ) = 6 1 ，v t 如，且v ( z ，) ( 。o ，g o ) 时，有( f l ( z ，) ，f 2 ( 。，) ) l ( z o ，g o ) ； 则方程组( 2 1 1 ) 至少有两个正解，( 参t ，1 ) ，( 。2 ，2 ) f ，且( 。l ，1 ) ( t ) ( z o ，珈) ，v t 如 注2 3 1 本文与文 3 ， 9 】所用的方法不同，与文 9 比较，本文在较宽泛 的条件下研究了含一阶导数的三阶边值方程组解的存在性和多解 注2 3 2 方程组( 2 11 ) 在，l 仅含t ， 7 ，2 仅含t ，“时化为文 3 1 的形式， 故本文包含的内容更丰富，也更实用特别地，定理2 3 1 2 3 3 放宽了上下极 限的取值范围，且定理2 3 3 中，2 可取负值，这在此类文献中也是少见的 第三章通过建立特殊的锥，利用不动点指数理论研究了二阶奇异常微分 曲阜师范大学硕士学位论文 方程组边值问题 f z ”= ，( t ，可) ，o t 1 ， 一可”= 9 ( t ，z ) ，o t l ， ( 3 11 ) 【z ( o ) = 。( 1 ) = 可( o ) = 可( 1 ) = o ， 其中，g ( 0 ，1 ) r + ，冗+ ，9 e 【( o ，1 ) xr + ，r + 】，即，( t ，) 和9 ( t ，。) 允许在 k o 和t = 1 处奇异时，方程组( 3 1 1 ) 解的存在性和多解 本章所需要的假设条件： ( 日1 ) 9 e ( o ，1 ) r + ，r + j ，存在函数h 。g ( o ，1 ) ，r + 】，u 2 e f r + ，r + 和非减函数u 1 g r + ，r + 1 使得对t ( o ，1 ) ，有 ，l ，( t ，掣) l ( t ) u l ( 可) ，9 ( ，。) s 2 ( t ) u 2 ( z ) ，o o 且o l 1 l 2 g l 仍 1 ，使得 osl i ms u p 幽 l l ，o 1 i ms u p 型 2 ， ”- 十0 + 掣 z 斗o +可 其中o 尬，1 i m i n f 丛塑 尬， 9 _ + o 。 z _ + o o o 关于t 1 4 ，3 4 一致； ( 凰) 存在函数妒叫o ，1 满足对任意的t 1 4 ，3 4 】有 1 骢渺巾，g ) 妒( 。) ， 且有 o s ( 1 一s ) 砂( s ) d s o 使得 l i 碘竺型：五3 o 一 o +o 曲阜师范大学硕士学位论文 其主要结果如下： 定理3 3 1 若条件( 日1 ) 一( 日3 ) 成立，则边值问题( 3 1 1 ) 至少有一正解 定理3 3 2 若条件( 日1 ) ，( ) ( 凰) 和( 凰) 成立，则边值问题( 3 1 1 ) 至少 有一正解 定理3 3 3 若条件( 日1 ) 一( 风) 成立，则边值问题( 3 1 1 ) 至少有两个正解 注3 3 1 若条件( 日1 ) ，( 日2 ) 和下面的条件： ( 嬲) l i 岍佃掣= 慨l i 吣佃掣= 慨 关于 1 4 ，3 4 】一致成立，则边值问题( 3 1 1 ) 至少有一个正解 第四章利用k r a s n o s e l s l 【i i d u o 不动点理论，研究了如下奇异二阶三点边值 方程组 f 一“”= ，( t ， ) ，o t 1 ， 一 ”= 9 ( t ，u ) ，o t 1 ， ( 4 1 1 ) 【( o ) = ( o ) = o ，u ( 1 ) = o u ( 卵) ，口( 1 ) = a u ( 卵) ， 其中叩( o ，1 ) ，o n 叩 1 ，9 g ( ( o ，1 r + ，r + ) ，( t ，o ) 三o ，9 ( ，o ) 兰。且，9 在f = o 处具有奇异性在较弱的情况下，获得了方程组( 41 1 ) 正解的存在性 结果 本章所需要的假设条件： ( h 1 ) 设，g ( ( o ，1 x 冗+ ，r + ) ，9 g ( ( o ，1 】r + ，兄+ ) 且存在函数p l g ( ( o ，l 】，r + ) ，吼g ( r + ，r + ) ， = l ，2 ，驰( o ) = o ，使得 并且满足 ，( t ， ) p l ( t ) 口1 ( u ) ，g ( t ，u ) p 2 ( t ) 9 2 ( ) ，t ( 0 ，1 】，“， r + 厂1 。2 上5 ( 1 3 ) p 1 ( 3 ) 4 8 + o 。，6 = z 1 s ( 1 _ s ) 以s ) d s + 。 ( h 2 ) 存在常数1 ，7 2 ( o ，+ o 。) 且7 1 r 2 1 ，使得 - i 叼u - 寸。+ 辔 o ，l i m i n fm i n ! ! 冬尘：十o 。 叶+ o 。t h l 】 1 - + + o 。拒1 1 ，l 】 “2 ( h 4 ) 存在常数a 1 ，a 2 ( o ，+ o o ) 且n l o ls1 ，使得 罂等岩 。悭犁。粥掣= + 。u _ 0 + 挺h ，1 】 u p 2 本文的主要结果如下： 定理4 1 1 若条件( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，则边值问题( 4 11 ) 至少有一个正解 定理4 1 2 若条件( h 1 ) ，( h 3 ) 和( h 5 ) 成立，则边值问题( 4 1 1 ) 至少有一 个正解 关键词：方程组；边值问题；正解；锥 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n i i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o r d e r ma n a l y s i s m a t h m a “c s ，b e c a u s ei tc a ne x p l a i na l ik i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ，m o r ea n d m o r em a t h e m a t i c a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mc o m e sf r o mal o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t j c s a n dp h y 8 i c s ，i ti sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a ti ss t u d i e di n a n a l y s em a t h e m a t i c s t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y ，6 x e dp o i n t i n d e xt h e o r y ，a n dk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t e t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e v e r a lk i n d so fn o n l i n e a rs y s t e m so fd i 丑e r e n t i a le q u a 七i o n st h eo b t a i n e dr e s u l t sa r ee i t h e rn e wo r i n t r i n s i c a l l yg e n e r a l i z ea n di n l p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e su n d e rw e a k e r c o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h es y s t e m sf b rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f d i s c o n t i n u en o n l i n e a rs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i 矗色r e n t i a le q u a t i o n s o t l - 0 1 ，( 1 11 ) ( o ) = ( 1 ) = o 、色o b t a j nt h a tt h e y s t e m sh a sau n i q u es o l u t i o na n dt h eu n i q u es o l u t i o 商c a n b eo b t a i n e db yt h eu n i f o r m l yl i m i to ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e s a n dt h ee r r o r e s t i m a 土eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e so fa p p r o x i m a t i o ns o l u t i o ni sg i v e n t h en l a i nr e s u l t sa r ea sf b l l o w s ： t h e o r e m1 3 1l e tpb ean o r m a lc o n eo fr e a lb a n a c hs p a c ee t h e n o r i n a ln u m b e ro f 尸i s l e t 饥o g ，e 】，d = u e ，e 】i 札u o ) s u p p o s et h a t ，( t ， ) ，g ( t ，u ) s a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i 廿o n s ： ( 丁1 ) ：，( t ， ) ，夕( f ，u ) c h a n g er e p e c t i v e l yc o n t i n u 。u sf h n c t i o 忸u ， di n t o s t r o n g l ym e s u r a b l ef u n c t i o n s m 驴 ，j 9 u | l | | = i 、j 巾 ，i，、l 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 凰) ： o ( s ) d ，f o rt ， 厂l u o ( t ) s ( t ，s ) ，( s ，珈( s ) ) d s ，( s ， o ( s ) ) l ，倒， ju r l ( t ) ( t ，s ) 9 ( s ，u o ( s ) ) d s ，9 ( s ，“o ( s ) ) 二 ，别 ，0 ( 凰) ：t h e r ee x i s t sn o n n e g a t i v ec o n s t a n t sl ，mw i t hl m 6 4s u c ht h a t “， d ，“ i m p l i e st h a t 目s ，( t ， ) 一，( t ，u ) l 扣一u ) ，口9 ( t ，u ) 一9 ( t ，u ) sm ( 一札) t h e np r o b l e m ( 1 11 ) h a sau n i q u es o l u t i o n ( 乱+ ， + ) d d ，a n d 4 ( t ) = u + ( t ) ， + ( t ) = j i 七0 ，s ) 9 ( s ，u + ( s ) ) d s ，w h e r eu + i st h eu n i q u es o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 3 3 ) f 0 ra n yu o d ，w eh a v et h a tt h es e q u e n c e 训2 z “铀( s 1 z 岫，咖( 乙_ l ( 圳出) d s 忙，( 1 3 4 ) c o n v e r g e su n i f o r m l yt ou + ( ) o n a n dt h e r ee x i s t s 礼o 8 u c ht h a t i l w 。一“刈。上生考2 翌i l u 。一“刘。+ 笔芋；祭l i u ，一“硎。，n n 。( - 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