（应用数学专业论文）脉冲微分方程解的存在性与脉冲生物模型的持久性.pdf

摘要 本文主要讨论了几类脉冲微分方程解的存在性和带脉冲扰动的生 物数学模型的持久性全文共分为五章 第一章简述了脉冲微分方程周期解和边值问题，脉冲生物数学模型 的历史与研究现状，以及本文的主要工作 第二章研究了两类脉冲微分方程解的存在性我们考虑了二阶脉冲 d u f f i n g 方程解的存在性，在给定的条件下，利用p o i n c a r d b i r k h o f f 不动 点定理获得了二阶脉冲d u f f i n g 方程有无限多个解的存在性；利用临界 点定理证明了二阶脉冲方程d i r i c h l e t 问题解的存在性，得到了多解性存 在的充分条件 第三章研究了二阶脉冲微分方程多点边值问题解的存在性讨论了 二阶脉冲泛函微分方程多点边值问题极值解的存在性我们介绍了上 下解的新概念利用上下解方法和单调迭代原理，获得了极值解的存 在性；利用a v e r y p e t c r s o n 的不动点定理，考虑了在半轴上脉冲微分方 程多点边值问题，获得了至少三个正解存在性的充分条件 第四章研究了二阶脉冲微分方程周期型边值问题运用s c h a u d c r ，s 不动点定理，讨论了二阶脉冲微分方程反周期边值问题，获得了解存 在的一些充分条件并且给出三个例子阐述我们的主要结果；同时我们 介绍了新的上下解的概念，并且利用单调迭代原理和上下解方法，讨 论了一类一阶脉冲泛函微分方程非线性边值问题解的存在性获得了 新的解的存在性结果，推广了原有的结论；我们讨论了具有非线性边 值条件的一阶脉冲泛函微分方程边值问题的极值解的存在性，存在下 解n 和上解3 ，并且。3 a ，我们利用上下解方法和单调迭代工具建立 了极值解存在的充分条件 第五章研究了脉冲生物模型的持久性基于一类典型模型和l o t k a - v o l t c 、1 r a 捕食系统模型，讨论了二维h o l l i n gi i 型的非自治的时滞脉冲微 分方程，在固定的时间内排除自然天敌的周期过程，获得了“天敌，灭 绝”周期解的全局吸引的条件，以及依赖时滞和脉冲的种群模型的持 久性；我们研究了具有无限时滞的非自治的l o g i s t i c 一型脉冲方程的持久 性，对于一般的非自治的情形，获得了系统持久性的充分条件 关键词：脉冲微分方程； 边值问题； 周期解； 上下解；不动点； 捕食模型；临界点；持久性 a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp e r m a n e n c ef o ri m p u l s i v em o d e l i tc o n s i s t so ff i v e c h a p t e r s a sa ni n t r o d u c t i o n ，i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fp e r i o d i c i t y a n db o u n d a r y 、，a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dm a t h c m a t i c a li n o d e l sw i t hi m p u l s i v ee f l i c ta l 。eb r i e f l ya d & 。c s s e d ，a n dt h em a i nr e s u l t so f t h i sw o r ka r es t a t e d i nc h a p t e r2 ，w ef o c u so nm u l t i p l i c i t yo fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m - p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ed u f f i n g e q u a t i o nw i t hi m l ) u l s e s e x i s t e n c eo fi n f i n i t e l yz n a u ys o l u t i o n si sp r o v e db ym e a n s o ft h ep o i n c a r 6 b i r k h o f ff i x e dp o i n tt h e o r e mu n d e rg i v e nc o n d i t i o n s w cd i s c u s s t h em u l t i p l i c i t yo fd i r i c h l c tp r o b l e mf o rs e c o n d o r d e ri m p u l s i v ee q u a t i o n s t h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n si se s t a b l i s h e d t h ep r o o fi sb a s e du p o nc r i t i c a lp o i n tt h e e - r e m s c h a p t e r3c o n c e r n sm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ras e c o n d o r d e r i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n w ed e a lw i t ht h ee x i s t e n c eo fe x t r e m a l s o l u t i o n so fam u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so fs e c o n do r d c r i m p t d s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ei n t r o d u c ean e wc o n c e p to fl o w e r a n du p p e rs o l u t i o n s b yu s i n gt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n d m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fe x t r c m a ls o l u t i o n s b y u s i n gaf i x e d p o i n tt ：h e o r e md u et oa v e r 3 a n dp e t e r s o n w ec o n s i d e ram u l t i p o i n t b o u n ( 1 a r 3 l a h l ci ) 1 。o b l e mo nt h eh a l i - l i n ( tw i t hi m l m l s ( 学j | ? o b t a i ne x i s t e n c eo fa t l e a s tt l n e ep o s i ti r es o l u t i o l l s i nc h a p t o 4 w ec o n s i d e rp e r i o d i cb o u n ( 1 a i yv a l u e1 ) r o b l e m sf o l as e c o n d o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n b yu s i n gs c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m ， w ed i s c u s sa na n t i p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c eo fs o l u t i o na r e o b t a i n e d t h r e ee x a m p l e sa r cp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t eo u rm a i nr e s u l t s u s i n gt h e m e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，c o u p l e dw i t hm o n o t o n ei t e r a t i v ct e c h n i q u e ， w es t u d ys o l u t i o n so fn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rac l a s so ff i r s to r d e r i i i f l l n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a g a i nw ei n t r o d u c ean e wc o n c e p to fl o w e ra n d u p p e rs o l u t i o n s i nt h ev i e wo ft h ee x i s t e n c eo fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s , w c o b t a j ne x i s t e n c er e s u l ta b o u tn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a n de x t e n d d r e v i o u sr e s u l t s w ed i s c u s se x i s t e n c eo fe x t r e m ，ms o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rac l a s so ff i r s t ，o r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a r b o u n d a r yc o n d i t i o n s i np r e s e n c eo fal o w e rs o l u t i o nqa n da nu p p e rs o l u t i o n 口w i t hp 1 ， 其中g c ( r ，r ) 是p 次线性的 暑品器= 慨 i ，c ( rx 只r ) 在t 时是1 一周期的在这一节中，我们的目的是在一定 的情况下，将这个工具拓展到带有脉冲扰动的情况其中z 允许在给 定的点有脉冲我们考虑带有脉冲的d u f f i n g 方程的周期解 i + 9 ( z ) = 0 ，t 靠， z ( 吉) = a k x ( t k ) ，是么， ( 1 4 ) lz ，( 毒) = k z 讹 ) ，七z 脉冲微分方程解的存在性与脉冲生物模型的持久性 利用p o i n c a r 6 , - b i r k h o f f 不动点定理证明了二阶脉冲d u f f i n g 方程( 1 4 ) 有无 穷多个解的存在性其中a 0 ，a k b k = 1 ，a 女+ q = a k ，b k + q = b k ，t k + 口= t k + z 0 t l t 2 t o t 和9 c ( r ，r ) z 记为正整数集 在2 2 节中，我们研究了二阶脉冲微分方程边值问题的多解性脉 冲微分方程是研究遭受突然变化的常微分动力系统过程的基本工具 近来，非线性脉冲微分方程的边值问题引起了高度的重视，并且出现了 许多关于一阶或二阶脉冲微分方程解的存在性的文献例如f 2 7 ，2 9 ，3 3 ， 3 5 ，3 6 ，3 8 ，4 0 一4 3 ，4 5 ，4 7 ，4 9 1 主要的工具是不动点定理，上下解方法和度理 论与常微分方程边值问题的结果相比，相应的带脉冲的方程边值问 题多解性的结果就非常少【2 9 ，4 3 】众所周知，对于常微分方程和偏微分 方程而言，变分法是研究解的定性性质的强有力工具，包括解的存在 性，多解性和其它的性质，例如【3 0 一3 2 ，3 4 ，3 7 ，3 9 ，4 8 】参考二阶脉冲微分 方程的d i r i c h l e t 问题的可解性的文献，n i c t o 和r ( 、g a nf 4 6 1 揭示了对于 脉冲问题通过寻找函数的临界点的方法解决下面问题解的存在性 i 一札( ) + 入u ( ) = u 2 ( ) + 口( ) ，t 0 ，丁】，t t i ， u m i ) = l i ( u ( t i ) ) ， i = 1 ，m ，( 1 5 ) i u ( o ) = u ( 丁) = 0 受文献【4 6 】的启发，在这节中，我们利用多临界点定理研究了下面 非线性脉冲微分方程的解的仔在性 t j ：t t i i = 1 i i i ( 1 6 ) 利用变分法，我们将问题( 1 6 ) 转化成( 1 6 ) 的解是临界点的函数 这种方法的优势是我们能够独立处理脉冲条件利用多临界点定理， 获得了问题( 1 6 ) 多解的存在性 1 2 二阶脉；中微分方程多点边值问题 3 m 卜 = 0 和m m | | t m ua | i “ + = “ ，i_，、l_l 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 l 一“( o ) = 厂( ，钍( ) ，秕( 护( ) ) ) ，t j = 0 ，1 1 ，t t k ， a u ( t k ) = 磊( u ( t 七) ) ， 惫= 1 ，m ，( 1 7 ) lu ( o ) 一0 , i t 7 ( o ) = 伪l ( 7 7 ) ，u ( 1 ) + k t ( 1 ) = 矗，。 ) ， 利用上下解方法以及单调迭代原理获得非线性微分方程的解提供 了一条很好的途径利用这个方法来解决常微分方程，泛函微分方程 以及脉冲微分方程的边值问题出现了大量的文献f 5 0 - 6 0 当j k = 0 和 o ( t ) = t ，边值问题( 1 7 ) 退化为常微分方程的多点边值问题，在许多论文 中有研究，如【6 1 6 4 】根据我们所知，仅仅少量的论文研究了脉冲泛函 微分方程的边值问题我们研究了边值问题( 1 7 ) 的极值解的存在性 我们建立了两个比较原理考虑了与方程( 1 7 ) 相关的线性问题，首先 介绍了上下解的新概念再利用上下解方法和单调迭代原理，获得了 边值问题( 1 7 ) 极值解的存在性 在3 2 节中，我们研究了半轴上脉冲微分方程多点边值问题正解的 存在性脉冲微分方程是研究事物发展过程中出现突然变化的基本工 具，例如，许多的生物、物理、工程的应用出现了脉冲效应( 文献 2 ，6 6 ，8 7 】) 注意到在近来的研究进程中，脉冲微分方程的定性理论的发展引起了 许多研究者的兴趣【6 7 7 2 ，7 5 8 0 ，8 2 8 6 ，8 8 9 0 】 我们讨论了如下在半轴上脉冲边值问题( 简称b v p ) 多个正解的存 在性 p ( t ) + q ( ) m ，u ) = o ，o 0 使得 l i l l l i n fj l ( t ) l i r a s u p x ( t ) s 一 f _ 则物种z ( ) 称为是持久的如果所有的物种是持久的，则一个系统称 为是持久的研究工作者对于l o t k a - v o l t c r r a 型的捕食系统已经做了许 多研究，例如，【1 4 2 1 4 6 近来，脉冲扰动已经引入到相关的种群动力 生态学中，如疾病的化学治疗方法，脉冲分娩，例如文献 1 4 7 1 4 9 ，1 5 1 8 f y 鲫 啦 u z 础 一 一 + 1， 塑虬 业乜 一 一 工 可 = = z y ，、【 脉冲微分方程解的存在性与脉冲生物模型的持久性 我们考虑了h o l l i n gi i 型的非自治的泛函响应脉冲捕食系统的持久性 f 圳= z ( t ) ( 。( t ) - b ( t ) z ( ) 一捌) ，t z 圮 y 7 ( t ) = 可( ) ( 一d ( t ) + x ( t - “r ) 叫a - a 一y n ( t - r ) 、 t z 如， ( 1 1 9 ) lx ( f f ) = ( 1 + g k ) x ( t k ) ，南z + ， 【( 砖) = y ( t k ) + p ，k z + ， 其中系统( 1 1 9 ) 的初始条件如下： z ( s ) 2 妒( s ) ，! ，( s ) = 砂( s ) ，s - - 0 】：( 1 2 0 、 妒( s ) 0 ，妒( s ) 0 ，妒( 0 ) 0 ，1 】f ，( 0 ) 0 ， 其中妒，妒c ( 【一7 - ，o ，r ) 在5 2 节中，我们研究了具有无限时滞的非自治的l o g i s t i c 一型脉冲 方程的持久性。s c i f c r t 在文献【1 5 3 】中，提出了下列具有无限时滞的单 种群的l o g i s t i c 一型方程 z ，( o u ) 卜“dzk ( s 净。一m s ) ， ( 1 2 1 ) 其中z ( ) 是种群的密度s c i f c r t 考虑了系统( 1 2 1 ) ，其初始条件是z ( ) = ( ) ，t o ；咖( ) 从( 一，0 到【0 ，+ 。) 是连续有界的，妒( o ) 0 k ： 0 ，+ ) _ 0 ，+ 。) 是分段连续的，且满足 l ( ( s ) d s = 1 ，盯= s k ( s ) d s 。 ( 1 2 2 ) j0 j 0 o ( ) 和6 ( ) 在r 上是概周期的，且满足 0 a o n ( ，) o ；s u p庐( p ) + o o ( 1 2 5 ) o e ( - o o ，0 1 其中矽( p ) d ( ( 一o 。，o l ， 0 ，+ 。) ) 0 = t o r 0 假定丁：r 2 一r 2 是一个保面积的同 胚，使得丁在下面圆环上是一个扭转映射 a = ( z 尺2 ：，l t i r ) 且0 丁( d ) d = 丁： 1 ， 其中g c ( r ，r ) 是p 次线性的 晋m 0 髂= + 。 1 1 湖南9 币范大学2 0 1 0 届博士学位论文 ，c ( rxr ，t t ) 关于t 是1 一周期的我们在这一节的目的是将这个工具 拓展到带有脉冲扰动的情况，其中z 允许在给定的点有脉冲考虑下 面带有脉冲的d u f f i n g 方程的周期解 其中n 0 ，a k b k = 1 ，n 詹+ 口= n 岛，b + q = b k ，t + q = t + r0 t l t 2 0 ，存在一个常数 6 = d ( m ) 使得对任意的 0 ，存在一个连续函数珧使得 ( 1 ) k ( z ) ( z ) i ( 2 1 1 2 ) ( 2 ) 2 夕在x = 0 附近有姨( z ) = j f r ， 掣 ，当o i x i j( 2 i 1 3 ) 和g 。c 1 ( _ d ，卅 o ) r ) 其中0 0 ，假设当l x l p 时，有g ( x ) 0 ，由( 2 1 1 1 ) 存在 一个常数j = 6 ( m ) 使得 ，7 彭互绍幻汪 0 i引烈卜k如| | 卜 、l， + 晴蛙 0 使得i l e ，且设，y 1 使得2 7 ，t 2 - 4 - i t 2 因为( z ) = 0 ，我们 选择一个区间i o = ( 一如，南) ，且曲 0 时，lc ( x 2 ，2 x ) ，以及当x l 时， ，ln ，j = 匝 选择光滑函数咖，( 6 - ，咖2 ，。当z ( 而+ 。) 时，使得壹矽i ( z ) = 1 ， 且对每一个i = 0 ，1 ，2 ，n ，有s u p p 也cj 那么当z 【_ d ，d 】时，我们 定义 n 9 e ( z ) = ( z ) m z + 机( z ) - 口( z ) ( 2 1 1 7 ) 扛= l 由( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) ， i 班( r ) 一9 ( z ) i o o ( x ) l m x _ 9 ( z ) l + 仍( z ) 1 9 ( z ) 一9 ( 圳肛， i ：= 1 证明了( 2 1 1 2 ) 成立且 娠“) 一( f ) f ， 为了证明( 2 ，1 1 3 ) 假设0 0 充分小时，因为 g 。c 1 ( 【7 ，f 】凡) ，初值问题 妻i 兰毪 ， ：嘉二，口： c 2 - 1 。， 有唯一解，其中n r ，矗月因此只需要证明当0 t 时，( 2 1 1 9 ) 的解是唯一的如果z o = 0 ：( 2 1 1 9 ) 化为 x + m x - 0 ，、 ( 2 1 1 1 1 ) iz ( o ) = 0 ，z 7 ( o ) = y o ， 、 因为g e 在z = 0 附近有m ( f ) = m ：f 因此断言成立如果z o 0 ，g e c 1 ( f l ( z o ) ，r ) ，其中f l ( z o ) = z ：l z 一翮l 7 ) 所以当0 ts1 时( 2 1 1 9 ) 的解是唯一的由唯一性可以得出解对初值的依赖性 1 4 皓 铷麒箩 强高一 脉冲微分方程解的存在性与脉7 中生物模型的持久性 2 1 2 扭转映射的构造 考虑系统( 2 1 1 8 ) ，目的是在p ( ) = ( z ( t ) ，可( ) ) r 2 时控制范数t ( t ) = 瓠丽巧顸矛的大小 引理2 1 2 1 假设p ( t ) = ( z ( ) ，y ( ) ) 是系统( 2 1 1 8 ) 的一个解，其中 ，【0 ，t 】那么存在 0 和函数d l ，d 2 ，e ：( 0 ，凡】_ r + 使得( r ) 和 r ( o ) = r 0 是确定的，则存在c 1 ( 入) 0 c 2 ( a ) 0 使得当充分小时，有 c 2 ( a ) g ( z ) 5g ( a x ) c l ( a ) g ( z )( 2 1 2 1 ) 因此有 胁( ) = 互1 绯扩+ ) c f s = 知) 扎，。0 u ； ：l ( t k ) g c ( 7 s 由( 2 1 2 1 ) ，可得 m i n b 2 ，c 2 ( a k ) f ( p ( t k ) ) f ( p ( 吉) ) 玎n a x 6 2 ，c - ( n t ) ) ( 主y ( t 七) 2 + z 。班( s ) d s ) m a x b 2 ，( l ( n k ) ) f ( p ( k ) ) 湖南9 币范大学2 0 1 0 届博士学位论文 利用脉冲积分不等式，可得 f ( p ( o ) ) m i n b 2 ，c 2 ( 吼) ) f ( p ( k ) ) o t k t 由此推出 f ( p ( o ) ) nm a x b ；，c - ( o 船) ) o 七 0 存在一个常数k ( r ) ，r o = r ，则0 1 一o o = l ( r ，o o ) s ( 尺) 证明沿着解的曲线( z ( f ) ，y ( ) ) 对极角口( ) 求微分如下： 型=崭=可xge(x)+y2dt x 2 1 2 ， +z 2 + 2 ”7 ” 同时对t = t 知，可得 协州= 器= 乏t a n 即d 由( 2 1 2 8 ) ，所以 1 5 ( 吉) 一a r c t a n ( 关t a n o ( t k ) ) o ( t k )o ( t k ) 下面构造函数 眦扣 蔫妻 容易证明存在q ( 。) 和( a ) 使得 0 o l ( a ) h ( z ) p ( 口) 0 0 由( 2 1 2 9 ) 和( 2 1 2 1 0 ) ，可得 o “( 笔) 即t ) 6 i ( j ) ( 堕a k ) 叩m ) 。 ： “ ( 2 1 2 7 ) ( 2 1 2 8 ) ( 2 1 2 9 ) ( 2 1 2 1 0 ) ( 2 1 2 1 1 ) 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 由引理2 1 2 1 ，有0 r f l ( 诧) 阿r f 2 ( ，t ) ，因此 d o ( t ) k ( r ) ( 2 1 2 1 2 ) d t 一。， 、一。， 由( 2 1 2 1 1 ) 和( 2 1 2 1 2 ) ，可得 咿) 洲叭。里t 卢c 轧如i 触- 3 ( 跏剐5 蛐。旦t e 粉t 。 t k t c 枷慨 这隐含着存在常数”忙m ( r ) 使得 曰t 一0 n + 2 m 7 r = l ( r ，0 0 ) + 2 m t r 0 ， 叉寸所有0 0 【0 ，2 7 r 】 引理2 1 2 3 存在r 0 ：当0 0 【0 ，2 1 r 】 所以咖在圆环a = ( z ，y ) l r 研r ) 上是一个扭转映射 证明设 ，是如前面选择的一个很大的数设是按照引理2 1 1 1 中所定义的函数特别满足 掣m ， 当o hg( 2 1 2 1 3 ) 选择，使得r f 2 ( ，) 再如果初始值，0 = 研= ，则由引理2 1 ，2 1 可 知( ) = ( ：c ( ) ( c ) ) 满足磁万丽r f 2 ( ，) 0 ，v6 0 ( o ，2 7 r 】 ( 2 1 2 2 1 ) 选择一个整数”旧7 r l ( 7 ) 使得 8 t 一口o + 2 m t r = l ( t ，9 0 ) + 2 m 丌 0 ， 对所有的9 0 【o ，2 丌】 其中a 】f 是足够大的 】9 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 定理2 1 2 1 在假设( 2 1 1 1 ) 下，d u f f i n g 方程( 2 1 1 ) 有无限序列的解 z n ) 满足i l l l p c t 【0 t 】一0 ，当n _ o 。! 其中l l z n l l p c - 【0 明= m a x s u p i x n ( ) l ： t 0 ，t i ) ，s u p l x 。( t ) i ：t 0 ，t 】” 证明是在( 2 1 2 3 ) 中定义的映射，由( 2 1 2 6 ) 定义映射如下 m o ：( z o ，y o ) _ ( x ( i , 1 ：x o ，y o ) ，y ( q ，x o ，y o ) ) = 0 1 ，y 1 ) ， 圣；：( x l ，y 1 ) _ ( a l x ( t l ，x o ，珈) ，b l y ( h ，z o ，y o ) ) = ( z ；，夕；) ， 圣i ：( x i + ，蝣) _ ( x ( h + l ，x o ，珈) ，y ( t i + l ，x o y o ) ) = ( x i + i ，玩+ 1 ) ， 圣：( z t + l ，可t + 1 ) _ ( a i + 1 z t + l ，b i + l y i + 1 ) = ( x 4 i + l ，可箨1 ) ，i = 1 ，q 一1 ， ：( x q ，y q ) 一( x ( t ，x o ，y o ) ，y ( t ，x o ，珈) ) 当a k b k = 1 ，西t ( o i ( f ) ，西；( o j g 一1 ) 是保面积映射因为 西= 垂qo 西：一lo 圣q 一1o o 西：o 西o ， 是保面积映射显然，( o 0 ) = ( 0 ，0 ) d = ( z ，y ) l z 2 + y 2 f 2 ) 引 理2 1 2 2 和2 1 2 3 ，隐含着对于充分小的，在圆环a = ( z ，y ) l r 2 z 2 + 可z r 2 ) 是一个扭转映射下面由在引言中介绍的d i n g s 定理2 1 1 可以推出在a 上至少有两个不动点设k 。( ) ，班，( ) ) 是( 2 。1 2 2 ) 对应 的周期解由引理2 1 2 1 ，可得 、 圳雁丽d 。( 只) ( 2 1 t 2 2 2 ) 由a r z c l a - a s c o l i 定理，当e _ 0 时，序列( 。( ) ，挑。( ) 收敛于( z ( ) ，y ( f ) ) ，且 ( 。( t ) ，辩) ) 满足( 2 1 2 2 ) ，是系统( 2 1 1 ) 的周期解，且d l ( r ) 珂丁丽 d 2 ( 兄) 因为r 是任意的，可以获得系统( 2 1 1 ) 具有无穷多个周期解 2 0 脉，中微分方程解的存在性与脉冲生物模型的持久性 2 2 二阶脉冲微分方程边值问题的多解性 2 2 1 引言 在这一节中，我们利用多临界点定理研究了下面非线性脉冲微分方 程多解的存在性 iu ( ) + a ，( ，u ( ) ) = 0 ，t zt 岛， u m ) = 一) d i ( u ( t 1 ) ) ， i = 1 ，m ，( 2 2 1 1 ) lu ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 其中j = 0 ，l 】，0 = t o t 1 t 2 0 ，3 0 使得 f ( t ，u ) l j 儿厂( ，) + “，v t ，t r ， 厶( u ) so u i t ( u ) + p ，v u r ，i = 1 ，2 ，m ( 凰) 对每一个i = 1 ，2 ，m ，厶e 且存在0 i o ，9 5 ) 和q 0 使得 f ( t ，i t ) o u f ( t ，t t ) + q ，v t zi t r 2 2 脉冲微分方程解的存在性与脉冲生物模型的持久性 ( 儿) 对于固定的t j ，( ，) 和厶( i = 1 ，2 ， 。) 是奇函数 ( h 8 ) 如= m a x 【右，对) + ，厶= + 。o ，厶o = m a x 磁，岛 2 ，存在6 1 ( e ) 0 ，如( 占：r ) 0 使得 v ( t ) e t 2 十d l ( e ) ，v ( t ) 2 + 如( e ，r ) l 引” 对任意的t ，t 注2 2 2 2 对任意的u h o ，利用w r i t i n g c r 不等式和s o b o l c v 不等 式，有 l u ( ) f i u ( ) 一1t t ( t ) 出i + 0 1i u ( ) i d 压( 小煳t ) 5 + ( o 以) 3 ( 去+ 圳训川 引理2 2 2 1 假定( 。) 满足，则下面的性质成立 ( 1 ) 对每个a 0 ，a 在砩是弱下半连续的 ( 2 ) 叉寸每个a 0 ，l i r a 4 ( u ) = + 。o 1 | u i i + ( 3 ) 对任意的入 0 ，。4 满足( p s ) 条件 证明( 1 ) 设 u ，。) 是