（概率论与数理统计专业论文）混合指数分布的参数估计.pdf

硕士学位论文 k 躺t e r st h e s i s 中文摘要 寿命数据分析已经成为工程、医学和生物科学等领域中统计学家和实际工作者 十分关心的一个领域。对于单个总体的寿命试验数据进行分析的统计方法已经发展 地非常成熟。但是，在应用中会经常遇到混合分布的情况。从统计的角度来看，我 们可以认为这一些产品来自于不同的两个或多个子总体。从实际的角度来看，工程 师会把这些产品的失效归结为不同的失效机制。本文应用e m 算法详细研究了混合 指数分布在正常应力水平，恒加应力水平与步加应力水平下，在完全数据场合与截 尾数据场合的参数估计问题。并进行了数据分析，验证了此方法的可靠性。 关键词：混合指数分布；e m 算法；极大似然估计；完全数据；截尾数据；恒加 应力加速寿命试验；步加应力加速寿命试验 硬士学饭论文 m 零t e r s 下h e s l s a b s t r a c t t h el i f ed a t a 柚a l y s i sa h e a d yb e c 锄ead o m 咖0 np r o j 毗m e d i c i n e 锄d b i o l o 西c a l s c i e 魁e e 洌越c h 也es t a 耄i s t i e i 3 n 枷t h ea c 胁1w o 嫩e re 瑟e d 取玲或a 斑溉c 越嫩铰h o do f s i n 甜el i 佬如et e s td a 船i sa l r e a d ym a t i l r e b 1 哦，m em 议c dp a r a m e t e r se ) 【p o n e n t i a l l y d i s l 曲埘0 n 融l q u 钆t l ya p p h c a n t s l o o l ( i l l g 缸吼戗l cs t a t i s t i c a la i l 密e ，w em a yt h i n ks o m e p f o 如c t sc 翻髓e 至b 越细oo fm 鑫n ys 珏k o v 哿f 爵1 l o ( 醢n g 董| r 。搬侥e 瓢淑l 越a 珏爵e ，e n 舀n e 嚣 晰l ls u mu pm e s ep r o d u c t sc x p i r a t i o n 舔l ed i m 牝n te x p i r 撕o nm e c h a 血s m m i x o d p 娥睽痰e f s 甑辩鼹鼍主越l y 垂s 砖执专主鼹f a 熏l m 趣l e 式s 醢b 酶q 髂癣a y 褫涵p 积糊t 妁l e 遗 l i f ct i r d a t a 柚a l y s i s b u tw em a ye 眦。吼t e rc n o m o u sd i 伍c u l t i e sw h e i lw e 旬可t o e 蚰n a t et l l c 黝) d e lb y 妇d 主蠢鳓a lm e 奴幽s l l c h 鹪m 程蛔i z el 溉l i h o o d 雠l ) 锱垃越a t 主0 n a l l dm o m e n te s t i m a t i o n h lt l l i sp a p w e 锄p 1 0 ym ee ma l g 嘶m f l lt 0o b t a i l l 也em l e s t i l n a 石o nf o r 也em i x e dt w o _ p 撇e t e l l se x p o n e n t i a l lm o d c lu 1 1 d e ft h en o 衄a ls 乜c s sl i 您 t 蕊el e s lw i m & l ld a 像鞠dc e 薮s o f e ds 锄p l 箔髓ei t e 鼹矗冁f o m m l aa 糟蛋硪毽讯镪ep a p 鼹 s i m u l a t i o n sa r ea l s om a d et oe 、，i d e n c et 1 1 ep e r f o n n a n c eo fe s t i m 撕0 n k e yw o r d s ：i i l i x e dp a r a m e t e r se x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t i o n ：e ma l g o r i t i m l ；m a x 缸l i z o 场l 曲舶d 燃l 妇a o f ；f 试ld a 镪；c 懿s o dd 如；s l 羚s sa e e e l 锻毽主e dl i f e e s 妇g ；s e p s 拄e s s c e l e r a t e dl i f et e s t i i l g 磺士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声嬲 本人郑重声碉：所呈交的学位论文，是本入在导师指导下，独立进行研究工律 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究徽出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 参，1 健 秘期：加涪年厂月批匿 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向豳家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并邋 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：1 侄 日期：瑚每f 月2 妇 导师虢m 幼吞 黧期：切乡年广月节瑟 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c 虬i s 高校学位论文全文数据库对中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。圃童途塞握童蜃澄卮! 璺坐生；圜二生i 圜三生蕉查： 作者签名：朝缝 日期：2 灯豸年s 月z 蛔 精虢降獬 日期劫曙年j 、月埠日 项士学位论交 m 树e 】妒s t h e s l s 己i 吉 j1 日 寿命数据分析已经成为工程、医学和生物科学等领域中统计学家和实际王作者 十分关心的一个领域。对于单个总体的寿命试验数据进行分析的统计方法已经发展 地非常成熟。但是，在应用中会经常遇到混合分布的情况。从统计的角度来看，我 们可以认为这一些产品来自于不霹的两个或多个予总体。从实际的角度来看，工程 师会把这些产品的失效归结为不同的失效机制。a c h e s o n 和m c e l w e e ( 1 9 6 2 ) 在对一 批电器元件的失效原因进行分析时，将这些失效机制归结为气体缺陷，机械故障和 正常老化。很自然的，我们想知道因为这些原因引起失效的产品在总体中所占的比 例，以便我们改进生产工艺或者流稷。这也有利于我们安撵对刚生产出来的产品在 工厂进行早期淘汰的老化试验。m e n d a n h a l l ( 1 9 5 8 ) 研究了e l j 两个不同的指数分 布子总体组成的总体，在i 型( 定时) 截尾场合得到了参数的极大似然估计。t a l l i s 和l i 曲专王9 6 鳓剩用分数阶矩对混合指数分布进行了估计。遗憾的是，在小样本场 合，或者比较多的被右截尾时，这一些估计将会有很大的偏差和方差。雒e n d a n h a l l ( 1 9 5 8 ) ，g o v i n d a r a j u l u ( 1 9 6 4 ) 以及j o h n s o n 和k o t z ( 1 9 7 0 ) 等的文献目录中给 出了大量文章的某些思想。朱利平等( 2 0 0 6 ) 用蹦算法分析了混合单指数分布，并 进行了数值分析。本文应用蕊算法详细研究混合双指数分布在正常应力水平，僵 加应力水平与步加应力水平下，在完全数据场合与截尾数据场合的参数估计问题。 并进行数据分析。 在本文中考虑混合双参数指数分布的参数估计，其密度函数为 厂( 菇；p ，b ，岛) = 晏e 一。”7 b 十三吾里p 一卜7 7 岛，o o ，石一， o 设鼍，文是来自密度函数，( 茗；夕，嚷，岛) 样本。对于混合总体，o ；p ，如最，幺) ，我 们记叩黑( p ， 幺，吼) ，z ，= 云e _ ( 矿，) ，馥， ，= 击g 柏吖) ，岛，正= 兢，+ ( 1 _ p ) 厶， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 1 理论准备 1 1 极大似然估计 已知有以个观测值五，假设它们是从密度为厂o ；刁) 的总体中独立抽取的， 其中叩为未知参数，q 为参数空间。记x = o ，z 。) ，则它的密度函数为 厂( x ；，7 ) 2 兀厂( tl7 7 ) ，我们称三( 叩ix ) = 厂( x ；，7 ) = 兀厂o ，；刁) 为7 7 的似然函数。若有 f = lf - l 疗使得三( 纾l 却2 嘴犯( 叩i x ) ) ，则称呼为刁的极大似然估计量。 由于似然函数是乘积的形式，所以对其求对数可以得到加法形式，这样可以简 化计算，于是对上( 叩iz ) 取对数得到l i l 三仞ix ) 。 ! 我们知道，1 n 工( 7 7ix ) 是三( 7 7ix ) 的单调递增函数，所以只要求出l i l 工( 叩lx ) 的 极大值点疗，那么也是三( 叩l 柳的极大值点毋。 通常情况下，我们令型型孚吐型：o ，解方程组可得到毋，这是厅为极大似然 d 刀 估计量的必要条件。进一步，我们还要验证该点的二阶导数是否小于零，如果小于 零，则为极大值点。 由于上述方程组一般比较的难以求解，所以我们可以采取多种手段得到近似的 刁，下面的e m 算法就是其中一种方法。 1 2e m 算法 e m 算法是d e m p s t e r ，l a i n d ，r u b i n 于1 9 7 7 年提出的求参数极大似然估计的一 种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行极大似然估计，是一种非常简单实用 的算法。这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据、带有讨厌数据等所 谓的不完全数据的问题。 2 磺士擎棱论文 m a s t e r st h e s l s 假定集合z = ( x ，即由观测数据x 和未观测数据y 组成，z = ( 置y ) 和x 分别称 为完整数据和不完整数据。假设z 的联合概率密度被参数纯遗定义为，( x ，t 刁) ， 其中露表示要被估计的参数。召的极大似然估计是求不完整数据的似然函数( 露lx ) 的极大值而得到的： 铆| x ，的2 ，y ；彩2 ，( y | ；零) ，( 爿；撂) e m 算法包括两个步骤：由e 步和m 步组成，它是通过迭代最大化完整数据的似 然蘧数三国| 置玢的期望来最大化不完整数据的似然螽数，其中： 工( 7 7ix ，d = 厂( x ，y ；刁) 假设在算法第t 次迭代后糟获得的估计记为叩( f ) ，则在t + 1 次迭代时， p 步：计算完整数据的对数似然函数的裳望，记为： q ( ，7i7 7 ( f ) ) = 研l i l ( x ，y ；叩) ix ，7 0 ) 】 辩步：通过最大化q ( 蹿l 譬) ) 来获褥新的秘使得模型的估计德逐渐逼近真实参 数。 麟算法的主要蠢的是提供一个简单的迭代通过交替使用这两个步骤，掰算法 逐步改进模型的参数，使参数和训练样本的似然概率逐渐增大，最后终止于一个极 大点。 直观地理解肼算法，它也可被看作为一个逐次逼近算法：事先并不知道模型 的参数，可以随机的选择一套参数或者搴先粗略地给定某个初始参数鼙，确定出对应 于这组参数的最可能的状态，计算每个训练样本的可能结果的概率，在当前的状态 下褥由样本对参数修正，重新估计参数弘并在新的参数下重新确定模型鲶状态， 这样，通过多次的迭代，循环直至某个收敛条件满足为止，就可以使算法计算后验 密度蘧数，它的最大优点是简单帮稳定，但容易陷入局郝最优。我们可以多取些初 值，然后比较所得到的参数值，选取其中最接近的即可。 2 正常应力水平下参数估计 2 1 完全数据模型 2 1 1 完全数据下统计分析 下面我们讨论本文中混合双参数指数分布的参数估计 弛；p ，r ，) = 苦产鹏+ 等产鹏，0 o ，v f ，所以，”= i 血( 毛) 然后对q ( 7 7 ，7 7 剃) 关于p ，b ，吼分别求导，得出 p m = 6 佃- 1 ( 6 l ，伽- 1 + 如，佃- 1 ) f l lj = l b 伽= ( 一一，用1 ) 岛i 伽。1 6 1 f 伽。1 f = lf 皇l 吼伽= o f 一厂p 1 ) 6 2 j 佃一6 2 ，佃。1 j = lf 暑l 以叩( m 作为叩( m - i ) 的更新值，重复上述两步骤，当畛”一叩州0 小于某个给定 的阀值时停止。由于e m 算法是有理论保证的，上述过程一定收敛。我们最后获得 的是极大值，要获得最大值我们可以多取些初值，然后代入模型比较所得到的参数 值，选取其中最接近的即可。 2 1 2 完全数据下数值计算 下面用例子验证e m 算法估计混合双参数指数分布的效率，我们主要考虑一维 混合双参数指数分布的情况。记，7 = ( 叩。，7 ：，7 7 ，玑) = ( p ，厂，b ，吼) ，分别在样本容量为 1 0 ，2 0 ，3 0 ，4 0 ，5 0 ，6 0 的情况下通过计算机进行随机模拟产生随机抽样，这样重 复1 0 0 0 次，第f 次实验得到的估计为厅= ( ，7 。，毋：，坑，毋。) ，把最后得到的 1 0 0 0 m e a n 2 ( 1 1 0 0 0 ) 厅 j i l 作为参数的真值。我们还可以计算 1 0 0 0 m s e 2 ( 1 1 0 0 0 ) ( 毋一叩) 2 扣l 来考察估计值的离散程度。 表1 ：p = 0 5 ，= 10 ，b = l o ，岛= 1 0 0 参数 p 1 9 i 吼 ， 样本 i e a 卜im s ea 便a 小im s e【e a nm s e正a nm s e 容量 l oo 4 4o 0 5 19 9 71 7 7 0 81 0 5 0 34 4 7 e 0 31 2 0 44 1 2 e 0 7 2 00 4 70 0 3 39 9 24 5 8 71 0 4 7 02 2 2 e 0 31 0 9 74 0 3 e 0 7 3 0o 4 9 8 70 0 2 39 9 22 6 4 91 0 6 2 81 4 6 e 0 31 0 6 49 5 6 e 0 6 4 00 4 9 5 1o 0 2 49 8 51 9 8 l1 0 2 8 41 3 l e 0 3l o 4 49 3 6 e 0 6 5 00 5 0 4 50 0 1 59 6 01 6 8 11 0 1 6 20 8 2 e 0 3l o 3 87 5 0 e 0 7 6 0o 5 0 0 1o 0 1 41 0 0 41 7 4 31 0 4 8 7o 8 8 e 0 31 0 3 03 6 6 e 0 7 6 硕士学位论交 m 嚣t e s n i e s i s 表2 ：p = o 7 ，= 10 b = 1 0 ，吼= 1 0 0 参数p q吼 ， 样本 m 匣a nm s eh e a 套tm s em 匣a nm s em 吧a nm s e 容量 1 0o 5 9o 0 5 0 1 2 6 84 9 9 4 4 8 0 2 25 8 8 e 0 3 1 1 5 2 4 3 4 e 0 5 2 00 6 30 0 5 5 8 8 l2 0 2 3 1 0 0 2 93 6 3 e 0 3l o 7 03 8 2 e 0 5 3 0o 6 8 o 0 5 09 4 61 3 0 21 0 5 8 3 7 72 4 l e 0 3l o 4 79 7 9 e 0 6 4 0 0 6 90 0 5 29 8 08 8 11 0 0 0 6 9 71 3 4 e 0 31 0 3 59 6 5e i 晒 5 0 0 6 7o 0 4 89 6 19 0 41 0 1 0 5 9 91 7 l e 0 3l o 2 97 3 0 e 0 7 6 0o 6 90 0 4 59 9 95 5 81 0 2 0 4 7 91 o 4 e 0 31 0 2 23 9 2 e 0 7 表3 ： p = 0 7 ，r = 1 0 ，b = 2 0 ，吼= 1 0 0 参数p 幺幺 厂 样本 便a nm s em e a nm s em e a nm s e ! 匝f 6 l 卜tm s e 容量 l o0 5 20 0 8 22 2 3 08 3 4 9 97 2 3 66 8 2 e 0 31 2 2 l4 7 8 e 0 5 2 0o 5 21 0 5 41 4 6 61 2 1 1 09 1 2 94 1 6 e d 31 1 2 44 1 8 e 0 5 3 0o 6 1o 0 6 21 7 4 61 3 6 3 91 0 0 2 03 4 2 e 0 31 0 8 39 7 6 e 0 6 4 0o “o 0 5 91 8 1 41 2 2 3 91 0 7 9 24 1 2 e 0 31 0 6 29 3 9 e 0 6 5 00 6 30 0 5 21 8 2 81 1 4 7 51 0 2 7 62 7 9 e 0 3l o 5 57 7 0 e 0 7 6 0o 6 5o 0 5 31 8 6 51 1 4 0 91 0 6 0 62 5 1 e 0 31 0 4 33 6 2 e 0 7 ( 注：5 8 8 e 0 3 = 5 舳1 0 1 ) 从以上数据出发，我们可以得出下列结论： 1 ，表1 ，表2 ，表3 都是随着样本的增加，估计值离真值越来越近，估计值的方差 越来越小。 2 ，对比表1 与表2 ，我们发现仅仅是参数p 从o 5 变化到了0 7 ，导致表2 中相同 样本数时参数的估计效果不如表1 ；这种情况主要是由于随机数产生的机制造成 的，同样的样本数，当p 值越接近o 5 时，产生的随机数就越符合分布的要求， 所以这种误差与模型本身无关。这也要求我们当p 离o 5 较远时，要选取更多 7 的样本。 3 ，对比表2 与表3 ，参数f 9 l 由1 0 增加到2 0 ，对参数的估计没有造成明显的影响。 2 2 截尾数据模型 2 2 1 定数截尾数据下统计分析 混合双参数指数分布的参数估计 m ；p ) = f h m + 害一鹏，o 0 刁= ( p ，q ，色) ，石t = 击p 电_ ，) ，b ，上；= 击p 嘲吖) ，岛，z = 西，+ ( 1 一p m r s l f = p 一却一7 7 b ，s 2 f = e 一而一7 7 岛，毛= p 蜀f + ( 1 一p ) s 2 f 这里，s ，表示生存函数 假设，；为示性变量，= 1 表示x ，来自密度为z ，的总体，= o 表示而来自密 度为正，的总体。所以，服从二项分布， p 仉= 1 ) = p ，p ( = o ) = 1 一p 我们不知道x ；来自哪个总体，因而，是不能被观测到的随机变量，也就是未观测 数据。 对于没有截尾的样本，与石，的联合分布为： g ( 工f ，；，7 ) = ( 尼i ) 丑【( 1 一p ) 厶j 】卜 从而，在x ，给定的条件下分布为， 脚m 加) = 乎m - 0 l 邵俨半 对于截尾的样本，与石，的联合分布为： 硕士学位论文 m a 嚣t e r st h e s i s g ( ，；7 7 ) = ( 芦l j ) 【( 1 一p 沁2 j 】1 一 从而，在石，给定的条件下分布为， p ( ：1 懈刁) ：盟，p ( ：o 旧，7 ) ：哒 s ts 。 那么，对数似然函数为 1 1 1 三( ，7ix ) = 1 i l ( g ( 而，；刁) ) 】 f - i e m 算法阴步墚为： e 一步：先给定7 7 的一个初值刁们，我们对x 的对数似然函数l n 工( 刁ix ) 求关于的条 件数学期望，假设试验中共有u 个产品失效， q ( ，7 垆一) = 气k 刃。删) h l ( g ( 而，；捌 = 喜c 每譬m + 学h m 刊胁 ，套学h c 础学螂刊h = 【6 l ，伽- 1 ( 阢，) + 6 2 j ”1 ( ( 1 一p ) 厶，) 】+ c 。f ”1 c 芦l j ) + c ：。哪1 1 1 ( ( 1 一力s ：f ) 】 其中， 刁川= ( p 4 一n ，席_ n ，q ”一n ，见剃) ， z ”一1 = z ( 刁肘哪) ，z ，啊一1 = z ，仞艉。1 ) ，五，卅。1 = f ( 7 7 ( _ 一1 ) ， 6 l ；加- 1 ，= 等，如，伽- - ，：翌二笋 s j ”一1 = s j ( 刁辨一1 ) ，s l f ”一n = j l f ( 叩m 。1 ) ，j 2 f ”一n = s 2 j ( 刁( _ 一1 ) ， 。州k 局，n = 学 9 硕士学位论文 m a s t e r r st l i e s l s m 一步，极大化q ( 7 7l ，7 舻1 ) ，求出极大值7 7 ( 用) 自于蜥弘1 n p 一等乩仙( 删乩帅) _ 等也见 删龇) ) - 磐，伽1 p 一等地啪硝”。( 螂刊一等也剀j - ll ，l口2 显然，要使其最大，_ 要达到最大，又一， o ，v f ，所以，m = m i n “) 然后对q ( 刁，刁”1 ) 关于p ，1 9 1 ，吼分别求导，得出 p 册= ( 矿q + c 。f 佃叫) 【( 矿q + ”1 ) + ( c l j ”1 + c 2 f 肛1 ) 】 i 暑l+l扫=l + i b 加= ( 五一r 历- 1 ) 岛j 伽1 + ( 一厂 1 ) q f ”1 ) 】”1 j ；l+ lf i l 幺帅= ( 而一，- ”1 ) 如f 伽- 1 + ( 一，一- 1 ) c 2 j 肿1 ) 】也f 阳- d i t l+ l 扣i 以7 7 _ 作为刀p 1 的更新值，重复上述两步骤，当忉一，7 剃0 小于某个给定的阀 值时停止。由于e m 算法是有理论保证的，上述过程一定收敛。我们最后获得的是 极大值，要获得最大值我们可以多取些初值，然后代入模型比较所得到的参数值， 选取其中最接近的即可。 2 2 2 定时截尾数据下统计分析 如果寿命试验进行到时刻f 为止，有u 个产品失效，类似的，我们有 ，i 庸) = r n i n o f ) p 朋= ( 6 l ，“一1 + c l f ”一1 ) ( 6 l j “。一1 + 6 2 f ”一1 ) + ( c l f ”一1 + c 2 ，m 一1 ) 】 ，l lo + l，i l- + i q 伽= 【( 而一，1 - 1 ) 6 l f 1 + ( 工，一，掰1 ) c l j 啊- 1 ) 】包f _ - 1 f t lu + lj 奄l 吼。一= 【( 而一，_ 哪) 6 2 j 佃_ 1 + ( 一一，”1 ) c 2 j 伽- 1 ) 】j o 一_ 1 l o 硕士学位论文 m a s t e j rs 下h e s i s 2 2 3 定数截尾数据下数值计算 下面验证e m 算法估计混合双参数指数分布的效率。这里用截尾比例主要是出 于编程上的便利，记叩= ( ，7 。，7 2 ，町，町。) = ( p ，厂，幺，吼) ，分别在样本容量为1 0 ，2 0 ，3 0 ， 4 0 ，5 0 ，6 0 的情况下，在截尾比例为1 0 9 6 与3 0 9 6 时，通过计算机进行随机模拟产生 随机抽样，这样重复1 0 0 0 次，第f 次实验得到的估计为厅= ( 玩，毋：7 ，毋，坑7 ) ，把最 后得到的 l o m e a n 2 ( 1 1 0 0 0 ) 厅 j ；l 作为参数的真值。我们还可以计算 来考察估计值的离散程度。 1 0 0 0 m s e = ( 1 l o o o ) 研7 一刁) 2 表4 ：p = 0 5 ，r = 10 ，b = 1 0 ，岛= 1 0 0 ( 截尾比例为1 0 ) 参数 p q岛 ， 样本 m e a nm s e! a nm s e删m s e酬m s e 容量 1 00 3 9 5o 0 5 07 3 11 1 7 1 89 7 9 9 74 0 9 e 0 31 1 7 24 5 2 e 0 5 2 0o 4 7 l0 0 3 79 0 83 0 1 21 0 6 9 9 83 7 9 e 0 31 0 9 33 9 5 e 0 5 3 00 4 8 20 0 3 08 8 92 3 9 49 9 4 41 6 6 e 0 31 0 5 03 6 5 e 0 5 4 00 4 8 9o 0 1 89 7 51 6 8 71 1 4 3 72 2 5 e 0 31 0 4 23 6 3 e 0 5 5 0o 4 9 80 0 1 99 8 22 0 0 61 0 9 1 72 5 2 e 0 31 0 3 03 4 8 e 0 5 6 0o 4 8 8o 0 1 79 9 71 8 2 31 0 5 8 71 7 5 e 0 3l o 2 83 4 6 e 0 5 硕士学位论文 h d a s t e r st h e s 玛 表5 ：p = o 5 ，= 1 0 ，岛= 1 0 ，见= 1 0 0 ( 截尾比例为3 0 ) 参数 p 研吼 ， 样本 m e a nm s e删m s e酬m s e删淞e 容量 1 0o 2 8 40 0 4 88 8 53 0 36 4 9 21 2 5 e 0 31 2 4 55 1 9 e 0 5 2 0o 5 6 7o 0 0 4 61 2 6 67 1 31 5 0 0 82 5 5 e 0 31 0 8 93 9 5 e 0 5 3 0o 5 7 6o 0 0 5 81 3 。1 l9 7 11 5 6 。2 73 2 0 e 0 31 0 5 33 6 4 e 0 5 4 00 5 8 5o 0 0 7 31 3 5 81 2 8 81 6 4 3 74 2 2 e 0 31 0 3 83 5 5 e 0 5 5 0o 5 9 10 0 0 8 61 4 0 21 6 2 91 7 0 7 55 1 7 e 0 31 0 3 63 5 3 e 0 5 6 00 6 0 20 0 1 0 81 4 5 42 0 8 71 8 2 2 97 0 9 e 0 31 0 2 93 4 8 e 0 5 分析以上的数据，我们得知 1 、表4 ，表5 都是随着样本的增加，估计值离真值越来越近，估计值的方差越来越 大。这是因为，样本越大，在相同截尾比例下，截尾的数据越多，造成的误差 也越大。 2 、对比表4 与表5 ，截尾比例从1 0 9 6 增加到3 0 时，参数估计的精度产生了巨大变 化，说明，截尾比例大的话，损失的信息也多，估计误差也越大。 3 、对比表4 与表l ，同样多的样本下，完全数据比截尾数据得到的结果要精确很多； 即使小样本的完全数据实验也能得到较精确的结果，所以，这启示我们，宁愿 做小样本的完全数据实验，也比大样本的截尾数据实验要好很多，这样不仅更 经济，在统计意义上估计的精度也更好。 1 2 硕士学住论兜 m a s t e r st l 【e s i s 3 恒加应力加速寿命试验 3 基本假定 不同的物理模型，数据处理的方法是不一样本节讨论的恒加应力下混合指数 分布的数据处理方法，是建立在以下三个假定之上的。 假定一( 模型描述) ：在正常工作应力水平k 和加速应力水平k ，圪 ( k 以) 下，产品是来自指数分布的混合模型，在加速应力水平圪下p 保持不 变，产晶豹寿命分布的密度函数为 胞鼽咖彘一) ，锄十等一) ，o p o 开始，剩余的未失效的 产品在区阑【f l ，2 ) 内要受到一个更高的应力水平，在时刻f 2 开始，在：，) 区闻 段内对未失效的产品做试验，应力从k 增至，如此继续下去，直到从f 开始在 最后的时阀段，【& 巾厶) 剩余的未失效产品要受到应力以。以上也就是通常所言的 定时截尾k 步步进应力加速寿命试验。定数截尾k 步步进应力加速寿命试验与之类 似。在步加试验中巧 2 时，一般称荛多步步翔试验。 4 1 基本假定 不同的物理模型，数据处理斡方法是不一样。本节讨论的步加应力下混含指数 分布的数据处理方法，是建立在以下三个假定之上的 假定一( 模型描述) ：在正常工作应力水平圪和加速应力水平k ，圪 ( 巧 虼) 下，产品是来自指数分布的混合模型，在加速应力水平砭下p 保持不 变，产品的寿命分布的密度函数为 鹏热蝴：) - 云缡_ 等璃2 印引，瓴扛。，嘉 假定二( 加速方程) ：加速方程产品的平均寿命秽与应力水平v 之间有如下关系： k 岛= 8 j + 屯( 砟) ， 江l ，七，歹= l ，2 其中，口，6 ，为未知参数，烈乃是应力水平v 的已知函数。当应力水平v 为温度时， ( 矿) = l 矿，加速方程称为a r r h e n i n s 模型。当应力水平v 是电压时，( y ) = 搬y 加 速方程称淹逆幂率模型 假定三( 累加方式) ：产品的剩余寿命仅仅依赖于当时已经累积部分和当时的应 力条件，丽与累积的方式无关 4 2 时间折算 如果产品的寿命分布为罗d ，由上述假定三期，产品在k 下工作z 时的累积 失效概率群( d 相当于产品在下工作丁+ 时的累积失效概率丘仃) ，即： 互( d = e ( z ) ，而且在各应力下产品所受应力影响可以累加起来考虑，利用这点 可以对寿命试验的数据进行时闻折算。 由上述假定二，我们假设k 下工作r 时相当于产品在匕下工作r 时，则 互= 咒留。) ， 展开得p ( 1 一e r 7 岛t ) + ( 1 一p ) ( 1 一p r 7 岛：) 端p ( 1 一b r 吖熙t ) + ( 1 一p ) ( 1 一秽一m 屹) 4 。3 简单步加应力模型 考虑4 2 1 中假设二，我们令轨黑如= 6 ，得到 纽：e 喇( k h 隅磅兰量嚣g 榭( 蚝h 辑癸 础鲁= 老圳酬三 这样，令r 为应力水平k 下的试验时间，r + 为r 换算为应力水平屹下的试验时间， 由4 。2 知 三：垒：三 一= 一= - 一 丁 见l 口 子是，我们宥 硕士学位论盘 礴a s t e r s _ r l t e s i s 应力水平n 脾) 拦彘口叫+ 等p 刮 应力水平圪下，五阱云一曦+ 寄p 刮哦 记五。国= 去如，触2 ) 2 去g 刮如 胁，1 ) 2 壶p 刊砘，触2 ) = 去p 州晚f 从上面的讨论孛褥到： e 一步：先给定叩的一个初值，7 ，我们对x 的对数似然函数l n 五( 叩ix ) 求关于 的条件数学期望，其中蟹= ( 最，只：，a ，p ) q ( ，7i ，7 舯1 ) = i ，j k ，智c 剃，) 【1 i l 幢( 而，；，7 ) ) 】 =喜c兰篱mc震兀肼-lc_，+羔l二兰等斧mc。一p，石m-ic一，2， + 喜帮蝴鼢) + 型舻趣心删删) 】 m 一步，极大化q ( 7 7i ，7 州) ，求出极大值刁崩 p 辟= ( q l 辨- 玲o i ) + e 1 2 臼。( ) ) ， 晦l跏l ( q 。伽_ 1 “) + c ：啊州瓴) + c 2 i 黔1 ( 五) + c 2 2 舻d ( 毛) ) f = l扣li = 扯+ li - _ + l 窿m = ( 乞l 和一( 薯) 如一) ，最l 细+ c 2 2 ”- 玲( 鼍) ( 一一d 9 2 挪) 7 扣”+ l精“+ l ( c ：l 伽_ 1 ( 麓) 十c 尥阳州( x 捞 硕士学位论文 m a s 丁e r st l l e s l $ 一 抖 斤 幺l 辨= ( q l 舻1 ( _ ) 而+ c 2 i ”1 ( 薯) ( ( _ 一f ) ，口用十f ) ) ( c l l o 一_ 1 ( - ) + c 2 l 黔1 f ) ) f ll = + lj = l拉h + l 舅：( 窆q ：f 一瓴溉+ 窆( 臌- l 瓴) “一o 口掰) + ，) ) 必窆q ：泓l 瓴) + 窆如：剃“) ) j 埘扛+ l扭l扣+ l 其中： “郴= 帮& 沁玲咿型舻 沁1 ) ( 班锹矿。”掣辩 解上述方程可得，7 ，以，7 ( m 作为刁_ 哪的更新值，重复上述两步骤，当物一7 7 ( m 川0 小于某个给定的阀值时停止。 4 4 数值分析 取样本总量为王0 0 ，应力水平致参数真值为罗= o 。5 ，最，= 2 q 馥2 = 2 ，威力水 平下参数真值为p = 0 5 ，见。= 1 0 ，晚：= 1 0 0 ，假定在应力水平k 下有7 5 个样本失 效，其余样本在应力水乎屹下失效，透过模拟，我们 ! 孽到估计值多= o 4 8 ， 幺。= 9 7 3 1 3 ，包= 9 9 9 2 9 l ，反。= 2 0 2 7 ，统2 = 2 0 8 1 ，可见，估计的结果比较精确。 本章节只分析了简单步加应力寿命试验，更一般的模型将会更为复杂，有待进 一步的研究。 硕士学位论定 m a 盯e r s 下h e s i s 参考文献 n a e h e s o n ，m a a n d 斟e e l w e e ，e 精，c o n c e r n i n gt h er e l i a b i l i t yo fe l e c t r o n t u b e s ，p r o c 王r e 。0 ( 1 9 5 2 ) ，王2 g 4 1 2 0 6 2 m e n d e n h a l l ，w ，ab i b l i o g r a h p yo nl i f et e s t i n ga n dr e l a t e dt o p i c s ， b i o m e t r i k a ，4 5 ( 1 9 5 8 ) ，5 0 4 5 2 0 3 。麓e n d e 热h a l l ，鬻。a 魏d 嚣鑫r d e r ，r j e s t i 髓t 主o n p 8 r a 瑶e t e r so f 毽i x e d e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t e df a i l u r et i m e sf r o mc e n s o r e dl i f et e s td a t a ， 4 5 ( 1 9 5 8 ) ，5 0 4 5 2 0 4 t a l l i s ，g m a n dl i g h t ，r ，t h eu s eo ff r a c t i o n a lm o m e n t sf o re s t i 珥a t i n gt h e p a r a 掇e t e r so fa 霸王x e de x p o n e 珏t 主氇量d 主s t r 主b 毽t 量。砖，t e c h 秘。掰e 乞r 主e s ，王o ( 圭9 6 8 ) ， 1 6 l 1 7 5 5 g o v i n d a r a j u l u as u p p l e m e n tt om e n d e n h a l l sb i b l i o g r a p h yo nl i f e t e s t i n g8 n dr e 王a t e dt 印i e s ，j a 掇s t a t 。a s s o c 。，5 9 ( 1 9 6 4 ) ， 王2 3 l 1 2 9 l 6 j o h n s o n ，n l a n dk o t z ，s ，c o n t i n u o u su n i v a r i a t ed 主s t r 主b u t i o n s ，v o li a n di i ，b o s t o n ，m a s s a c h u s e t t s ：h o u g h t o nm i l l l i n ，1 9 7 0 7 朱利平，卢一强，劳诗松，混合指数分布的参数估计 j ，应用概率统计， 2 0 0 6 ( 2 2 ) ： 1 3 7 一1 5 0 8 王红卫，建模与仿真 m ，科学出版社，北京：2 0 0 2 ：l o 卜1 0 9 9 e t l e e ，生存数据分析的统计方法 m ，中国统计出版社，北京：1 9 9 8 ：2 3 2 2 6 8 【l o 】程侃，寿命分布类与可靠性数学理论 羽，科学出版社，：| 幺京：1 9 9 9 ：卜2 0 圭王】刘捷，混合双参数指数分布的参数估计 j 】，华中师范大学研究生学报， 2 0 0 7 1 4 ( 4 ) ：1 2 3 1 2 6 1 2 葛广平，我国加速寿命试验的现状与展望 j ，数理统计与管理，2 0 0 0 1 9 ( 1 ) ： 2 5 2 9 1 3 王炳兴，竞争失效产品加速寿命试验的统计分析 j ，应用数学学报，2 0 0 2 2 5 ( 2 ) ：2 5 4 2 6 2 1 4 。郑祖康，吴雪明，左畅，定数截断寿命试验串污染指数分布数据的统计分析 j 】，数学理论与应用，2 0 0 1 2 l ( 1 ) ：6 _ 2 0 1 5 陈家鼎，关于截尾样本情形下的最大似然估计 j ，应用数学学报，1 9 8 0 3 ( 4 ) ： 3 0 6 3 2 1 量6 】王玲玲，王炳兴，对数正态分布下序进应力加速寿命试验麴统计分析【朋，华 硕士学位论敷 m a s t e l r st h e s i s 东师范大学学报，1 9 9 5 ( 4 ) ：l 喝 1 7 王炳兴，w e i b u l l 分布的统计推断 j ，应用概率统计，1 9 9 2 ，8 ( 4 ) ：3 5 7 3 6 4 1 8 。王炳兴，混合加速寿命试验