（概率论与数理统计专业论文）几类重要设计在q和qb准则下的最优性研究.pdf

摘要 在试验设计中，一阶回归模型通常被合格模型用作从众多因子中筛选出那些效 应显著的因子，而q 和q 准则能够比较简单地从大量的合格拟合模型中找出具有最 优性质的设计。本文主要探讨了在极大模型为一阶模型时，两水平的初始设计d 与 胁砒设计日卦完全反转设计和部分反转设计暖- 嘎d 2 ) 等几类重 要设计在q 和鳊准则下的最优性关系。我们分别给出了初始设计d 的q 和级值与 其d o u b l e 设计、完全反转设计和部分反转设计的q 和绕值之间的解析关系，从而 得到当初始设计d 在q 或g 准则下最优时，其d o u b l e 设计、完全反转设计和部分 反转设计在q 或绋准则下也为最优。此外本文也给出了初始设计d 与其d o u b l e 设 计在q 和绕准则下的一个下界。 关键词：d o u b l e 设计；q 和q 准则；h a d a m a r d 矩阵；极大模型；优势理论 a b s t r a c t f i r s to r d e rm a x i m a lm o d e li su s u a l l yu s e df o rs c r e e n i n gaf e wl m p o r t a n tm a i n e f f e c t sf r o mal a r g en u m b e ro fp o t e n t i a lf a c t o r s qa n d 绕c r i t e r i ac a nf i n dt h e o p t i m a ld e s i g nu n d e rm a n ye l i g i b l em o d e lu n c e r t a i n t y t h i sp a p e ra i m st oe x p l o r et h e o p t i m a lr e l a t i o n s h i po fo r i g i n a ld e s i g na n dt h es e v e r a lk i n do fi m p o r t a n td e s i g n su n d e r f i r s to r d e rm a x i m a lm o d e lb a s e do nqa n d 绋c r i t e r i a t h i sp a p e ra l s og i v e sa n a l y t i c r e l a t i o n s h i po fqa n d 绋v a l u eb e t w e e no r i g i n a ld e s i g na n dt h e s ek i n do fi m p o r t a n t d e s i g ns e p a r a t e l y t h e r e f o r ew eo b t a i nt h e s ek i n do fi m p o r t a n td e s i g na let h eo p t i m a l w h e nt h eo r i g i n a ld e s i g ni st h eo p t i m a l i na d d i t i o n ，s o m el o w e rb o u n d so ft h eo r i g i n a l d e s i g na n di t sd o u b l ed e s i g na r ed e r i v e du n d e rqa n dg c r i t e r i aa c c o r d i n gt ot h e m a j o r i z a t i o nt h e o r yo fm a r s h a l ia n do l k i n k e y w o r d s ：d o u b l ed e s i g n ；oc r i t e r i a ；qc r i t e r i a ；h a d a m a r dm a t r i x ； m a x i m a lm o d e l ；m a j o r i z a t i o nt h e o r y 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 虿承耙劳 日期：死叩年6 月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：依私争 日期：炒7 年6 月z 日 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发稚章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程中的 规定享受相关权益。 作者签名： j i 日期：砷年 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节研究背景及现状 两水平部分因子设计已广泛应用于工农业生产，科学试验等许多领域。为了能 更好地分析所得数据，试验者往往采用一定的模型来拟合这些数据，这些模型可能 是一次、二次或更高次的多项式回归模型。在试验中，试验者面对众多因子可能只 知道试验的极大模型，而试验最终采取什么模型往往是不确定的，可能有很多个可 以采用的合格模型，不同类型的因子设计是由试验的模型确定，因此从中选出效率 最高的模型就显得非常重要。 文献中对于模型未知的情形已有许多研究来探讨如何合理地安排试验，并提出 了许多准则来筛选用于试验的最优设计。当模型未知时，b o o t ha n dc o x ( 1 9 6 2 ) 用 e fs 2 ) 准则来研究两水平超饱和设计：b o xa n dh u n t e r ( 19 6 1 ) 用分辨度和m a 准则研 、， 究f 规因子设计；t a n ga n dd e n g ( 1 9 9 9 ) ，x ua n dw u ( 2 0 0 1 ) 用g m a 准则研究非正 规因子设计；为了研究设计的投影效率，t s a ie t a l ( 2 0 0 0 ) 提出了q 准则来筛选投影 效率最高的设计，该准则不仅考虑因子的主效应，而且还可以考验因子间的交互效 应，当试验者对因子的效应有一定先验概率认识时，t s a ie t a l ( 2 0 0 7 ) 将q 准则推广 到q 。准则，用来从合格模型中寻找效率最高的设计。 ，、 完全反转设计l “i 和部分反转设计在因子设计中能够解除部分效应问的别名 l d 关系，以致提高了设计得分辨度。因此这两种设计在实际中有着广泛的应用。构造 分辨度是的两水平设计，d o u b l i n g 是一个很有用的方法。假定初始设计为d ，其 。“6 比设计为。= ( 兰 那么d o u b l e 设计定义了一个设计，其试验次数和因 子个数都是初始设计d 的两倍。d o u b l i n g 方法最初被p l a c k e t t a n d p u r m a n ( 19 4 6 1 用 来构造正交主效应设计。最近，c h e n a n d c h e n g ( 2 0 0 6 1 讨论了用一个分辨度为的 两水平正规部分因子设计来构造分辨度为i v 的d ( d ) 设计。x ua n dc h e n g ( 2 0 0 6 ) 讨 论了d o u b & 设计中补设计一般理论问题，刘晓华和覃红( 2 0 0 7 ) 在试验因子的水平 数相同的情况下，给出了两水平的初始设计与其d o u b & 设计的一个解析关系式，并 阐述了两者之间的最优关系。l e ia n dq i n ( 2 0 0 8 ) 讨论了在对称化厶偏差下d o u b l e 设计的均匀性问题。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 注意到，上述文献在讨论问题时都要求试验次数，z 是2 的倍数。而当初始设计d 的试验次数为奇数时，或对试验因子的水平数情况不太清楚时，探索初始设计d 与 d o u b l e 设计d 之间关系的文献尚未有报道。因此，本文试图从q 和q 准则去研究 初始设计d 与d o u b l e 设计之间的最优性关系，并根据m a r s h a l la n d0 1 k i n ( 1 9 9 9 ) 的优势理论给出d o u b l e 设 j - d 在o , n 绕准则的下界。 2 第二节基本概念和符号 2 1 o 准则 假定设计d 的极大模型为 y = x p + 6 ( 1 ) 其中y 是n x l 维向量，x 是基于d 的n x ( v + 1 ) 设计矩阵，= ( 属，届，成) 。，是 一个( v + 1 ) x l 维参数向量，占服从n ( o ，仃2 ) 。假设磊为该极大模型中合格子模型的 个数，我们定义如下的一个量 q 2 去善v 萎v 看2 c 2 ， 其中q ( f ，= o ，l ，y ) 为信息矩阵x7 x 的第( j + 1 ，j + 1 ) 元，磊为合格的子模型中包 含第i 个因子和第，个因子的个数，4 为包含第f 个因子的合格模型的个数。q 准则 ( t s a ie ta 1 ，2 0 0 0 ) 要求从皖个合格模型中找出o 值达到最小的模型，此模型相对 应的设计就是最优a 设计。 同样假定设计d 的d o u b l e 设计d 的极大模型为l 厂= x ( d ) ( d ) + ，对于 d o u b l ei 发 , - t - d ，我们可以如同磊和4 来定义瓦和石。 2 2 绋准则 在极大模型y = x f l + s 下，y ，x ，占意义如同模型( 1 ) 。当试验者对不可忽略的 因子有一定的先验概率认识时，如果一个子模型在所有合格模型中更有可能成为最 好的，则这个模型应赋予更多的权重值。定义如下的一个量 q = 窆i = 1 砉j = 0 参， u i i u “ 其中毛为合格子模型中包含第f 和第个因子的模型概率之和，乞为包含第f 个因子 的合格子模型的概率之和。珐准则要求从磊个合格模型找出q 值最少的模型，此 模型相应的设计就是绋下最优设计。 同样地，对于设计d ，我们可以定义类似气和0 来定义占，和f ，。 2 3m a r s h a l la n do l k i n 的优势理论 现在我们简单的描述m a r s h a l la n d0 1 k i n ( 1 9 9 9 ) 的优势理论。设z r ：是一 个七维的非负向量，它的次序统计量为( 粕，1 ：】，诹1 ) ，其中m 1 ：】像1 。 定义2 1 ：若：。1 ，】：；。研，】，t = l ，2 ，七一1 ，且：。1 ，】= ：。川，1 ，则称 x 是优y - y 的，记 f f - x ：。m ，j 严格成立，则称x 是 强优于y 的。 定义2 2 ：关于工的实值函数f ( x ) ：硭专r ，若工y ，：f ff ( x ) f ( y ) 成立， 则称f ( x ) 是一个s 砌“，一凸函数，若f ( 工) 可表示成f ( 工) = 2 。( ) ，其中( x ) 是 r + 上的凸函数，则称f ( x ) 为可分离的s c h u r 一凸函数。 基于以上的定义，有下面两个重要的引理： 引理2 1 ：对任何可分离s c h u r 一凸函数f ( x ) f ( y ) 成立当且仅当x y 。 引理2 2 ：i 为整数毛，黾的平均数，对任意的可分离s c h u r 一凸函数 f ( z ) = ：( ) 有：f ( x ) 七( 卜f 1 ) f ( a ) + k f l f ( a + 1 ) ，当且仅当后整数专有 七( 1 一) 个值为口，尼个值为口+ 1 等号成立，其中口为i 的整数部分，为i 的小 数部分。 4 硕士学位论文 m a s t e r st t t e s i s 第三节初始设计d 与d o 甜b l e 设计d 之间的解析关系 所有聆次试验，m 个因子的两水平设计的集合记作d ( 玎，2 “1 。若因子设计中任 意一个因子的每一个水平在试验中出现相同的次数，称此设计为u 型设计。所有n 次试验，m 个因子的两水平u 型设计的集合记作u ( n ，2 “) 。由于u 型设计具有平衡 性特点，因此在实际中广泛被采用。 首先我们给出u 型初始设计与其相应d o u b l e 设计o 和蜴值之间的解析关系。 定理3 1 ：假设d u n ，2 ”1 ，在一阶极大模型下，d o u b l e 设计d 与其初始设 计d 的q 和统值有如下的解析关系： q ( d ) = 囊肿掣 ( 4 ) 呻) = 鲁呻) + 掣 ( 5 ) ，1 2 “，1 2 证明设d 的极大模型为y = x f l + g ，d = ( 勺) 为n x m 阵，勺取值l 或一1 ， x = ( ，d ) ，= ( 1 ，1 ，1 ) ，夕= ( 成，屈，尾) ，s h 艮) a n ( o ，盯2 ) ，易见： m = 瞄甜 其中口：f ，窆窆e 加，窆1 根据t s a ie t a l ( 2 0 0 0 ) ，我们有当浮_ ，时，嗡= 4 ；当f 时，岛= 磊：。因此， 由( 2 ) 知， 卯) 鲁善善去2 + 瓦4 智v a 杀a + 筹 在初始设计d 的极大模型下，d 设计的极大模型为y = x ( d ) f l ( d ) + g ，则信 息阵为： 删砌印( 0 免) 硕士学位论文 m a s t e r st t l e s i s 其中0 l 和0 2 分别为( 研+ 1 ) 聊和m x ( m + 1 ) 阶零矩阵，于是得： q ( 。) 一吣2 兰m 确i 2 + 磊缶r a 嚣2 + 著 ( 7 ) 注意到，当i = 0 ，1 ，聊时，a j ；= r ，且当d 为u 型设计时，q 。= 0 ，因此 q ( d ) 2 等善m 蔷m 予2 + 等 ( 8 ) q ( 。) = 詈夏i 善m 蔷r n 予, , - 1 2 + 篝 ( 9 ) 组合( 8 ) 和( 9 ) ，即可得到： 卯) = 番肿掣 同理可得： ) 2 罢眯) + 掣 证毕。 注意到，u 型设计试验次数一定是偶数，即i 7 必定是2 的倍数。若试验的次数 为奇数时，初始设计d 与其d o u b l e 设计又有怎样的解析关系呢? 下面我们来研究这 一问题。 为了研究的方便，当试验次数为奇数时，我们假定每一个因子的两个水平数在 试验中出现的次数相差不超过1 。 定理3 2 ：假设d d ( ，z ，2 ”) ，其每个因子的两个水平出现的次数相差不超过l 。 假定以为奇数，则在一阶极大模型下，d o u b l e 设计d 与其初始设计d 的q 和q 值 有如下的解析关系： 卯) = 囊肿塑坠蒜掣 ( 1 0 ) 帅) = 鼍眯) + 型殓掣 ) 证明如同定理3 1 的证明，( 6 ) 和( 7 ) 仍然成立。当门为奇数，且每一个因子的 水平数在试验中出现的次数不超过1 时，若i 0 ，则有a i 。= + - l 。于是( 6 ) 和( 7 ) 6 硕士学位论文 m a s t e r st t t e s i s 父为 q ( d ) = 等( 罗1 善m 蔷m 孑1 7 2 + 毒喜专+ 面m 4 ( 2 ) 卯) 噜薯薯事矗喜专+ 篆 ， 组合( 1 2 ) 和( 1 3 ) 即得( 1 0 ) 。 同理在绕准则下，我们可以得到： q ( d ) 锄艺荟m 2 i = 1+ 唾专+ 等 ( 1 4 ) ，= l ，if = i ，i ，i 呻) 咆闰闰m 玎2 。+ 寻善嘉+ 等 ( 1 5 ) 由( 1 4 ) 和( 1 5 ) 即得( 11 ) ，证毕。 如果我们对试验次数奇偶性以及试验的每个因子的水平数在试验中出现的次数 的情况毫无了解的状况下，基于h o h n ( 1 9 7 3 ) 的理论我们能够得到更一般的结果。 定理3 3 ：假定d d ( 行，2 ”) ，则在一阶极大模型下，d o 甜b l e 设计与初始设计d 的q 和q 值有如下的解析关系： 印) = 囊肿掣+ d ( d ) ( 1 6 ) 绕( d ) = 景啪) + 掣+ o ( d ) ( 1 7 ) 其中d ( d ) 是与设计d 有关的无穷小量。 证明如同定理3 1 的证明，( 6 ) 和( 7 ) 同样成立。由h o h 刀( 1 9 7 3 ) 知信息阵x r x 的 对角线元素要远大于非对角线元素，即吒 ， o ，故d 为q 和绕准则下是最小的，d 也为最小的， q 2q 2 反之亦然，证毕。 由定理3 1 、定理3 2 和定理3 3 ，我们可以观察到初始设计d 与d o u b l e 设计d 的q 和绕值之间的解析关系中比例系数象老和善与试验次数，z 的奇偶性和每个 因子的每个水平在试验中出现的次数无关。因此，定理3 4 的结论具有普适性。 作为上述几个定理的应用，我们给出如下几个重要的结果。 大家知道，在构造正交表时h a d a m a r d 矩阵是非常重要的，很多两水平的正交 表都是通过h a d a m a r d 阵得到的，因为h a d a m a r d 阵去掉全是1 的第- - 歹t j 便得到一个 正交表。如果初始设计d 是由h a d a m a r d 阵去掉全是1 的第一列所得到得正交设计， 那么我们可以得到如下的结论。 定理3 5 ：若d 是由h a d a m a r d 阵得到的正交设计，则在一阶极大模型下，有： q ( 。) 2 嚣q ( ? ) ( 2 2 ) q a ( d ) = 詈绋( d ) ( 2 3 ) 证明易得： 鲫) = 警 印) = 警 8 ) n d 仍 扔 + + 堕疗 堕聆 十 + 露一矿 一矿 。r厶川川 。f厶川 。h 。闻 q q i l = 、，、， d lv 蜴 绋 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 绋( d ) ：止监 绋( d ) ：止监 因此有 q ( 。) 2 嚣q ( d ) 蜴( 。) 2 暑q ( d ) 证毕。 折叠反转设计最初是由b o xa n dh t m t e r ( 1 9 6 1 ) 提出，- g 是通过折叠反转初始设计 而得到新的试验设计，折叠反转设计在因子设计巾能够提高试验的分辨度和解除因 子问的别名关系，因此折叠反转设计是一种非常有用的因子设计，我们有如下的推 论： 定理3 6 ：假定d 为u 型设计，则在一阶极大回归模型下，折叠反转设计 = ( 三) 在q 或绕准则下是最优的当且仅当d 在q 或绕准则下是最优的。 证明显然d 和d 的信息阵分别为： x r ( d ) x ( d ) = ( ：d 0 ，d r 7 ( d ) z ( d ) = 2 ( ：d 乞) 于是由( 6 ) 和( 7 ) 可得： q ( d ) 5 百2 台m 台m7 2 + 筹 ( 2 4 ) q ( ) = 面4 r 2 台r a 缶m 了, , 1 2 + 篆 ( 2 5 ) g 耠( 2 4 2 和( 2 5 ) 可得： 酬= 籍肿舷一番) 这即证明：折叠反转设计d 7 在q 准则下是最优的当且仅当d 在p 准则下是最优。 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s i 司理口j 以让明在编准则卜的倩彤。让毕。 一阶回归模型能够用来从因子当中筛选出效应显著的因子，当因子的个数比较 多时相应的试验模型也就变得比较复杂，这样去分析试验所得数据就变得复杂，就 有可能漏掉重要信息。因此在因子筛选中，可以先将因子分成两部分，然后从每一 部分中筛选出效应显著的因子，这样比直接从全部因子中找出效应显著的因子要简 单得多，但这两种方法是否等价，我们可以从下面的结论得到。 定理3 7 ：在一阶极大回归模型下，碣u ( 疗，2 砷) ，吐u ( 刀，2 ”2 ) 都是q 或绋准 则下最优的，则矗= ( 主- 破4 设计也是最优的。 证明设计4 ，d 2 的极大线性回归模型分别为k = 一届+ s ，匕= x ：屈+ s ，各参数 意义如同定理3 1 ，其中五= ( ，z ) ，置= ( ，吐) ，= ( 1 ，1 ，1 ) 7 ，分是相对于 设计反而言，其意义如同前面定义的毛和4 ，k = 0 , 1 ，2 由q 值定义( 2 ) 易得： ， 毗，= 筹；| ；薯蒡+ 爷 啪) = 器( 2 ) 善m 否m 予2 + 簪 其中，而，6 ：f 分别表示信息阵f 五，x r x 2 第( i + l ，+ 1 ) 元。 在初始设计4 ，吐的极大模型下，设计碗的极大模型为k = 凰屈+ s ，其中 k = ( 差- 吃4 ) ，其信息阵为 砒= 2 譬磊) 不难验证哦的q 值为 毗) _ 嚣比) + 搿啪) + c 茸中 i o n n 在蜴准则下可以类似证明，证毕。 l l 第四节试验设计d 在q 和q 准则下的一个下界 通过定理3 4 我们不难发现，要找出d o u b l e 设计在q 和绋准则下最优的设计， 只需要在这个准则下找出最优的初始设计即可。 定理4 1 ：假定d u ( n ，2 ”) ，在一阶极大模型下，有： 掣( y 2 + 2 侈+ ) + 萼一掣 ( 2 6 ) d o n 刀d 0，z d o q n ( d ) 下4 e l z ( n - 1 ) ( 7 z + 2 垆+ ) + 一m c i 一堂监 ( 2 7 ) 其中y ，为m n 2 ( n 一1 ) 的整数和小数部分。 证明不难验证 呵2 = t r ( d r d d7 d ) 一m y l 2 = t r ( d d r d d ) 一加以2 若令d d7 = ( 勺) ，则当i = j 时勺= _ 7 ，z ；当f _ ， c 口= e i l e j l + e i j m m 一2 d q 其中以为设计阵d 的第f 行和第j 行的h a m m i n g 距 ，即设计阵d 的第f 行和第j 行的不同元素的个数。 当d u ( n ，2 “) 时，我们有： 办= m n 2 = i 办= m n 2 2 i = 1j = 1 基于匕面的结果我们就得到 = 4 z 司一4 肌吒所2 力2 一聊刀2 i = i = li = 1 卢l j 刊j t l = 8 刃一聊2 门2 一m y l 2 ( 2 8 ) i = 1 ， ， 1 2 矿m 一m卜p 略 2一 班 ，l 。荔 。矧 = ，岩 。斟 硕士学位论文 m a s t e r st t i e s i s 注意到，( 4 z ，4 。，以，畋打，。反川) 。) ( 酗、y + l , - - 7 + l ，) n ( n l x l p ) 2月( 月一i ) p 2 于是由引理2 2 和( 2 8 ) 知： 羔艺铲28 塑掣塑y z + 霉半( 川) 2 】彳 耐 j = l ，1 = 4 n ( n d ( r 2 + 2 + ) 一r n 2 n 2 一m n 2 ( 2 9 ) 结合( 8 ) 和( 2 9 ) 即可证明( 2 6 ) 和( 2 7 ) 。 基于定理3 1 的证明过程，我们可以得到以下推论： 推论4 1 ：d u ( n ，2 4 ) ，在一阶极大模型下，d o u b l e 设计有： q ( d ) 掣( y z + 2 r p + 卢) + 萼一下m ( m + 1 ) 6 1 2 ( 3 0 ) o , n n o o行靠 绕( d ) 掣( y ：+ 2 + ) + 堕一螋 ( 3 1 ) 定理4 2 ：假定d d ( n ，2 ”) ，其每个因子的两水平出现的次数相差不超过1 ，假 定n 为奇数，则在一阶极大模型下，有： 则) 铲( 矿砌川) + 老( 2 m 2 - m 2 n 2 _ m n 2 ) 秀+ 篆( 3 2 ) q b ( a ) 笔掣( 山2 口0 峋+ 等( 2 m 2 _ 脚2 n 2 _ m n 2 ) + 等+ 等 ( 3 3 ) 其中口，0 为m ( n + 1 ) 2 n 的整数和小数部分。 证明当刀为奇数且每一个因子的两个水平在试验中出现的次数差异不超过1 时，如同定理4 1 的证明，我们可以得到： 吒= 聊( 刀2 1 ) 2 口；= 8 + 2 m 2 - - m 2 甩2 - - m n 2 又知( 碣：，4 。，破，如哝川) 。) ( 堡：当g ! ：竺! ) ，故由引理2 2 可得 n ( n i x i 一0 ) 2 ( h n ) o 2 22 4 n ( n d ( a 2 + 2 a o + o ) + 2 m 2 - m 2 刀2 - m g 2 i = i = l j l 再根据定理3 2 的证明过程，我们即可完成此定理的证明。 作为定理4 2 的一个应用，我们可以得到如下的推论。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 推论4 2 ：d d ( n ，2 ”) ，刀为奇数时，则在一阶极大模型下，其d o u b l e 设计有： q ( d ) 警( a 2 + 2 a o + o ) + 杂( 2 m 2 - m 2 n 2 _ m n 2 ) + 蔫+ 等( 3 4 ) 绋( d ) 掣( 口2 - t - 2 口0 + 臼) + 喜( 2 m 2 _ m 2 h 2 _ m n 2 ) + 萼+ 堕 ( 3 5 ) 在一阶极大模型下，定理4 1 和定理4 2 为我们提供了如何去寻找q 和绕准则 下的最优的设计。这些结果有助于我们更好地去理解初始设计与其相应的d o u b l e 设 计之间的最优关系。 下面我们用一个例子来说明我们的结论。 考虑两个5 因子1 2 次试验的设计d l 和吐，具体设计见表4 1 ，不难验算如下的 数字结果：瓯= 3 1 ，磊= 1 6 ，4 2 = 8 ，戍= 1 0 2 3 ，4 = 5 1 2 ，瓯：= 2 5 6 ，q ( 西) = 0 2 15 1 ， q ( d ：) = 0 2 7 2 4 ，q ( d 1 ) = 0 2 0 8 5 ，q ( d ：) = 0 2 6 4 1 ，此结果是对定理4 很好的解释。当 在q 准贝, l j t d , 是优于畋的，则q 也是优于破的。由q i na n dl i ( 2 0 0 6 ) 知设计4 比以有较少的低阶混杂且比吐更均匀，q ( 4 ) q ( 盔) 说明了在q 准则下设计4 也 是优于吐的，因此此例在一定程度上也说明了q 准则和g m a 准则以及均匀性准则 之间的等价性。 表4 15 因子1 2 次试验的因析设计 碣吐 1l一1111_ 1111 111111_ l1l_ l ll111l1111 ll- l111111l 111111一1111 1- 11l11一1111 1一l 一1 1l- 111- 11 lll一111111l 111一ll- 1l1- ll 11 11 1 - 1 11_ l1 ll111- 111一l- 1 。111一11- l- 11一l_ 1 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 表4 2数字结果 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第五节论文展望 本文的上述结果都是基于一阶极大模型得出的，一阶回归模型在试验设计的因 子上起着非常重要的地位。当试验模型变得复杂时，q 准则中的瓯以及线准则中 的占这些系数之间的关系就变得复杂起来。因此在更高阶的模型下去研究初始设 y 计与其相应的d o u b l e 设计之问的晟优关系，也变得有点困难，但这值得我们去探索 去研究。 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 1 b o x ，ge p a n dh u n t e r , j s t i l e2 卜pf r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n s j t e c h n o m e t r i c s ， 1 9 6 1 ，3 ：3 1 1 3 5 1 2 】b 0 0 t l l kh va n dc o x , d rs o m es y s t e m a t i cs u p e r s a t u r e dd e s i g n s j t e c h n o m e t r i c s , 1 9 6 2 ，2 2 ：6 0 1 6 0 8 3 c h e n , h ga n dc h e n g ，c s d o u b l i n ga n dp r o j e c t i o nam e t h o do f c o n s t r u c t i n g t w o l e v e ld e s i g n so f r e s o l u t i o ni v j a n n s t a t i s t ，2 0 0 6 ，3 4 ：5 4 6 5 5 8 4 f a n g ，k t a n dm a , c x an o t eo ng e n e r a l i z e da b e r r a t i o ni nf a c t o r i a ld e s i g n s j m e t r i k a , 2 0 0 1 ，5 3 ：8 5 9 3 【5 f a n g ，k t a n dq i n h u n i f o r m i t yp a t t e ma n dr e l a t e dc r i t e r i af o rt w o l e v e l f a c t o r i a l s 【j 】s c i e n c ei nc h i n as e r am a t h e m a t i c s ，2 0 0 5 ，4 8 ( 1 ) ：l - 1 1 6 h o h r t , ee e l e m e n t a r ym a t r i xa l g e b r a m n e wy o r k ：m a c m i l l a n ，1 9 7 3 【7 l e i ，yj a n dq i n ，h u n i f o r m i t yi nd o u b l ed e s i g n j 】a c t am a t h s c i ，t oa p p e a r , 2 0 0 9 【8 l i u ，m q a n dh i c k e r n e l l ，f j e ( j 2 ) 一o p t i m a l i t ya n dm i n i m u md i s c r e p a n c yi nt w o l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s j s t a t i ，s i n i c a ，2 0 0 0 ，1 2 ：9 3 1 9 3 9 9 m a r s h a l l ，a a n dh i c k e m e l l ，ej i n e q u a l i t i e s ：t h e o r yo fm a j o r i z a t i o na n di t s a p p l i c a t i o n m n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，19 9 9 【lo m u k e r j e e ，ra n dw u ，c eo nt h ee x i s t e n c eo fs a t u r a t e da n dn e a r l ys a t u r a t e d a s y m m e t r i c a lo r t h o g o n a la r r a y s j a n n s t a t i s t 1 9 9 5 ，3 ：2 1 0 2 2 1 15 【l1 p l a c k e t t ，r l a n db u n n a n ，j p t h ed e s i g no fo p t i m u mm u l t i f a c t o r i a le x p e r i m e n t s 【j - b i o m e t r i c a ，1 9 4 6 ，3 3 ：3 0 5 - 3 2 5 【12 q i n ，h a n dl i ，d c o n n e c t i o nb e t w e e nu n i f o r m i t ya n do i r t h o g o n a l i t yf o rs y m m e t r i c a l f a c t o r i a ld e s i g n s j j s t a t i s t p l a n n i n ga n di n f e r e n c e ，2 0 0 6 ，1 3 6 ：2 7 7 0 2 7 8 2 13 q i i l ，h a n df a n g ，k t d i s c r e t ed i s c r e p a n c yi nf a c t o r i a ld e s i g n s j m e t r i k a , 2 0 0 4 ， 6 0 ：5 9 7 2 【14 t a n g ，b x a n dd e n glym i n i m u mg 2 一a b e r r a t i o nf o rn o n r e g u l a rf r a c t i o n a l f a c t o r i a ld e s i g n s j a n n s t a t i s t 1 9 9 9 ，2 7 ：1 9 1 4 1 9 2 6 15 】t s a i ，p w ，g i l m o u r , s ga n dm e a d ，r p r o j e c t i v et h r e e l e v e lm a i ne f f e c t sd e s i g n s r o b u s tt om o d e lu n c e r t a i n t y j b i o m e t r i k a ，2 0 0 0 ，8 7 ：4 6 7 4 7 5 【16 】t s a j ，p w ，g i l m o u r , s ga n dm e a d ，r s o m en e wt h r e el e v e lo r t h o g o n a lm a i n e f f e c t sd e s i g n sr o b u s tt om o d e l u n c e r t a i n t y j s t a t i s t s i n i c a 2 0 0 4 ，1 4 ：1 0 7 5 - 1 9 8 4 【l7 】t s a i ，p w ，g i l m o u r , s ga n dm e a d ，r t h r e el e v e lm a i ne f f e c t sd e s i g n se x p l o i t i n g p r i o ri n f o r m a t i o na b o u tm o d e lu n c e r t a i n t y j j s t a t i s t p l a n n i n ga n di n f e r e n c e ， 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 0 0