（概率论与数理统计专业论文）双参数指数分布参数的若干估计的优劣性比较.pdf

北京交通人学硕十学位论文 中文摘要 中文摘要 本文讨论了双参数指数分布的参数估计问题，在完全数据试验、定数截尾试 验和随机删欠试验下分别基于线性同归方法( 由文献【7 】提出) 、b a y e s 方法和极 大似然方法给出了双参数指数分布位置参数和刻度参数的估计最后进行数据模 拟，同时也将这几种估计分别和各自情形下的最小方差无偏估计( u m v u e ) 进行 了比较数据模拟结果显示在完全试验下最小方差无偏估计( u m v u e ) 表现的最 好，在定数截尾试验下b a y e s 估计表现的最好，在随机删失试验下类最小方差无 偏估计( s u m v u e ) 表现的最好 关键词：双参数指数分布；最小二乘估计；极大似然估计；b a y e s 估计；u m v u e ； m o n t ec a r l o 方法：随机删失；k m 估计 分类号：0 2 1 2 8 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ed i s c u s s e st h ep a r a m e t e re s t i m a t i o np r o b l e mi nt h et w o p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nb a s e do nc o m p l e t es a m p l e ，t y p eic e n s o r i n gs a m p l ea n dr a n d o m c e n s o r s h i ps a m p l e ，r e s p e c t i v e l y e m p l o y i n gl i n e a rr e g r e s s i o nm e t h o d ，b a y e sa p p r o a c h a n dm a x i m u ml i k e l i h o o dm e t h o d ，w ep r o p o s es e v e r a lk i n d so fe s t i m a t o r sf o rt h es c a l e p a r a m e t e ra n dt h el o c a t i o np a r a m e t e ra n dm a k ec o m p a r i s o n sb e t w e e nt h o s ee s t i m a t o r s u n d e re a c hs i t u a t i o na n da l s oc o m p a r et h e mw i t hr e s p e c t i v eu n i f o r m l ym i n i m u mv a r i - a n c eu n b i a s e de s t i m a t o r ( u m v u e ) t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tu n d e rt h ec o r n - p l e t ec a s et h eu m v u ep e r f o r m st h eb e s t , t h eb a y e se s t i m a t o ri st h eb e s ti nt h et y p e ic a s ea n dt h es i m i l a ru n i f o r m l ym i n i m u mv a r i a n c eu n b i a s e de s t i m a t o r ( s u m v u e ) i s t h eb e s ti nt h er a n d o mc e n s o r s h i pc a s e k e y w o r d s ：t w o p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ；l e a s ts q u a r e se s t i m a t o r ；m a x - i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r ；b a y e se s t i m a t o r ；u m v u e ；m o n t ec a r l om e t h o d ；r a n d o m c e n s o r s h i p ；k - me s t i m a t o r c l a s s n o ：0 21 2 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 签字f 1 期：年月r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部fj 或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：而r 哂私 签字几期：? o o 叮年7 月ff l 导师签名：由磅名卜 签字几期：7 哆年7 月i f 致谢 本论文的工作是在我的导师工立春副教授的悉心指导下完成的，在论文选 题、研究、定稿的过程中，老师自始至终给了我大力的支持感谢我的导师，他严 谨细致、一丝不苟的作风一直足我工作、学习中的榜样，他循循善诱的教导和不 拘一格的思路给予我无尽的启迪他严谨的治学风格，广博的知识，精益求精的科 研作风，敏锐的学术思想和忘我的工作精神影响并鞭策了我，是我今后生活与工 作中一笔极大的财富，在此谨向王老师表示深深的感谢 感谢张尚立老师对我的帮助和指点，无论是在平时的学习，还是在论文的写 作中，他都给我提出了很多宝贵建议，在此向张老师表示真诚的感谢此外，在撰 写论文期间，冯娴、陶芸等同学都给予我热情的帮助，我也从中学到很多知识，在 此向他们表达我的感激之情 最后，感谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见回首两 年的研究生生活，自己的每一步前进，都离不开老师、亲朋和同学的支持与教诲， 在此表达我对他们最衷心的感谢! 北京交通大学硕十学位论文 第1 章引言 第1 章引言 双参数指数分布是一类应用非常广泛且重要的分布，在可靠性理论和应用中， 它是用途广泛的寿命分布；在保险和精算领域中，它是常用的损失分布，并且适用 于不同的险种同时也广泛应用于现代医学和工农业生产中例如【l 】利用两个相 互独立的双参数指数变量之差产生双参数指数分布这一事实来分析水文站的洪 水资料；【2 】基于双指数测量误差的假定，建立了一个关于蒸汽发生器的监测模型； 【3 】中指出有缺陷材料的强度足服从双参数指数分布的；【1 0 】中取双参数指数分布 建立精算模型 基于双参数指数分布用途如此的广泛，国内外的学者对双参数指数分布在不 同试验下的参数估计问题做了很多的研究例如【l l 】和 1 4 】在截尾寿命试验下分 别研究了双参数指数分布的参数及可靠性指标的b a y e s 估计和经验b a y e s 估计； 【1 2 】讨论了在一类特殊的随机删失下的生存函数的估计及其渐近性；【1 5 】讨论随 机删失试验下的生存函数的函数的经验似然估计；【1 6 】给出了在随机删失试验下 生存函数的一个估计，并计算了它的期望和方差；【8 】给出了在删失分布已知的情 况下的生存函数的一种改良的估计，其把【6 】中提出的k m 估计的连乘的形式利 用删大分布改为连加的形式，弥补了k m 估计的一些缺陷 本文考虑如下的双参数指数分布 l y 一” f ( x ；i z ，= 击e x p ( - = _ # y ( x ) ， ( 1 1 ) 口口 其中i ( a ) 为集合a 的示性函数，1 0 ，0 0 分别称为位置参数和刻度参数 本文分别在三种试验下讨论双参数指数分布的参数估计问题，利用极大似然 方法，b a y e s 方法及文献【7 】中提出的线性同归的方法分别对和0 给出了极大似 然估计、b a y e s 估计和两种最小二乘估计，并结合m o n t ec a r l o 方法研究它们的优 劣性最终在每种试验下把以上几种估计与，0 各自的u m v u e 进行比较下面 简单介绍一下文中提到的三种试验 第一种试验是完全数据试验，在该试验中我们抽取n 个独立同分布的双参数 指数分布样本数据* ，局，这n 个样本数据能够被完全的观察到，那么我 们基于这被观察到的n 个样本数据做出p 和0 的几种估计 第二种试验足定数截尾试验，设五1 ) 2 ，。) 为蜀，托， 北京交通大学硕士学位论文 第l 章引言 的次序统计量，在这种试验下，我们能够观察到是前，( r 雎) 个样本数据， 即五1 ) 2 ) 五r ) ，l ，刀我们基于这r 个样本数据讨论位置参数p 和刻 度参数0 的估计问题 第三种试验足随机删失试验，设x l 为，而是非负随机变量，相互独立且 服从相同的双参数指数分布( 1 i ) y l ，y 2 ，匕是非负的随机删失变量，相互独 立且服从共同的分布函数：0 ，) ，且疋与坼独立，我们仅能观察到 z j = m i n ( x ；，坼) ，西= j f c xsk ) ，1 i 刀 那么我们利用x 和k 采用不同的方法给出p 和0 的估计 在每种试验的理论研究后，我们进行数据模拟分别讨论不同试验下各种估计 的优劣性最后给出一般性的结论和评述 2 北京交通人学硕十学位论文 第2 章完全数据试验 第2 章完全数据试验 设1 ) 2 ) 五。) 为置，局，疋的次序统计量，其中* ，恐， 为独立同分布的双参数指数分布样本 2 1 j l f ，0 的极大似然估计 由 石一他们= 吉e x p ( _ 孚矾石猁 可得 x 一n p 八工i ，娩，岛；p ，d = 万1e x p ( 一午) j ，( 丑1 ) p ) ( 2 1 ) 观察f ( x l ，耽，x ；i j ，的表达式，对任何固定的0 ，要使f ( x l ，耽，而；乒， 尽可能大，就要使e x p ( n l a o ) 尽可能大，从而要使p 达到最大，而p 五1 ) ，所以 当= 曩i ) 时，八工l ，砌，x ；i j ，功达到最大从而有 丘肌= 1 ) 把卢肌= x o ) 代入( 2 1 ) 中可得 f ( x b x 2 , , x n ；l a , ：扣一攀脚c 从而0 的极大似然估计为： a 肌e ：一s ， 其中s = ：l 【o 一1 ) 】 2 2 j l l ，0 的b a y e s 估计 我们取p 的先验分布为如下的无信息先验分布为 i 缸) = ；i ，。 p ，) + ( 刀一r ) ， 一，啦1 ) ， 、t1 扭i ；= l 则s l r ( ，一l ，d 仍文献，j 3 力 证明：我们给出下面的详细证明由已知的次序统计量的结果知道伐1 ) ，2 ) ，1 ) ( 1 ，刀) 的联合分布为 m ，z ，删= 南扣h ”掣】) 亿2 3 ， 9 北京交通大学硕七学位论文 做变换 第2 章完全数据试验 z l = ，域” z 2 = 川) 陋2 ) 州 ( 2 2 4 ) z ；= ( r l 一，+ 1 ) u 坟，) 一五，1 ) ) 注意到伐1 ) ，五2 ) ，r ) ) 7 = 彳( z l ，z 2 ，z r ) 且m i = 伽一，) ! 刀! ，于是 = ；e x p ( 一昙( z + 勿+ + z r 一，班) ) = 昙e x p c 一昙q 一，训，n i = 2 【吉e x p c 一考，】 从而知道z l ，z 2 ，z ，为相互独立的，再由 z l - 城1 ) 吾e x p ( 一z lo n # ) ( 2 2 5 ) 及 乙r ( 1 ，2 i r 我们知道 z j + + z ；一r ( 厂一1 ，d 而s l = z 2 + + z r ，于是s i r ( ，一i ，功得证 特别地，当r ：疗时，s ：至一，”。r 伽一l ，6 c i 综上可知 五) 石ne x p ( 一竺q 写掣) ，( 工p ) ，s r ( 丹一l ， 于足e 伐1 ) ) = p + p 刀，e ( s ) = ( 刀一1 ) o ，从而有 卢幽，一志，舀= 击 分别为p ，0 的无偏估计 如果伐1 ) ，s ) 为缸，p ) 的充分完备统计量，那么口，a 将分别为p ，0 的u m v u e 注意到我们可以改写( 2 1 ) 为 f ( x l , 州们= 昙e x p ( 一字”以 l o 北京交通人学硕十学位论文第2 章完全数据试验 于是由因子分解定理可知厦i ) ) 是，d 的充分统计量由引理1 知伐1 ) ，s ) 也 为m ，6 c i 的充分统计量 下面说明伐1 ) ，s ) 为，日) 的完备统计量，由定理2 的证明可知s 与1 ) 足相 互独立的若e 【矿( 曩1 ) ，5 ) 】= 0 ，则有： r ”r ”贴m 一高晰掣m 卅洳出一o ， 即： r ”r 。虬m 之e x p ( 一兰产盹渺o 对上式两边求的导数得： 一旷圳广2 聃) a s e x r g 一争。，以 即： 厂0 北缈之e x p ( 一言胁o j 9 上式的左端可以视为础，s ) s - 2 的拉氏变换，由拉氏变换的唯一性可 知妒m ，s ) = 0 处处成立，即：妒( 川1 ) ，5 ) = 0 处处成立所以( 五1 ) ，s ) 为，的 充分完备统计量从而p ，a 分别为，0 的u m v u e ，即 卢u = 一志， w = 刍疗一l ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 由2 4 节的数据模拟我们知道极大似然估计和基于x 对y 的同归估计各有优 缺，下面比较他们与最小方差无偏估计的优劣 t a b l e2 7 ：1 = 2 5 ，0 = 1 8 5 ，口= 1 4 ，p = 2 0 ，叩= 2 5 ，刀= 2 0 北京交通大学硕士学位论文第2 章完全数据试验 t a b l e2 8 ：1 = 2 5 ，0 = 1 8 5 ，仃= 1 4 ，卢= 2 0 ，7 = 2 5 ，刀= 5 0 t a b l e2 9 ：p = 2 5 ，日= 1 8 5 ，口= 1 4 ，卢= 2 0 ，j 7 = 2 5 ，玎= 5 0 从t a b l e2 7 ，t a b l e2 8 ，t a b l e2 9 的数据可以发现的最小方差无偏估计的偏 差和均方误差比极大似然估计和基于x 对y 的网归估计要小；o 的最小方差无偏 估计的偏差比极大似然估计和基于x 对y 的同归估计都要小，但足均方误差要比 极大似然估计大从总体来看，在完全数据试验下刻度参数和位置参数的最小方 差无偏估计表现的最好 1 2 北京交通大学硕士学位论文第3 章定数截尾试验 第3 章定数截尾试验 用截尾样本来进行统计推断是可靠性研究中常见的问题，本节中考虑在定数 截尾试验下位置参数a 和刻度参数0 的估计问题假设得到的样本数据为 ”五2 ) r ) ， i ，r 下面分五小节对这种试验下的参数估计进行讨论 3 1 ，0 的极大似然估计 易知伐1 ) ，五2 ) ，r ) ) 的联合密度为 八五1 ) ，川2 ) ，一，气r ) ；p ，回= 石= n ! 可歹ie ) 【p ( 一丁t - n l a ) ，( x t , ) i a ) ， ( 3 1 ) 其中f ：圭丑，) + ( 1 ! - - 力曩厂) 对于固定的以要使八丑1 ) 曩2 ) ，甄，) ；p ，尽可能的大， ，= l 则只需使e x p ( n p o ) 尽可能大，即取最大值x o ) 时f ( x o ) ，丑2 ) ，丑，) ；，d 取得极 大值从而有 卢肌= i ) ( 3 2 ) 把厅肌= 丑1 ) 代入( 3 1 ) 式可得 肌嘲，蝴；们= 丽n ! 歹1e x p ( - 学) ， 从而可得0 的极大似然估计为 。 舀肌：塑， 其中s l 由定理2 给出 3 2 j l f ，0 的b a y e s 估计 我们取p 的先验分布为无信息先验 g = 昙，0 ) ) ，瞒2 ) ，f 陋2 ) ) ，陇r ) ，f 伐r ) ) ， 对每个五。都有，伐o ) 与之相对应，于是由( 2 1 2 ) 仿照2 3 节，我们得到以下两种 同归估计 3 3 1 基于y 对x 的回归的p 和p 的估计 ， 一 一x ) 2 歌= 一了土1 _ = = ， ( * 一柳( k y ) 括l 纵= x + y ， 其中五= 五) ，k = l n ( 1 一，陇) ) ，x = ；名lx ，y = ；：l 坼 3 3 2 基于x 对y 的回归的和0 的估计 ， 一一 一( 坼一” 砧= 一旦了_ ， ( 坼一y ) 2厶、1 ，4 ， f - 1 叠碍= x + 8x ) ，y ， 其中石，l ，置_ y 的意义同上 3 4 数据模拟 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 利用数据模拟比较以上所得估计的优劣对( 3 3 ) 节中的月陇o ) 的估计采用 文献【4 】和 5 】中提出的估计形式： 戽：l 一掣凡。，p o ：0 ，只五) ) ：戽 仃一l1 - 二 我们产生服从三种不同的双参数指数分布的n 个随机数，在r = 5 0 时分别对每组 随机数模拟2 0 0 0 次，当b a y e s 估计的先验分布选取适当时，每种估计的偏差和均 方误差如下 1 5 北京交通人学硕十学位论文 第3 章定数截尾试验 t a b l e3 1 ：p = 3 7 5 ，口= 1 5 ，卢= 1 0 ，口= 5 ，1 = 4 0 ，刀= 1 0 0 ，厂= 5 0 t a b l e3 2 ：p = 2 2 5 ，0 = 1 5 ，卢= 1 0 ，口= 4 ，r = 2 5 ，刀= 1 0 0 ，- = 5 0 t a b l e3 3 ：p = 6 3 8 1 6 ，9 = 0 2 5 ，卢= 8 ，口= 1 5 ，r = 7 0 ，刀= 1 0 0 ，= 5 0 由t a b l e3 1 ，t a b l e3 2 ，t a b l e3 3 中的数据可以看出，当b a y e s 估计的先验分布 选取恰当时，无论是从，p 的偏差还是从均方误差看，b a y e s 估计表现的最好，其 次是极大似然估计，然后是基于x 对y 的回归的最小二乘估计，最后是基于y 对x 的网归的最d , - 乘估计 1 6 北京交通人学硕十学位论文 3 5 p ，0 的最小方差无偏估计 第3 章定数截尾试验 观察( 3 1 ) 式由因予分解定理可知( l 五i ) ) 是啦，的充分统计量又有 s i = y + 研一州r ) - 城1 ) - t 一城1 ) s i2 2 j 五，) + ( 刀一r ) 一，i ) 2 一，1 ) ， f = l 知道 由引理i 知( s l ，1 1 ) 也是，d 的充分统计量结合前面定理2 的证明容易 从而p ，p 的无偏估计分别为 眠) ) - p + 吕， e ( s 1 ) = ( 厂一1 ) 6 万= 西s i ，r l 万= 硒一万两s i ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 类似第二节的处理可以证明( s i ，五1 ) ) 也为0 ，目) 的完备统计量，因此我们有 u = 鲁，一i 卢洲c ，= 一万两s 1 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 由3 4 节的数据模拟知当b a y e s 估计的先验分布选取适当时，p ，0 的b a y e s 估 计表现的最好下面的表格比较了，0 的b a y e s 估计与最小方差无偏估计的优劣 性 t a b l e3 4 ：p = 3 7 5 ，0 = 1 5 ，卢= 1 0 ，a = 5 ，吁= 4 0 ，玎= 1 0 0 ，= 5 0 1 7 北京交通大学硕十学位论文 第3 章定数截尾试验 t a b l e3 5 ：p = 2 2 5 。口= 1 5 ，= 1 0 ，口= 4 ，叩= 2 5 ，i = 1 0 0 ，= 5 0 t a b l e3 6 ：j u = 6 3 8 1 6 ，0 = 0 2 5 ，p = 8 ，t l = 1 5 ，j 7 = 7 0 ， = 1 0 0 ，= 5 0 t a b l e3 4 ，t a b l e3 5 ，t a b l e3 6 中数据表明：当b a y e s 估计的先验分布选取恰当 时，从，0 的偏差和均方误差考虑，b a y e s 估计表现的比最小方差无偏估计好 1 8 嗷搏太铷士箩位论塞 一一一箩，曼堕梃删签j 式验 第4 章随机删失试验 设置，局，局足非负随机变量，相互独立且服从相同的双参数指数分 布( 1 1 ) y l ，y 2 ，l 是非负的随机删失变量，卡h 互独立且服从年同的分布函 数：，且与y j 独立，我们仪能观察到 z j = m i n ( x j f ，坼) ，西= j ，( 咒蚱) ，1 is 疗 4 1删失分布已知 我们不妨设删失分布吣) 已知，其具体形式为 ) = l e x p ( - c y ) ，c 0 ( 4 1 ) 由于我们仪能观察到乙= m i n ( x i ，坼) ，毋= ，k ) ，l i 刀设z 【1 ) ，2 ：【2 ) ，z ( 。) 为z l ，z 2 ，乙的次序统计量，下面首先求z 的分和函数知 g ( z ) = p ( z z ) = p ( m i n ( x , y ) z ) = l p ( m i n ( x , y ) z ) = i 一月 z ，y z ) = l 一只 z ) b ( y z ) = 1 一【l 一只( z ) 】 1 一w a z ) ( 4 2 ) 从而有 g z ( z ；p ，d = l 一【l f a z ；p ，】【l w y ( z ；p ，9 ) 】 = l e x p ( 一半) e x p ( _ c z ) z 1 1 ) 劲) ( 4 3 ) 所以有 北；加= ( 昙一c ) e x p ( _ 孚一c z ) l ( z 训 ( 4 4 ) 因为z i z 2 ，乙足相互独立的，可得 g ( z l ，z 2 ，z ；p ，回= 1 9 田“：乜 。几剖 些褒窆道鑫学颐七鼋焦迨交一一一一一一第4 掌随机删失试验 = c 石i 一。 e x p ( 一学一c 喜z ，v c 盈，斗，c 4 5 ， 4 1 1 p ，臼的极大似然估计 知( z 1 ，z 2 ，乙) 的联合密度为( 4 5 ) 式，观察g ( z l ，z 2 ，如；p ，的表达式， 对任何同定的只要使酢l ，z 2 ，磊；p ，尽可能大，就要使e x p ( n l u o ) 尽可能大， 从而就要使p 达到最大，而p z ( 1 ) ，所以当p = 五1 ) 时，g ( z l ，勿，乙；，d 达到最 大，从而有 豇肌e = z ( 1 ) ( 4 6 ) 把卢肌= z ( ”代入( 2 4 ) 中得 g ( z l ，矿鳓m 吲一1 p ( 一墅产一c ( z ( 1 劫( 4 7 ) 从而日的极大似然估计为 舀m l e = 蔫骗 4 1 2 ，丹的两种最小二乘估计 由分布函数 ( 4 8 ) g ( z ) = g ：( z ；p ，= l e x p ( 一_ e ) e x p ( 一c z ) ) ， ( 4 9 ) 得到 l n ( 1 一g ( z ) ) = 一( 昙+ c ) z + 苫， ( 4 1 0 ) 注意到第每个z ( ，) 都有g ( z i ) ) 与之相对应，从而产生n 对序列 ( z 1 1 ) ，g ( z i l l ) ) ，( z ( 2 ) ，g ( z l 订) ) ，( z 吣，g ( z ：【”) ) ) ， 则利用样本( 4 1 0 ) 式可变为 l n ( 1 一g ( z i 神= 一( 昙+ 啦i 。+ 苫， ( 4 1 1 ) 令弗= l n ( 1 一g ( z i o ) ) ，z 产z l o 卡目应的有蚱= l n ( 1 一g ( z i ， ) ) ，z j = z i ，) ，则( 4 1 2 ) 变为 肋= 一石1 + 啦，+ 告 2 0 ( 4 1 2 ) 北京交通人学硕七学位论文 4 1 2 1 基于y 对z 回归的和0 的估计 第4 章随机删欠试验 对( 4 1 2 ) 式利用最小二乘法得 吐一面两警幕南， 如= 让歹+ ( 1 + 喀) 乏 其中k = l n ( 1 一g ( z t o ) ) ，z = z ( o ，y = 鱼产，z = 垒竽 一r ”y r ”y 4 1 2 2 基于z 对y 回归的和0 的估计 由( 4 1 2 ) 式可得 利用最小二乘法得 b = 豇矽 = 其中巧，z ，y ，z 意义同上 4 2 删失分布未知 勿= 一南+ 忐勿2 一耐+ 而 ：l ( z j 一刁( l y ) 名l ( y j y ) 2 + e e , l l ( z j z ) ( 蚱一y ) y一-一 ( 1 + c ) y + z ， ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 在很多情况下删失分布是未知的，在这一部分中我们对这种情况给出解决的 方法由于我们仅能观察到z = m i n ( x _ f ，蚱) ，, 5 i = j ，( x 以) ，l f 疗我们不妨定 义蚱= z f 毋，汪l ，2 ，t i 容易发现某些”= 0 ，此时丢弃以，然后对剩余的进行 排序得到k l l ，k 2 ) ，k 咖即删失了玎一s 个数据，得到s 个数据我们不难发现 这s 个数据k 1 ) ，k 2 ) ，k ，) 是来自* ，恐，局中的s 个数据下面我们利用 得到的s 个数据对p ，0 进行估计在这里说明一下，以下给出的几种估计方法对删 失分布已知的情况也适用 4 2 1 ，0 的类最小方差无偏估计 在完全试验下，我们知道p ，0 的最下方差无偏估计为 口， ，眦= x ( i ) - 而s ， 2 l ( 4 1 8 ) 北京交通大学硕十学位论文 第4 章随机删欠试验 台，肘r u e = z s 可， ( 4 1 9 ) 行 其中s = * 一，域1 ) f = l 我们仿( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 做出在随机删失下的，0 的类似最小方差无偏估计为 丘s u m r w = v ( i ) - 至锵， 矗 ：l 一s v o ) 良c ，e2 鲍早 注：用s u m v u e 表示类最小方差无偏估计 4 2 2 p ，0 的两种最 b - - - - 乘估计 ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) 考虑随机删失试验f 分布函数尺f ) 的估计，【6 】在1 9 5 8 年提出 分布函 数f ( f ) 的k m 估计其具体形式为 肌一o 【熹r g 西卅琊 n 2 2 ) 下面我们利用f ( t ) 的k m 估计，做出p ，0 的两种最小二乘估计 我们由分布函数 f ( 功= ，( 工；乒，6 c i = i e x p ( 一l b - - 竺) ， ( 4 2 3 ) 得到 l n ( 1 一f ( 力) = 一否1 x + 告， ( 4 2 4 ) 注意n x , f 每个以，) 都有，( u o ) 与之相对应，从而可以产生s 对序列 ( 收1 ) ，f ( k l ) ) ，( 阪2 ) ，f ( k 2 ) ) ，( 以。p f ( v t ，) ) ， 利用样本则( 4 2 4 ) 变为 l n ( 1 - 尸( h 。) ) = 一昙u 。+ 鲁， ( 4 2 5 ) 令y ，= l n ( 1 一f ( u 疗) ) 和v i = v ( o ，相应的有k = l n ( 1 一f ( v o g ) 和= k ，) 则( 4 2 5 ) 变为 y i = 一丢b + 竺0 ( 4 2 6 ) 5 一否b + 一 1 4 。2 6 j 北京交通大学硕士学位论文 4 2 2 1 基于y 对v 回归的1 1 和0 的估计 由最小二乘法得 j 一 ( 一咿 钆= 一_ 旦_ _ ：， ( k v ) ( y i y ) i = l 鳓= v + b y ， 其中k = l n ( 1 一f ( 虼o ) ) ，k = k o ，歹= 娶喾，矿= 墨每兰 4 2 2 2 基于v 对y 回归的1 和0 的估计 由 1 口 肋2 一石+ ；， 可得 m = 一o y , + p 于是由最小二乘法可得 j 一一 ( 以一n ( y 一功 b = 一生了- ， ( 蚱一y ) 2厶、1 ，1 ， f - l 豇可= v + y ， 其中k ，k ，v ，y 的意义同上 4 3 数据模拟 第4 章随机删欠试验 ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) ( 4 3 0 ) 利用m o n t ec a r l o 方法比较4 1 节得到的极大似然估计，基于y 对z 的问归估 计和基于z 对y 的同归估计的优劣性对于两种同归估计中分布函数的估计采用 软件包s y s t a t 中的形式： 戽：三堕 刀 我们在这里把删大分布 w r y ) = 1 一e x p ( 一c y ) 。c 0 中的参数c 分别取为c = 0 1 ，c = 0 2 5 ，c = 0 4 随机模拟2 0 0 0 次，比较各种估计的 偏差和均方误差，得到的结果见下表 北京交通人学硕士学位论文 t a b l e4 1 ：p = 5 ，0 = 1 0 ，r = 1 0 0 第4 章随机删欠试验 m l el syo nzl s zo ny c = 0 1 p b i a s - 4 9 9 9 6- 4 9 8 4 3 3 9 6 8 9 _ j u m s e 0 2 4 5 9 o 17 79 6 2 6 5 4 日b i a s9 9 5 9 79 8 3 4 69 8 4 4 6 9 m s e0 3 5 6 00 4 2 7l0 3 0 6 4 c = 0 2 5 u b i a s - 4 9 9 9 6- 4 9 6 8 3- 4 0 0 9 9 p m s e 0 2 4 6 40 0 3 3 68 8 3 813 o b i a s9 9 8 0 39 5 9 6 89 7 2 7 0 9 m s e0 6 4 5 09 19 2 22 9 9 3 5 c = 0 4 1 b i a s - 4 9 9 9 9 - 4 9 6 5 7- 4 6 416 z m s e o 2 4 910 0 2 4 6 9 512 8 0 b i a s9 9 8 7 39 7 6 6 8 9 8 3l3 日m s e0 7 6 2 51 7 7 5 00 4 7 2l 从表t a b l e4 1 的数据可以看出极大似然估计在不同的c 下表现的很稳定，其 不会因为c 的变化而表现出极大的波动性1 的基于y 对z 的回归估计的均方误 差足这三种估计中表现的最好的，但是0 的基于y 对z 的同归估计的均方误差在 不同的c 下表现的不稳定1 的基于z 对y 的同归估计中的均方误差在不同的c 下表现的极其不稳定三种估计的，0 的偏差表现的_ ：f h 差无几总体来说极大似 然估计表现的好一些 利用m o n t ec a r l o 方法比较4 2 节中所得的类最小方差无偏估计，基于y 对z 的同归估计和基于z 对y 的同归估计的优劣性当我们只有删失数据，而不知道 这些删丈数据是服从哪种分布时，我们可以通过数据模拟比较这几种估计的优劣， 但是为了方便与4 1 节中所得的估计比较，我们这里不妨取删失数据所服从的删 失分布也为4 1 中的形式，分别取c = 0 1 ，c - - 0 2 ，c - - 0 3 随机模拟1 0 0 0 次进行比较 在( 4 2 2 ) 节中提到的分布函数的k m 估计是与分布函数的具体形式无关的，所 以在数据模拟比较时我们对分布函数f ( t ) 仍然采用文献【6 】中提出的k m 估计 形式 p ( t 川一1 【熹r 9 4 。1 比较所得几种估计的偏差和均方误差，结果如下 北京交通大学硕十学位论文 t a b l e4 2 ：p = 2 ，0 = 1 0 ，”= 1 0 0 第4 章随机删欠试验 s u m v u el s yo n vl svo ny c = 0 1 p b i a s 一1 9 8 3 3- 1 9 9 3 0- 1 9 8 8 3 g m s e 0 0 0 110 0 1 7 00 0 0 6 9 p b i a s一9 8 6 8 49 8 5 6 79 8 7l9 研s e0 0 9 9 60 18 7 80 0 7 8 9 c = 0 2 p b i a s 1 9 8 5 8- 2 0 0 4 51 9 9 0 5 , u m s e 0 0 0 3 40 0 6 0 0o 010 9 口b i a s9 8 9 3 39 8 6 3 39 9l0 7 们以s e0 0 0 4 50 13 4 60 0 1 1 4 c = 0 3 9 b i a s 一1 9 8 4 11 9 9 311 9 8 8 7 , u m s e 0 0 0 1 70 0 1 7 20 0 0 7 6 口b i a s9 9 4 2 09 9 3 2 69 9 4 7 4 研s e0 1 7 6 60 1 0 6 40 2 2 4 2 从t a b l e4 2 的数据可以发现从整体来看类最小方差无偏估计( s u m v u e ) 表 现的最好，其次足基于v 对y 的回归估计( l sv o ny ) ，最后足基于y 对v 的回归 估计( l syo nv ) 通过4 1 节和4 2 节的理论研究我们可以发现：4 1 节中给出的估计方法足在 删失分布已知的情况下利用了删失变量，而4 2 节中给出的估计方法足在删失分 布未知的情况下未利用删欠变量 从t a b l e4 1 和t a b l e4 2 比较情况得知在利用删大变量时极大似然估计表现 的最好，在未利用删失变量的时候类最小方差无偏估计表现的最好，下面就比较 极大似然估计和类最小方差无偏估计的优劣性 北京交通大学硕士学位论文第4 章随机删欠试验 t a b l e 4 3 ：= 2 ，0 = 1 0 ，, = 1 0 0 m l es u m v u e c = 0 1 _ j u b i a s 一1 9 9 9 71 9 8 12 _ j u m s e 0 0 3 8 8i 4 0 0 7 e 0 0 4 0 1 3 i a s9 9 6 0 89 8 9l4 9 m s e0 3 6 9 90 0 0 7 4 c = 0 2 5 , u b i a s 一1 9 9 9 91 9 8 3 2 _ j u m s e 0 0 3 9 70 0 010 0 b i a s9 9 8179 9 4 4 3 口m s e0 6 6 8 00 1 9 5 9 e = 0 4 _ j u b i a s - 1 9 9 9 9- 1 9 8 4 9 _ j u m s e 0 0 3 9 5 0 0 0 2 4 0 b i a s9 9 8 8 79 9 4 8 3 口m s e 0 7 8 6 5 0 2 3 3 4 从t a b l e4 3 的数据可以看到无论是从，0 的偏差还是均方误差方面考虑，类 最小方差无偏估计( s u m v u e ) 的表现要比极大似然估计好所以，本文中给出的 类最下方差无偏估计在随机删失试验下的双参数指数分布的参数估计中表现很 好，是一种可行的方法 2 6 北京交通大学硕士学位论文 第5 章结论 第5 章结论 本文主要研究了双参数指数分布的参数估计问题，其分别在完全数据试验， 定数截尾试验以及随机删失试验下进行的通过理论研究和数据模拟可以发现， 在完全数据试验下，最小方差无偏估计表现的最优；其次是极大似然估计；然后是 基于x 对y 的回归估计和基于y 对x 的同归估计，且基于x 对y 的同归的估计要 优于基于y 对x 的网归估计；最后是b a y e s 估计在定数截尾试验下，当b a y e s 估 计的先验分布选取适当时，其表现最好；其次足最小方差无偏估计；然后是极大似 然估计：最后是基于x 对y 的回归估计和基于y 对x 的同归估计，且基于x 对y 的 回归估计要优于基于y 对x 的回归估计在随机删失试验下，在删丈分布已知的 情况下给出的几种估计中，极大似然估计是几种估计中表现最好的；在删失分布 未知的情况下给出的几种估计中，类最小方差无偏估计表现的最好，通过进一步 的数据模拟，我们发现，类最小方差无偏估计的表现要比极大似然估计好 北京交通人学硕士学位论文 【2 】 【3 】 【4 】4 【5 1 【6 】 【7 】 【8 】 【9 】9 【l o 】 【1 i 】 【1 2 】 【1 3 】 【1 4 】 【1 5 】 【1 6 】 参考文献 参考文献 b a i nl j ，e n g e l h a r d tm i n t e r v a le s t i m a t i