（概率论与数理统计专业论文）基于幂函数分布的次序统计量的随机序.pdf

s t o c ha s t i co r d e r i n g s a t i s t i c sf r o m o fo r d e r p o w e rf u n c t i o n d i s t r i b u t i o n s at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h em s d e g r e ei nm a t h e m e t i c s b y z h a n g x i u l i p o s t g r a d u a t ep r o g r a m d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：l ib o a c a d e m i ct i t l e ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs ；鲈咖心趔e a p p r o v e d m a y , 2 0 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 裂杏m 日期：沙1 年箩月j 弓日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者挑缈鸯m抑始咖。饧 日期：年月 日 。 日期：沙f f 年朔心日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的规 定享受相关权益。圃意途塞握变卮溢卮! 旦坐生；旦二生；旦三生筮查! ， 作者娩势分盼导师张活亿。a 日期： 年 月 日 日期：沙l 年期心日 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 随机序是研究随机变量之间关系的序的总称。研究随机序有很重要的现实意义， 在现实世界中的随机模型过于复杂很难严格处理的时候，随机序理论为我们提供了 很好的近似方法，得到我们所关心的某些量的近似上下晃( 或者其中之一) ；其它重 要方面的应用还包括排队论、可靠性理论、传染病学、经济学理论、保险精算科学 等领域。 本文在控制的条件下讨论幂函数分布的次序统计量的一般随机序问题。即讨论 服从幂函数分布的次序统计量当其中一个参数满足控制条件时，它的一般随机序的 问题。 本文主要运用了s c h u r 凹函数和s c h u r 凸函数的定义、充要条件及其性质来证明 次序统计量的一般随机序问题。 本文得到如下两个结论：( 1 ) 设x = ( 五，五，以) 和j ，= ( 誓，五，艺) 为服从 于具有相同的参数c ，不同参数0 = ( q ，皖，晚) ，= ( h ，心，以) 的幂函数分布且 置，置，咒，k ，e ，k 相互独立，如果p ，那么： v c o 有：五，) c ，那么：v o o 有： 五订毛誓订 j = 1 ，2 ，刀一1 ；五。) 气。) 。在可靠性理论研究中，讨论系统占有重要的位置， 而研究系统的可靠性理论等同于研究次序统计量的问题。 关键词：幂函数分布；随机序；s c h u r 凹函数；控制；一般随机序 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h eo r d e ri sc a l l e ds t o c h a s t i co r d e rw h i c hs t u d y st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr a n d o m v a r i a b l e s i th a sav e r yi m p o r t a n tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et os t u d ys t o c h a s t i co r d e r i nt h e r e a lw o r l d ，w h e nw em e e ts o m er a n d o mm o d e l st h a ta r ev e r yc o m p l e xa n dd i f f i c u l tt ob e s t r i c t l yd e a l 丽t h ，s t o c h a s t i co r d e rp r o v i d e su sw i mg o o da p p r o x i m a t i o nm e t h o d a n dg e t w h a tw ec a r ea b o u tc e r t a i na m o u n to fa p p r o x i m a t eb o u n d s ( o ro n eo ft h e m ) ；i na d d i t i o n ， t h er e s e a r c ho fs t o c h a s t i co r d e ri sa l s ou s e dq u e u i n gt h e o r y ，r e l i a b i l i t yt h e o r y ，e p i d e m i o l g y ，e c o n o m i c s ，a c t u a r i a ls c i e n c ea n do t h e rf i e l d s t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ep o w e rf u n c t i o nd i s t r i b u t i o no ft h eu s u a lo r d e rs t a t i s t i c s r a n d o mv a r i b l e sp r o b l e mu n d e rc o n t r o l l e dc o n d i t i o n s ，t h a ti sw h e no n eo ft h ec o n t r o lo f p a r a m e t e r st om e e to n eo fc o n d i t i o n s ，w ed i s c u s st h eu s u a lo r d e rs t a t i s t i c sr a n d o mv a r i b l e sw h i c ho b e yt h ep o w e rf u n c t i o nd i s t r i b u t i o no fo r d e rs t a t i s t i c s t h i sa r t i c l eh a sm a i n l yu t i l i z e dt h ed e f i n i t i o no ft h es c h u rc o n c a v ef u n c t i o na n d t h es c h u rc o n v e xf u n c t i o n ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o na n di t sp r o p e r t i e st o p r o v e t h eo r d e rs t a t i s t i c so ft h eu a u a ls t o c h a s t i co r d e r p r o b l e m ， i nt h i sp a p e r ，w eh a v eg e tt w oc o n c l u s i o n sa sf o l l o w s ：( 1 ) l e t x = ( 五，鼍，l ，以) a n d a n dy = ( 巧，e ，l ，k ) b et 1 1 ed i s t r i b u t i o no f p o w e rw h i c hh a st h es a m ep a r a m e t e r s c ，b u t h a sd i f f e r e n tp a r a m e t e r s 0 = ( q ，色，见) ，u = ( “，2 ，以) ，a n d 墨，x 2 ，l ，咒x ，e ， ，匕a r ei n d e p e n d e n t ，i fo 1 t ，t h e nv c o ，誓f ) 盯圪) 扛1 ，2 ，1 ( 2 ) l e tx = ( 五 五，厶以) a n dy = ( 誓，砭，l ，匕) b et h ed i s t r i b u t i o no fp o w e rw h i c hh a st h es a m e p a r a m e t e r s0 ，b u th a sd i f f e r e n tp a r a m e t e r sc = ( c l ，c 2 ，厶巳) a n dc 7 = ( 彳，c ，厶) ，a n d 墨，五，疋，誓，e ，a r ei n d e p e n d e n t ，i fc c ，t h e nv 0 0 ，五f ) 酣k f ) 扛1 ，2 ， ，”一1 ；五。) = 爿y ( b ) i nr e l i a b i l i t yt h e o r ys t u d y ，t h e s y s t e mh o l d sa ni m p o r t a n t p o s i t i o n ，a n ds y s t e mr e l i a b i l i t yt h e o r yo f i se q u i v a l e n tt ot h ep r o b l e mo fo r d e r s t a t i s t i c s k e yw o r d s ：p o w e rf u n c t i o nd i s t r i b u t i o n ；s t o c h a s t i co r d e r ；s c h u rc o n c a v ef u n c t i o n ； m a j o r i z a t i o n ；t h eu s u a ls t o c h a s t i co r d e r 硕士学位论文 m a s t e r st l - i e s i s 中文摘要 a b s t r a c t ” 引言 目录 1 表示方法 3 1 1 表示方法和记号3 2 控制意义下的次序统计量的随机序 3 结 吾 参考文献 致谢 1 6 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引言 随机序( s t o c h a s t i cd o m i n a n c e ，简称s d ，亦称随机占优、随机支配、随机控制) ， 它是研究随机变量之间关系的序的总称。例如：有一般随机序，似然比序，危险率 序，等等。各种随机序在刻画随机变量之间的关系时是不同的，这些随机序可以分 为两大类：一类是：比较随机变量的大小程度，例如：一般随机序、危险率序、似 然比序等等。另一类是用以比较两个随机变量的波动程度的随机序，例如：凸序、 单调增凹序、单调增凸序等等。研究随机序有很重要的现实意义，在现实世界中的随 机模型过于复杂很难严格处理的时候，随机序理论为我们提供了很好的近似方法， 得到我们所关心的某些量的近似上下界( 或者其中之一) ；其它重要方面的应用还包 括排队论、可靠性理论、传染病学、经济学理论、保险精算科学等领域。 随机变量能够进行比较的依据或标准。与经典数学理论中的偏序关系一样，随机序 是研究随机变量( 向量) 之间的各种偏序关系的。我们一直学习的、经典的比较两个 随机变量好坏的期望和方差也是一种偏序关系，只是期望和方差只是两个数字特 征，而随机序是基于分布函数的一种偏序关系，它比两个想对于数字特征单纯的数 值比较，它在比较随机变量的优越性上更加可靠。 在可靠性理论研究中，钐系统占有重要的位置。钐系统是指由甩个独立元件 组成的系统工作当且只当：至少有k 个元件在正常工作时，系统才能正常工作。一 个元件的失效并没有对剩余元件的寿命产生影响，该系统的寿命正好对应于这个系 统中这咒个元件寿命变量的第刀一k + 1 个次序统计量的寿命。所以研究钐系统的可 靠性理论等同于研究次序统计量。特别地，系统平行的系统是形系统和系 统，它们研究的分别是最大和最小次序统计量。 s h a n k m 和s h a n t h i k u m a r j 【1 1 系统地阐述了各种随机序及其关系和应用；金珩， 王黎民 1 7 1 ，张民悦，郑平【2 4 1 等阐述了随机序的一些具体应用，如在金融保险中，在 分配系统中等等。张晓冉【1 3 】给出了非共同支撑的两个随机变量在非共同支撑上的几 种随机序的定义并给出了这几种随机序之间的递推关系。即是随机序概念和序关系 的推广。孙立红【4 1 ，李蔚1 5 1 分别讨论了对于独立不同分布的具有相同形状参数，不 同尺度参数的g a m m a 分布和w e i b u l l 分布样本，当他们共同形状参数属于不同范围时 样本的次序统计量有着相应不同的随机序。因为g a m m a 分布中当参数取某个确定值 时就是指数分布，所以相互独立的具有不同参数的指数分布的样本，其次序统计量 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 也有相应不同的随机序。黄永军、张新生1 2 3 1 讨论了关于正态分布的极大、极小次序 统计量的随机序。 而在控制的条件下讨论随机变量随机比较的研究问题有以下这些：k u o h w a c h a n g e t 2 1 考虑了两个指数随机变量和的随机序；k o r w a r i 3 】证明了对于独立不同分布 的两个g a m m a 样本，当它们相同的形状参数大于或等于1 时，只要尺度参数满足控 制序，样本的卷积就满足似然比序。孙立红1 4 l 考虑了g a m m a 分布次序统计量的随机 比较，李蔚【5 】考虑了威布尔分布次序统计量的随机序问题。在文献中没有看到研究 幂函数分布的随机序的问题，本文中，我们将借鉴前人的方法证明，独立不同分布 的幂函数分布的次序统计量，当其中一个参数固定，另一个参数满足控制时，它们 之间存在序关系。我们将得到如下的两个结论： ( 1 ) 设x = ( 五，五，托) 和】，= ( v 1 k ，匕) 为服从于具有相同的参数c ，不 同参数口= ( b ，0 2 ，见) ，= ( 1 1 ，2 2 ，以) 的幂函数分布且置，置，咒，墨，e ，匕 相互独立，如果o a ，那么：v c o 有：五，) 毛f ) 扛1 ，2 ，力。 ( 2 ) 设x = ( 五，置，) 和y - - ( r , ，k ，k ) 为服从于具有相同的参数6 ，不 同参数c = ( c l ，c 2 ，巳) ，= ( 彳，吐，) 的幂函数分布且五，x 2 ，咒，i ，e ，匕相 互独立，女r l i c c 7 ，那么：v p o 有：五，) 盯f ) f = 1 ，2 ，n - 1 ；五。) = 甜。) 。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 1 表示方法 在证明主要结论之前，首先引入文章中需要用到的一些记号，定义及引理。 x 和y 是两个随机变量，分布函数分别为f ，g ；f = i f ，g = 1 一g 是x 和】，的 生存函数，f 。1 和g q 分别是其右连续的逆函数。 1 1 表示方法和记号 定义1 1 1 1 ：若a = ( ，如，屯) ，_ - - ( 4 ，鸬，心) 表示两个实向量， 1 2 】1 。】，竹。】竹2 】1 分别是它们的次序统计量，如果v 惭= 1 ，2 ，”一l 不 等式羔a q 羔m ，1 成立，并且羔 ，】= 窆砟】，则称被a 控制，记为：旯；。 z 意味着在向量的和一定的情况下，较五分散，通过下述的例子可以说 明这个关系： ，刮擎，攀，攀 2 ( ，。，。) 兰( ! f ，l ；f ，。，。) ；( j ：f ，；1 ；，去) 控制是对变量之间一种关系的描述。 引理1 1 1 】：旯三的充分必要条件：存在一个有限的实数，以及向量 i f ( z ) , 2 、，”，使得a = 1 2 = 并且和m i = l ，2 ，厂一1 只 在两个维度上不同。 下面是对s c h u r 凹函数的定义，相关结论也非常重要。 定义1 1 2 ：对于函数( x ) ：r “一r ，对所有允，r ”，如果a z ，有 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s ( a ) 矽( ) 成立，则称( x ) 为s c h u r 凹函数。 备注1 ：如果矽( x ) 是s c h u r 凹函数，那么在r ”中，驴( x ) 是关于置换对称的， 也即在置换对称下该函数是不变的。 引理1 1 2 1 1 1 ：若多元实值函数矽 ) 置换，对称且可导，则其为s c h u r 凹函数 的充要条慨对腑“不等式( ) ( 等一掣) 0 ，f o o 记为：p f ( o ，c ) 。 0 ( 鸬，必) 由定义1 1 2 得矽( 研，岛) ( “，鲍) 那么，根据定义1 1 3 有： 誓1 ) 毛誓1 ) 现在我们证明：五2 ) 盯誓2 ) 尸( 五2 ) f ) = 尸( 五，五，) = 尸( 置 o 有：五1 ) 毛誓f ) i = i ，2 ，甩。 0 2 6 ；口，) ：并且口和厣川) ，：1,2,-,r-ir - 1 只在两个维度上不同。 ) = 并且和“n ， = 只在两个维度上不i 司。 因此，为证明定理2 1 ，不失一般性，可以假设0 和仅在前两个维度上不同， 肼 也即是可以设：0 3 = 鸬，包= 以并且( q ，岛) ( “，, u 2 ) 。 对所有0 f n 曲( b ，0 2 ，最) p ( 五。) f ) = 1 一p ( 五 f ) 尸( 墨f ，x 3 f ) + 尸( 鼍 f ) 尸( 五r ，五f ) = 尸( 置t ) p ( x 3 t ) + p ( x 2 ，) p ( 五t ) p ( x 3 f ) + p ( x 3 t ) p ( x t t ) p ( x 2 ，) = ( 毒丁( 毒) 。+ 一( 毒 ( 寿) 。( 考) + - 一( 考 c ( 音 。( 考) 。 半一t l ( t ) c 卅心门。 = = 2 c ，6 r 。一1 ( 考 。( 言 。c ，。6 r 。一1 ( 吉 c f 。r 。一1 ( 毒) 。 半一僵川。耐叫趴轷何1i - ( 云m 丁 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = = 2 c f 。6 r 。一1 ( 云 ( 毒) 。c ，。e i 。一1 ( 毒) - c ，r 一( 音) 。 f 卯( 五2 ) ，) o p la q ( 五2 ) f ) a 岛 _ 2 c 产旷铲1 ( 岛吲卅旷垆( 唧一) - - c t 2 。印卜1 筇p 1 ( 岛一q ) 耐旷霄一1 啦。嘲一w 嗍 rcr2。r。一16f。一1(毒。-c乞-6t， 卅岛，( 等 ，) 卯( 五2 ) ，) a 岛) 0 尸( t 2 ) f ) 是关于q ，岛的s c h u r 凸函数，也就是说k ：) 在一般随机序下大于五：) 。 如果玎 3 时，那么： p ( 誓2 ) f ) = 尸( 五，五，五中至少有两个，) = p ( 鼍，以中至少有两个f ，五，五，以中至少有两个，) + 尸( 墨，鼍中至多有一个f ，五，五，以中至少有两个，) = 尸( 墨，以中至少有两个，) + 尸( 五，置，五中至少有两个r ，其它的大于f ) 一0 3 ) 尸( 墨 f ，置 于是得到等式： 尸( 置，以中至多有一个r ，五，五，鼍中至少有两个f ) 力 - - e p ( 五，五，z 中至少有两个f ，其它的大于f ) 一( n - 3 ) e ( x l r ，五 ，其它的大于f ) 下面用数学归纳法证明： 9 ( ) 巡趔笾丛坐净坠盟麴 一望! 墨：墨至垒查二全三! ：圣：兰! ：圣至尘互堕全三尘l o a 包 j 当刀= 3 时，上式已证是成立的。 假设当n = ，时也成立，即： 卧岛“巡趔避堑坐警坠盟麴 一鲨! 墨：圣主至至查二全三! ：当：圣! ：笠生至尘查堕全三尘l o a 魄 j 则当刀= ，+ l 时： j p ( 五，z + 中至多有一个，五，置，墨+ ，中至少有两个f ) 因为： ，+ 1 = p ( 五，置，五中至少有两个，其它的大于f ) i - 3 一o + 1 3 ) p ( x 1 f ，置“ r ，z + l r ) t = 3 _ ( ，- 3 ) p ( x l f ，墨+ l t ) + 尸( 墨，五，t + 。中至少有两个f ，置 o ， f ) 一p ( 墨 f ，墨“ f ) p ( 五，置，置中至少有两个f ，托 f ，置_ l f ，置+ l ，墨“ f ) i = 3 - ( r - 3 ) p ( x l r ，z 0 ，) = 尸( 五，置，工中至少有两个，五 ，z l ，置+ 。 f ，墨 f ) l = j 1 0 - ( r 一3 ) j p ( 五 f ) ) 尸( + l f ) 凼为当行= r 时： ( ) 型趔丝堕坐等坠盟幽 一鲨! 墨：墨主至垒查二全三! ：墨：墨：圣主至尘查堕全三尘l o a bj 成立。 所以： 卅衅塑型些鳖笔斧趔丝幽 一鲨! 圣：圣主至垒查= 全三! ：圣：墨! ：! 墨主至尘查堕全三尘l o a 岛j 因为： p ( 五，五，一+ 1 中至少有两个f ，也 f ，鼍 r ) - p ( x i f ，z + l f ) = p ( 五 ，置 r ) + p ( 五 f ，z + l f ，x ， f ) + 尸( 五 f ，五 ，) = p ( 五 f ，x 2 ，置 f ) 尸( 以+ i r ，x r r ) 与q ，皖无关且大于零， 只需证明： 即可。 卧b ) 业型塑燮等业型 一a p p ( x 1 t , x 2 t , x 2 t ) l o d j 尸( 五 f ，置 ，五 ，) = = ( 云 ( 考 - ( 寿 - ( 考) 。 r ( 云 ，( 音 。 卧畔监垫型型鼍型型丝型 a p p ( x , r ，x 2 f ) + 尸( 置 f ，圣三尘! ! 垄三! ：墨三! ! 1 1 a 岛 j 得证。 = ( b 一幺) ( q 岛) 1 一。 岛( 厂- o ；) - o l ( t 。一矸) ) 0 上式中尸( 墨，以中至少有两个f ) 和b ，岛无关 由备注2 ，可得： 所以有：五2 ) 甜k 2 ) 对2 ， ，z 的情况， 尸( 五，) f ) = 尸( 五，五，以中至少有，个f ) = p ( 墨，k 中至少有，_ 个f ，五，置，以中至少有，个f ) + p ( 五，咒中至多有，一1 个f ，墨，置，k 中至少有，个f ) = p ( 墨，e 中至少有，个r ) + 尸( 墨，五，五中至少有两个f ) - ( n 一3 ) p ( 墨 o 有：五。) 硝誓。) ，五2 ) = 耐k 2 ) 。 = 一( 古) q 一( 古) q 三矽c q ，乞， 半一竿o c = 谢( h 卅( 洲埘( h 卅t o ) q ： l 口l 叫l 9 ll 口l 叫i 贝l j ：( q 一乞) ( 旦! 生考等望一旦兰垒考塞半_ ) = 一( 古) q ( h 舌) t 一( 吾) 白 + ( 古) c 2 ( h 吾) t 一( 舌) q = ( q 一乞) ( h , - v ，, - yq 】 当o f 0o 寸，l i l 丢 o ，且：o c 7 ，那么：v o o 有：五f ) 盯f ) f = 1 ，2 ， 一1 。 证明： 类似于定理2 1 的证明，我们可以证明： v c o 有：五1 ) 毛誓1 ) ，五。) = 盯。) 。 当聆= 3 时， p ( 五2 ) r ) = p ( 墨，x 2 ，五中至少有两个r ) = p ( 置，托t ) + p ( x 2 f ) p ( 墨，五f ) + p ( x 3 t ) p ( x i f ，x 2 t ) = p ( x 2 t ) p ( x 3 t ) + p ( x 2 f ) 尸( k t ) p ( x 3 ，) + 尸( 鼍 f ) 尸( 墨t ) p ( x 2 f ) = ( 舌) 吃( 舌) 岛+ ，一( 古) 白 ( 舌) q ( 吾) q + 一( 舌) 白 ( 舌) q ( 古) 白 ( 笔掣 = - 一( 舌) 吃 ( 舌) q ( 古) c 3 ( h 吾) + 一( 吾) 白 ( 古) c 1 ( 舌) c 2 ( h 古) = ( 舌) q ( 舌) 岛( h 舌) 一( 古) q ( 吾) q ( 吉) 白( h 舌) + 一( 舌) q ( 舌) q ( 古) 岛( h 舌) 一燮o c 孚 ，j = ( h 古) ( 舌) 臼 ( 舌) q 一( 舌) 包 1 4 d d v i 一 c ，那么：v 秒 o 有：五。) = 硝k 。) 。 1 5 3 结语 本文利用s c h u r 凸函数的性质来研究幂函数分布的次序统计量的性质，这种方 法具有局限性，并不是对于所有的分布都可以用s c h u r 凸函数的性质来研究其次序 统计量的性质。结论能不能推广到更一般的分布族? 研究能不能找出满足这些性质 的分布的本质特征? 有待各位专家的进一步讨论。 1 6 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 s h a k e d ，m a n ds h a n t h i k u m a r , j c t s t o c h a s t i co r d e r sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s m 】n e wy o r k ：a c a d e m i cp 陀譬，2 0 0 6 【2 c h a n g ，k h s t o c h a s t i c o r d e r so ft h es u n l so ft w o e x p o n e n t i a lr a n d o mv a r i a b l e s s t a t i s t p r o b a b 1 e t t j ，2 0 0 1 5 1 ：3 8 9 3 9 6 3 k o c h a r , r m o n s t o c h a s t i co r d e r sf o rs u n l so f i n d e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e - s m u l t i v a r i a t ea n a l 【j 】，2 0 0 2 8 0 ：3 4 4 - - 3 5 7 4 】孙立红，张新生关于g a m m a 分布秩序统计量的随机比较应用概率统计 j 】，2 0 0 4 2 0 ：4 0 4 4 0 8 【5 李蔚基于w e i b u l l 分布的次序统计量的随机比较华中师范大学学报 j 】，2 0 0 7 【6 b a p a t ，r b a n dk o c h a r , s c o nl i k e l i h o o dr a t i oo r d e r i n go fo r d e rs t a t i s t i - c s 。l i n e a r a l g e b r a a p p l 【j ，1 9 9 4 1 9 9 ：2 8 1 2 9 1 【7 k h a l e d i ，b e a n dk o c h a r , s c d i s p e r s i v eo r d e r i n ga m o n gl i n e a rc o m b i n a t i o - n so f r a n d o mv a r i a b l e s , s t a t i s t p l a n n i n f e r e n c e 【j 】，2 0 0 2 1 0 0 ：1 3 - 2 1 【8 l e h m a n ne l ，r o j o j i n v a r i a n td i r e c t i o n a l o r d e r i n g t h e a n n a l s o f s t a t i s t i c s j ，1 9 9 2 2 0 ( 4 ) ：2 1 0 0 - - 2 1 1 0 【9 张晓冉，赵世舜，马东辉，宋立新。r a y l e i g h 分布的随机比较。吉林大学自然科 学学报【j 】，2 0 0 0 1 ：1 - - 4 【10 p r i s c h a n ，e a n d s e t h u r a m a n ，j s t o c h a s t i c c o m p a r i s o n s o f s t a t i s t i c s f r o m h e t e r o g e n e o u sp o p u l a t i o n 、析t l la p p l i c a t i o n si nr e l i a b i l i t y j o u r n a lo fm u l t i b a r i a t a n a l y s i s j ，1 9 7 6 6 ：6 0 8 , - - , 6 1 6 11 p e c a r i c ，j e ，p r o s c h a n ，e a n dt o n g ，yl c o n v e xf u n c t i o n s ，p a r t i a lo r d e r i n g sa n d s t a t i s t i c a la p p l i c a t i o n m 。n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，19 9 2 12 l e h m a n n ，e lt e s t i n g