（概率论与数理统计专业论文）一类粘弹性流体模型与数值分析的研究.pdf

摘要 粘弹性流体问题一直是流体力学和理论数学研究的一个重要问题本文主 要研究一类粘弹性流体的数学模型耳p o l d r o y d b 型流体的数学模型这类数 学模型一直以来都是众多科学家感兴趣的研究内容，均归结为偏微分方程 ( 组) 的求解，因此，研究具有高效率高精度的算法是很有必要的在本 文中我们提供了几种解决两类偏方程的数学方法文章主要内容如下j 本文第一章介绍了非牛顿流体力学及相关数值分析综述第二章着重讨论 了基于o l d r o y d 随体时间导数的0 1 d r o y d - b 型流体的数学模型的本构方程的建 立、求解，并最终给出了此类方程l 级、2 级变分一解析解，同时，我们还在两 个特殊情形( 常压力梯度和周期性压力梯度) 下，讨论了该变分一解析解具体表 达形式 第三章主要工作是应用混合有限元、最小二乘混合有限元和v 循环多重网格 法去解决o l d r o y db 型流体流动问题一方面，我们将混合有限元方法应用于求 解非定常型的服从o l d r o y db 型本构律的黏弹性流体流动问题另一方面，我们 将运用混合有限元方法、最小二乘混合有限元方法和y 循环多重网格法去逼近 o l d r o y db 型流体流动问题，并讨论了逼近解与真解的误差估计和收敛性其主要 内容如下：讨论用混合有限元方法去研究0 1 d r o y db 型流体流动问题的解的存在 唯一性，并给出了逼近解的误差估计；介绍应用混合有限元的最小二乘法去逼近 0 1 d r o y db 型流体流动问题，并讨论了逼近解的收敛性；讨论0 1 d r o y db 型流体 流动问题的v 循环多重网格格式，并给出了迭代解的存在唯一性和误差估计 本文第四章的主要目的就是研究一类非对称椭圆问题的最小二乘混合有限 元方法的超收敛现象特别是对一般的非自共扼二阶椭圆边值问题，我们讨论了 其最小二乘混合元解的存在唯一性及超收敛性在第五章中，我们分别对半线性 反应扩散问题和非线性反应扩散问题的扩张混合有限元方法给出了几个两层网 格方法，并对它们的收敛性进行了分析 关键词：o l d r o y d b 型流体，反应扩散方程，有限元，混合有限元，超收敛，误 差估计 a b s t r a c t l a t e l y , t h ev i s c o e l a s t i cf l u i df l o wi so n eo f t h em o s ti m p o r t a n t q u e s t i o n si nh y d r o - d y n a m i c sa n dt h e o r e t i cm a t h e m a t i c s i nt h i sp a p e r , w es t u d yo n ek i n do fv i s c o e l a s t i c f l u i df l o wm o d e l i ti so l d r o y d - bt y p ef l u i d ，t h em o d e l sc a ne x p r e s su s i n gp d e si n m a t h ，a n dt h e i rs o l u t i o n sh a v er e c e i v e dag r e a td e a lo fa t t e n t i o n s o ，i ti sn e c e s s a r yt o s t u d yh i g h l ye f f i c i e n ta n dh i g h l ya c c u r a t ea l g o r i t h m sf o rp d e s ，w ep r e s e n ts o m e k i n d so fm e t h o df o rs o l v i n gp d e su s i n gc o m p u t a t i o n a ls y m b o l i cm a n i p u l a t i o na n d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h i sp a p e ri n c l u d e sf i v ep a r t s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h et h e o r e t i cb a s i so fn o n - n e w t o n i a nf l u i dm e c h a n i c s a n dr h e o l o g y , a n dw ei n t r o d u c et h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o no ff i n i t ee l e m e n t m e t h o d i nc h a p t e r2 ，w es e tu pt h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o no fo l d r o y d bt y p ef l u i d b a s e do no l d r o y ds e l f - t i m ed i f f e r e n t i a l ，p r e s e n tt h eg r a d e1 ，g r a d e2v a r i a t i o n a l a n a l y t i c a l s o l u t i o n sr e s p e c t i v e l y ，s p e c i a l l y , w ep r e s e n tt h ec o n c r e t ev a r i a t i o n a l a n a l y t i c a ls o l u t i o n su n d e rc o n s t a n tp r e s s u r eg r a d ea n dp e r i o d i cp r e s s u r eg r a d e i nc h a p t e r3 ，o u re s s e n t i a lw o r ki st os o l v ev i s c o e l a s t i cf l u i df l o wo b e y i n ga n o l d r o y dbt y p e c o n s t i t u t i v el a wb ya p p l yt h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， l e a s t s q u a r em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dv - c y c l em u l t i - g r i dm e t h o d w es t u d y t h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o do fo l d r o y db t y p ev i s c o e l a s t i cf l u i df l o wm o d e l ，a n d w eg i v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa p p r o x i m a t i o ns o l u t i o na n de r r o rb o u n d e d ； b ya p p l y i n gt h el e a s t - s q u a r em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d t os t u d yo l d r o y dbt y p e v i s c o e l a s t i c f l u i df l o wm o d e l ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f a p p r o x i m a t i o n s o l u t i o na n dc o n v e r g e n c e ；w ea n a l y s i st h e v - c y c l em u l t i g r i d f o r m u l a t i o no fo l d r o y dbt y p ev i s c o e l a s t i cf l u i df l o wm o d e l ，a n dw eg i v et h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fi t e r a t i v es o l u t i o na n de r r o re s t i m a t e s i nc h a p t e r4 ，b yu s i n gl e a s t - s q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o do v e rq u a d r i l a t e r a l s ， w e i n v e s t i g a t es u p e rc o n v e r g e n c ep h e n o m e n as e p - a r a t e l y f o rb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m so fu n - s y m m e t r i ce l l i p t i ce q u a t i o n s ，w eo b t a i nt h es u p e rc o n v e r g e n c er e s u l t n o fl e a s t s q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n ts o l u - t i o n so nt h eb a s i so ft h ep rl 2 - p r o j e c t i o n a n ds o m em i x e df i n i t ee l e m e n tp r o j e e t i o n sa n dt h ei n t e g r a li d e n t i t i e st e c h n i q u e d e v e l o p e db yq l ma n dh i sc o l l a b o r a t e s i nc h a p t e r5 ，w ep r e s e n ts o m et w o 一鲥d m e t h o d sf o rs o l v i n gt w o - - d i m e n s i o n a lr e a c t i o n d i f f u s i o nu s i n ge x p a n d e dm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，a n dw em a k eo u re f f o r t st op r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m s w ek n o wt h ea l g o r i t h m sa c h i e v ea s y m p t o t i c a l l yo p t i m a la p p r o x i m a t i o na p p l y i n gt h e t w o - g r i dm e t h o d s k e y w o r d s ：o l d r o y d - bt y p ef l u i d ，r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，f i n i t ee l e m e n t ， m i x e df i n i t ee l e m e n t ，s u p e r c o n v e r g e n c e ，e r r o re s t i m a t e s i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学 位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 储躲蝉盹耳年扯月牛日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学 位论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采取复印、缩印或其它手段保存学位论文：学校可根据国家或湖南省有关部 门规定送交学位论文。 作者签名： 日期：竺生年卫月堡日 第一章非牛顿流体力学及相关 数值分析综述 1 1 非牛顿流体与流变学 在科学技术发展的长河中不断地产生和形成新理论、新学科，和新技术领域， 非牛顿流体力学和流变学是力学、化学及工程科学之间的新兴边缘学科，以其独 有特色迅速发展上世纪初，p r a n d t l 提出附面层新概念，并建立了附面层理论， 有力地推动了流体力学的发展牛顿流体力学得到了迅速发展，其理论和结果应 用于不同的工业领域尤其是航空业和航天技术的发展，极大地推动了流体力 学，特别是空气动力学的发展 非牛顿流体力学，作为一门新兴的边缘学科，则是近3 0 4 0 年发展起来的 研究非牛顿流体的流变性质及运动规律，是非牛顿流体力学基本研究内容它 已成为现代流体力学的一个重要分支，同时也是现代流变学的重要组成部分 流变学史研究材料流动和变形的科学流变学的发展起源于高聚物加工的需要 为了研究固体塑料和高分子熔体的物理力学行为，美国的化学工程师宾汉于 1 9 2 9 年，首先提出了流变学概念，并建立了第一个流变学会尔后，流变学得 到了十分迅速的发展在国际上，已建立了第一个国际流变学会召开了1 2 届国际流变学学术会议近2 0 年来，非牛顿流体力学已经成为流变学的一个重 要的，而且十分活跃的分支 1 1 1 非牛顿力学理论基础 根据物质状态，流变学研究对象包括固体、流体和悬浮物。因此，流变学科 划分为固体流变学、流体流变学和悬浮物流变学非牛顿流体力学是研究流体物 质的流变学。在现代流变学中，流变学包括非牛顿流体力学 非牛顿流体力学的理论基础是建立在理性力学原理基础上从1 8 4 5 年到 1 9 4 5 年的1 0 0 年中，力学工作者仅局限于研究材料的线性理论，即建立在 n a i v e - p o i s s o n 本构关系的牛顿流体，称为线性材料只有在2 0 世纪，化学工 业迅速发展以后，有非线性效应的材料才显得日益重要1 9 5 0 年，o l d r o y d 首先 提出了理性连续介质力学体系，他发展了非线性积分记忆原理，并提出了建立本 构方程的一个重要的不变性原理，即物质无关性原理继o l d r o y d 的工作以后， n o ll 于1 9 5 5 年至1 9 5 8 年发展了有记忆的材料的一般概念，特别是关于简单流 体理论。o l d r o y d 和n o l l 的工作，奠定了非牛顿流体力学的理论基础，也就是 现代理性连续介质力学基础如果不局限于考虑某一个别的学科，例如材料力 学、弹性力学、流体力学和土力学等各力学分支的特征，而是从总体方面研究材 料( 或物质) 的力学行为，把各类物质作为连续介质统一考虑，且与现代数学， 如张量分析、不变量理论、拓扑学和泛函分析等，有机地结合起来，并上升到新 的数学理论高度，就形成理性连续介质力学它由研究线性材料及线性本构方程， 到研究非线性材料及非线性本构方程，这就是非线性连续介质力学的基本任务 1 1 2 非牛顿流体 牛顿流体是指服从牛顿常粘度定律的流体，经典的牛顿流体力学认为j 在简 单剪切流动中，即平行平板间的流动中，剪切应力与剪切速率成正比，其比例系 数称为粘度系数，即 d h f = _ ( 1 1 ) 口1 ， 对于牛顿流体，粘度在一定压力条件下，是温度的函数。牛顿流体本构方 程也可以写成张量的形式 t = 2 p ( 1 2 ) 其中丁为应力张量，d 为应变速度张量在牛顿流体本构方程基础上，可以 得出著名的n a v i e r - s t o k e s 方程，它已成为粘性牛顿流体的基本方程在工业生 产过程和自然界，发现存在大量不服从牛顿常粘度定律的流体，即非牛顿流体 对于这类流体，它的本构关系与牛顿常粘度定律有显著区别研究非牛顿流体的 科学，称为非牛顿流体力学高聚物熔体和高聚物溶液，是典型的非牛顿流体 在化学工业中的各类泥浆、悬浮物、油液、涂料、颜料、工业用油脂等，硅酸盐 工业中的各类烧结块、均属于非牛顿流体在现代流体力学的新分支中生物流体 力学占有重要位置。生物流体，例如人体内和动物体内的血液、关节腔内的滑 液。淋巴液、细胞液、脑脊液、支气管内分泌液等，都具有非牛顿流体性质在 地球物理学中，关于地幔对流研究中，地幔的模型也可以认为是非牛顿流体模型 实验证明，原油及黄河的高含砂水流均属于非牛顿流体性质在食品中，如牛奶、 巧克力、食用油、奶油、饮料等均具有非牛顿流体性质当气体的分子平均自由 程与物体特征尺寸达到同一数量级时，进入稀薄空气动力学领域关于稀薄气体 流动的研究，不是从经典的连续介质出发，而是分子运动论出发，所以在更广义 的涵义上稀薄气体也是一类非牛顿流体因此，在自然界和工业生产过程中，普 遍存在的是非牛顿流体，只有在一定条件下才有牛顿流体，例如，在标准状态下， 水和空气是牛顿流体 非牛顿流体具有一系列奇特的物理力学现象，因而与牛顿流体有显著区别 韦森堡效应 挤出物胀大 开口虹吸效应 减阻 拉伸稀化，拉伸稠化 电流变流体现象 液晶高分子一各向异性非牛顿流体 1 2 数值分析综述 偏微分方程的研究无论在理论和实践上都有很重要的意义，它的数值解法长 期以来吸引着数学家、物理学家和工程师们的注意有限元方法作为求解偏微分 方程的一个强有力的手段随之产生 有限元方法是r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，二十世纪5 0 年代由航空结构 工程师们所发展，随着逐渐波及到土木结构工程，到了6 0 年代，在一切连续领 域都愈来愈广泛地得到运用 我国冯康教授和西方科学家各自独立奠定了有限元方法的数学理论基础由 于愈来愈多的数学家加入了发展有限元方法的行列，这种方法便由工程局限性中 解脱出来，代之以统一的观点和严密的数学描述，并确定了它的数学基础 数值分析的任务，就是从无限维空间转化到有限维空间，把连续型转变成离 散型的结构有限元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程 的，也就是说，有限元方法依赖于这样的有限维子空间，它的基函数系是具有微 小支集的函数系，这样的函数系与大范围分析相结合，反映了场内任何两个局部 地点场变量的互相依赖关系。任何一个局部地点，它的影响函数和影响区域正是 基函数本身和它的支集在线性力学范畴里，场内处于不同位置的力相互作用产 生的能量，可用双线性泛函b ( 仍，伊f ) 来表示，其中仍，妒f 正是相应地点的基函数 b ( 仍，伊，) 的大小与仍，伊，支集大小有关，如果两个支集的测度为零，则有 b ( f o , ，妒，) = 0 ，因此，离散化所得到的方程其系数矩阵是稀疏的若区域分割细 小化，则支集不相交的基函数对愈多，矩阵也就愈稀疏这给数值解法带来了极 大的便利 有限元方法之所以能获得如此迅速的发展和广泛的应用，是因为它具有独特 的优越性如以往常用的差分方法，其不足之处是，由于采用的是直交网格，因 此它较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中轻重缓急之差 异，此外他还有编制不出通用程序的困难然而，有限元方法可以用任意形状的 网格分割区域，还可以根据场函数的需要疏密有致地、自如地布置节点，因而对 区域的形状有较大的适应性另外，有限元方法在实用上更大的优越性还在于， 它与大容量的计算机相结合，可以编制通用的计算程序，代表着数值计算方法的 进步；反过来也促进了计算机科学的发展 在连续介质力学中，有限元方法在弹性力学、结构力学的方面的应用已相当 成熟，已成为在这些领域中用以解决实际问题的强有力的数值计算工具至今出 现的不少适应性很强的通用计算程序，己在工程实际中发挥极大作用但在流体 力学领域中，由于物理模型和数学方程比固体力学要复杂得多，因此有限元方法 的应用要晚一些1 9 6 5 年两位固体力学工作者z i e n k i e w i c z 和c h e u n g 提出了用 有限元方法解决位势流问题的可能性，被认为是有限元方法用于解决流体力学问 题的起点以后的几年，有限元方法被迅速应用到诸如位势流、渗流、低雷诺数 流、润滑等方面 关于d i r i c h l e t 问题的最小二乘方法是由b r a m b l e 2 1 2 6 和n i t s c h e 1 2 3 ， 1 2 4 最早开始研究的，r a v i a r t 1 3 5 、t h o m a s 和b r e z z i 3 2 3 5 ，c a r e y 和 o d e n 1 2 5 发展了这一方法近年来，最小二乘混合有限元方法引起了国内外学 者的广泛兴趣，l a z a r o v ，p e h l i v a n o v 1 2 7 1 3 2 ，e w i n g ，w a n g ，b r a n d t s 和我 国的羊丹平、罗振东 1 1 7 、黄云清和陈艳萍 3 7 - 4 6 、 1 0 2 一1 0 3 都对最d , - 乘 混合有限元的发展做了卓有成效的工作 针对椭圆边值问题许进超首次提出两层网格思想，之后l a y t o n 又将多层网 格法应用于n a v i e r s t o k e s 方程s s b r e n n e r 2 8 3 1 ，t a r b o g a s t ， m f w h e e l e r 以及陈传淼 3 6 、朱起定、黄云清和陈艳萍等人又对多层网格法作 了进一步的研究，提出了系列具有重要意义的结论，使混合有限元的误差估计 和混合有限元的超收敛估计的精度得到显著的改进v 循环多层网格法的基本 思想是：首先对定解区域建立一套粗、细网格，并形成有限元离散方程，然后在 细网格上迭代消去残量的高频部分，最后将残量的低频部分在粗网格上进行一步 校正 近年来，最d , - - - 乘混合有限元方法得到了越来越广泛的关注，原因就在于由 它导出的代数系统不仅是对称的，并且有限元空间可以灵活选取，不必满足 l a d y z h e n s k a y a b a b u s k a b r e z z i ( l b b ) 1 0 8 ，7 ，3 2 条件p e h li v a n o v 等人在 1 9 9 6 年曾研究了一类二阶非自共扼椭圆型方程的最小二乘混合元方法，使用正 规有限元剖分，得到了离散格式的最优阶r 一模和日1 一模误差估计2 0 0 1 年，陈 艳萍在文 4 3 ，4 4 采用最小二乘混合有限元方法，研究了一类系数为对角矩阵的 二阶椭圆边值问题的超收敛现象不过，她所使用的是矩形剖分 混合有限元的一般理论由b a b u 吾k a 和b r e z z i 于2 0 世纪7 0 年代初创立，其 主要结果就是所谓的b b 相容性条件 7 ，3 2 r a v i a r t 和t h o m a s 在1 9 7 9 年针 对2 阶椭圆问题，提出了r a v i a r t t h o m a s 混合有限元的构造方法 1 3 5 2 0 世 纪8 0 年代初，f a l k 和o s b o r n 提出了一种改进的方法 7 6 ，扩展了混合有限元 的适应性混合有限元方法的优点是通过引入中间变量( 一般它们也具有实际的 物理意义) ，可以将高阶微分方程降阶，从而也就能够降低有限元空间的光滑性 要求在处理多孔介质问题的时候，混合有限元方法可以同时获得压力和d a r c y 速度，或者是位移和应力的相同的准确率：譬如，看参考文献 3 0 ，6 4 ，1 3 5 两层网格方法由许进超首次提出，根据文 1 8 0 中思想的启发，他将两层网格方 法作为解非对称不定和非线性椭圆边值问题的一种标准有限元离散方法提出和 讨论 1 7 9 ，即把非线性椭圆边值问题在两个子空间和上进行有限元离散 化，在粗空间中，我们利用标准的有限元离散化来获得一粗空间逼近，然后 在粗空间逼近解的基础上在细空间圪上解一以牛顿迭代为基础的线性方程组， 而获得校正解即将在一细网格上解一非线性方程组转化为在一粗网格上对有 限元方程组执行所有的非对称不定或非线性迭代，然后再在细网格上解一线性的 有限元方程组，由于粗空间的维数远远小于细空间的维数，所以在粗空间上解一 非线性组的工作量相对很小运用这种两层网格法，可知解如此大的一非线性椭 圆边值问题将不会比解一线性方程组难很多，他通过对其收敛性分析，表明了此 两层网格方法确实具有高效率性接下来，他在此文的基础上对半线性椭圆问题 做进一步的粗网格校正，在粗网格上再一次解线性方程组，这样又提出了一种新 的两层网格方法，且获得了更好的收敛性：然后，在此两层网格方法的基础上再 进一步进行细网格校正，这样又建立了一种四步两层网格方法，这个算法获得了 更强的收敛性 1 7 8 从其中的理论分析中，我们可以知道当粗网格十分粗时，不 会影响细网格上扩张混合有限元方法解的精度，从中我们可以看出两层网格方法 是根据这样一个思想基础来建立的，即类似于低频的非对称不定性质或非线性的 性质由粗网格来控制；相对的高频行为由一些线性的或对称正定的算子来控制。 因此，两层网格方法的基本思想是：在一粗网格上( 步长为h ) 解一复杂的问题 ( 非线性，非对称不定等问题) ，然后在一细网格上亿 ( ，) 。e i o ) = 色g 。，；f p ) 圆e ，( ) 在上式中对时间求导数，并考虑等= 一v 二p t ， 可以得出 ( 2 1 0 ) 堡ip ，圆e _ 掣咆吐酣 _ 在上式中，左边的第一项是物质导数，即 刭：娑气。 (212)at研 在式( 2 11 ) 右端的第一项为随体坐标系的时间导数，令 一 翻。， 以2 詈2 因此，在随体坐标中的时间导数变换公式可以表示为 ( 2 1 3 ) 万= 鲁= 鲁”v 以 k 睹 ( 2 或 才= 坐d t + k 彳+ 爿厶】 ( 2 1 5 ) 定义4 ：式( 2 1 4 ) 所表示的导数称为张量的协变分量a 。的下随体导数，或 称为o l d r o y d 下随体导数 类似地，可以通过逆变分量表示张量a 可以导出张量的逆变分量的上随体导数 孑= 警= 警么：! ：l v 矽+ v ( 2 1 7 ) m 0 知钆p 詹如一 以0 ”唯 一划 柏 4 将上式改写成为张量形式 孑= 警一k 小彳口】 ( 2 1 8 ) 定义5 ：式( 2 1 8 ) 所表示的导数称为张量的协变分量a ，的上随体导数，或 称为o l d r o y d 上随体导数 2 1 2 共转坐标系 除前述随体坐标系以外，还可以用其他形式构造与物质联系在一起的随体坐 标系在这里，我们应当特别指出的是共转坐标系若在与物质一同变形的坐标 系中，取协变基和逆变基任意线性组合所组成的向量作为基向量，也满足物质可 观性原理根据这一思想，作以下两组基向量 g ，：委 p 。( ，) + g 雎g t ( ，) 】 ( 2 1 9 ) q ，：昙k ，( ，) + g 止( 。( ，) 】 ( 2 2 0 ) 由于e , e = 纠，容易证明以下性质 g 。l ，i r = 印 9 1 。，= p q , e j = 6 ；，q t q j = 6 j t 2 2 1 、) 现在我们将证明，所定义的基向量g j 和g 。具有一个重要的性质首先将基向量 e 的时间导数写为以下形式，即 冬：三( f ) 础 “” ( 2 2 2 ) 兵中，式( 2 2 2 ) 司作为张量m 【，) 的足义。口】以将张重m 分屉竿为对称张量j j | ：口反 对称张量之和，即 d = 三k + r 】 = 三k f 】 ( 2 2 3 ) 显然 d 衍e _ _ l = ( d + 川( 2 2 4 ) 根据基向量的正交性质，乞p 7 = 彭，可以导出 掣p m 一生：o d l j d l 引用式( 2 2 2 ) ，有 等旷儿( ，o ) ：o d l j“j 或 降叫枷= 。 考虑到式( 2 2 3 ) ，由式( 2 2 7 ) 可以得出 等= z 如一( 。一k d f 、。 现在，在式( 2 1 9 ) 中，对时间，求导数，可得 乱=!学-i-dt 2d t ( ) 型d t 一l = 一l 一口i r - = i | f l r【 7 j ，= r 引用式( 2 2 4 ) 和式( 2 2 8 ) ，有 钆吨 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 式中w 的分量可简化为缈：= v 二_ v k 由式( 2 3 0 ) ，我们马上可以得出下面的性 质 性质：以g 为基的坐标系与质点集合一同旋转，但不随质点集合一同平移 因此，这一类坐标系称为共转坐标系在共转坐标系中，任意张量彳可以表 示为下述形式 端詈搿 亿3 - ， = b ”g ，f ；f b 。( f ) 圆g ，( ) 、乙) 17 在式( 2 3 1 ) 中，对，求导数，有 怪m g 悬猫刊和峭猢2 ，i 簪m 吼m 掣 吼m g ，掣l 考虑剑 乱，叫g 舟叭 g 。p ) ( p e j ) 一g 。op ，) i 2 3 3 ) 并考虑到g ，的性质，式( 2 3 2 ) 可以化为 些：一d a j 一彳旬：一a k o ) ? ( 2 3 4 ) 9 1 fd t 式中，9 1 a 称为共转坐标系中的共转导数将上式写成张量形式 9 i t 五：9 1 a j ：一d a w a + aw ( 2 3 5 ) 若采用式( 2 1 9 ) 中的表达的q 作为基向量，可以导出协变分量a 。的共转导数 公式为 百9 1 a , j d “a ，, ”a , o j - a , k 矿 ( 2 3 6 ) 由于彳v ：g 止g ，_ 有以下形式关系式 一9 1 a 。：e ，f 堕 ( 2 3 7 ) 9 1 t 66 9 1 t 在前述随体导数基础上，推广w a l t e r s ( 1 9 8 4 ) 的定义，我们引进一种广义的随 体时间导数 万= 口l a 一+ a 2 a 一 ( 2 3 8 ) 其中，芽为广义随体导数标记，口。和口：为常数，若口。= 0 ，口：= l ，则万= a 一， 即得上随体导数若口。；1 ，口：0 ，有i ：a 一，即为卞随体导数若将式( 2 1 5 ) 和( 2 1 8 ) 相加，碉 j ：要伍+ i ) ( 2 3 9 ) 即导出上随体和下随体导数与共转导数之间关系 定理1 i = 仁。坞) 鲁一g 。喝r n + 彳仁：飞l r )刚o ) 证明：由广义随体导数，当q = 口：= 时，即可导出共转导数将式( 2 1 5 ) 和( 2 1 8 ) 代入式( 2 3 8 ) 可得( 2 4 0 ) h 昙+ 如”+ 乃暑卜 ：f f + 昙+ ：軎+ + ，导j 。 2 4 1 m 等吻。( 。+ 如詈) 眨4 2 ， 2 2 10 id r o y db 流体本构方程 o l d r o y d 提出了研究本构方程的新理论，开拓现代本构理论研究的前沿方向 按照o l d r o y d 观点，在固定坐标系中( 即观察者所位于的空间) 建立的时间导数， 不符合物质客观性原理更确切地说，这些时间导数以及由此而建立的线性粘弹 性理，只有在小变形下才成立，而在大变形下，上述线性理论已不成立根据 o l d r o y d 发展的理论，在大变形或有限变形下，应当在随体坐标系中考察时间导 数在此基础上，推广线性粘弹性本构方程因此，推广本构方程( 2 4 2 ) ，我们 可以得到广义随体导数模型如f s 膻+ 蚕雎：，7 。c 4 小+ 五i 业) ( 2 4 3 ) 应用广义的随体导数式( 2 3 8 ) 式，我们可建立广义o l d r o y d 模型 + 2 刁1 。e t r s j s 庸+ 二去s ，s 肚+ 瓦+ 。护8 )。2 4 4 ， 嘲。( 仇+ 如瓦) 其中 ，如，。，r 。，s ，口为物质常数 上式中，令风= z i = 2 = o ，口i = 1 ，口2 = 0 ，即得到o l d r o y da 流体本构 方程 s 琅+ 豆让= 7 o c 4 请+ 如万膻) ( 2 4 5 ) ( 2 4 4 ) 式中，令风= i = 2 = 0 ，口i = 0 ，口2 = 1 ，即得到o l d r o y db 流体本 构方程 s 吠+ 五蚕政：叩。- 止+ 以i 庸) ( 2 4 6 ) 式( 2 4 6 ) 若写成张量形式，o l d r o y db 流体本构方程可以表达为 s + ；：c 4 + 如i ) ( 2 4 7 ) 无论是在理论还是在应用中，o l d r o y db 流体均占有重要的地位以下我们 丰耍研究o l d r o y db 流体 2 2 2r i v i - n e ri c k s e n 应变张量 在非牛顿流体本构方程中，r i v li n e r i c k s e n 应变张量有其重要作用 定义6 ：称 铲蚓d r i , ，= 煎o t 。剑i 御 其中，c ：f r f 为右c a u c h y - g r e e n 张量，f 为任一可逆张量 为玎阶r i v l i n e r i c k s e n 张量 令 ( 2 4 8 ) = 爿d t ，= ( 删钞) = 一i = l p _ ，口yi ”l l 。 我们有 n - i 定理2 ：a 。= q n k t 三础+ 三。+ z 七i l 其中 ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 证明：将c = f7 f 代入( 2 4 8 ) ，可以把甩阶r i v l i n e r i c k s e n 张量改写为 a 。=竽i t r y - 砉c ；爿箬l c ：2 南 将。代入( 2 5 1 ) ，即得( 2 5 0 ) 其中 定理3 ：a n + t = 警懈小舭。 证明：首先作以下表达式 将e 。展开为以下形式 j = d 芎e n d 芎 e 。= 1 d ”f r t f = f r o ) l c 珥( ，) r _ ( ，) 恍) l k l 0j 其中，l k ( ，) 由( 2 4 9 ) 定义令 那么 互( ，) = z c ；l r ( t ) l ( f ) 七= o e = f7 ( f ) 瓦o 扩( ，) 1 6 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) 簋堂僮j 金塞 筮三童丝旦b q ) 卫二垦型速住奎丝左程 又由于 e 也= 夏吼，= 彳。 ( 2 5 5 ) 由( 2 5 4 ) 式，式( 2 5 3 ) 可以化为 。 ，= 碱( f ) 捌 ( 2 5 6 ) 上式中对时间，求全微分，得 坐d t = 礅趟+ 碱趔+ 碱欲 ( 2 5 7 ) 根据 救= 妇芎 利用( 2 4 9 ) ，可以推导出 d x = b 口d y ：l 口= 厶o k = d x l r ( t ) 应用上述关系式，式( 2 5 7 ) 可化为 警= 科 口o ) 瓦( ，) + 夏( f ) + 互o ) ( ，) 删( 2 5 8 ) 由于( 2 5 3 ) i d j ：d 蓼。r d 一= d 纪。d d l 。“”。 将( 2 5 8 ) 式代入上式，并令f = _ f ，利用( 2 5 5 ) 式，可以由上述方程推导出 d 弘。+ 。d 孝= d 善k j 彳。+ l 。+ 彳。厶瞥 即定理成立 2 2 30 1 d r o y db 流体本构方程在柱坐标o ，口，z ) 中的表达式 为了研究其变分解析解，我们将给出该本构方程在柱坐标，口，z ) 中的表达式 由定理2 ，一阶r i v l i n e r i c k s e n 应变张量a 的随体导数可以表达为 孔等+ 陆+ 兰r 品+ w 珈ai 西 a 口 瑟i i 彳膻旦+ 么良旦+ 彳吐旦l v - ( 2 5 9 ) l 0 3 刁 o z j k 旦+ 旦+ 4 垃旦l v t 1 7 根据上式，一阶r i v l i n e r i c k s e n 的随体时间导数可以写为下述形式 i ，r = 2 ( 雾) 一4 ( 考) 2 ( 2 6 。， 其中 引入算子 一三f ，丝+ ，生一v 1 塑一2 塑f ，塑+ 一i n , 一芦l 历 万叫j 历- 2 瓦i 瓦+ 石j i 卯= 吾( 吾品+ 詈) + 吾 专( 嘉+ ，考一v ) ( v 一，雾) + - 7 2 一詈舅e 嘉+ r 川j 一等b 嘉+ r 川j 一( ，笔+ 嚣) 笔i+ l 一7 丽1 7 丽+一了b 历+ 一l 厂瓦+ 历j 瓦i i=吾三吾(考；+厂里!一v)一!rl!r皇o竺ror rl ro r ( 軎；+ 3 ，旦o r ! 一3 v ) ，i 八a 目j l a 伊 j 一饕+ 堕r0 0 ( 3 丝0 0 让o r v ) ，i ，八 1 f ，1 o uo w 。1 锄o v 。加挑1 一r 【ro z0 0 “一o z o z 十一o z 石j - 2 l i 警) o z 一4 ( 警) 2l 如 一2 塑f ，塑+ 业1 一三f ，堡+ ! 业 塑 西l 七务rl 瑟，a 秒0 0 i ，：= ( 老+ 警) 一! r 塑o of ，k 三r 塑0 0 + 笔) 一! r 塑c 3 0f ，k 塑o r 一詈) 一塑o z ( 塑o r + 3 丝c 3 0 ) 一丝o r ( 3 丝o r + 警)j a zj ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) i受=!r(塑+吾丝)jr(笔+!塑(笔+一lcoz 0 0 r0 0 r0 0 + 兰r ) i ， ，i 昆八a zj 一! 降塑仁塑+ 兰 + 2 塑宴 ( 2 6 5 ) ，i r0 0ira ! z r 昆瑟 + 吾警( 嚣+ 厂鱼o r v ) + ( 罢+ 詈) ( 害一詈) aa 1 ，aa l = 一+ “+ 一+ w 一 8 t却r8 e 钯 ( 2 6 6 ) - = 昙+ 争刍+ 岛昙，= 厂丑z c 2 6 7 ， 1 8 煌堂僮j 佥毫一臣兰莹旦业塑型2 = ! 韭蹦匮缝尘趔左焦 0 1 d r o y db 流体本构方程在柱坐标o ，只z ) 中的表达式为 s ，+ 厶乜 ，) 一2 ， ) 】= 2 刁。詈+ 2 叩。如 ( 詈) 一2 ( 詈) 2 ，。2 6 8 ) 一专( 嚣+ ，考一v )