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近世代数(AbstractAlgebra),主讲教师:蔡炳苓,(河北师范大学数学与信息科学学院),第3节整环,除环和域,河北师范大学,第三章环与域,定义一个交换的,有单位元,且,的无零因子环,称为整环.,例1整数环,高斯整环都是整环,而偶数环为无零因子的交换环。,定义:设,是有单位元的环,且,如果,中每个非零元都可逆,则称,为除环.,交换的除环称为域.,例2,都是域.,例3,为域.,是有单位元的交换环.,的每个非零元都可逆.,证明,证明可证,下证,例4模m的剩余类环,零元为0,单位元为1.而且有结论,为域,为素数.,为此先考虑以下性质即可:,性质1设,则,为,的零因子,(1),(2),为,的可逆元,证:(1)若,为,的零因子,则存在,使得,故,.若,则,所以,矛盾.于是,.,反之,如果,设,则,所以,但,于是,是零因子.,(2)若,为,的可逆元,则,即,于是,使得,也就是,所以,反之,如果,则,因此,故,可逆.,剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.,性质2,为无零因子环,为素数.,为素数,若,则,,,或者,,即,若,不是素数,则,证:设,为无零因子环.,为有零因子环.,例5,解(1),(2),直接计算可知,相应的逆元为,全部零因子:,全部可逆元:,域的除法,设,为域,则对任意的,有,,记作,由此可定义域,的除法:设,规定,称,为以,除,的商.,且有下列运算法则:,说明:(1)整环,除环和域都是无零因子的环;,(2)R中至少2个元,则环R为除环当且仅当R中全体非零元集合R*关于乘法做成群;环R为域当且仅当(R,+)和(R*,.)都是交换群.,(3)除环中,例5,第4节无零因子环的特征,我们知道,任意数环中,任意两个非零数之积还是非零数,而且对有,在模n的剩余类环中,,而且满足条件的最小正整数n是存在的.,不难发现,以上性质和环中元的加法阶有关.,定理1:,无零因子环中任意非零元对加法的阶相同.,证明:若都无限,阶相同.,定义:对于加法来说,一个无零因子环R的非零元的相同的(加法)阶叫做环R的特征。,记作charR。,注:若无零因子环R的特征是n,则R的所有非零元的n倍为零元。,定理2:,无零因子环的特征或者无限,或者为素数.,证明:(反证法)设有限且为合数,与无零因子环矛盾,故

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