格林公式、曲线积分与路径无关的条.ppt

一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,10.3格林公式及其应用,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、格林公式,单连通与复连通区域,区域的边界曲线的方向,当观察者沿区域D的边界曲线L行走时如果左手在区域D内则行走方向是L的正向,单连通区域,复连通区域,下页,设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域,定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有,其中L是D的取正向的边界曲线,格林公式,定理证明,应注意的问题:对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向,下页,提示,格林公式:,用格林公式计算区域的面积,下页,设区域D的边界曲线为L则,在格林公式中令PyQx则有,格林公式:,用格林公式计算区域的面积,例1求椭圆xacosqybsinq所围成图形的面积A,设区域D的边界曲线为L则,解,设L是由椭圆曲线则,下页,提示:,因此,由格林公式有,下页,格林公式:,用格林公式计算二重积分,为顶点的三角形闭区域,解,因此,由格林公式有,下页,格林公式:,用格林公式计算二重积分,为顶点的三角形闭区域,解,用格林公式求闭曲线积分,令P2xyQx2则,证,因此由格林公式有,下页,格林公式:,例3设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明,提示,解,下页,不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向,当(00)D时,由格林公式得,记L所围成的闭区域为D,当x2y20时有,在D内取一圆周lx2y2r2(r0),不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向,当(00)D时,解,记L所围成的闭区域为D,记L及l所围成的复连通区域为D1应用格林公式得,其中l的方向取顺时针方向,于是,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,下页,设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,这是因为设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2-)是G内一条任意的闭曲线而且有,下页,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,定理2(曲线积分与路径无关的判断方法),下页,定理证明,应用定理2应注意的问题,(1)区域G是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立,下页,讨论,提示,解,这里P2xyQx2,选择从O(00)到A(10)再到B(11)的折线作为积分路线,物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧,首页,三、二元函数的全微分求积,表达式P(xy)dxQ(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dxQ(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？,二元函数u(xy)的全微分为du(xy)=ux(xy)dxuy(xy)dy,下页,原函数,如果函数u(xy)满足du(xy)=P(xy)dxQ(xy)dy则函数u(xy)称为P(xy)dxQ(xy)dy的原函数.,定理证明,下页,定理3,求原函数的公式,下页,解,这里,因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数且有,是某个函数的全微分,取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(xy)的折线,半平面内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数,则所求函数为,下页,结束,例7验证在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数,这里Pxy2Qx2y,解,因为P、Q在整个x