电路第6章二阶电路分析.ppt

6二阶电路分析,61RLC串联电路的零输入响应,62RLC串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应,63GCL并联电路分析,64一般二阶电路分析,二阶电路：由二阶微分方程描述的电路。,分析二阶电路的方法：仍然是建立微分方程(二阶)，并利用初始条件求解得到电路的响应。它是一阶电路的推广。,本章主要讨论含两个(独立)动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。,为了得到图示RLC串联电路的微分方程，先列出KVL方程,代元件VCR,得：,61RLC串联电路的零输入响应,这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，令uS(t)=0，得二阶齐次微分方程,其特征方程为,由此解得特征根,特征根称为电路的固有频率。当电路元件参数R,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：,1时，s1,s2为不相等的负实根。,3时，s1,s2为相等的负实根。,2时，s1,s2为共轭复数根。,1.当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；2.当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；3.当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。以下分别讨论这三种情况。,一、过阻尼情况,电路的固有频率s1,s2不相同的实数，齐次微分方程的解为：,式中的常数A1，A2由初始条件确定。令上式中的t=0+得,对uC(t)求导，再令t=0+得,联立求解，可得:,将A1，A2代入vC(t)得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。,当uC(0+)=U0,iL(0+)=0时,t0,例1已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零输入响应。,则：,解：由R,L,C的值，计算出固有频率,利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：,解得:K1=6和K2=-4，最后得到电容电压的零输入响应为,它们的波形曲线如下图所示。,过阻尼情况,从波形可看出，在t0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。,二、临界情况,固有频率s1,s2相同的实数s1=s2=-。齐次解,式中常数K1,K2由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定。令t=0+得到,对uC(t)求导，再令t=0+,得到,联立求解以上两个方程，可以得到,代入vC(t)表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。,当uC(0+)=U0,iL(0+)=0时,例2已知R=1,L=0.25H,C=1F,uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，求电容电压和电感电流的零输入响应。解：固有频率,利用初始值，得,则：,求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容电压的零输入响应.,得到电感电流的零输入响应,波形曲线如图所示。,临界阻尼情况,三、欠阻尼情况,固有频率s1,s2为两个共轭复数根，即：,其中,三者组成一个直角三角形。,齐次微分方程的解为：(用欧拉公式),式中,由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定常数K1,K2后，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流的零输入响应。,例3已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。,则得：,利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:,解：固有频率：,解得K1=3和K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应,(a)衰减系数=3的电容电压波形(b)=3的电感波形(c)=0.5的电容电压的波形（d)=0.5的电感电流的波形,下图为欠阻尼情况,可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例3中电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。,例4已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。解：固有频率:,则：,利用初始条件得：,解得：K1=3和K2=1.4，得电容电压和电感电流的零输入响应,从电容电压和电感电流的表达式和波形可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。,综上所述，RLC二阶电路的零输入响应形式与其固有频率密切相关，如下图：,1.过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，响应按指数规律衰减。2.临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，响应按指数规律衰减。3.欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。,4.无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，=0，振幅不再衰减，形成角频率为0的等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率具有负实部时，电路是稳定的。,直流激励的RLC串联电路，当uS(t)=US时，可以利用初始条件uC(0+)=U0和iL(0+)=I0来求解以下非齐次微分方程,从而得到全响应,62RLC串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应,全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成,电路的固有频率为,当s1s2时，对应齐次微分方程的通解为,特解为,全响应为,利用初始条件，可以得到,联立求解，得到常数K1和K2后，就可得到电容电压的全响应，再利用KCL和电容元件VCR可以求得电感电流的全响应。,类似地，当s1=s2时，全响应为,求两个待定系数的方法也类似：,类似地，根据元件的VCR或KVL计算其它响应。,类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为,求两个待定系数的方法也类似：,类似地，根据元件的VCR或KVL计算其它响应。,例5已知R=6,L=1H,C=0.04F,uS(t)=(t)V。求t0时电容电压的零状态响应。(单位阶跃响应),解：t0时，(t)=1V，可以作为直流激励处理。固有频率,固有频率为共轭复根,可以得到,利用初始值uC(0+)=0和iL(0+)=0,得:,解得：K1-1和K2-0.75，得到电容电压的零状态响应,波形如图(a)(b)：,当电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时，波形如图(c)和(d)。,63GCL并联电路分析,与RLC串联电路对偶：,得二阶微分方程,其特征方程为,解得特征根,同样对偶地，特征根可能出现以下三种情况：,1，时，s1,s2为不等的实根。,2，时，s1,s2为相等的实根。,3，时，s1,s2为共轭复数根。,当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。这三种情况响应的计算方法和公式与RLC串联电路完全对偶。,64一般二阶电路分析,除了RLC串联和GCL并