2019届高三数学上学期第四次月考试题 文(含解析) (I).doc

2019届高三数学上学期第四次月考试题 文(含解析) (I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以 .选C.2.设复数z满足=i，则|z|=（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，所以，故选A.考点：复数的运算与复数的模.【此处有视频，请去附件查看】3.已知函数 ，那么的值为（）A. 9 B. C. 9 D. 【答案】B【解析】f116=log4116=2，那么ff116=f2=32=19，故选B.4.若sin2+=35，且为第二象限角，则tan=（ ）A. 43 B. 34 C. 43 D. 34【答案】A【解析】【分析】由已知利用诱导公式，求得cos，进一步求得sin，再利用三角函数的基本关系式，即可求解。【详解】由题意sin(2+)=35，得cos=35，又由为第二象限角，所以sin=1cos2=45，所以tan=sincos=43。故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。5.若a1b0,1c0,，则下列不等式成立的是A. 2b2a B. logablogb(c) C. a2b2 D. c22a=14，排除A；2=a2b2=14，排除C；c2logba=1，排除D，故选B.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.6.已知向量a,b的夹角为60，|a|=2，|a2b|=2，则|b|=（ ）A. 4 B. 2 C. 2 D. 1【答案】D【解析】由a2b=2，得a2b2=a24ab+4b2=2，即a24abcos60+4b2=2，则2b2b6=0，解得b=32（舍去）或b=1，故选D.7.已知an为等比数列，Sn是它的前n项和. 若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5= ( )A. 31 B. 32 C. 33 D. 34【答案】A【解析】【分析】设等比数列an的公比为q，由已知可得q和a1，代入等比数列的求和公式即可【详解】设等比数列an的公比为q，则可得a1qa1q2=2a1，因为a10 即a1q3=a4=2，又a4与2a7的等差中项为54 ，所以a4+2a7=52，即2+22q3=52，解得q=12，可得a1=16，故S5=16（1-125）1-12=31故选：A【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，也利用等差数列的性质，属基础题8.若实数x,y满足不等式组x+y1xy1x0，则2x+y的最大值是( )A. 1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，利用目标函数的几何意义，即可求解。【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z过点C时，直线y=2x+z的截距最大，此时最大，由x+y=1xy=1，解得x=1y=0，即C(1,0)，代入目标函数z=2x+y，得z=21+0=2，即目标函数z=2x+y的最大值为2。故选D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是（ ）A. 2 B. 92 C. 32 D. 3【答案】C【解析】试题分析：根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且顶点在底面上的摄影为底面梯形的顶点的四棱锥，故V=1312(1+2)2x=32，即x=32，故选C考点：根据三视图还原几何体10.已知函数f(x)=2sin2x+6，若将它的图象向右平移6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为（ ）A. x=12 B. x=4 C. x=3 D. x=23【答案】C【解析】由题意知g(x)=2sin2(x6)+6=2sin2x6，令2x6=2+k,kZ，解得x=3+k2,kZ，当k=0时，x=3，即函数gx的图象的一条对称轴的方程为x=3.本题选择C选项.11.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),过点F斜率为-ba的直线为,设直线与双曲线的渐近线的交点为A,O为坐标原点，若OAF的面积为4ab,则双曲线C的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 4【答案】D【解析】 过点F且斜率为ba的直线方程为y=ba(xc)，与双曲线的渐近线y=bax联立， 得到A(12c,bc2a)， 因为OAF的面积为4ab，所以12cbc2a=4ab，所以c=4a， 所以双曲线的离心率为e=ca=4，故选D12.设函数fx=x2lnxax2x，若不等式fx0仅有1个正整数解，则实数的取值范围是( )A. 1,ln212 B. 1,ln212C. ln212,ln313 D. ln212,ln313【答案】B【解析】【分析】由不等式fx0，即x2lnx-ax2-x0，两边除以x，则xlnx0，不等式fx0，即x2lnx-ax2-x0，两边除以x，则xlnxax+1，注意到直线l;y=ax+1恒过点(0,1)，不等式fx0仅有1个正整数解，即函数y=xlnx图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线l;y=ax+1的下方，由图象可知，这个点(1,0)，可得f10,f(2)0，即-1b 可得AB ，则：B=45 .14.设a、b、cR，若abc1，则1a+1b+1c_.【答案】9【解析】a、b、cR，abc1，1a+1b+1c=abc1a+1b+1c=3+ba+ab+ac+ca+cb+bc3+2+2+2=9故答案为：9点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223=223，338=338，4415=4415，5524=5524，则按照以上规律，若88n=88n具有“穿墙术”，则n=_【答案】63.【解析】223=22221=223，338=33321=338，4415=44421=4415，5524=55521=5524按照以上规律88n=88n，可得n=821=63.故答案为63.16.在三棱锥PABC中,PA平面ABC，ABBC，AB=3，BC=4，PA=5，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_【答案】50【解析】【分析】以AB,BC,PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥PABC的外接球，由此能求出三棱锥PABC的外接球的表面积.【详解】由题意，在三棱锥PABC中，PA平面ABC,ABBC,AB=3,BC=4,PA=5，以AB,BC,PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥PABC的外接球，所以三棱锥PABC的外接球的半径为R=1232+42+52=522，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为S=4R2=4(522)2=50.【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以AB,BC,PA为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥PABC的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知an为等差数列，Sn为an的前n项和，且a2=3，S5=25.（1）求an及Sn；（2）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.【答案】（1）an=2n-1,Sn=n2；（2）bn=2n-13n-1,Tn=n-13n+1.【解析】【分析】（1）由题意，根据题意，列出方程组，求得a1,d的值，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得bn=2n-13n-1,利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n项和。【详解】(1)由题意得，则a2=a1+dS5=5a1+542d，解得a1=1,d=2，所以an=1+2n-1=2n-1,Sn=n2.（2）bn=2n-13n-1,Tn=1+33+532+2n-13n-1,3Tn=3+332+2n-33n-1+2n-13n,-2Tn=1+23+32+3n-1-2n-13n=1+2 313n-113 -2n-13n=2-2n3n-2,Tn=n-13n+1.【点睛】本题主要考查等差的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.已知向量m=(3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4)，记f(x)=mn（1）若f(x)=1，求cos(x+3)的值；（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足(2ac)cosB=bcosC，求f(2A)的取值范围【答案】（I）f(x)=mn= 3sinx4cosx4+cos2x4=32sinx2+12cosx2+12=sin(x2+6)+123分f(x)=1sin(x2+6)=12=126分（II）(2ac)cosB=bcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosB=sinBcosC2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC2sinAcosB=sin(B+C)8分A+B+C=sin(B+C)=sinA，且sinA0cosB=12,0B B=310分0A236A2+62,12sin(A2+6)11sin(A2+6)+1232f(A)= sin(A2+6)+12 (1,32)【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得f(x)=sin(x2+6) +12，由f(x)=1可得sin(x2+6)=12，根据二倍角公式可得cos(x+3)的值；（2）根据正弦定理消去(2ac)cosB=bcosC中的边可得B=3，所以A=23C，又0C2，则6A2，得3A+623，根据三角函数值域的有界性即可求得f(2A)的取值范围试题解析：（1）向量m=(3sinx4,1)，n=(cosx4,cos2x4)，记f(x)=mn，则f(x)=3sinx4cosx4+cos2x4=32sinx2 +12cosx2+12 =sin(x2+6) +12，因为f(x)=1，所以sin(x2+6)=12，所以cos(x+3)=12sin2(x2+6)=12（2）因为(2ac)cosB=bcosC，由余弦定理得(2sinAsinC)cosB=sinBcosC，所以2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC，所以2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，sinA0，所以cosB=12，又0B2，所以B=3，则A+C=23，即A=23C，又0C2，则6A2，得3A+623，所以32b0)过点，且长轴长等于4（）求椭圆C的方程；（）F1,F2是椭圆C的两个焦点，O是以F1F2为直径的圆，直线l: y=kx+m与O相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B，若OAOB=32，求k的值【答案】（1）x24+y23=1，（2）22【解析】解:（）由题意椭圆的长轴2=4，得a=2， -1分点在椭圆上，14+94b2=1，b2=3-3分椭圆的方程为-5分（）由直线l与圆O相切得|m|1+k2=1,m2=1+k2-6分设A(x1,y1),B(x2,y2)，由消去，整理得-7分由题可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交0-8分x1+x2=8km3+4k2 x1x2=4m2123+4k2-9分y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k24m2123+4k2+km(8km3+4k2)+m2=3m212k23+4k2-10分x1x2+y1y2=4m2123+4k2+3m212k23+4k2=7m212k2123+4k2-11分m2=1+k2 x1x2+y1y2=55k23+4k2-12分OAOB=32,55k23+4k2=32,k2=12,k的值为22-14分21.已知函数f(x)=lnxx2ax.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）若f(x)0恒成立，求的取值范围.【答案】)y=-2x；)a-1.【解析】【分析】1将a=1代入，求导后运用其几何意义求出切线方程2分离参量得alnxx-x，令h(x)=lnxx-x，求导后算出最值【详解】(1)a=1时，函数f(x)=lnx-x2-x，可得f(x)=1x-2x-1，所以f(1)=-2，x=1时，f(1)=-2曲线y=f(x)则x=1处的切线方程；y+2=-2(x-1)即：y=-2x；(2)由条件可得lnx-x2-ax0(x0)，则当x0时，alnxx-x恒成立，令h(x)=lnxx-x(x0)，则h(x)=1-x2-lnxx2，令k(x)=1-x2-lnx(x0)，则当x0时，k(x)=-2x-1x0；在(1,+)上，h(x)0所以h(x)在(0,1)上为增函数；在(1,+)上为减函数所以h(x)max=h(1)=-1，所以a-1【点睛】本题运用导数几何意义求出在某点处的切线方程，在解答恒成立问题上运用了分离参量的方法，构造新函数，然后运用导数求出最值，继而得到结果。22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin(为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin+4=42.（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.【答案】（1）x23+y2=1，x+y8=0；（2）d的最小值为32,此时点P的坐标为32,12【解析】【分析】（1）由曲线C1得x3=cosy=sin,两式两边平方相加，即可得到曲线C1的普通方程，由极坐标和直角坐标的互化公式，即可得到曲线C2的直角坐标方程.（2）由（1），设椭圆上的点P3cos,sin到直线x+y8=0的距离，转化为三角函数，利用三角函数的图象与性质，即可求解。【详解】（1）由曲线C1:x=3cosy=sin得x3=cosy=sin,两式两边平方相加得x32+y2=1,即曲线C1的普通方程为x23+y2=1由曲线C2:sin+4=42得:22sin+cos=42,即sin+cos=8,所以x+y-8=0,即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.（2）由（