2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1_1.1.2变化率问题导数的概念课时作业新人教版选修.docx

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念明目标、知重点1了解导数概念的实际背景 2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数1函数的变化率定义实例平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：平均速度；曲线割线的斜率瞬时变化率函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限，即 瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率2.函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .情境导学某市2013年5月30日最高气温是33.4，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4和18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5和5月28日最高气温18.6进行比较，可以发现二者温差为15.1，甚至超过了14.8，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念思考1气球膨胀率很多人都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V) ，(1)当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为0.62(dm/L)(2)当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为0.16(dm/L)可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了结论当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是.思考2高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.计算运动员在时间段0t0.5，1t2内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？答在0t0.5这段时间里，4.05(m/s)；在1t2这段时间里，8.2(m/s)由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢思考3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答如果上述两个思考中的函数关系用yf(x)表示，那么思考中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢思考1中的平均变化率表示在空气容量从V1增加到V2时，气球半径的平均增长率思考2中的平均变化率表示在时间从t1增加到t2时，高度h的平均增长率思考4平均变化率也可以用式子表示，其中y、x的意义是什么？有什么几何意义？答x表示x2x1是相对于x1的一个“增量”；y表示f(x2)f(x1)x、y的值可正可负，y也可以为零，但x不能为零观察图象可看出，表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)、(x2，f(x2)连线的斜率小结平均变化率为，其几何意义是：函数yf(x)的图象上两点(x1，f(x1)、(x2，f(x2)连线的斜率例1已知函数f(x)2x23x5.(1)求当x14，x25时，函数增量y和平均变化率；(2)求当x14，x24.1时，函数增量y和平均变化率；(3)若设x2x1x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义解f(x)2x23x5，yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x2(x)219x.2x19.(1)当x14，x25时，x1，y2(x)219x21921，21.(2)当x14，x24.1时x0.1，y2(x)219x0.021.91.92.2x1919.2.(3)在(1)题中，它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率在(2)题中，它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.跟踪训练1(1)计算函数h(x)4.9x26.5x10从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；0.1；0.01.(2)思考：当|x|越来越小时，函数h(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.当x2时，4.9x3.313.1；当x1时，4.9x3.38.2；当x0.1时，4.9x3.33.79；当x0.01时，4.9x3.33.349.(2)当|x|越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.探究点二函数在某点处的导数思考1物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)4.9t26.5t10，易知h()h(0)，0，而运动员依然是运动状态思考2观察跟踪训练1，当x0.000 01时，？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？答4.9x3.33.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x1这一时刻的速度思考3什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态如求t2时的瞬时速度，可考察在t2附近的一个间隔t，当t趋近于0时，平均速度v趋近于 ，这就是物体在t2时的瞬时速度类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 叫做函数yf(x)在xx0处的导数思考4导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度小结1.函数的瞬时变化率：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 .2函数在某点处的导数：我们称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .例2利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数解由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2) ，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2) (x1)1.反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .跟踪训练2求函数f(x)3x22x在x1处的导数解y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，y|x1 (3x4)4.例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第x h时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0x8)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)根据导数的定义，x3，所以，f(2) (x3)3.同理可得，f(6)5.在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为3与5.它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 /h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 /h的速率上升反思与感悟(1)本题中，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率，当x趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快跟踪训练3高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)4.9t26.5t10，求运动员在t s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况解令t0，t为增量则4.96.5， 4.96.50，即运动员在t0 s时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处1如果质点M按规律s3t2运动，则在一小段时间2，2.1中相应的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D3答案B解析4.1.2函数f(x)在x0处可导，则 ()A与x0、h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0、h均无关答案B3已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()A4 B4x C42x D42(x)2答案C解析yf(1x)f(1)2(1x)2112(x)24x，2x4.4已知函数f(x)，则f(1)_.答案解析f(1) .呈重点、现规律利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .简记为一差，二比，三趋近特别提醒取极限前，要注意化简，保证使x0时分母不为0.函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1函数yx22x1在x2附近的平均变化率为()A6 Bx6C2 Dx2答案B解析设yf(x)x22x1(x1)2，yf(2x)f(2)(2x1)2(21)2(3x)29(x)26x，所以x6，所以函数yx22x1在x2附近的平均变化率为x6.2函数y1在2,2x上的平均变化率是()A0 B1 C2 Dx答案A解析0.3如果某物体的运动方程为s2(1t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()A4.8 m/s B0.88 m/sC0.88 m/s D4.8 m/s答案A解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得4一质点按规律s(t)2t3运动，则t1时的瞬时速度为()A4 B6 C24 D48答案B解析s(1) 2(t2t1)6.5已知函数y2，当x由1变到2时，函数的增量y_.答案解析y(21).6.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()A甲 B乙C相同 D不确定答案B解析在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，但是，在t0t处，W1(t0t)W2(t0t)，即，所以，在相同时间t内，甲厂比乙厂的平均治污率小所以乙厂治污效果较好7利用定义求函数y2x25在x2处的瞬时变化率解因为在x2附近，y2(2x)25(2225)8x2(x)2，所以函数在区间2,2x内的平均变化率为82x.故函数y2x25在x2处的瞬时变化率为 (82x)8.二、能力提升8过曲线yx21上两点P(1,2)和Q(1x,2y)作曲线的割线，当x0.1时，割线的斜率k_，当x0.001时，割线的斜率k_.答案2.12.001解析y(1x)21(121)2x(x)2，2x，割线斜率为2x，当x0.1时，割线PQ的斜率k20.12.1.当x0.001时，割线PQ的斜率k20.0012.001.9一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是_答案3解析v初s|t0li li (3t)3.10求y在x0到x0x之间的平均变化率解因为y，所以y在x0到x0x之间的平均变化率为.11求