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控制系统的数学模型,在进行控制系统分析之前，首要工作是建立控制系统的数学模型。,在MATLAB命令行方式仿真中，可以用3种方法建立控制系统的参数模型：多项式模型零极点模型状态空间模型,5.2.1控制系统的参数模型1.多项式模型（TransferFunction，简称TF）线性定常系统的传递函数G(s)一般可以表示为（5.13）,其中（5.14）（5.15）分别为分子多项式与分母多项式。；，均为常系数。,由于用和可以唯一地确定一个系统，因此在MATLAB种可以用向量和来表示传递函数G(s)的多项式模型。,用于在MATLAB中描述线性定常系统的多项式模型（TF）。,【例5.1】系统的传递函数为在MATLAB命令平台上键入num=01124448;den=11686176105;printsys(num,den);,num/den=s3+12s2+44s+48-s4+16s3+86s2+176s+105,例题说明：函数printsys（）用于显示传递函数G(s)的多项式模型。显示变量num/den为通用的输出显示格式，与输出变量名称无关。,【例5.2】系统的开环传递函数为写出其多项式模型。num=conv(20,11);den=conv(100,conv(12,1610);printsys(num,den);,num/den=20s+20-s5+8s4+22s3+20s2,例题说明：函数conv（）用于计算多项式乘积，结果为多项式系统的降幂排列。语句2为函数conv（）的嵌套使用。,【例5.3】系统的开环传递函数为写出单位负反馈时，闭环传递函数的多项式模型。numo=conv(5,11);deno=conv(100,13);printsys(numo,deno);,num/den=5s+5-s3+3s2,numc,denc=cloop(numo,deno,-1);printsys(numc,denc);num/den=5s+5-s3+3s2+5s+5,例题说明：函数=cloop()用于计算单位反馈时闭环传递函数多项式模型的参数向量，右变量为开环参数，左变量返回系统的闭环参数，反馈极性1为正反馈，-1为负反馈，省缺时作负反馈计算。,【例5.4】系统的结构图如图5.3所示。写出闭环传递函数的多项式模型。,num1=10;den1=110;num2=0.21;den2=0.011;num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,-1)printsys(num,den),num/den=0.1s+10-0.01s3+1.01s2+3s+10,例题说明：函数=feedback()用于计算一般反馈系统的闭环传递函数。前向传递函数为，反馈传递函数为。右变量为G(s)和H(s)的参数，左变量返回系数的闭环参数，反馈极性1为正反馈，-1为负反馈，省缺时作负反馈计算。,2.零极点模型（Zero-Pole，简称ZP）线性定常系统的传递函数G(s)一般可以表示为零点、极点形式，即（5.6）,式中；k分别为系统的m个零点、n个极点及增益k，且均为常数。,由于用m个零点、n个极点及增益k可以唯一地确定一个系统。因此，在MATLAB中可以用向量、k=k0来表示系统G(s)的零极点模型。,用于在MATLAB中描述线性定常系统的零极点模型。,【例5.5】系统的传递函数为写出其零极点模型。,z=-4;p=-1-2-3;k=5;表示该系统的零极点模型。,如果进一步想得到多项式模型，另外还可以使用下述几种方法实现。,如果A为nn方阵，poly(A)执行结果得到矩阵A的特征多项式（5.17）则为矩阵A的特征多项式系数向量。,如果A为向量，poly(A)执行结果得到以向量a的元素为根的多项式。因此，该函数可以用于零极点模型至多项式模型的转换。,如上例，num=k*poly(z);den=poly(p);printsys(num,den);,num/den=5s+20-s3+6s2+11s+6例题说明：函数poly()用于将多项式零点转换为多项式。,向量a与向量b作卷积。如果a与b分别为多项式的系数向量，卷积结果等价与两个多项式的乘积。因此向量c的长度为length(c)=length(a)+length(b)-1,可见，该函数也可以用于零极点模型至多项式模型的转换。【例5.6】系统的零极点模型为求多项式模型。,num=2*conv(1,2,conv(1,3,1,3)den=conv(1,1,1,2,16)num=2164236den=131816,即系统的多项式模型为,3.状态空间模型（StateSpace,简称SS）线性连续时间系统的状态方程为（5.18）,其中系统矩阵为，控制矩阵为，输出矩阵为，直耦矩阵为，且A、B、C、D均为常数矩阵，因此可以由常数矩阵a、b、c、d表示线性定常系统的状态空间模型。,用于在MATLAB中描述线性定常系统的状态空间模型。,【5.7】线性系统的状态空间方程为,输入常数矩阵a=01;-2-3b=01;20c=03;13d=10;02用来表示系统的状态空间模型。,显示为a=01-2-3b=0120,c=0313d=1002,用于已知多项式的系数向量num，构造变量为S的多项式函数。,【例5.8】键入num=3,2,1,4,2;poly2str(num,s)显示结果为ans=3s4+2s3+s2+4s+2,用于构造传递函数G(s)并作显示。,【5.9】键入num=3,2,1,4,2;den=3,5,1,2,2,1;printsys(num,den);,显示结果为num/den=3s4+2s3+s2+4s+2-3s5+5s4+s3+2s2+2s+1,4.模型的转换上述控制系统的3种数学模型，可以由模型转换函数相互转换，以满足不同的使用需要。模型转换函数基本格式如下。,用于多项式模型与零极点模型之间的转换。函数1返回零点向量z、极点向量p和增益向量k。函数2返回分子多项式向量num和分母多项式向量den。,【例5.10】已知系统的多项式模型，求零极点模型。num=01124448;den=11686176105;z,p,k=tf2zp(num,den),z=-6.0000-4.0000-2.0000,p=-7.0000-5.0000-3.0000-1.0000k=1,即原系统的零极点模型为,控制系统的多项式模型TF与状态空间模型SS之间的转换。,格式1：将多项式模型TF转换为状态空间模型SS。,格式2：将状态空间模型SS转换为多项式模型TF。由于式（5.18）定义的状态空间方程是m个输入、r个输出的，其对应的多项式模型是传递函数矩阵，即,其维数是rm,因此变量iu指明输入的号数。相应地，返回变量den是标量函数，num的维数是r1。,控制系统的状态空间模型SS与零极点模型ZP之间的转换。,格式1：将零极点模型ZP转换为状态空间模型SS。格式2：将状态空间模型SS转换为零极点模型ZP。变量iu指明输入号。,【5.11】已知系统的状态空间表达式为试求系统的传递函数矩阵G(s)。,a=01;-2-3;b=10;01;c=01;10;d=00;00;n1,d1=ss2tf(a,b,c,d,1);n2,d2=ss2tf(a,b,c,d,2);printsys(n1,d1);,num(1)/den=-2-s2+3s+2num(2)/den=1s+3-s2+3s+2,printsys(n2,d2);num(1)/den=s+4.4409e-016-s2+3s+2num(2)/den=8.8818e-016s+1-s2+3s+2,注意，4.4409e-016为MATLAB浮点计算残值，实际为零。系统的传递矩阵为,5.含有时间延迟环节的系统数学模型由于时间延迟环节为s的超越函数，为此，MATLAB准备了n阶多项式近似函数pade()来近似。,指数函数的pade展开式为（5.20）形式的无穷幂级数，所以取前n项，可以得到时间延迟环节的n阶多项式模型的近似表达式。,命令格式为,格式1：输入参数T为的延迟时间，n为给定的近似阶数。返回多项式模型参数num,den。,格式2：输入参数T为的延迟时间，n为给定的近似阶数。返回多项式模型参数a,b,c,d。,【例5.12】带有时延环节的系统如图5.4所示。使用二阶pade()函数，建立系统的线性模型。,前向线性部分模型为n1=10;d1=110;前向时延环节的二阶pade近似为n2,d2=pade(0.1,2),n2=1-601200d2=1601200,开环多项式模型为no=conv(n1,n2);do=conv(d1,d2);,闭环系统多项式模型为nc,dc=cloop(no,do);printsys(nc,dc);,num/den=10s2-600s+12000-s4+61s3+1270s2+600s+12000,6.系统数学模型的自动生成控制工具箱中准备的几个创建系统模型的函数如下所述。函数ord2()用于创建一个二阶系统模型。,格式1：给定系统的无阻尼振荡频率和阻尼比，创建一个形式为（5.21）的二阶系统得到多项式模型。,格式2：给定系统的无阻尼振荡频率和阻尼比，创建一个形式为（5.22）的二阶系统状态空间模型。(MATLAB中不使用希腊字母，在程序中无阻尼振荡频率由wn代替，阻尼比由z代替。),函数rmodel()用于创建一个m个输入、p个输出的n阶系统模型。省缺右变量n时，阶数n是随机的。省缺m时为单输入，省缺p时为单输出。,格式1：随机创建一个n阶系统的多项式模型。格式1：随机创建一个n阶系统的状态空间模型。,7.离散系统数学模型关于离散系统数学模型，由于函数使用格式与说明和连续系统相类似。,【例5.13】创建一个阻尼比、的二阶系统传递函数模型和状态空间模型。z=0.2;wn=5;num,den=ord2(wn,z);printsys(num,den),num/den=1-s2+2s+25,a,b,c,d=ord2(wn,z)a=01-25-