有关柯西准则的一些试题.pdf

1 第一节、数列的柯西收敛准则 与函数的一致连续性 第一节、数列的柯西收敛准则 与函数的一致连续性 一、数列极限柯西准则一、数列极限柯西准则 二、二、函数极限柯西准则函数极限柯西准则 三 、函数的一致连续性三 、函数的一致连续性 四、小结四、小结 五、作业五、作业 函数极限柯西准则函数极限柯西准则 当 n N 时, 总有 lim n n xa = = 定义只能用来验证 在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？ 1、夹逼准则1、夹逼准则 xy及 及z满足下列条件 满足下列条件: 若数列 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 , nn xy及 及 n z 满足下列条件满足下列条件: (1)(1,2,3) nnn yxzn=? 则数列则数列 n x的极限存在 的极限存在, lim. n n xa = = 若数列 (2) lim,lim, nn nn yaza = 且 单调有界数列必有极限. 2、单调有界准则、单调有界准则 回顾回顾: lim n n xa = = 0, ,NN + + 当n N时， 总有. n xa , nm aa ,m nN, . mn aa 当, n mN 时, 有. nm aa ,NN + 当,nN时， 有 , n aa 2 , m aa 2 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 5 , n 2 , m 2 N时, 总有 总存在正整数 则称 为柯西列。 对任意的正数p 例1 证明数列 收敛 证明 ： 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 当nN时, , + Zp对任意 都有 由柯西收敛准则可知, 收敛 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 收敛 例例2证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列 收敛. 其中 是中的数. 证明证明 令有 1 2 0 01.() n bbb=? 1 , 10 b 1 29 (, ,) i bi=?0 19, ,? 12 2 , 10 1010 n n bbb +? n a= bbb 12 2, 10 10 bb + 12 2 , , 10 1010 n n bbb ?+ 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 11 npn aa + ()11 911 1 10 1010 np+ +? 12 12 101010 np nn nnnp bbb + + + =+? 1 9 10n+ = 10 1 10 1 ( . ) . p () 1 10 1 10 ( . )p n = n 1 10 . n 1 例例2证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列 收敛. 其中 是中的数. 证证 令有 1 2 0 01.() n bbb= N时,对任意正 整数p, 有 . npn aa + 数列 n a 收敛.由柯西柯西收敛准则知: 例3 例3 利用柯西收敛准则证明: 数列 1 2 sin n nk k k x = = 收敛. 证明证明对任意正整数n, p, 有 npn xx + 12 12 222 sin()sin()sin() nnnp nnnp + + =+? 1 1 2n+ ()121 1111 1 2 222 np+ =+? 2 1 2n+ + 1 2n p+ +? 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 13 () () 11 1 22 np = 1 2n 1 ,N = 1 . n N时,对任意正整数 p, 有 . npn xx + 故数列 n x 收敛. 3 例4例4若 1 , nnn xxc + ,pN + 对 当时, 于是有 xx+xx+ 有 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 14 npn xx + 1npnp xx + = 1211nnnnnpnp xxxxxx + +? n c 时, 有. nm aa 0,对任意正整数N,都存在某正整数 也可以给出数列发散的柯西准则: 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 15 存在某 0 0,对任意正整数N, 都存在某正整数 00 ,m nN 使得. nm aa 00 0 例例5 设利用柯西准则, 11 1,1,2, 2 n an n = +=? 证明: 数列an发散. 分析分析 nm aa 不妨设n m, 1 1m = + 1 2m + + 1 n +? nm n 取n = 2m, 1 2 = 0, = 证明证明取 0 1 , 2 = 对任意正整数N,取正整数m0 N, 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 16 n0= 2m0 ,则 00 nm aa 00 0 nm n 1 2 = 0, = 故数列an发散. 定理定理1(柯西准则柯西准则) 数列 n a 发散的充分必要条件存 在某 0 0,对任意正整数N, 都存在某正整数 00 ,m nN 使得. nm aa 00 0 当n，m N时, 总有 lim n n xa = lim( ) n f na = ( ) n xf n= = 当n , m N时, 总有 二、函数极限的柯西准则二、函数极限的柯西准则二、函数极限的柯西准则二、函数极限的柯西准则 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 lim( ) x f xA + = 总有 12 ,x xX当时，当时， 0 lim( ) xx f xA = 总有 10 0,xx 当当 20 0 xx 时，时， 0 lim( ) xx f xA = 总有 10 0,xx 当当 20 0 xx 时，时， 0 xx 0 lim( ) xx f x 不存在不存在 12 ,x x总存在总存在 尽尽管管 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 但是 10 0,xx 20 0 xx 对，取对，取 12 2 ,x x 则当时，则当时， 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 12 1212 sinsin11xx xxxx + 22 对对n足够大时足够大时12 ,xX xX 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 但是 sin x极限不存在故 设f (x)在某一区间上连续， f (x)在区间内每一点都连续. 有 即对任意固定的点 按照定义，也就是 0 ,xI0, 对 (, )xU x0 当 |( )()|.f xf x 三 、函数的一致连续性三 、函数的一致连续性三 、函数的一致连续性三 、函数的一致连续性 时, 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 22 0 |( )()|.f xf x 在这无穷多个 0 ()x 中是否存在一个公共的 0 , 使得对任意的x0, x, I只要 0 |,xx 12 ,x xI 12 |,xx 12 ,x xI 12 |xx 12 ,x xI 12 |,xx 12 1, , ,x xa 要使 11 xx , 0, 12 ,x xI 12 |xx ()() 12 ,fxfx 当 时, 有 一致连续一致连续: (1) 在a, 1(0 a 1)上一致连续; 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 27 12 xx 12 x xa 只要 2 12 ,xxa 取 2 ,a= 12 xx 12 1, , ,x xa当时, 有 12 11 , xx 故函数在区间a, 1 上一致连续. 1 ( )f x x = 例例8证明: 函数 (1) 在a, 1(0 a 1)上一致连续; (2) 在(0, 1上非一致连续. (2) 1 1 0 1( , ,x n = xx 11 = 11 0 1 0 2 , = 2 1 1 , x n = + 1 ( )f x x = 非一致连续非一致连续: 0 0, 0, 12 ,x xI 12 |,xx 取 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 28 12 xx 1nn = +1()n n = +n = 故函数在(0, 1上非一致连续. 1 ( )f x x = 但函数在(0, 1上连续. 1 ( )f x x = ()n1+1= 40 60 80 100 1 y x = 观察函数 1 y x =在(0, 1上的图象. 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 29 0.20.40.60.81 20 本例说明:函数f (x)在区间上连续 函数f (x)在区间上一致连续 定理定理(Cantor定理或一致连续性定理定理或一致连续性定理) 则f (x)在a, b上 若f (x)在闭区间a, b上连续, 一致连续. 何时一致连续？何时一致连续？ 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 30 提示: 设提示: 设存在,作辅助函数存在,作辅助函数 显然显然 例例9设函数f (x)在区间 , )a +上连续, 且lim ( ) x f x + 存在.证明:函数f (x)在 , )a+上一致连续. 分析分析从已知条件lim( ) x f x + 出发,利用极限定义来证明. 证明证明 由lim( ) x f x + 存在及柯西准则,对0, 存在正数X a, 使得对 12 ,(,),x xX+ 都有 12 ()().f xf x 因为函数f (x)在闭区间a, X+1上连续,由一致连续性 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 31 因为函数f (x)在闭区间a, X+1上连续,由致连续性 定理,对上述 , 存在正数 ( 1), ( 0,对 12 , ,),x xa+ 都有 12 ()().f xf x 故函数f (x)在 , )a+上一致连续. 12 |,xx . mn aa 0, 12 ,x xI 12 |xx ()() 12 ,fxfx 当时, 有 设函数f (x)定义在区间I上, 若对 则称函数f (x) 在区间I上一致连续一致连续. 6 定理定理(Cantor定理或一致连续性定理定理或一致连续性定理) 则f (x