常微分方程论文内蒙古师范大学.doc

线性微分方程的解法数学科学学院 数学与应用数学专业 2009级蒙班摘 要 : 本文总结了线性微分方程的一些求解方法.这里包括了变量分离法和常数变易法等求解方法.关键词 : 一阶线性微分方程,高阶线性微分方程,常数变易法一 一阶线性微分齐次方程及解法【1】1 变量分离方程形如 （1）的微分方程被称为变量分离形式的方程，其中函数和在区间上连续.若，我们将（1）写成 ，这样，变量就分离开了.两端积分得，其中是某个常数且，这里我们把不定积分及分别理解为和的某个原函数，而把积分常数明确写出来.容易看出方程就是方程（1）的通解.2 一阶线性非齐次微分方程的解法形如 （2）的微分方程被称为一阶线性微分方程. 其中 ， 在考虑的区间上是的连续函数.若，则（2）变为 （3）称为一阶齐次线性微分方程.若，则(1)称为一阶非齐次线性微分方程.对方程（2）有通解 （4）现在讨论非齐次线性微分方程（2）通解的求法.将（4）中的常数变易为的待定函数.令 （5）微分之，得到 （6）将（5），（6）代入到（1），得到积分后得到，这里是任意常数，将上式代入（3），得到方程（2）的通解 （7） 这种将常数变易为待定函数的方法，通常被称为常数变易法.例1 求方程 的通解.【2】解 原方程不是未知函数的线性微分方程，但我们可以将它改为 即 把看做未知函数，这样对于及来说，方程 （8）就是一个线性方程.首先求出齐次微分方程的通解为 利用常数变易法求得 将上式代入到(8)，得到积分，即可求得.从而得到原方程通解 ，这里是任意常数.例3 求方程 的通解.【2】解 在此方程中, ，.根据公式（7），可求出原方程的通解为即，其中为任意常数.3 可化为变量分离方程的类型3.1 上述的一阶线性微分方程,即 当时,称方程为齐次线性方程,否则称方程为非齐次线性方程.利用常数变易法可求得此方程的通解 .32 线性分式形式的微分方程 （9）的方程可以经变量变换化为变量分离方程，这里，均为常数.我们分为三种情况讨论：a. （常数）.这时方程化为有通解其中为任意常数.b. 令，这时有是变量分离方程.c. 如果方程（9）中，不全为零，方程右端分子、分母都是，的一次多项式，因此 （10）代表平面上两条相交的直线，设交点为.若令则（10）化为从而（9）化为因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程的解.如果方程（9）中的，可以不必求解（10），直接取变换即可.33 齐次微分方程形如 （11）的方程.其中右端的函数是变量x,y的零次齐次函数，即对任意不为零的常数都.在方程（11）中引入，即，因此代入方程（11），得，即，这是一个变量分离方程.分离变量两端积分，得求出积分后，再用代替，就得到原方程（11）的通解.二 高阶微分方程的解法【3】1 高阶微分方程的概念形如 （12）的微分方程被称为阶线性微分方程，其中 及都是区间上的连续函数.若右端项函数，则方程（12）变为 （13）我们称它为齐次线性微分方程，而称（12）为非齐次线性微分方程.(伏朗斯基行列式)函数在区间可微次. （线性相关性）考虑定义在区间上的函数，,，如果存在不全为零的常数, ,使得恒等式 对于所有都成立，则称这些函数线性相关，否则就称这些函数在所给的区间上线性无关. （基本解组）方程（13）的一组个线性无关的解被称为方程的一个基本解组.齐次线性方程的基本性质 （13）（叠加原理）如果，,是方程（13）的个解，则它们的线性组合 也是（13）的解，这里, ,是任意常数.若函数，,在区间上线性相关,则在这个区间上它们的伏朗斯基行列式.如果是方程（13）的解，,在区间上线性无关,则在这个区间的任何点上都不等于零,即. （通解结构）如果，,是方程(13)的个线性无关的解,则方程(13)的通解可以表示为 （14）其中, ,是任意常数.且通解(13)包括了方程(12)的所有的解.非齐次线性方程的基本性质 （12） 若和分别为阶线性微分方程(12)和(13)的解,则也是方程(12)的解.方程(12)的任意两个解之差比为方程(13)的解. (通解结构)设 ，, 为方程(13)的基本解组,而 是方程(12)的特解,则方程(12)的通解可以表示为 （15）其中为任意常数,而且这个通解包括了方程(12)的所有解.(常数变易法)设，,是方程（13）的基本解组，因而 （14）为（13）的通解.把其中的任意常数, ,看作的待定函数，这时（14）变为 （16）将上式代入方程（12），就得到, ,必须满足的一个方程，但是待定函数有个，即, ,，为了确定它们，必须再找出个限制条件.则对微分等式（15）得 令 （17）得到 （18）对微分（18），并象上述的做法一样，令含有函数的部分等于零，我们又得到一个条件 和表达式 继续上面做法，在最后一次我们得到个条件 和表达式 最后，对微分得到现将上述方程代入（12），并注意到，,是（13）的解，得到 这样我们得到了含个未知函数的个方程.它们组成一个线性代数方程组.其系数行列式就是，它不等于零，因而方程组的解可以唯一确定，设求得 积分得 这里是任意常数，将所得的表达式代入（14）得显然，它是方程（12）的通解.为了得到方程的一个解，只需给常数以确定一个值.对于线性方程来说，关键是求出齐次线性方程的基本解组.例4 求方程的通解，已知它的对应齐次线性方程的基本解组为，.【2】解 应用常数变易法，令将它代入方程，则可的决定和的两个方程：解得 由此