《线性代数》第一章：_行列式

第一章行列式,【学习要求及目标】通过本章的学习使学生： （1）了解n阶行列式的概念，掌握行列式的性质，理解代数余子式的概念. （2）会应用行列式的性质和行列式按行按（列）展开定理化简，降阶计算行列式. （3）理解且掌握应用克莱姆（Cramer）法则求解线性方程组.,山西大学商务学院,线性代数,1.1 行列式,内容要点: 二阶行列式 二元线性方程组 三阶行列式 三元线性方程组,山西大学商务学院,线性代数,.,山西大学商务学院,线性代数,.,1.1.1.二阶行列式,定义1.1.1 我们称,为二阶行列式，其中数,式的元素，横排叫做行，竖排叫做列。元素的第一个下,叫做行标，表明该元素位于,叫做,叫做行列式,表明该元素位于第,标,行,第二个下标,列标，,叫做,列 。,由上述定义可知，是由,4个数按一定规律运算所得的代数和,图1-1-1,这个规律也叫行列式的计算方法“对,角线法则”.如右图1-1-1，,把 到 的实连线称为主对角线，把 到 的虚连线称为副对角线，于是，二阶行列式便等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积. 1.1.2.二元线性方程组 我们用行列式表示出来可得到下页结果,山西大学商务学院,线性代数,其中 分母是方程组的系数所确定的二阶行列式即系数行列式， 的分子 是用常数项替换 的系数所得的二阶行列式， 分子 是用常数项替换 的系数所得的二阶行列式.本节后面讨论的三元线性方程组有类似的规律性.请同学们学习时注意比较.,山西大学商务学院,线性代数,解 由于,山西大学商务学院,线性代数,例1 求解二元线性方程组,1.1.3.三阶行列式,定义1.1.2 我们称：,山西大学商务学院,线性代数,为三阶行列式.,行列式中的相关术语：,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法则,a11a22a33a12a23a31a13a21a32,a11a23a32a12a21a33a13a22a31,山西大学商务学院,线性代数,解,按对角线法则 有,D,12(2),21(3),(4)(2)4,114,2(2)(2),(4)2(3),46324824,14,方程左端的三阶行列式,解,.,山西大学商务学院,线性代数,D3x24x189x2x212,x25x6,由x25x60解得,x2或x3,1.1.4.三元线性方程组,类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组 讨论,记：,山西大学商务学院,线性代数,若系数行列式,那该方程组有唯一解：,例4 解三元线性方程组,解,50,2,2，,5,故所求方程组的解为,山西大学商务学院,线性代数,1.2.n阶行列的定义, 排列与逆序 对 阶行列式的定义,内容要点:,1.2.1.排列与逆序 定义 1.2.1 由自然数1，2，n组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列.记为（ ）.,山西大学商务学院,线性代数,.,定义1.2.2 在一个n级排列,中,若数,则称数,与,构成一个逆序.一个,. 记为：,.,.,级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数,定义1.2.3 逆序数为偶数的排列称为偶排列； 逆序数为奇数的排列称为奇排列,n级,1.2.2.对换,山西大学商务学院,线性代数,定义1.2.4 把一个排列,两个数,中某,的位置互换，而其余数不动，得到另,另一个排列,，这样的变换称为,一个对换，记为,（,）.,将两个相邻元素对换，称为相邻对换.,定理1.2.1 任意一个排列经过一个对换后，其 奇偶性改变.这就是说，经过一次对换，奇排列变为,偶排列，偶排列变为奇排列.,定理1.2.2,个自然数,共有,个,级排列，其,中偶奇排列各占一半.,1,1.2.3.阶行列式的定义,山西大学商务学院,线性代数,观察三阶行列式：,易见：三阶行列式共有63！项； 每项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积,每项的符号是：当该项元素的行标按自然数,顺序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排,列则取正号，是奇排列则取负号.,山西大学商务学院,线性代数,所以三阶行列式可定义为：,其中,为对所有三级排列,求和.,定义1.2.5,n阶行列式的定义：,特别规定一阶行列式|a|的值就是a,下页,由n行n列n2个元素aij (i j1 2 n)构成的代数和,称为n阶行列式。,简记为det(aij) 其中 为数1 2 n的 一个排列 表示对所有排列. 取和,在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元,例5证明行列式,下页,例6证明n阶行列式,结束,1.3. 行列式的性质,内容要点:,山西大学商务学院,线性代数, 行列式的性质 行列式的计算,1.3.1.行列式的性质,定义1.3.1 将行列式,行与列互换后得到的行,列式，称为,的转置行列式，记为,性质1 行列式与它的转置行列式相等 即,山西大学商务学院,线性代数,性质2 行列式的某两行(列) 互换,行列式变号.,推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此 行列式为零.,性质3 用数,乘行列式,的某一行(列), 等于用数,乘此行列式,推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子， 则公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行列式为零. 推论3 行列式中有一行（列）元素都为零，则此行 列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, （例如第行元素都是两数之和）：,山西大学商务学院,线性代数,则,山西大学商务学院,线性代数,性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 即,性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去 行列式不变 即,下页,例6,山西大学商务学院,线性代数,计算,解,解 我们可以看到此行列式各行（列）4个数之和都为6.故可把第2，3，4行（列）同时加到第一行，提出公因子6，然后各行减去第一行化为上三角行列式来计算：,山西大学商务学院,线性代数,例7 计算,山西大学商务学院,线性代数,6,6,48,1.4.行列式按行（列）展开,内容要点:,山西大学商务学院,线性代数, 余子式、代数余子式的定义 行列式按行（列）展开法则 拉普拉斯定理,山西大学商务学院,线性代数,1.4.1.余子式、代数余子式的定义,定义1.4.1 在,阶行列式,中划去元素,所在.,的第,行第,列后，余下的,阶行列式，称为,元素,的余子式，简记为,称,为,元素 的代数余,子式,1.4.2.行列式按行（列）展开法则,定理1.4.1,阶行列式,等于它的任一行（列）,的各元素与其对应得代数余子式乘以积之和.即,推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之,山西大学商务学院,线性代数,综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要结论:,或,例9 证明范德蒙德(Vandermonde )行列式,山西大学商务学院,线性代数,解 按第二列展开, 0 1（-3）3（-1）5-18,例8,山西大学商务学院,线性代数,内容要点:,山西大学商务学院,线性代数,1.5 克莱姆法则, 线性方程组的概念 克莱姆法则及应用,定义1.5.1 含有个未知量的线性方程组（1.5.2）,山西大学商务学院,线性代数,（1.5.2）,称为,元线性方程组.当其右端的,零时，线性方程组（1.5.2）称为非齐次,不全为,线性方程；,全为零时，线性方程组（1.5.2）称为,齐次线性方程组；即,山西大学商务学院,线性代数,其中线性方程组（1.5.2）前的系数,（1.5.2）,定理1.5.1（克莱姆法则） 若线性方（1.5.2）的系数行列式,山西大学商务学院,线性代数,则线性方程（1.5.2）有且,仅有唯一解：,其中,是将系数行列式中第,列元素,对应地换成方程组的常数项,，而其余元素保持不变所得到的行列式,例10 用克莱姆法则求解线性方程组,解 方程组的系数行列式为,山西大学商务学院,线性代数,所以方程组有唯一的解，而