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第82讲曲线的参数方程1(经典真题)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t与t2(02),M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点 (1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),所以M(cos cos 2,sin sin 2),M的轨迹的参数方程为(为参数,02)(2)M点到坐标原点的距离d(00)(1)若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上,求a的值;(2)当a3时,曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求A,B两点的距离 (1)曲线C1: 的直角坐标方程为y32x.曲线C1与x轴的交点为(,0). 曲线C2: 的直角坐标方程为1. 曲线C2与x轴的交点为(a,0),(a,0). 由a0,曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上,知a. (2)当a3时,曲线C2: 为圆x2y29. 圆心到直线y32x的距离d. 所以A,B两点的距离|AB|22.4(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin()2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标 (1)C1的普通方程为y21,C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin )因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()|sin()2|,当且仅当2k(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为(,)5(2018武汉二月调研)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C交于A,B两点(1)求|AB|的值;(2)若F为曲线C的左焦点,求的值 (1)由消去参数得:1.由消去参数t得:y2x4.将y2x4代入x24y216中,得17x264x16110.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2|.所以|AB|的值为.(2)由(1)知F(2,0),所以(x12,y1)(x22,y2)(x12)(x22)(2x14)(2x24)x1x22(x1x2)124x1x22(x1x2)125x1x26(x1x2)60566044.66. (2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点(0,)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点(1)求的取值范围;(2)求AB的中点P的轨迹的参数方程 (1)O的直角坐标方程为x2y21.当时,l与O交于两点当时,记tan k,则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当|1,解得k1或k1,即(,)或(,)综上,的取值范围是(,)(2)l的参数方程为(t为参数,)设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP,且tA,t
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